资源简介

圆锥曲线
【高 考命 题规律 】
小 题 部 分 ：2013年 第4题 考 查 了 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 第10题 考 查 了 椭 圆 中 的 中 点 弦 公 式 ；2014
年 第4题 考 查 了 双 曲 线 中 焦 点 到 渐 近 线 距 离 公 式 ， 第10题 考 查 了 抛 物 线 中 的 焦 点 弦 结 论 ；2015年
第5题 结合 向量 考查 了双 曲线 中的 焦点 三角 形 结论 ，第14题 以椭 圆的 基本 性质 为背 景 ，考 查了 圆的
方 程；2016年 第5题 考查 了双 曲线 标准 方程 满足 的 条件 ，第10题 以抛 物线 为背 景，结 合圆 的方 程，
考 查抛 物线 的焦 准距 ；2017年 第10题 考查 抛物 线的 焦点 弦公 式 ，第14题 以双 曲线 为背 景，结 合圆
的 知 识，考 查 离心 率 。
【基础知识整合】
椭圆知识点
（一）椭圆的图像与性质
定义：平面上到两定点F1(?c,0)，F2(c,0)的距离之和等于定值2a(2a ?2c)的点的集合.
（求轨迹方法：1:求什么设什么，设P(x,y)，2：找条件，|PF1|?|PF2 |?2a，3：代入数据
2 2
2 2 2 2 x y
(x?c) ? y ? (x?c) ? y ?2a ，4：化简得 ，5：检验，可能挖点）
2 ? 2 2 ?1
a a ?c
2 2
令 2 2 2
a ?c ?b ，得到焦点在x轴上的椭圆标准方程 x y
2 ? 2 ?1
a b
2
（ c ?b?
|PF 2 2 2
1|?|PF2 |?2a ?|F1F2 |，a ?c ?b ，e? ? 1? ）
? ?
a ?a?
其中|PF1|max?a?c |PF1|min?a?c
2
当 b
PF2 ? x轴时，|PF2 |? a
2 2 2 2
共焦点的椭圆方程设为： x y
2 ? 2 ?1 共离心率的椭圆方程设为： x y
2 ? 2 ?1
a ?m b ?m ma mb
2 2 x x y y
若点 x y 0 0
P(x0,y0)在椭圆 上，则过点 且与椭圆相切的直线方程是 .
2 ? 2 ?1 P 2 ? 2 ?1
a b a b
2 2
若点 x y
P(x0,y0)在椭圆 外，则过点 作椭圆的两条切线，切点分别为
2 ? 2 ?1 P P1,P2，
a b
x x y y
则切点弦 0 0
P1P2的直线方程是 2 ? 2 ?1.
a b
1
（二）椭圆中的焦点三角形
★题设：若|PF1|?m，|PF2 |?n，?F1PF2 ??，
2 2
结论： 2b 2 2 ?? ? 2b cos? 2 2 2 2 ?
mn? ?[b ,a ]，m?n? ?[b ?c ,b ]，S?PF1F2 ?b ?tan ?(0,bc]
1?cos? 1?cos? 2
证明如下：由余弦定理得：
2
2 2 2 2 2 2b
(2c) ?m ?n ?2mncos??(m?n) ?2mn(1?cos?)?4a ?2mn(1?cos?) ?mn?1?cos?
? ?
2 2sin cos
1 1 2b sin? 2
S 2 2 2 ?
?PF1F2 ? mnsin?? ? ?b ? ?b ?tan
2 2 1?cos? 2? 2
2cos 2
2 1?cos? ?
题设：若椭圆上存在一点P，使得?F1PF2 ??，求离心率范围. 结论:e ? ?sin
2 2
证明如下：
2 2 2 2
2b ?m?n? 2 2 2 2(a ?c ) 2 2 1?cos?
mn? ?? ? ?a ?2b ?a (1?cos?)?
2 ?1?cos??2(1?e )?1?cos??e ?
1?cos? ? 2 ? a 2
sin(???)
题设：焦点三角形PF1F2中，若?PF1F2 ??，?PF2F1 ??，结论：则离心率e? sin??sin?
2c |F1F2 | 2Rsin? sin? sin(???)
证明如下：e? ? ? ? ?
2a m?n 2Rsin??2Rsin? sin??sin? sin??sin?
（三）椭圆中的中点弦（点差法或韦达定理）
2
★题设： b
AB是不平行于对称轴的弦，P是AB的中点，结论：kAB?kOP ?? 2
a
证明如下：
2
2
推论1：若A,B关于原点 b
O对称，P是椭圆上异于A,B的任意一点，结论：kPA?kPB ?? 2
a
y2 ? y1 y1?(?y2) y2 ? y1
证明如下：设P(x1,y1),A(x2,y2)，则B(?x2,?y2)，所以kPA ? ?kPB ? ?
x2 ?x1 x1?(?x2) x2 ?x1
2 2
y ? y
所以 2 1 y2 ? y1 y2 ? y1
kPA?kPB ? ? ? 2 2
x2 ?x1 x2 ?x1 x2 ?x1
2 2
?x1 y
? 1
? 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2
? 2
x ?x
又 a b ? 2 1 y
? 2 ? y1 y
? ? 2 ? y1 b
? 2 2 2 2 0 2 2 ?? 2 所以 b
kPA?kPB ?? .
2
?x2 y2 a b x2 ?x1 a a
? 2 ? 2 ?1
?a b
2
推论2：若l是椭圆上不垂直于对称轴的切线，M 为切点，结论： b
kl ?kOM ?? 2
a
双曲线知识点
（一）双曲线的图像与性质
定义：平面上到两定点F1(?c,0)，F2(c,0)的距离之差的绝对值等于定值2a(2a?2c)的点的集合.
（求轨迹方法：1:求什么设什么，设P(x,y)，2：找条件，||PF1|?|PF2 ||?2a ，3：代入数据
2 2
2 2 2 2 x y
| (x?c) ? y ? (x?c) ? y |?2a ，4：化简得 ，5：检验，可能挖点）
2 ? 2 2 ?1
a c ?a
2 2
令 2 2 2
c ?a ?b ，得到焦点在x轴上的双曲线标准方程 x y
2 ? 2 ?1
a b
2
（ c ?b?
||PF1|?|PF2 ||?2a?|F 2 2 2
1F2 |，c ?a ?b ，e? ? 1? ，已知任意两个量关系，设 ）
? ? k
a ?a?
3
2
当 b
PF2 ? x轴时，|PF2 |? a
双曲线中与渐近线有关的直角三角形结论：
结论：P为双曲线上任意一点，三角形F1PF2的圆心一定在x?a或x??a上
结论：P为双曲线上任意一点，以PF1为直径的圆心一定与 2 2 2
x ? y ?a 相切.
2 2
若点 x y x0x y0y
P(x0,y0)在双曲线 上，则过点 的切线方程是 .
2 ? 2 ?1 P 2 ? 2 ?1
a b a b
2 2
共焦点的双曲线方程设为： x y 2 2 2
2 ? 2 ?1(a ?m?b ?m? c )
a ?m b ?m
2 2
共渐近线的双曲线方程设为： x y
2 ? 2 ??
a b
（二）双曲线中的焦点三角形
题设：若|PF1|?m，|PF2 |?n，?F1PF2 ??，结论：
4
2
2 2 b
2b 2 ?? ? 2b cos? 2 ?
mn? ?[b ,??]， S?PFF
m?n? ?[?b ,??)， 1 2 ?
1?cos? 1?cos? tan 2
证明如下：由余弦定理得：
2 2 2 2 2
(2c) ?m ?n ?2mncos??(m?n) ?2mn(1?cos?)?4a ?2mn(1?cos?)
? ?
2 2 2sin cos 2
2b 1 1 2b sin? 2 b
?mn? S 2 2
?PF1F2 ? mnsin?? ? ?b ? ?
1?cos? 2 2 1?cos? 2? ?
2sin tan
2 2
sin(???)
题设：焦点三角形PF1F2中，若?PF1F2 ??，?PF2F1 ??，结论：则离心率e? sin??sin?
2c |F1F2 | 2Rsin? sin? sin(???)
证明如下：e? ? ? ? ?
2a m?n 2Rsin??2Rsin? sin??sin? sin??sin?
（三）双曲线中的中点弦（点差法或韦达定理）
2
题设： b
AB是不平行于对称轴的弦，P是AB的中点，结论：kAB?kOP ? 2
a
证明如下：
2
推论1：若 b
A,B关于原点O对称，P是双曲线上异于A,B的任意一点，结论：kPA?kPB ? 2
a
y2 ? y1 y1?(?y2) y2 ? y1
证明如下：设P(x1,y1),A(x2,y2)，则B(?x2,?y2)，所以kPA ? ?kPB ? ?
x2 ?x1 x1?(?x2) x2 ?x1
2 2
y ? y
所以 2 1 y2 ? y1 y2 ? y1
kPA?kPB ? ? ? 2 2
x2 ?x1 x2 ?x1 x2 ?x1
5
2 2
?x1 y
? 1
? 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2
? 2
x ?x
又 a b ? 2 1 y
? 2 ? y1 y
? ? 2 ? y1 b
? 2 2 2 2 0 2 2 ? 2 所以 b
kPA?kPB ? 2
?x2 y2 a b x2 ?x1 a a
? 2 ? 2 ?1
?a b
2
推论2：图一， b
A,B为渐近线上两点，P为AB的中点，则kAB?kOP ? 2
a
2
图二：A,B为渐近线上关于原点O对称的两点， b
P为渐近线上任意一点，则kPA?kPB ? 2
a
图三：直线与双曲线和渐近线分别交于A,B,C,D 四点，则AC ? BD
抛物线知识点：
（一）抛物线的图像与性质
p p
定义：平面上到定点F( ,0)的距离与到直线x?? 距离相等的点的集合.
2 2
（求轨迹方法：1:求什么设什么，设 P(x,y) ，2：找条件，|PF |?|PH | ，3：代入数据
p 2 2 p 2
(x? ) ? y ?|x? |，4：化简得 y ?2px，5：检验，可能挖点）
2 2
即得到开口向右的抛物线的标准方程 2
y ?2px （抛物线的离心率e?1，解抛物线题目多用定义）
2
（二）抛物线 y ?2px焦点弦的结论：
题设：过抛物线 2
y ?2px(p ?0)的焦点F 的一条直线AB和此抛物线相交于A,B两点，结论：
代数结论：
6
2 2
（1） p
x1x2 ? ， y1y2 ??p
4
2
p p ?
（2）| AF |? x1? ， 2p(1 k )
|BF |? x2 ? ，| AB|? x1?x2 ? p，| AB|? 2
2 2 k
★几何结论：
p p
（1）| AF |? ，|BF |? ，??(0,?)
1?cos? 1?cos?
2 2p
（2） p
| AF |?|BF |? ，
2 | AB|?| AF |?|BF |? 2
sin ? sin ?
1 1 2 2 2
（3） ? ? （4） 1 p p
S?AOB ? ，S?AF'B ?
| AF | |BF | p 2sin? sin?
pcos? p p
（5）|PF |? 2 |FQ|? 2 |PQ|?
sin ? sin ? sin?
证明如下：
2
p p 2
当直线AB斜率不存在时，此时 p
A( ,p)，B( ,?p)，所以x1x2 ? ， y1y2 ??p 成立
2 2 4
p
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为 y ?k(x? )
2
2
2 ? p(k ?2)
?y ?2px 2 2 ?x1?x2 ? 2
? 2 2 2 k p ?
联立 k
? p ?k x ? p(k ?2)x? ? 0?? 2
?y ?k(x? ) 4 ? p
? 2 x
? 1x2 ?
? 4
2
2 2 2 2 p 4 2
y1 y2 ?2px1?2px2 ?4p ?x1x2 ?4p ? ?16p ? y1y2 ??p (y1y2 ?0)
4
2 2 2 2
2 2 ? p(k ?2)? p 2p(1?k )
| AB|? 1?k |x1?x2|? 1?k ? 2 ? ?4? ? 2
? k ? 4 k
pk pk
|? | 2 |? | 2
点O到直线AB的距离为 ， 1 1 2p(1?k ) 2 1 2 1?k
d ? 2 ?
2 S?AOB |AB|?d ? 2 ?
2 p 2
k ?1 2 2 k k ?1 2 k
（三）抛物线中的中点弦（点差法或韦达定理）
p
★题设：直线与抛物线交于A,B两点，D是弦AB的中点，求证：kAB ? yD
7
（四）抛物线中的角平分线
题设：直线交抛物线 2
y ?2px于点A,B，交x轴于点M ，M 关于原点的对称点为N ，
求证：?ANO ??BNO,?PMN ??BMN
证明如下：
★直线与圆锥曲线相交的弦长问题
直线 y ?kx?m与椭圆相交于两点A,B，弦长| AB|的公式推导如下：
2 2 2 2 2 2 ?
| AB|? (x1?x2) ?(y1?y2) ? (x1?x2) ?(kx1?kx2) ? 1?k |x1?x2|?( 1?k ? )
a
2 2 y1?m y2 ?m 2 2 1
| AB|? (x1?x2) ?(y1?y2) ? ( ? ) ?(y1?y2) ? 1? 2| y1?y2|
k k k
|x1?x2 | | y1? y2 |
| AB|? ?
cos? sin?
8
圆锥曲线其它结论：
椭圆结论：
1、椭圆中，点P处的切线PT 平分?PF1F 在点P处的外角
2、椭圆中，以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
2 2
3、椭圆 x y 的焦半径公式 ? ? ? ?
2 ? 2 ?1 |MF1| a ex0,|MF2 | a ex0
a b
4、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P,Q, A1,A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于
点M ，A2P和A1Q交于点N ，则MF ? NF .
2 2 2 2
5、若 x y
P 0 0 0 0
0(x0,y0)在椭圆 内，则被 所平分的中点弦的方程是 x x y y x y ；
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2
a b a b a b
2 2 2 2
6、若 x y
P0(x0,y0)在椭圆 内，则过 的弦中点的轨迹方程是 x y x0x y0y ；
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2
a b a b a b
2 2
7、椭圆 x y 的两个顶点为
2 ? 2 ?1 A1(?a,0),A2(a,0)，与 y轴平行的直线交椭圆于P1,P2时A1P1与
a b
2 2
x y
A2P交点的轨迹方程是 2 ? 2 ?1.
a b
2 2
8、过椭圆 x y 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 两点，则
2 ? 2 ?1 A(x0,y0) B,C
a b
2
b x0
kBC ? 2 （常数）.
a y0
2 2
9、若P为椭圆 x y 上异于长轴端点的任一点 是焦点 ? ?? ? ??，
2 ? 2 ?1 ,F1,F2 , PF1F2 , PF2F1
a b
a?c ? ?
则 ? tan cot .
a?c 2 2
2 2
10、设椭圆 x y 的两个焦点为 （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 中，
2 ? 2 ?1 F1,F2,P ?PF1F2
a b
sin? c
记?F1PF2 ??, ?PF1F2 ??,?F1F2P??，则有 ? ?e.
sin??sin? a
2 2
x y
11 、 P 为 椭 圆 上 任 一 点 为 二 焦 点 ， 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则
2 ? 2 ?1 , F1,F2 A
a b
2a?| AF2|?|PA|?|PF1|?2a?| AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
2 2
(x?x ) (y? y )
12 、 椭 圆 0 0 与 直 线 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
2 ? 2 ?1 Ax? By?C ? 0
a b
2 2 2 2 2
A a ? B b ? (Ax0 ? By0 ?C) .
2 2
13、已知椭圆 x y ， 为坐标原点， 为椭圆上两动点，且
2 ? 2 ?1 O P,Q OP ?OQ.
a b
1 1 1 1 2 2
2 2
（1） 4a b
2 ? 2 ? 2 ? 2 ；（2） OP ? OQ 的最大值为 ；
|OP| |OQ| a b 2 2
a ?b
2 2
（ a b
3）S?OPQ的最小值是 2 2 .
a ?b
9
2 2
14、过椭圆 x y 的右焦点 作直线交该椭圆右支于 两点，弦 的垂直平分线交 轴
2 ? 2 ?1 F M,N MN x
a b
|PF | e
于P，则 ? .
|MN | 2
2 2
15 、 设 x y
A,B 是 椭 圆 的 长 轴 两 端 点 ， 是 椭 圆 上 的 一 点 ，
2 ? 2 ?1 P ?PAB ??,
a b
?PBA??,?BPA??，c,e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2 2 2
2ab |cos?| 2a b 1
（1） 2
|PA|? 2 2 2 ； （2）tan?tan??1?e ； （3）S?PAB ? 2 2 ?
a ?c cos ? b ?a tan?
16、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
双曲线结论：
1、双曲线中，点P处的切线PT 平分?PF1F2在点P处的内角.
2、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
2 2
x y
3、双曲线 的焦半径公式：
2 ? 2 ?1
a b
当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0 ?a,|MF2 |?ex0 ?a；
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0 ?a,|MF2 |??ex0 ?a
4、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P,Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ
分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M,N 两点，则MF ? NF .
5、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P,Q, A1,A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q
交于点M ，A2P和A1Q交于点N ，则MF ? NF .
2 2 2 2
6、若 x y
P0(x0,y0)在双曲线 2 ? 2 ?1内，则被P0所平分的中点弦的方程是 x0x y0y x0 y0
2 ? 2 ? 2 ? 2 .
a b a b a b
2 2 2 2
7、若 x y x y x
P 0x y0y
0(x0,y0)在双曲线 内，则过 的弦中点的轨迹方程是
2 ? 2 ?1 P0 2 ? 2 ? 2 ? 2 .
a b a b a b
2 2
8、双曲线 x y 两个顶点为 ? ，与 y轴平行的直线交双曲线于 时，
2 ? 2 ?1 A1( a,0),A2(a,0) P1,P2
a b
2 2
x y
A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 2 ? 2 ?1.
a b
2 2
9、过双曲线 x y 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 两点，则
2 ? 2 ?1 A(x0,y0) B,C
a b
2
b x0
kBC ?? 2 （常数）.
a y0
10
2 2
10、若P 为双曲线 x y
2 ? 2 ?1右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2 是焦点, ?PF1F2 ??,
a b
c?a ? ? c?a ? ?
?PF2F1 ??，则 ? tan cot （或 ? tan cot ）.
c?a 2 2 c?a 2 2
2 2
11、设双曲线 x y 的两个焦点为 ， （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在?
2 ? 2 ?1 F1,F2 P PF1F2
a b
sin? c
中，记?F1PF2 ??, ?PF1F2 ??,?F1F2P??，则有 ? ?e.
?(sin??sin?) a
2 2
12、 P 为双曲线 x y
2 ? 2 ?1 上任一点, F1,F2 为二焦点， A 为双曲线内一定点，则
a b
| AF2 |?2a?|PA|?|PF1| ,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在 y轴同侧时，等号成立.
2 2
13、双曲线 x y 与直线 有公共点的充要条件是 2 2 2 2 2
2 ? 2 ?1 Ax? By?C ? 0 A a ?B b ?C .
a b
2 2
14、已知双曲线 x y
2 ? 2 ?1（b?a ?0），O为坐标原点，P,Q为双曲线上两动点，且OP ?OQ.
a b
1 1 1 1 2 2
2 2
（1） 4a b
2 ? 2 ? 2 ? 2 ; （2）| OP ? OQ 的最小值为 ;
|OP| |OQ| a b 2 2
b ?a
2 2
（3）S?OPQ的最小值是 a b
2 2 .
b ?a
2 2
x y
15、过双曲线 2 ? 2 ?1的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，MN 的垂直平分线
a b
|PF | e
交x轴于P，则 ? .
|MN | 2
2 2
16、已知双曲线 x y
2 ? 2 ?1, A,B是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点
a b
2 2 2 2
a ?b a ?b
P(x0,0), 则x0 ? 或x0 ?? .
a a
2 2
17、设 x y
A,B 是双曲线 的长轴两端点， 是双曲线上的一点，
2 ? 2 ?1 P ?PAB ??,
a b
?PBA??,?BPA??，c,e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
2 2 2
2ab |cos?| 2 2a b
(1)|PA|? 2 2 2 (2) tan?tan??1?e (3) S?PAB ? 2 2 cot?
|a ?c cos ?| b ?a
18、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的
连线必与切线垂直.
19、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
11
抛物线中与焦点弦有关的几何关系结论：
2 2
1、以AB为直径的圆与准线 p
l相切，切点为C' 2、x1x2 ? ， y1y2 ??p
4
0 0 1 1
3、?AC'B?90 ，?A'FB'?90 ，C'C ? AB ，C'F ? A'B'
2 2
4、A,O,B'三点共线，A',O,B三点共线
2 2
p 2p (S ) p 3
5、 1 p ?AOB
| AB|? x1?x2 ? p ?2(x3? )? 2 ，S?AOB ? ， ?( )
2 sin ? 2sin? | AB| 2
6、BC'垂直平分B'F，AC'垂直平分A'F，C'F ? AB
p y
? ? 1 y2
kAB ?
7、 y3 x1 p
x2 ? 2
2
8、| A'B'| ?4| AF |?|BF |
抛物线中与焦点弦和切线有关的结论：
p
1、过抛物线焦点弦两端点作抛物线的切线，两切线交点一定在准线上；当AB ? x轴时，P(? ,0)
2
2、切线交点与弦中点的连线平行于对称轴
3、弦AB不过焦点，即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴
4、过抛物线准线上任意一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
12
AB是抛物线 2
y ?2px的焦点弦，Q是AB的中点，过A,B的切线交于点P，PQ与抛物线交于
点M ，则有：
1、PA?PB，PF ? AB
2、M 是PQ的中点
3、AP平分?A'AF ，BP平分?B'BF
4、 2
|FA|?|FB|?|PF |
2
5、(S?PAB)min ? p
当弦AB不过焦点， 切线交于P点时，也有与上述结论类似的结果
【基础典例分析】
2 2
例：已知 x y
A,B是椭圆 2 ? 2 ?1?a?b?0?长轴的两个端点，M 、N是椭圆上关于x轴对称的两
a b
点，直线AM 、BN 的斜率分别为 3
k1,k2?k1k2 ?0?，若椭圆离心率为 ，则 k1 ? k2 最小值为（ ）
2
3
(A)1 (B) 2 (C) (D) 3
2
【高考真题研究】
（2017全国卷Ⅰ理10）已知F 为抛物线 2
C：y ?4x的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线l1，l2，
直线l1与C 交于A，B两点，直线l2与C 交于D，E两点，则 AB ? DE 的最小值为（ ）
(A)16 (B)14 (C)12 (D)10
2 2
x y
（2017全国卷Ⅰ理15）已知双曲线C: 2 ? 2 ?1?a ?0,b ?0?的右顶点为A，以A为圆心，b 为
a b
半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若 0
?MAN ?60 ，则C 的离心
率为________
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