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义
第二十三章
旋转
第2课时
旋转作图
教学目的
旋转作图的一般步骤，网格中旋转90°的画法，求旋转过程边所扫过区域的面积
求点的路经长，确定旋转中心的步骤
教学重点
网格中旋转90°的画法，求旋转过程边所扫过区域的面积，求点的路经长
教学内容
知识要点
旋转作图的一般步骤
步　　骤：(1)明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；
(2)确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；
(3)顺次连接对应点．
网格中旋转90°的画法
1．确定关键点与旋转中心所在的矩形．
2．搞清楚是顺时针还是逆时针，旋转矩形，确定对应点．
3．确定旋转后的图形．
确定旋转中心的步骤
1．连接两组对应点．
2．作对应点连线的垂直平分线．
3．交点就是旋转中心．
旋转过程边所扫过区域的面积
旋转过程边所扫过区域的面积为扇形面积
面积公式为：（其中n是旋转度数，R是旋转的那条线也是扇形的半径）
点的路经长
计算公式为（其中n是旋转度数，r是旋转中心到哪个点的距离也是扇形的半径）
对应练习
1.画出将线段
AB
绕点
O
按顺时针方向旋转
90°
后的图形．
2.画出将ΔABC
绕点C
按逆时针方向旋转150°后的对应三角形．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，1）、C（0，﹣2）．
（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为????；
（2）将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C；
（3）在（2）中，求边CA所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．
（4）若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC的位置发生怎样的变化？
4．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．
(1)写出点A，C的坐标；
(2)求点A和点C之间的距离．
5．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）.把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2.
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2.
（2）直接写出点B1、B2坐标.
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2?，
请直接写出点P1、P2的坐标.
6．在平面直角坐标系?中，?点的坐标为?，将?绕原点?顺时针旋转?得到?，求点?的坐标．
7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）.
（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；
（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；
（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度.
8．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
课后作业
1．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）
（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长.
2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状.
（无须说明理由）
3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．
（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）
4．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是????，旋转角是???????度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
5．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．
(1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？
(2)AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．
6．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．
（1）请在下图中画出点O；
（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A(-5,5)、B(1,1)、C(5,1)、D(1,-5)，则点O的坐标为?????????；
（3）α=????．
对应练习答案
1.
2.
3．解答：
解：（1）∵B（﹣1，1），
∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）；
（2）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；
（3）∵CA＝＝，∠ACA1＝90°，
∴S扇形CAA1＝＝；
（4）∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，
∴图形△ABC的位置是向右平移了3个单位．
4．解答：
解：(1)点A的坐标是(-2，0)，点C的坐标是(1，2)．
(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，
∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，
∴AC＝．
5．解答：
（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：
（2）解：点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）
（3）解：由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）
6．解答：
解：?轴于?，?轴于?，如图，
，?，
绕原点?顺时针旋转?得到?可看作是?绕原点?顺时针旋转?得到?，
则?，?，
所以点?的坐标为?．
7．解答：
解：（1）如图所示.
由图可知，C1（2，3）；
（2）如图所示，由图可知，C2（﹣2，0）；
（3）∵AB＝＝，
∴点A所经过路径的长度＝＝.
8．解答：
解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；
(2)取B2(3，-2)，C2(4，-3)，连成△A2B2C2；
(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5，-1)．
课后作业答案
1．解答：
解：（1）如图所示：
（2）点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2，圆心角为90°，
所以长度为.
2．
解答：
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，
即，
所以三角形的形状为等腰直角三角形.
3．
解答：
解：（1）如图，△AlB1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）AB＝＝3，
所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．
4．
解答：
解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；
（2）画出的图形如图所示；
（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．
∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B+4S△ABC，
∴（a+b）2＝c2+4×ab，
即a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
5．
解答：
解：(1)直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，
∴旋转中心是点B，旋转角是90°；
(2)AC⊥DE，
理由：延长DE交AC于F，
∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，
∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，
∴∠DFA＝90°，
∴AC⊥DE．
6．
解答：
解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）观察图象可知，O(-2,-2)．
故答案为(-2,-2)．
（3）观察图象可知α=90°．
故答案为90°．

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