资源简介

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第
1
页
)
一
长方体和正方体
一、长方体的认识
认识长方体的面、棱、顶点。
(1)从不同的角度观察同一个长方体。
把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最．多．只．
能．同．时．观．察．到．长．方．体．的．三．个．面．。．
(2)长方体的棱和顶点。
长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相
交的点叫作长方体的顶点。
长方体的特征。
长方体是由
6
个长方形(也可能有
2
个相对的面是
正方形)围成的立体图形,它有
6
个面、12
条棱和
8
个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
长方体长、宽、高的含义。
长．方．体．相．交．于．同．一．顶．点．的．三．条．棱．的．长．度．．,分．别．叫．作．它．的．长．、．宽．、．高．。．
长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体
的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,
通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直
方向的一条棱叫作它的高。
二、正方体的认识
正方体也叫立方体。它是由
6
个完全相同的正方
形围成的立体图形。它的6
个面是完全相同的正方形,12
条棱的长度都相等,有
8
个顶点。
正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。
长方体和正方体的特征的异同。
①相同点:都有
6
个面、12
条棱、8
个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的
6
个面都是长方形(也可能有
2
个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3
组,每组4
条棱长度相等。正方体的
6
个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
三、正方体、长方体的展开图
把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。
正方体的展开图是由
6
个完全相同的正方形组成
的,可以通过观察、折叠找到
3
组相对的面。
沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有
3
组相对的面,相．对．的．面．完．全．相．同．．,相．对．的．面．完．全．隔．开．。．
易错点:误认为一个长方体中最多有
4
条相等的棱。这是错误的,
一定要注意长方体的
6
个面不一
定都是长方形,也可能有
2
个相对
的面是正方形。当长方体有
2
个相
对的面是正方形时,就有
8
条棱长度相等。
直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。
长方体
12
条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。
易错点:误认为有
6
个面、12
条棱、8
个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的,
一定要注意有
6
个面、12
条棱、8
个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。
正方体的棱长总和:棱长×12。正方体具有长方体的一切特
征,正方体是特殊的长方体。
同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。
技巧:
正方体有
6
个相同的面,可以
通过观察、折叠找到
3
组相对的面。
长方体有
3
组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。
沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方
体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的
6
个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开。
四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法
1.表面积的意义:长．方．体．．(或．正．方．体．．)6．个．面．的．总．面．积．．,叫．作．它．的．表．面．积．。．
2.长方体和正方体表面积的计算方法。
(1)长．方．体．的．表．面．积．=．长．×．宽．×．2．+．长．×．高．×．2．+．宽．×．高．
×．2．=．．(长．×．宽．+．长．×．高．+．宽．×．高．．)×．2．。．
如果用
S
表示长方体的表面积,用
a、b、h
分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh
或
S=(ab+ah+bh)×2。
(2)正．方．体．的．表．面．积．=．棱．长．×．棱．长．×．6．。．
如果用
S
表示正方体的表面积,用
a
表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是
S=6a2。
五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实
际问题
求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是
要根据实际情况确定好求几个面的面积和。
在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有
6
个面,如长方体的鱼缸只有
5
个面,通风管只有
4
个面。因此,在计算时要根据实际情况解题。
六、体积和容积的意义
物．体．所．占．空．间．的．大．小．叫．作．物．体．的．体．积．。．
能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其
他物体的都不是容器。
容．器．所．能．容．纳．物．体．的．体．积．叫．作．容．器．的．容．积．。．
有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一
定有容积。
七、体积单位
当所求的长方体的表面积是
6
个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘
2
较简便。
举例:大厅里有
8
根高为
5
米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5
米的正方形,若1
千克油漆可以涂
5
平方米,则涂这
8
根方柱需要多少千克油漆?
错
解
:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=
16.8(千克)
答:涂这
8
根方柱需要
16.8
千克油漆。
正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千
克)
答:涂这
8
根方柱需要
16
千克油漆。
一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。
棱长是
1
厘米的正方体,体积是
1
立方厘米。
棱长是
1
分米的正方体,体积是
1
立方分米。
棱长是
1
米的正方体,体积是
1
立方米。
(
．
．
．
)4.常．用．的．体．积．单．位．有．立．方．厘．米．、．立．方．分．米．和．立．方．米．．,用．字．母．表．示．分．别．是．c．m3．、．d．m3．和．m3．。．
八、容积单位
并不是只有棱长是
1
cm、1
dm、1
m
的正方体的体积才是
1
cm3、1
dm3
和1
m3。
容积单位的使用方法。
计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如
水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表
示分别为
L
和
mL,其中
1
L=1000
mL。
容积单位的换算。
1．d．m3．=．1．L．
1．c．m3．=．1．m．L．
易错点:误认为容积就是体积,
这是不对的,一定要注意“容积”与
“体积”的不同。如一本书有体积,
却没有容积。
．
．
较大容器盛装液体时用“升”作
高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向
高级单位转换用除法计算。
“容积”与“体积”的区别。(1)意义不同。
体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所
能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容
积。
测量方法不同。
求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、
宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。
单位名称不完全相同。
体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固
体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位
一般用升、毫升。
九、长方体体积公式的推导
以取
12
个
1
立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图:
每个小正方体的体积是
1
立方厘米,每个长方体是
由
12
个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是
12
立方厘米。
单位,较小容器盛装液体时用“毫升”
作单位。
巧记:
体积单位常用到,相邻进率是1000。
高级单位化低级,要把此数乘1000。
低级单位化高级,除以
1000
把数算。
转换过程要细心,掌握进率是关键。
明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。
1
立方厘米的小正方体的边长
是
1
厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。
(
长
/cm
宽
/cm
高
/cm
小正方体的个数
体积
/cm
3
长方体①
12
1
1
12
12
长方体②
6
2
1
12
12
长方体③
4
3
1
12
12
长方
体④
3
2
2
12
12
)填写表格。
3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方
体的高。
(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等
于长方体长、宽、高的乘积。
4.长方体体积公式的字母表达式。
如果用
V
表示长方体的体积,用
a、b、h
分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。
举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的
2
倍,那么
它的体积就扩大到原来的
23
倍,即
(
2
)8
倍;反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的1,那么它的
体积就缩小到原来的
1
,即1。
23
8
长．方．体．的．体．积．=．长．×．宽．×．高．．,字．母．公．式．为．V．=．a．b．h．。．
5.拓展提高。
(
n
)当长方体的长、宽、高都扩大到原来的
n
倍时,它的体积就扩大到原来的
n3(n×n×n=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1时,它的体积就缩小到原来
a·a·a
也可以写成“a3”,即a·a·a=a3,读作“a
的立方”,表示
3
个a
相乘。因此,正方体的体积公式一般写成
V=a3。写
a3
时,“3”要写在
a
的右上角,且要略小一些。
举例:如果一个正方体的棱长
(
1
n
3
)扩大到原来的
2
倍,那么它的体积
的
1
1
×
1
×
1
=
。
n3
n
n
n
十、正方体体积公式的推导
长方体的体积=长
×
宽
×
高
↓
↓
↓
正．方．体．的．体．积．=．棱．长．×．棱．长．×．棱．长．
2.正方体体积的字母公式。
如果用
V
表示正方体的体积,用
a
表示正方体的棱
长,那么正方体体积的字母公式可以写成
V．=．a．．·a．．·a．=．a3．。
就扩大到原来的
8
倍;反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的1,那么它的体积就缩小到原来的1。
(
2
)
(
8
)在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积×长”来计算体积。
．
．
3.拓展提高。
(
n
)当正方体的棱长扩大到原来的
n
倍时,它的体积就扩大到原来的
n3
倍;当正方体的棱长缩小到原来的1时,
(
n
3
)它的体积就缩小到原来的
1
。
十一、运用体积公式解决实际问题
如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具
备,那么可直接利用公式计算体积。
十二、长方体和正方体体积的通用公式
1.长方体和正方体底面积的意义。
长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。长．方．体．和．正．方．体．底．面．的．面．
积．．,叫．作．它．们．的．底．面．积．。．
长方体和正方体底面积的计算方法。
长方体的底面积=长×宽。
(2)正方体的底面积=棱长×棱长。
长方体和正方体体积公式的推导。
(
棱长
)长方体的体积
=
长×
宽×
高
↓
↓
底面积高
长方体(或正
正方体的体积
=
棱长
×
棱长
×
↓↓
底面积可看作高方体)的体积=底面积×高
长．方．体．．(或．正．方．体．．)的．体．积．=．底．面．积．×．高．。．如果用
V
表
示体积,S
表示底面积,h
表示高,那么长方体(或正方体)
的体积公式可以写成
V=Sh。
十三、容积的计算方法
长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公
式求出物体的容积。
体积和容积的区别与联系。(1)不同点。
①意义不同。
Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。
Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
②测量方法不同。
Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高
或棱长。
运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是
8
平方厘米,高是
3
分米,求体积。
错解:8×3=24(立方厘米)
正解:3
分米=30
厘
米,8×30=240(立方厘米)
计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高。有的物体既有体积,也有容积,
如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。
巧记:
容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。
容积心中装物体,体积只想占空间。
容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。
记住二者不同处,计算才能少失误。
(
Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高
或
棱长。
③单位名称不完全相同。
Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。
Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽
油等)的体积时,常用升或毫升作单位。
(2)相同点。
计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=
底
面积×高。
)
二
分
数
乘
法
一、分数与整数相乘的意义和计算方法
整数乘法的意义。
求几个相同加数的和的简便运算。
(1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都
是求．几．个．相．同．加．数．的．和．的．简．便．运．算．。．
分数与整数相乘的计算方法:用．分．数．的．分．子．和．整．
数．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．不．变．。．能．约．分．的．要．先．约．分．．,再．计．算．。．
二、求一个数的几分之几是多少
1.求．一．个．数．的．几．分．之．几．是．多．少．．,用．乘．法．计．算．。．
(
2
)2.求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是相同的,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或
小数表示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的几倍,而在用分数表示时,要说成一个数是另一个数的几分之几。如一个数的
1.5
倍,也可以表示为一个数的3。因此,求一个数的几倍是多少与求一个数的几分之几是
多少都可以用乘法计算。
三、分数乘分数的意义和计算方法
1.分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多
少。
2.分．数．和．分．数．相．乘．．,用．分．子．相．乘．的．积．作．分．子．．,分．母．相．
巧记:
分数乘整数,计算很简单;
分子乘整数,分母不用变;
计算想简便,约分要在先;
结果要想准,分数化最简。
在解决求一个数的几分之几是多少的实际问题时,关键是要弄清哪个量是单位“1”。
当相乘的两个分数的分子和分母能够约分时,可以先约分,再计算。
找准每步计算的单位“1”是解答连续求一个数的几分之几是多少的实际问题的关键。
易错点:比较积与第一个因数
乘．的．积．作．分．母．。．能．约．分．的．要．先．约．分．．,再．计．算．。．
3.整数可以看成分母是1
的分数,所以分数与整数相乘,也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的计算方法适用于分数与整数相乘。
四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及
分数连乘的计算方法
连续求一个数的几分之几是多少的解题方法:先
求出中间的间接量,再求出最后要求的量。
分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子,分母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再
计算。
五、积与因数的大小关系积与因数的大小关系:
a×b=c(a
不为
0),当
b>1
时,c>a;当
b<1
时,cb=1
时,c=a。
六、倒数的意义1.意义。
乘．积．是．1．的．两．个．数．互．为．倒．数．。．
2.理解“互为倒数”。
“互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,
不能单独说某个数是倒数。
七、求倒数的方法
观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点,发现
互为倒数的两个数,它们分子、分母的位置是互换的。
求一个数的倒数的方法。
求真分数、假分数的倒数,可以直．接．调．换．这．个．分．
的大小只考虑按第二个因数的大小进行判断,这是不对的,一定要注意前提条件是“第一个因数”不能为
0。
单独一个数不能称为倒数。因为互为倒数的两个数是相互依存的。
(
7
)
(
7
3
7
3
)注意:互为倒数的两个数不能用等号连接,即把一个数和它的倒数不能表示成相等关系。例如:求3
的倒数。可写成3→7或3的倒数是7,
而不能写成3=7。
7
3
数．的．分．子．、．分．母．的．位．置．。．
3
7
7
3
3
2
2
3
求一个整数(0
除外)的倒数,先把整数看作分母是1
的假分数,再调换这个分数分子、分母的位置。
求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分
子、分母的位置,也可以根据倒数的意义来找。
(
5
)
(
4
)例如:0.8
4
5,所以
0.8
的倒数是5,或
0.8×1.25=1,所以
0.8
的倒数是
1.25。
巧记:
学．习．倒．数．需．牢．记．．,相．互．关．系．不．可．弃．。．
两数相乘积为“1”,
4
求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换
．．．．．．．．．
子．母．颠．倒．即．完．毕．。．
(
因为
0
与任何数相乘都得
0
,没有一个数与
0
相乘的积是
1,所以
0
没有倒数。
16
3.特殊数的倒数。
(1
)
1
．
的
．
倒
．
数
．
是
．
1
．
。
．
因为
1×1=1
,所以
1
的倒数是
1。
(2
)
0
．
没
．
有
．
倒
．
数
．
。
．
3
5
1
的倒数是
3
。
分子、分母的位置。
)
三
分
数
除
法
一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方
法
分数除以整数的计算方法。
整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个
因数,求另一个因数的运算。
分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
(3)分．数．除．以．整．数．．(0．除．外．．)．,等．于．分．数．乘．这．个．整．数．的．倒．数．。．
整数除以分数的计算方法。
把除法转化为乘法,是由一种形式变换成另一种形式,而其本身的大小不变。
易错点:在进行计算时,把除号
变为乘号后忘记变为除数的倒数。如4÷2=4×2=
8
,应为4÷2=4×5=2。
整．数．除．以．分．数．．,等．于．整．数．乘．这．个．分．数．的．倒．数．。．
分数除以分数的计算方法。
分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。4.推导分数除法的计算方法。
5
5
5
举
5
25
5
5
5
2
利用商不变的规律进行推导。
例
:7÷14=
7
×
15
÷
14
×
15
=5÷1=5
被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为
1。
9
15
9
14
15
14
6
6
利用等式的基本性质进行推导。5.分数除法的计算方法。
甲．数．除．以．乙．数．．(0．除．外．．)．,等．于．甲．数．乘．乙．数．的．倒．数．。．
6.商与被除数的大小关系。
小于
1
的数→商大于被除数
被除数(0
除外)与商的大小关系取决于除数与
1
的大小关系。
技巧:
找出单位“1”的量。
一个数(0
除外)除以
1→商等于被除数
大于
1
的数→商小于被除数
看谁和单位“1”的量相比,找出比较量和比较量对应的几分之几。
(
3
,所以
16
16
3
3
例如:5
1
)二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解
题方法
已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这
个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”
注意:有时一道题中的单位“1”
不止一个,有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中有可能就不是单位“1”,
的量为
x,根据乘法的意义列方程解答。
可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据
数量之间的相等关系来列式。
(
应用题类型
结构特征
计算方法
单位“1”
比较量
比较量
对
应
的几分
之几
求一个数的几分之几
是多少
已知
未知
已知
乘法:单位“1”的量×
几分之几
=比较量
求一个数是另一个数的几分
之几
已知
已知
未知
除法:比较量÷单位“1”的量=
几分之几
已知一个数的几分之几是多少,求这个数
未知
已知
已知
除法:比较量÷几分之几=单位“1”的量方程:单位“1”的量×
几分之几
=比较量
)比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同:
三、分数连除和乘除混合运算1.乘除混合运算的计算方法。
计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为
乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
2.连除运算的计算方法。
计．算．分．数．连．除．时．．,先．把．其．中．的．除．法．转．化．为．乘．法．．,再．按．照．分．数．连．乘．的．方．法．进．行．计．算．。．
四、比的意义
比的意义及各部分名称。
(1)比的意义:两．个．数．相．除．又．叫．作．两．个．数．的．比．。．
(2)比的读、写方法。
(
2
)“比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,
两种形式的比都读“几比几”。如
3
比
2,写作
3∶2
或3,读
作3
比
2。
(3)比的各部分名称。
解题时要认真比较,找准几分之几对应的单位“1”,才能正确解答。
巧记:
解决问题并不难,读懂题意最关键。
重点找准单位“1”,画出线段破难关。
根据等量列方程,解答完毕要检验。
注意:计算分数连除时,一定要连续地乘除数的倒数,不要只把第一个除数变成它的倒数,其他除数只变符号不变数。
两个数的比可以表示两个数之间的倍数关系。如果汁有
2
杯,牛奶有
3
杯,果汁与牛奶杯数的
比是
2
比
3,可以理解为果汁有
2
(
3
)份,牛奶有
3
份;也可以理解为果汁的杯数相当于牛奶的2,牛奶的杯
(
2
)数相当于果汁的3。
两个数的比可以表示两个数相除。
举例:鱼缸里有
3
条红金鱼,5
条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量比
是
(
)
。
错解:3∶5
正解:5∶3
(
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第9页
比值是一个数,它可以是分数、小数或整数。
(
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(
第
14
页
)
(4)比是有序的。
求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,
后一个量是比的后项。
比值的意义和求法。
(1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。(2)求比值的方法:用．比．的．前．项．除．以．后．项．。．
比和比值的联系与区别。
比和比值的联系:都可以用分数形式表示。
(
b
)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比值是一个数值;②比只能写成
a∶b
或a的形式,而比值可以
注意:求两个不同单位的同类量的比,要先把单位统一。如小明看一本漫画书用了
1
小时,小东看
同一本漫画书用了
43
分钟,小明和小东所用的时间比是(
)。
错
解
:1∶43
正解:60∶43
因．为．除．数．和．分．母．都．不．能．为．0．．,所．以．比．的．后．项．也．不．能．为．0．。．
是分数、小数或整数。
比与分数、除法的关系。
联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分
数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分
数值、商。
区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运
算。
比与除法、分数之间的区别。
意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除
法是一种运算;分数则是一类数。
表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分
数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的
比。
结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计
算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。
反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的比和原来的比互成反比。如
3∶5
是
5∶3
的反比,5∶3也是
3∶5
的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。
7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为
前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如甲、乙两人的速度比是
3∶4,时间比是
5∶6,那么他们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比
比值的乘积。
8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如果甲与乙的比是
a∶b,乙与丙的比是
b∶c,那么甲、乙、丙三个量的比可以写作
a∶b∶c,a∶b∶c
就叫作甲、乙、丙三
知识巧记:
比的意义很重要,记忆方法有诀窍。
两数相除即为比,除号变点挺奇妙。
前项后项和比值,位置顺序不能调。
分数除法比相联,相互关系要记牢。
个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成
几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看
作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同的。
五、比的基本性质1.比的基本性质。
比．的．前．项．和．后．项．同．时．乘．或．除．以．相．同．的．数．．(0．除．外．．)．,比．值．不．变．。．这．是．比．的．基．本．性．质．。．
2.化简比。
(
∶
)比的前项和后项
化简比的方法:可以用求比值的方法化简比。
判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数
1。
(
2
6
)举例:化简比1∶1。
分数比
同时乘两分数分
错解:1∶1=
1
×
6
2
1
×
6
=3
(
2
6
)
(
6
)母的最小公倍数
正
解
:1∶1=
1
×
6
∶
1
×
6
=3∶1
整数比
2
6
2
6
小数比
比的前项和后项
的小数点向右移动相同的位数
易错点:误认为化简同类量的比时只要化为最简整数比就是正确的。一定要注意先统一单位,再
化简,但化简后的比不能有单位。如化简
0.8
L∶1.4
mL。
比的前项和后项
同时除以它们的最大公因数
整数比
最简单的
错解:4
L∶7
mL
正解:4000∶7
解答按比分配的问题时,一定要找准分配的总量和分配的份数。
化．简．比．的．结．果．是．一．个．比．．,不．是．一．个．数．。．
3.化简比与求比值的区别:
计算(化简)依据
方法
结果
化简比
比的基本性质
把比的前项和后项同时乘或除以相
同的数(0
除外)
是一个最简单的整数比
求比值
比的意义
用比的前项除以比的
后项
是一个数,
可以是分数、小数
或整数
六、按比分配问题的意义及解题方法
1.在．工．农．业．生．产．和．日．常．生．活．中．．,常．常．需．要．把．一．个．数．量．按．照．一．定．的．比．来．进．行．分．配．．,这．种．分．配．方．法．通．常．叫．作．按．比．分．配．。．
2.按比分配问题的解题方法。
(1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出
每份是多少;③求出各部分的数量。
如一个长方形的周长是
84
厘米,
长与宽的比是
4∶3,这个长方形的长和宽各是多少厘米?
因为周长是两个长与两个宽的和,所以应该先用周长
84
除以
2
后,再按比分配。
(
(2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②
再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分的数量。
3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题
方法都是相同的。
)
(
在保证满足总量的前提下,也
可以假设两种量分别是多少进行推理。
四
解决问题的策略
用假设的策略解决实际问题
在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般
的解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用“假
设”的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设
后数量关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中
一种量,再求另一种量。
)
五
分数四则混合运算
一、分数四则混合运算
分数四则混合运算的运算顺序。
分．数．四．则．混．合．运．算．的．运．算．顺．序．与．整．数．四．则．混．合．运．算．的．
运．算．顺．序．相．同．。．
在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的
顺序进行计算。
在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法
当算式中含有多个二级运算时,二级运算可以同时运算。如
(
×4+
×
)7
4
11
8
11
16
=7+1
或除法),后算一级运算(加法或减法)。
2
4
(
=
)在一个算式里,如果有括号,要先算小括号里面的,再算中
15
括号里面的,最后算中括号外面的。
4
分数四则混合运算的简便运算。
整．数．的．运．算．律．或．运．算．性．质．对．于．分．数．同．样．适．用．。．
①加法交换律:a+b=b+a
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
③乘法交换律:a×b=b×a
④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
⑤乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。
在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的
符号,如果是加号,括号里面不变号;如果是减号,括号里面加变减、减变加。
二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题
举例:计算5-3+1。错解:
5-3+1
(
=
-
)
(
6
5
5
)
(
6
5
5
)5
3
+
1
6
5
5
(
=
)
1
30
(
6
5
5
)正解:
5-3+1
=5-
3
‐
1
6
5
5
(
量时,可以列形如
a-a×
c
或
a×
1‐
c
的算式解题(
b
≠0)。
)
(
找准单位“1”是关键。
分析问题时,先抓住关
键词语,如是、比、多、少、
增加、减少、提高、降低、
扩大、缩小等,再根据题意
进行正确解答。
30
=
13
b
b
量时,可以列形如
a±a×
c
或
a×
1
±
c
的算式解题(
b
≠0)。
2
.
已知一个量及另一个量比它多(或少)几分之几,求另一个
b
b
1
.
已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部分
)
六
百
分
数
一、百分数的意义和读写方法
1.意义:一．个．数．是．另．一．个．数．的．百．分．之．几．的．数．．,叫．作．百．分．数．。．百．分．数．又．叫．作．百．分．比．或．百．分．率．。．
百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子
后面加上“%”来表示。
百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”;再
读百分号前面的数(分子),是几就读几。
分数与百分数的区别:
写“%”时,两个圈要写得小些,
以免与数字“0”混淆。
百分数读作“百分之几”,不读作“一百分之几”。
注意:百分数只表示两个数量间的倍比关系,不能用来表示具体的数量,后面不带单位名称。如把
20
千克写成
20%千克是错误的,
100
因为具体的数量不能用百分数表示。
分数
百分数
意义
分数是把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,它既可以表示两个数量间的倍比关系,又可以表示具体数
值
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。它只表示两个数量间的倍比关系
表现形式
分数的表现形式有真分数、假分数和带分数,计算结果一般要化成最简分数
百分数的分母固定是
100,并且用百分号表示;分子可以是整数或小数;分子可以大于分母,也可以小于或等于分母;百分数不能约分,也不能写成带分数的
形式
单位名称
如果表示具
当小数点向右移动两位时,得到的数就扩大到原来的
100
倍,再添上百分号,又缩小到得到的数的
1
,所以当添上百分号时,百分号100
前的数要扩大到原来的
100
倍。
不是所有的分数都能改写成分母是
100
的分数,只有能改写成有限小数的分数,才可以改写成分母是
100
的分数。
一个百分数去掉百分号后,所得到的数就扩大到原来的
100
倍。百分数化成分数要约分成最简分
数。百分数、小数、分数之间相互转化,只是数的表示方式发生变化,
数的大小不变。
举例:
判断:10
克糖溶解在
100
克水中,糖占糖水的
10%。(
)
错解:√
此题错在单位“1”(标准量)找错了。此题中的单位“1”应该是糖水的总质量,而不是水的质量。
正解:?
出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘
100%,公式只是分数形式,
乘
100%既保持数值不变,又是百
分数的形式。计算时,“100”参与计
体的数量,就
要带单位名
百分数只表示两
称;如果表示
个数量间的倍比
两个数量间
关系,后面不带单
的倍比关系,
位名称
就不带单位
名称
应用范围
分数主要是
百分数主要用于
在测量和计
日常生活中特定
算得不到整
的百分率及调
数结果时使
查、统计、分析
用
和比较
二、百分数和小数的互化
1.小．数．改．写．成．百．分．数．．,把．小．数．点．向．右．移．动．两．位．．,如．果．
位．数．不．够．．,用．．“0．．”补．位．．,同．时．在．后．面．添．上．百．分．号．。．
2.百．分．数．改．写．成．小．数．．,把．百．分．号．去．掉．．,同．时．把．小．数．点．
向．左．移．动．两．位．．,如．果．位．数．不．够．．,用．．“0．．”补．位．。．
3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具
体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如
一个数的
75%是
75
不能写成一个数的
0.75
是
75。又
如“求比
68
多
25%的数”和“求比
68
多
0.25
的数”的意义
完全不同。这是因为百分数是表示两个数的倍比关系,
而小数表示的是数值。如比
68
多
25%的数表示为
68×(1+25%),而比
68
多
0.25
的数表示为
68+0.25。
三、百分数和分数的互化
1.分．数．改．写．成．百．分．数．．,一．般．先．把．分．数．改．写．成．小．数．．(除．
不．尽．时．．,一．般．保．留．三．位．小．数．．)．,再．把．小．数．改．写．成．百．分．数．。．
2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成
分母是
100
的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分
数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,
把分子化成整数,再进行约分。
3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2
和
5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写
成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简
分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判断。
四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题
1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。
(1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就
是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因
此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一
个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除法
计算。
解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题,
用除法计算,用一．个．数．÷．另．一．个．数．。
求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位
“1”。
2.求简单的百分率。
求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数
是另一个数的百分之几。
常见的百分率。
出勤率=实际出勤人数×100%
应出勤人数
成活率=
成活棵数
×100%
种植总棵数
发芽率=
发芽种子数
×100%
试验种子总数
合格率=合格产品数×100%
产品总数
五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际
算,“%”保留。
出勤率、成活率、发芽率等生活中特定的百分率不能超过
100%。
巧记:
各种率,挺简单,计算形式记心
间。
除法结果是小数,最后化成百分数。
百分数实际问题的解题思路与分数实际问题的解题思路相同。求一个数比另一个数多(或少)百分之几,就是求两个数的差量占另一个数(单位“1”)的百分之几。
应缴纳营业税税额=营业额×
营业税税率
问题
求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方
法:．(甲．数．．-乙．数．．)÷．乙．数．或．甲．数．÷．乙．数．．-1．。
求甲数比乙数少百分之几的实际问题的解题方法:．(乙．数．．-甲．数．．)÷．乙．数．或．1．．-甲．数．÷．乙．数．。
3.解题关键:确．定．单．位．．“1．．”。
六、纳税和利息问题
应纳税额的计算方法。
求．应．纳．税．额．实．际．上．就．是．求．一．个．数．的．百．分．之．几．是．
多．少．．,用．乘．法．计．算．．,即．应．纳．税．额．=．收．入．额．×．税．率．。．
当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应
纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税
的部分,那么应纳税额÷税率=应纳税所得额,收入额=应纳税所得额+不纳税金额。
“本金”“利息”及“利率”的含义。
(1)本金:存．入．银．行．的．钱．叫．作．本．金．。．
注意:任何一种存款,在计算利息时,都要乘存入时间。如王叔叔把
2000
元存入银行,存期三年,年利率为
3.75%。到期后可得利息多少
元
?
应
是
2000×3.75%×3=225(元),而不是
2000×3.75%=75(元)。
易错点:误认为打几折就是减少(降低)百分之几。如一件上衣原价
180
元,现在打七折出售,比原价降低了多少元?列式为180×70%=126(元),这样是不对
(2)利息:取．款．时．银．行．除．还．给．本．金．外．．,另．外．付．的．钱．叫．作．利．息．．,也．叫．应．得．利．息．。．
(3)利率:利．息．占．本．金．的．百．分．率．叫．作．利．率．,按年计算的
的,只求出了现价,没有求出现价比原价降低了多少元,应为
180-180×70%=54(元)。
叫作年利率,按月计算的叫作月利率。
商品打折后,比原价降低的金
3.利息的计算方法。
额=原价-现价。
利息=本金×利率×时间
4.本息的计算方法。
本息=本金+利息
找准等量关系是列方程解决
七、折扣问题
实际问题的关键。
1.折扣问题的解题方法。
商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称
为打折出售。几．折．就．是．原．价．的．百．分．之．几．十．．,几．几．折．就．是．原．
价．的．百．分．之．几．十．几．。．
2.
“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的实
际问题的解题方法:可以列方程解答,先找出单位“1”的量,
并设为
x,再根据等量关系列方程。
3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。
通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成”就
是十分之一,改写成百分数就是
10%;“二成五”就是十分
之二点五,改写成百分数就是
25%。
八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题
1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。
在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1”为
x,先
找出题中的等量关系,再列方程解决问题。
2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时,还
要看清所要求的问题与单位“1”的关系。

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