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第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第1课时
学习目标
1.掌握等腰三角形的定义，利用定义解决问题；
2.掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性、相关性质及判定．
问题1：三角形是轴对称图形吗？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题2：什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
复习巩固
认识等腰三角形
探究新知
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
(
（
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
)
探究新知
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
探究新知
作等腰三角形
作一条直线l，在l上取一点A，在l外取一点B，作出点B关于直线l的对称点C，连接AB，BC，CA，则可得到一个等腰三角形．
l
A
B
C
探究新知
思考：（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
（4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的那些特征？说说你的理由.
探究新知
作等腰三角形
探究新知
因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．
学生通过折叠，发现折痕两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
等腰三角形是轴对称图形.
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
（简写成“等边对等角”）；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
探究新知
等腰三角形的性质1的证明：
证法1：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，
则BD＝CD．
　　　在△ABD和△ACD中，　　
AD＝AD，
AB＝AC，
BD＝CD，
　　　∴△ABD≌△ACD（SSS）．
　　　∴∠B＝∠C．
A
B
C
D
探究新知
证法2：如图，在△ABC中，AB＝AC，
　　　作顶角∠BAC的角平分线AD，
　　　∴∠1＝∠2．
　　　在△ABD和△ACD中，
AD＝AD，
AB＝AC，
∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C．
A
B
C
D
1
2
探究新知
几何语言表示：
在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
A
B
C
探究新知
性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC的中线．
求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC．
A
B
C
D
探究新知
证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD＝CD．
　　　在△ABD和△ACD中，
AD＝AD，
AB＝AC，
BD＝CD，
　　　∴△ABD≌△ACD（SSS）．
　　　∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC．
　　　∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
　　　∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．
A
B
C
D
探究新知
几何语言表示：
在△ABC中，
（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
　　 ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
（2）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
　　 ∴AD⊥BC，BD＝CD．
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC，
　　 ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
A
B
C
D
探究新知
探究新知
此图片是动画缩略图，本动画资源通过交互动画演示了随着等边三角形边的变化，三个内角的变化情况，得到等边三角形的三个内角相等，适用于等边三角形的性质的教学.若需使用，请插入【数学探究】等边三角形的性质.
1.定义：三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴
（2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下试试！
探究新知
2.等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形；
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.
等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.
探究新知
例1．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）若∠A＝70°，则∠B＝______，∠C＝_______．
（2）若一个角为30，则它的另外两内角分别
为 .
（3）若一角为100°，则它的另外两内角分别
为____________．
55°
55°
75°，75°或者30°，120°
40°，40°
典型例题
例2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
A
B
C
D
典型例题
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
　　∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
　　∠A＝∠ABD（等边对等角）．
　　设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
　　从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
　　于是在△ABC中，有
　　∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
　　解得x＝36°．
　　∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
A
B
C
D
典型例题
例3． 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC．
（1）若AD＝AE，如图①，试说明：BD＝CE；
（1）若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，试说明：AF⊥BC．
A
B
D
G
E
C
①
A
B
D
F
E
C
②
典型例题
解：（1）如图①，过A作AG⊥BC于G．
　　∵AB＝AC，AD＝AE，
　　∴BG＝CG，DG＝EG，
　　∴BG－DG＝CG－EG，
　　∴BD＝CE；
A
B
D
G
E
C
①
典型例题
（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，
　　∴BD＋DF＝CE＋EF，
　　∴BF＝CF．
　　∵AB＝AC，
　　∴AF⊥BC．
A
B
D
F
E
C
②
典型例题
1．（1）如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（ 　）．
A．100°　B．80°　C．70°　D．50°
A
B
C
D
A
随堂练习
（2）等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
随堂练习
（3）如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）．
A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线
C
随堂练习
（4）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）．
A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或50°
（5）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，有下列四个结论：
①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；
④ ．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
D
随堂练习
2.（1）一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为________
（2）一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为_______
（3）已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长.
10
10或11
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm，根据题意得：
2(x+2)+x=16
解得 x=4
∴等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠1＝∠2．
　　∵BD＝AD，∴∠B＝∠3．
　　又∵∠1＝∠B＋∠3，
　　∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°，
　　∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各内角的度数．
A
B
C
D
1
2
3
随堂练习
4.如图，P，Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.
A
P
B
C
Q
解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，
∴∠BAP=∠CAQ=30°．
∴∠BAC=120°．
随堂练习
5．如图，已知：在△ABC中，AB=AC， ∠ACD=110° ，求△ABC各内角的度数．
解：∵∠ACB和∠ACD是邻补角，
　　又∠ACD=110°
　　∴∠ACB=70°
　　∵AB=AC，
　　∴∠ABC=∠ACB=70°（等边对等角）
　　∴∠A＝180°-70°-70°=40°
A
B
C
D
随堂练习
随堂练习
6.已知AB＝AC，AD＝AE，且点B，D，E，C在同一直线上，求证：BD＝EC．
证明：证:1：作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BH＝CH，DH＝EH．
∴BH－DH＝CH－EH．
即BD＝EC．
随堂练习
证法2：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC，∴BD＝EC．
7． 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE．
解：∵△ABC中，AB＝AC，BD＝CD（已知），
　　∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
　　∴AD垂直平分线段BC，
　　∴点C和点B关于直线AD对称，
　　又∵点E在对称轴AD上，
　　∴BE＝CE（轴对称的性质）．
A
B
C
D
E
随堂练习
1．等腰三角形的性质
2．等边三角形的概念及性质
课堂小结
再见

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