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2.4.1 抛物线及其标准方程
感受生活中抛物线图形的例子
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比
是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e＜1
l
F
·
M
e＞1
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0复习
问题
当e=1时，它的轨迹是什么？
·
M
l
·
F
N
e=1
一、抛物线的定义
定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
F
M
·
·
即:当|MF|=d 时(d为M到l的距离)
点M的轨迹是抛物线　　　
经过点F且垂直于l 的直线
l
·
F
M
想一想? 当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
二、标准方程的推导
·
·
F
M
l
N
步骤：
(1)建系
(2)设点
(3)列式
(4)化简
(5)证明
想一想：求曲线方程的基本步骤是怎样的？
x
F
M
l
H
·
·
o
y
l
H
F
M
·
·
o
y
x
y
o
x
l
H
F
M
·
·
如何建立坐标系求抛物线的方程呢?
设点F到定直线l的距离为p
1、标准方程的推导
x
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设|KF|=p
设点M的坐标为(x，y)，
由定义可知，
化简得 y2 = 2px（p＞0）
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴
x
F
M
l
H
·
·
o
y
l
H
F
M
·
·
(1)y2=2px
(3)y2=2px+p2
o
y
x
y
o
x
l
H
F
M
·
·
(2)y2=2px-p2
如何建立坐标系求抛物线的方程呢?
设点F到定直线l的距离为p
把方程 y2 = 2px(p＞0)
叫做抛物线的标准方程
而p的几何意义是:
焦点到准线的距离(即焦准距)
p= |FK|
其中
K
O
l
N
F
x
y
.
2、标准方程
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有几种不同的形式?它们是如何建系的?
三、四种抛物线及其它们的标准方程
图形
焦点位置
标准方程
焦点坐标
准线方程
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
标准方程
抛物线的四种标准方程对比
2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?
左边都是系数为1的平方项，
右边都是一次项.
2、已知抛物线的标准方程是y2 = -6x ，则它的焦点坐标是__________,准线方程是__________.
3、已知抛物线的方程是y=4x2，则它的焦点坐标是__________,准线方程是__________.
应用：类题一(由方程求有关量)
1、已知抛物线的标准方程是y2 = 6x ，则它的焦点坐标是__________,准线方程是__________.
感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点:
1.先化为标准方程 2. 判断焦点的位置
是一次项系数的
是一次项系数 的相反数
1、焦点为F(-2，0)，则抛物线的标准方程为_______.
2、准线方程是y = -2，则抛物线的标准方程为_______.
3、焦点到准线的距离是4,则抛物线的标准方程为_________
y2=-8x
x2=8y
y2=±8x 、 x2=±8y
（1）
（2）
应用：类题二(由有关量求标准方程)
感悟 ：1.“定型”“定量”
2.如果焦点位置或者开口方向不定则要注意分类讨论.
例1、(1)已知抛物线的标准方程y2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程。
解：(1)因为2p=6，p=3，
F
O
l
x
y
.
例题讲解：
解： (2)因为焦点在y轴的负半轴上，
所以抛物线的方程是
x2=-8y
例1、(1)已知抛物线的标准方程y2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程。
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)；
(3)焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、y2 = -4x、x2 =4y或x2 = -4y
课堂练习：
P67练习1、2
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2=20x (2)x2= y
(3)2y2+5x=0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x= -5
（0，—）
1
16
y= - —
1
16
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
o
x
y
应用：类题二（由有关量求标准方程）
标准方程对应的抛物线焦点在坐标轴上.
分析:
4、求焦点在直线3x+4y-12=0上的抛物线的标准方程.
5、求过点A(-3，2)的抛物线的标准方程.
A
．
O
y
x
感悟：1.待定系数法 2.数形结合 3. 分类讨论
应用：类题二（由有关量求标准方程）
变式练习:
已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.
解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为y2=-2px(p>0)
由抛物线的定义知 -(-3)=5 即p=4.
所以所求抛物线标准方程为y2 = -8x
数形结合,用定义转化条件!
例3、点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
解：如图,设点M的坐标为(x,y),
依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.
∵焦点在x轴的正半轴上，
∴点M的轨迹方程为：y2=16x
l
l’
M
x
O
y
F
2、M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是———————
x0 + —
2
p
3、 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
A
1.已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值.
小结：
1、学习了一个概念------抛物线
2、学习了有关抛物线的标准方程和它的焦点坐标、准线方程的求法及有关应用
3、注重了一种思想－－数形结合
作业
P73习题2.4A组
1（3）（4）

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