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第9讲 容斥原理
1、火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
2、建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？
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五、本公司将结合广大用户和网友的举报，联合全国各地文化执法机关和相
关司法机关严厉打击侵权盗版行为，依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任！
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第9讲 容斥原理
1、火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？
解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份；
每分钟新来旅客：(5×30-6×20)÷(30-20)=3(份）
原有旅客为：(5-3)×30=60(份）
如果要使队伍10分钟消失需要：(60+10×3)÷10=9(个）
2、建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？
解：假设每人每天砌砖的块数为单位“1”。
每天运进砖的数量是：(36×24-40×20)÷(24-20)=16(份）
原有砖的数量：40×20-16×20=480(份）
原来派的工人数：
[480+16×(8+2)+5×2]÷(8+2)
=[480+16×10+5×2]÷(8+2)
=[480+160+10]÷10
=650÷10
=65(名）
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第9讲 容斥原理
【学习目标】
1、理解容斥原理的研究的范围；
2、掌握容斥原理的分析方法；
3、学会利用相关分析方法解题。
【知识梳理】
1、容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
2、常用工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号
3、常见题型：数论，几何。
【典例精析】
【例1】五年级的学生一共有42人，参加奥数补习的有30人，参加语文补习的有25人，所有五年级学生都至少补习奥数和语文中的一门。请问五年级中两门都补习的学生有多少人？
【趁热打铁-1】实验小学五年级一班共有40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种都采集的有多少人？
【例2】星星艺术团有32名同学，其中有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢琴都会的8人，既不会小提琴又不会弹钢琴的有多少人？
【趁热打铁-2】学校组织100名家长去香港旅游，其中有10人既不懂英语有不懂粤语，有75人懂英语，83人懂粤语。既懂英语又懂粤语的有多少人？
【例3】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【趁热打铁-3】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
【例4】奥斑马、小美、欧欧给100盆花浇水．奥斑马浇了78盆，小美浇了68盆，欧欧浇了85盆．那么，至少有______盆花被浇了三次水。
【趁热打铁-4】老师要求五位学生背诵常见的1000个英文单词．已知A生背对950个，B生背对925个，C生背对900个，D生背对875个，E生背对850个．那么在这1000个英文单词中至少有_______个单词五位学生全背对了。
【例5】有编号为1，2，3，…1000的1000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制．若将编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯线都各拉一下，这时，亮着的灯有________盏．
【趁热打铁-5】200盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、……、200.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏.
【例6】冬冬、阿奇和小悦用一根木棍做游戏，冬冬先用红笔在木棍上做标记，将木棍12等分；阿奇再用蓝笔在木棍上做标记，将木棍20等分；最后小悦用黑笔在木棍上做标记，将木棍30等分，此时按标记将木棍锯开，那么所锯成的小段共有______段．
【趁热打铁-6】一根30厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.
【例7】中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有 20 名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？
【趁热打铁-7】某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？
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第9讲 容斥原理
【学习目标】
1、理解容斥原理的研究的范围；
2、掌握容斥原理的分析方法；
3、学会利用相关分析方法解题。
【知识梳理】
1、容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
2、常用工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号
3、常见题型：数论，几何。
【典例精析】
【例1】五年级的学生一共有42人，参加奥数补习的有30人，参加语文补习的有25人，所有五年级学生都至少补习奥数和语文中的一门。请问五年级中两门都补习的学生有多少人？
30+25-42=13（人）
【趁热打铁-1】实验小学五年级一班共有40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种都采集的有多少人？
28+19-40=7（人）
【例2】星星艺术团有32名同学，其中有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢琴都会的8人，既不会小提琴又不会弹钢琴的有多少人？
32-（14+21-8）=5（人）
【趁热打铁-2】学校组织100名家长去香港旅游，其中有10人既不懂英语有不懂粤语，有75人懂英语，83人懂粤语。既懂英语又懂粤语的有多少人？
（75+83）-（100-10）=68（人）
【例3】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
5的倍数：100÷5=20(个)
6的倍数：100÷6≈16(个）.
5和6的倍数：100÷30≈3(个）
100-(20+16-3)=67(个）
【趁热打铁-3】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
5的倍数：200÷5=40(个)
8的倍数：200÷8=25(个）
5和8的倍数：200÷40=5(个）
200-(40+25-5)=140(个）
【例4】奥斑马、小美、欧欧给100盆花浇水．奥斑马浇了78盆，小美浇了68盆，欧欧浇了85盆．那么，至少有______盆花被浇了三次水。
（78+68+85）-（100+100）=31（盆）
【趁热打铁-4】老师要求五位学生背诵常见的1000个英文单词．已知A生背对950个，B生背对925个，C生背对900个，D生背对875个，E生背对850个．那么在这1000个英文单词中至少有_______个单词五位学生全背对了。
(950+925+900+875+850)-1000×4=500(个）
【例5】有编号为1，2，3，…1000的1000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制．若将编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯线都各拉一下，这时，亮着的灯有__499__盏．
2的倍数：1000÷2=500(盏）
3的倍数：1000÷3≈333(盏）
5的倍数：1000÷5=200(盏）
2.3的倍数：1000÷6≈166(盏）
2.5的倍数：1000÷10=100(盏）
3.5的倍数：1000÷15≈66(盏）
2、3、5的倍数：1000÷30≈33(盏）
266+133+67+33=499(盏）
【趁热打铁-5】200盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、……、200.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有_102__盏.
2的倍数：200÷2=100(盏）
3的倍数：200÷3≈66(盏）
5的倍数：200÷5=40(盏）
2.3的倍数：200÷6≈33(盏）
2.5的倍数：200÷10=20(盏）
3.5的倍数：200÷15≈13(盏）
2、3、5的倍数：200÷30≈6(盏）
54+27+7+14=102(盏）
【例6】冬冬、阿奇和小悦用一根木棍做游戏，冬冬先用红笔在木棍上做标记，将木棍12等分；阿奇再用蓝笔在木棍上做标记，将木棍20等分；最后小悦用黑笔在木棍上做标记，将木棍30等分，此时按标记将木棍锯开，那么所锯成的小段共有______段．
60÷12=5(cm) 60÷20=3(cm) 60÷30=2(cm)
12-1=11(条） 20-1=19(条） 30-1=29(条）
60÷（5×3)-1=3(条） 60÷(5×2)-1=5(条）
60÷(3×2)-1=9(条） 60÷(5×3×2)-1=1(条）
11+19+29-3-5-9+1+1=44(段）
【趁热打铁-6】一根30厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.
30÷2-1=14(条） 30÷3-1=9(条） 30÷5-1=5(条）
30÷(2×3)-1=4(条） 30÷(2×5)-1=2(条）
30÷(3×5)-1=1(条） 30÷(2×3×5)-1=0(条）
14+9+5-4-2-1+1=22(段）
【例7】中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有 20 名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？
15-(40-20-8)=3(人）
【趁热打铁-7】某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？
(120+80)+(120+80)-260=140(名)
140-75=65(名）
80-65=15(名）
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第9讲 容斥原理
1、四年级某班50人，做两题数学选择题，做对第一题的有36人，做对第二题的有24人，两题都对的18人，那么两题都没有做对的最多有_____人。
2、同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人，若两样都带的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有 人。
3、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成了多段？
4、小于1000的自然数中，是完全平方数而不是完全立方数的数有______个。
5、把1--200这200个自然数中，即不是3的倍数，又不是5的倍数的是，从小到大排成一排，那么其中第100个是 。
6、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
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第9讲 容斥原理
1、四年级某班50人，做两题数学选择题，做对第一题的有36人，做对第二题的有24人，两题都对的18人，那么两题都没有做对的最多有_____人。
50-（36+24-18）=8（人）
2、同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人，若两样都带的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有 人。
(80+70+6)÷3=52(1)
52×2=104(人）
3、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成了多段？
180÷3＋180÷4-180÷12=90（段）
4、小于1000的自然数中，是完全平方数而不是完全立方数的数有______个。
∵31 ＜1000＜32 ，10 =1000，1 =1 ，8 =4 ，27 =9
∴ 符合条件：31-3=28（个）
5、把1--200这200个自然数中，即不是3的倍数，又不是5的倍数的是，从小到大排成一排，那么其中第100个是 187 。
15以内3的倍数：3、6、9、12、15
15以内5的倍数：5、10、15
15以内既不是3的倍数又不是5的倍数：15-5-3+1=8（个）
100÷8=12……4
15×12=180
180以后第4个即是第100个：181、182、184、187.
∴是187.
6、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
解：不会游泳的有48-27=21(人）,
不会骑车的有48-33=15(人）,
不会打乒乓球的有48-40=8(人）,
至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44(人）,
全班三项运动都会的至少有：48-44=4(人）。
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第9讲 容斥原理
1、一个班有52人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手！”，有32人举手．又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有35人举手；最后问：“谁语文、数学作业都做完了？”有20人举手．那么这个班语文、数学作业都没有做完的有_____人。
2、在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100分的有8人，两科都得100分的有3人，那么全班50人中两科都不得100分的有 人。
3、100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有电脑没有手机的学生共有3人，则这100个学生中有手机但没有电脑的学生共有 人。
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第9讲 容斥原理
1、一个班有52人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手！”，有32人举手．又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有35人举手；最后问：“谁语文、数学作业都做完了？”有20人举手．那么这个班语文、数学作业都没有做完的有_5__人。
52-（32+35-20）=5（人）
2、在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100分的有8人，两科都得100分的有3人，那么全班50人中两科都不得100分的有 28 人。
50-（17+8-3）=28（人）
3、100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有电脑没有手机的学生共有3人，则这100个学生中有手机但没有电脑的学生共有 15 人。
88-（76-3）=15（人）
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