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沪科版九年级数学中考复习概率专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·新疆)下列事件中，是必然事件的是(　　)
A.
购买一张彩票，中奖
B.
通常温度降到0
℃以下，纯净的水结冰
C.
明天一定是晴天　　
D.
经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2.
(·自贡)下列成语描述的事件为随机事件的是(　　)
A.
水涨船高　　B.
守株待兔　　
C.
水中捞月　　D.
缘木求鱼
3.
(·阿坝州)对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是(　　)
A.
某市明天将有75%的时间下雨　　
B.
某市明天将有75%的地区下雨
C.
某市明天一定下雨　　
D.
某市明天下雨的可能性较大
4.
(·天水)下列说法正确的是(　　)
A.
不可能事件发生的概率为0
B.
随机事件发生的概率为
C.
概率很小的事件不可能发生
D.
投掷一枚质地均匀的硬币1
000次，正面朝上的次数一定是500
5.
(·兰州)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为(　　)
A.
20　　B.
24　　C.
28　　D.
30
6.
(·北京)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：①
当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是
0.616；②
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③
若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1
000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是(　　)
A.
①　　B.
②　　C.
①②　　D.
①③
7.
(·宜昌)九年级(1)班在参加学校4×100
m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为(　　)
A.
1
　　B.
　　C.
　　D.
8.
(·岳阳)从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
9.
(·绥化)从一副洗匀的普通扑克牌中随机抽取一张，则抽出红桃的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
10.
(·贵阳)某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①
互相关心；②
互相提醒；③
不要相互嬉水；④
相互比潜水深度；⑤
选择水流湍急的水域；⑥
选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
11.
(·包头)在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
12.
(·辽阳)如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在涂色区域的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　　　
13.
(·赤峰)小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，那么飞镖落在涂色部分的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
14.
(·南宁)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
15.
(·临沂)小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
16.
(·河南)如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
17.
(·湖州)一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
18.
(·泰安)袋内装有标号分别为1，2，3，4的四个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
19.
(·淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m－n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
20.
(·株洲)三名九年级同学坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
21.
(·永州)已知从n个人中选出m个人按照一定的顺序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)种．现某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学和一位老师共五人在毕业前合影留念(站成一行)．若老师站在中间，则不同的站位方法有(　　)
A.
6种　　B.
20种　　C.
24种　　D.
120种
二、
填空题
22.
(1)
(·泰州)一个不透明的袋子共装有三个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为“4”，这个事件是________；(填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)
(2)
(·随州)“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是________事件．(填“必然”“随机”或“不可能”)
23.
(·鸡西)在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球，3个黄球，2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是________．
24.
(·福建)一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取一个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是________．
25.
(·七台河)在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取一个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球________个．
26.
(·达州)从－1，2，3，－6这四个数中任选两个数，分别记作m，n，那么点(m，n)在函数y＝图象上的概率是________．
27.
(·通辽)毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，则卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是________．
28.
(·盘锦)对于?ABCD，从以下五个条件中任取一个作为条件：①
AB＝BC；②
∠BAD＝90°；③
AC＝BD；④
AC⊥BD；⑤
∠DAB＝∠ABC.能判定?ABCD是矩形的概率是________．
29.
(·镇江)如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是________．
　　　　
30.
(·盐城)如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是________．
31.
(·苏州)如图，在“3×3”网格中有3个涂色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂色，则完成的图案为轴对称图案的概率是________．
32.
(·葫芦岛)如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，若某人向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在涂色部分的概率是________．
　　　　
33.
(·成都)已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在涂色区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则的值为________．
34.
(1)
(·黔东南州)黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在
0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800
kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量是________kg；
(2)
(·营口)在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________．
35.
(·阿坝州)在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出一个球后不放回，再从中随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________．
36.
(·天门)有五张背面无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是________．
37.
(·南充)经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是________．
38.
(·杭州)一个不透明布袋里装有3个球(只有颜色不同)，其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是________．
39.
(·聊城)如果任意选择一对有序整数(m，n)，其中
|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是________．
40.
(·台州)三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签的方式重新确定出场顺序，则抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为________．
41.
(·襄阳)同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是________．
42.(·呼和浩特)我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代的发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对(x，y)(x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，那么据此可估计π的值为________．(用含m，n的式子表示)
三、
解答题
43.
(·眉山)一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球个数的2倍多40，从袋中任取一个球是白球的概率是.求：
(1)
袋中红球的个数；
(2)
从袋中任取一个球是黑球的概率．
44.
(·湘潭)从－2，1，3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．
(1)
写出该点所有可能的坐标；
(2)
求该点在第一象限的概率．
45.
(·六盘水)端午节当天，小明带了四个粽子(除味道不同外，其他均相同)，其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．
(1)
请你用画树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性；
(2)
请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．
46.
(·衡阳)为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目：A.
唐诗；B.
宋词；C.
论语；D.
三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)
小丽参加“单人组”比赛，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是________．
(2)
小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
47.
(·白银)在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两名同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形内为止)．
(1)
请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果；
(2)
分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
48.
(·日照)若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”(如13，35，56)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
(1)
写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
(2)
请用列表或画树状图的方法，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
49.
(·锦州)传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同．
(1)
小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为________．
(2)
若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．
50.
(·常德)甲、乙、丙三名同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表或树状图的方法列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率．
51.
(·连云港)为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋，投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
(1)
直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)
求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
52.
(·怀化)“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动，为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
(1)
用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队队长手势可能出现的情况．
(2)
裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
53.
(·营口)如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
(1)
从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率．
(2)
小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．(纸牌用A，B，C，D表示)
54.
(·毕节)由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采用转转盘(如图，转盘盘面被分为面积相等，且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域)的游戏方式决定谁胜谁去观看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘停止转动时，若两次指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；若两次指针对应盘面数字都是偶数，则小张胜；若两次指针对应盘面数字是一奇一偶，则视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．如果小王和小张按上述规则各转动转盘一次，那么
(1)
小王转动转盘，当转盘停止转动时，指针对应盘面数字为奇数的概率为________．
(2)
该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
55.
(·葫芦岛)随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)
这次统计共抽查了________名学生，在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为________；
(2)
将条形统计图补充完整；
(3)
该校共有1
500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生人数；
(4)
某天甲、乙两名同学都想从“微信”“QQ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
　
56.
(·东营)为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动)，九年级某班全班同学都参加了志愿服务活动，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制了以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)
求该班的人数；
(2)
请把折线统计图补充完整；
(3)
求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
(4)
小明和小丽参加了志愿服务活动，请用画树状图或列表的方法求出他们参加同一服务活动的概率．
答案
一、
B　
B　
D　
A　
D　
B　
D　
C　
B
C　
A　
B　
B　
C　
C　
C　
D　
B　
B　
D　
C
二、
(1)
不可能事件　(2)
随机　　
红球　
5　　　　　　　
(1)
560　(2)
15　　　　　　　　
三、
(1)
设口袋中的黑球有x个，则红球有(2x＋40)个，∴
口袋中白球的个数为290－x－(2x＋40)＝250－3x.根据题意，得＝，解得x＝80.此时2x＋40＝200.∴
袋中红球共有200个　(2)
从袋中任取一个球是黑球的概率为＝
(1)
画出如图所示的树状图，∴
所有可能的坐标为(1，3)，(1，－2)，(3，1)，(3，－2)，(－2，1)，(－2，3)　(2)
由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点(1，3)，(3，1)落在第一象限，∴
P(该点在第一象限)＝＝
(1)
记两个大枣味的粽子分别为A1，A2，两个火腿味的粽子分别为B1，B2.画树状图如图所示　(2)
由树状图可知，小红拿到的两个粽子一共有12种等可能的结果，其中小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的有(A1，A2)、(A2，A1)、(B1，B2)、(B2，B1)这4种结果，∴
P(小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的)＝＝
(1)
　(2)
画出如图所示的树状图，从树状图看出，小红和小明分别抽出不同的比赛项目共有12种等可能的结果，其中恰好小红抽中“唐诗(A)”且小明抽中“宋词(B)”的结果只有
1种，∴
P(恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”)＝
(1)
根据题意列表如下：
乙和甲
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
(2)
由表格可知，两数之和共有12种等可能的结果，其中和小于12的结果有(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，共6种，和大于12的结果有(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3种，∴
P(李燕获胜)＝＝，P(刘凯获胜)＝＝
(1)
根据题意，得所有个位数字是5的“两位递增数”有15，25，35，45，共4个　(2)
画出如图所示的树状图，从树状图看出，抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积共有15种等可能的结果，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果有3种，∴
P(个位数字与十位数字之积能被10整除)＝＝
(1)
分别用A，B，C表示枣馅粽，肉馅粽，花生馅粽，画出如图①所示的树状图，从树状图看出，小文吃前两个粽子的馅共有12种等可能的结果，其中小文吃前两个粽子刚好都是花生馅的有2种情况，∴
P(小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽)＝＝　(2)
会增大　理由：分别用A，B，C表示枣馅粽，肉馅粽，花生馅粽，画出如图②所示的树状图，从树状图看出，小文吃前两个粽子的馅共有20种等可能的结果，其中两个都是花生馅的有6种结果，∴
P(小文吃前两个粽子都是花生馅粽)＝>.∴
给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性会增大．
画出如图所示的树状图，从树状图看出，甲、乙、丙三名同学站成一排的位置次序一共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好相邻有4种结果：(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，∴
P(甲、乙两人相邻)＝＝
(1)
　(2)
画出如图所示的树状图，由树状图可知，甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，∴
P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)＝＝
(1)
画出如图所示的树状图，所有等可能的结果为(石头，石头)、(石头，剪刀)、(石头，布)、(剪刀，石头)、(剪刀，剪刀)、(剪刀，布)、(布，石头)、(布，剪刀)、(布，布)　(2)
裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的　理由：根据(1)得共9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有(石头，剪刀)、(剪刀，布)、(布，石头)，共3种，∴
P(甲获胜)＝＝；其中乙获胜的结果有(石头，布)、(剪刀，石头)、(布，剪刀)，共3种，∴
P(乙获胜)＝＝.∵
P(甲获胜)＝P(乙获胜)，∴
裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的．
(1)
在这四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D中，正面是中心对称图形的有B，C，D共3种，∴
P(摸到牌面图形是中心对称图形的纸牌)＝　(2)
公平　理由：画出如图所示的树状图，从树状图可以看出，小明、小亮分别摸出一张纸牌共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的有AB，AD，BA，BD，DA，DB这6种情况，即P(小明获胜)＝＝，∴
P(小亮获胜)＝1－＝.∴
这个游戏规则对小明、小亮双方是公平的．
(1)
　(2)
公平　理由：列表如下：
第二次结果第一次
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
从表中可以看出，一共有16种等可能的结果，其中两次指针所指数字都是偶数或都是奇数的共有4种结果，∴
P(小王胜)＝＝，P(小张胜)＝＝.∴
P(小王胜)＝P(小张胜)．∴
这个游戏对双方是公平的．
(1)
100　108°　(2)
最喜欢用短信的人数为100×5%＝5，最喜欢用微信的人数为100－20－5－30－5＝40，根据上述数据补图略　(3)
最喜欢用微信沟通的人数所占百分比为×100%＝40%，∴
估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有1
500×40%＝600(人)　(4)
画出如图所示的树状图，从树状图可以看出，甲、乙两名同学从三种沟通方式中选一种共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种沟通方式有(微信，微信)、(QQ，QQ)、(电话，电话)这3种情况，∴
P(甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式)＝＝
(1)
该班全部学生有12÷25%＝48(人)　(2)
48×50%＝24(人)，补充折线统计图如图所示　(3)
网络文明部分对应的圆心角的度数为360°×＝45°　(4)
分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：
小明结果小丽
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
从上述表格中可以看出，小明和小丽参加志愿服务活动共有16种等可能的情况，其中他们参加同一活动的有(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)这4种情况，∴
P(他们参加同一服务活动)＝＝沪科版九年级数学中考复习锐角三角函数与解直角三角形专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin
A的值为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
2.
(·阿坝州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　)
A.
msin
35°　　B.
mcos
35°　　C.
　　D.
　　　　
3.
(·湖州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos
B的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
4.
(·哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cos
B的值为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
5.
(·金华)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan
A的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
6.
(·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin
α的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　　　
7.
(·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于点D.下列选项中，错误的是(　　)
A.
sin
α＝cos
α　　B.
tan
C＝2　　
C.
sin
β＝cos
β　　D.
tan
α＝1
8.
(·云南)sin
60°的值为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
9.
(·天津)cos
60°的值为(　　)
A.
　　B.
1　　C.
　　D.
10.
(·聊城)在Rt△ABC中，cos
A＝，那么sin
A的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
11.
(·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13
m．若cos
α＝，则小车上升的高度是(　　)
A.
5
m　　B.
6
m　　C.
6.5
m　　D.
12
m
12.
(·天水)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos
B的值为(　　)
A.
　
　　B.
　　C.
　　D.
13.
(·广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H.若cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为(　　)
A.
　　B.
　　C.
1　　D.
　　　　
14.
(·黄石)如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，点O为圆心．若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径为(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
15.
(·黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE＋∠ACD等于(　　)
A.
60°　　B.
75°　　C.
90°　　D.
105°
　　　　
16.
(·滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则
tan∠DAC
的值为(　　)
A.
2＋　　B.
2　　C.
3＋
　　D.
3
17.
(·六盘水)三角形的两边a，b的夹角为60°，且满足方程x2－3x＋4＝0，则第三边的长是(　　)
A.
　　B.
2　　C.
2　　D.
3
18.(·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
19.(·泸州)如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则
tan∠BDE
的值是(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
20.
(·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则(　　)
A.
x－y2＝3　　　B.
2x－y2＝9　　
C.
3x－y2＝15　　D.
4x－y2＝21
二、
填空题
21.
(1)
(·大庆)计算：2sin
60°＝________；
(2)
(·陕西)计算：tan
38°15′≈________．(结果精确到0.01)
22.
(·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin
＝________．
23.
(·广州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan
A＝，则AB＝________．
24.
(·攀枝花)如图，在?ABCD中，CH⊥AD，垂足为H.若tan∠ABC＝2，且
AB＝2，则CH＝________．
25.
(·临沂)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，则?ABCD的面积是________．
26.
(·海南)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上．将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．
27.
(·包头)如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是________．
28.
(·宁波)如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°.将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．
29.
(·贵港)如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10.将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为________．
30.
(·无锡)在如图所示的正方形方格纸中，每个小方格都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD＝________．
31.
(·舟山)如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝________，….按此规律，写出
tan∠BAnC＝__________．(用含n的代数式表示)
32.
(·义乌)以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．
33.
(·凉山州)如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．
34.
(·通辽)如图，直线y＝－x－与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数的图象于点D.若AD＝AC，则点D的坐标为____________．
35.
(·自贡)如图，等腰三角形ABC内接于⊙O.若AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，CD＝，则
AD＝________．
36.
(·随州)如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上一动点，N(3，0)是OB上一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为____________．
37.
(·威海)如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为________．
38.
(·龙东五市)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是________________．
39.
(·株洲)如图，直线y＝x＋与x轴，y轴分别交于点A，B.当直线绕点A顺时针旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度是________．
40.
(·山西)一副三角尺按如图所示的方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4
cm，则EF的长为____________cm.
41.
(·绵阳)如图，过锐角三角形ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M，使得AM＝AF，连接CM并延长交直线DE于点H.若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是________．
三、
解答题
42.
(·福建)小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.994
5，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.001
8，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.987
3，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.000
0，
sin245°＋sin245°＝＋＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.
(1)
当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．
(2)
小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
43.
(·包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.求：
(1)
AD的长；
(2)
四边形AEDF的周长．
44.
(·上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)
求sin
B的值；
(2)
现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架DE的长．
45.
(·广州)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2.
(1)
利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)
若△ADE的周长为a，先化简T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值．
46.
(·宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H四点，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.
(1)
求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)
若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
47.
(·广安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D.
(1)
求证：直线AE是⊙O的切线；
(2)
若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝，CF＝，求BF的长．
48.
(·武汉)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
(1)
求证：AO平分∠BAC；
(2)
若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．
49.
(·包头)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB.
(1)
求证：AE·EB＝CE·ED；
(2)
若⊙O的半径为3，OE＝2BE，＝，求tan∠OBC的值及DP的长．
50.
(·宁夏)在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点
P分别作
PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M，N.
(1)
求证：不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于△ABC一边上的高．
(2)
当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大？并求出最大值．
51.(·赤峰)如图①，在△ABC中，设∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则sin
C＝，即AD＝AC·sin
C，则S△ABC＝BC·AD＝·BC·ACsin
C＝ab
sin
C，∴
S△ABC＝ab
sin
C．同理，S△ABC＝bc
sin
A，S△ABC＝ac
sin
B.
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理——余弦定理：
如图②，在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos
A,
b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C.
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
(1)
如图③，在△DEF中，∠F＝60°，∠D，∠E的对边分别长3和8.求S△DEF和DE2.
S△DEF＝EF·DF
sin
F＝________；
DE2＝EF2＋DF2－2EF·DF
cos
F＝________．
(2)
如图④，在△ABC中，AC>BC，∠C＝60°，△ABC′，△BCA′，△ACB′分别是以AB，BC，AC为边的等边三角形．设△ABC，△ABC′，△BCA′，△ACB′的面积分别为S1，S2，S3，S4，求证：S1＋S2＝S3＋S4.
52.
(·镇江)【回顾】
如图①，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为________；
【探究】
如图②是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图③)，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin
75°＝.小军用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH(如图④)，也推出sin
75°＝.
请你写出小明或小军推出sin
75°＝的具体说理过程．
1.
锐角三角函数与解直角三角形
一、
B　
A　
A　
A　
A　
C　
C　
B　
D
B　
A　
B　
D　
D　
C　
A　
A
A　
A　
B
二、
(1)
　(2)
2.03　　
17　
4　
24　　　　　
3　　
　
2　
4　
(－3，2)　
4　　　
21或15　　
(＋)　
8－
三、
(1)
当α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝＋＝＋＝1　(2)
小明的猜想成立　如图，设在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则∠B＝90°－α，∴
sin2α＋sin2(90°－α)＝＋＝＝＝1
(1)
∵
∠C＝90°，∠B＝30°，∴
∠CAB＝60°.∵
AD是△ABC的角平分线，∴
∠CAD＝∠CAB＝30°.∵
在
Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，CD＝3，∴
AD＝2CD＝6　(2)
∵
DE∥BA，DF∥CA，∴
∠CDE＝∠B＝30°，∠EAD＝∠ADF，四边形AEDF是平行四边形．∵
AD平分∠CAB，∴
∠EAD＝∠DAF.∴
∠ADF＝∠DAF.∴
AF＝DF.∴
?AEDF是菱形．∴
AE＝DE＝DF＝AF.∵
在Rt△CED中，CD＝3，∠CDE＝30°，∴
DE＝＝2.∴
四边形AEDF的周长为2×4＝8
(1)
∵
BC＝18米，D是BC的中点，∴
BD＝DC＝9米．∵
AD⊥BC,
AD＝6米，∴
在Rt△ABD中，AB＝＝＝3(米)．∴
sin
B＝＝＝　(2)
∵
BE＝2AE，∴
＝.∵
AD⊥BC，EF⊥BC，∴
EF∥AD.∴
△BEF∽△BAD.∴
＝＝＝，即＝＝.∴
EF＝4，BF＝6.∴
DF＝3.∴
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5
(1)
如图，DE即为所求　(2)
∵
DE垂直平分AC，∴
DE⊥AC，AE＝AC＝.∵
在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴
DE＝AE·tan
30°＝1，AD＝＝2.∴
△ADE的周长a＝1＋2＋＝3＋.∵
T＝(a＋1)2－a(a－1)＝3a＋1，∴
当a＝3＋时，T＝3×(3＋)＋1＝10＋3
(1)
∵
四边形ABCD是矩形，∴
AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.∴
∠EAH＝∠GCF＝90°.∵
BF＝DH，∴
AH＝CF.∵
AE＝CG，∴
△EAH≌△GCF(SAS)．∴
EH＝GF.同理，EF＝GH.∴
四边形EFGH为平行四边形　(2)
在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x＋1.在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴
BE＝BF.∵
BF＝DH，∴
DH＝BE＝x＋1.∴
AH＝AD＋DH＝x＋2.∵
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴
＝2.∴
AH＝2AE.∴
2＋x＝2x，解得x＝2.∴
AE＝2
(1)
∵
AB是⊙O的直径，∴
∠ACB＝90°.∴
在△ACB中，∠B＋∠CAB＝90°.∵
∠EAC＝∠D，∠D＝∠B，∴
∠EAC＋∠CAB＝90°，即∠BAE＝90°.∴
BA⊥AE.∴
直线AE是⊙O的切线　(2)
∵
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴
AB＝2BC＝2×4＝8.由勾股定理，得CA＝＝4.如图，连接BD.∵
AB是⊙O的直径，∴
∠ADB＝90°.∵
在Rt△ADB中，cos∠BAD＝＝，∴
＝.∴
AD＝6.由勾股定理，得BD＝＝2.∵
∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，∴
△DFB∽△AFC.∴
＝.∵
CF＝，∴
＝.∴
BF＝
(1)
如图，延长AO交BC于点H，连接OB.∵
AC＝AB，OC＝OB，∴
点A，O在线段CB的中垂线上．∴
OA⊥CB.∵
AC＝AB，∴
AO平分∠BAC　(2)
如图，过点D作DK⊥AO于点K.∵
由(1)，知OC＝OB，AO⊥BC，BC＝6，∴
BH＝CH＝BC＝3，∠COH＝∠BOC.∵
∠BAC＝∠BOC，∴
∠COH＝∠BAC.∵
在Rt△COH中，∠OHC＝90°，CH＝3，∴
sin∠COH＝＝＝.∴
CO＝AO＝5.∴
OH＝＝4.∴
AH＝AO＋OH＝4＋5＝9.在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，AH＝9，CH＝3，∴
tan∠CAH＝＝，AC＝＝＝3.由(1)，知∠CAH＝∠BAH，∴
tan∠BAH＝tan∠CAH＝.设DK＝3a，则在
Rt△ADK中，AK＝9a.在Rt△DOK中，∵
tan∠DOK＝tan∠COH＝，∴
OK＝4a，OD＝5a.∴
AO＝OK＋AK＝13a＝5.∴
a＝，OD＝5a＝.∴
CD＝OC＋OD＝5＋＝
(1)
如图，连接AD.∵
∠A＝∠BCD，∠AED＝∠CEB，∴
△AED∽△CEB.∴
＝.∴
AE·EB＝CE·ED
(2)
∵
⊙O的半径为3，∴
OA＝OB＝OC＝3.∵
OE＝2BE，∴
OE＝2，BE＝1，AE＝5.由＝，可设CE＝9x，DE＝5x(x>0)．∵
AE·EB＝CE·ED，∴
5×1＝9x·5x，解得x＝.∴
CE＝9x＝3，DE＝5x＝.如图，过点C作CF⊥AB于点F.∵
OC＝CE＝3，∴
OF＝EF＝OE＝1.∴
BF＝2.∴
CF＝＝2.∵
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，∴
tan∠OBC＝＝＝.∵
CF⊥AB于点F，∴
∠CFB＝90°.∵
BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴
∠EBP＝90°.∴
∠CFB＝∠EBP.在△CFE和△PBE中，∴
△CFE≌△PBE.∴
EP＝EC＝3.∴
DP＝EP－ED＝3－＝
(1)
如图，连接AP，过点C作CD⊥AB于点D，则CD是△ABC的边AB上的高．∵
△ABC是等边三角形，∴
AB＝AC.∵
S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，∴
AB·CD＝AB·PM＋AC·PN，即AB·CD＝AB·PM＋AB·PN，∴
PM＋PN＝CD.因此不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于△ABC一边上的高　(2)
设BP＝x，则CP＝2－x.∵
△ABC是等边三角形，∴
∠B＝∠C＝60°.∵
CD⊥AB，∴
CD＝CB·sin
60°＝2×＝.∵
PM⊥AB，PN⊥AC，∴
BM＝
BP·cos
60°＝x，PM＝
BP·sin
60°＝x，CN＝
CP·cos
60°＝(2－x)，PN＝CP·sin
60°＝(2－x)．∴
S四边形AMPN＝S△ABC－S△BMP－S△CNP＝×2×－×x×x－×(2－x)×(2－x)＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋.∴
当BP＝1时，四边形AMPN的面积最大，最大是
(1)
6　49　(2)
方法1：∵
∠ACB＝60°，∴
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
60°＝AC2＋BC2－AC·BC.两边同时乘sin
60°，得AB2sin
60°＝AC2sin
60°＋BC2sin
60°－AC·BCsin
60°.∵
△ABC′，△BCA′，△ACB′是等边三角形，∴
S1＝AC·BCsin
60°，S2＝AB2sin
60°，S3＝BC2sin
60°，S4＝AC2sin
60°.∴
S2＝S4＋S3－S1.∴
S1＋S2＝S3＋S4.方法2：令∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，∴
S1＝ab
sin∠ACB＝ab
sin
60°＝ab.∵
△ABC′，△BCA′，△ACB′是等边三角形，∴
S2＝c·c·sin
60°＝c2，S3＝a·a·sin
60°＝a2，S4＝b·b·sin
60°＝b2.∴
S1＋S2＝(ab＋c2)，S3＋S4＝(a2＋b2)．∵
c2＝a2＋b2－2ab·cos∠ACB＝a2＋b2－2ab·cos
60°，∴
a2＋b2＝c2＋ab.∴
S1＋S2＝S3＋S4
3　小明的说理过程如下：如图①，设图形内部四边形的顶点为P，Q，M，N，过点A作AK⊥BC于点K.由拼图知，四边形PQMN是矩形．在Rt△ABP中，∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AP＝a，∴
AB＝2a，BP＝a.在Rt△BCQ中，∠BQC＝90°，∠CBQ＝45°，∴
BQ＝CQ＝b，BC＝b.在Rt△ABK中，∠AKB＝90°，∠ABK＝75°，AB＝2a，∴
AK＝sin
75°×AB＝2a·sin
75°.∵
AD＝BC，AB＝DC，∴
四边形ABCD是平行四边形．∴
S?ABCD＝BC·AK＝2ab·sin
75°.又∵
S?ABCD＝2S△ABP＋2S△BCQ＋S矩形PQMN＝a2＋b2＋(a－b)(b－a)＝(＋1)ab，∴
2ab·sin
75°＝(＋1)ab.∴
sin
75°＝＝
小军的说理过程如下：如图②，设图形内部四边形的顶点为P，Q，M，N，作NK⊥PQ于点K.由拼图知，四边形EFGH是矩形．在Rt△PNE中，∠PEN＝90°，∠PNE＝30°，PE＝a，∴
PN＝2a，NE＝a.在Rt△PFQ中，∠PFQ＝90°，∠FPQ＝45°，∴
PF＝QF＝b，PQ＝b.在Rt△PNK中，∠PKN＝90°，∠NPK＝180°－60°－45°＝75°，∴
NK＝sin
75°×PN＝2a·sin
75°.∵
PQ＝MN，PN＝QM，∴
四边形PQMN是平行四边形．∴
S?PQMN＝PQ·NK＝2ab·sin
75°.又∵
S矩形EFGH＝2S△PNE＋2S△PFQ＋S?PQMN＝a2＋b2＋2ab·sin
75°，S矩形EFGH＝FG·EF＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2＋(＋1)ab，∴
a2＋b2＋2ab·sin
75°＝a2＋b2＋(＋1)ab.∴
sin
75°＝＝沪科版九年级数学中考复习统计专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·西宁)下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是(　　)
A.
了解西宁电视台“教育在线”栏目的收视率
B.
了解青海湖斑头雁种群数量
C.
了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量
D.
了解某班同学跳绳的成绩
2.
(·重庆)下列调查中，最适合采用抽样调查的是(　　)
A.
对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查
B.
对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查
C.
对某校九年级三班学生视力情况的调查
D.
对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查
3.
(·内江)为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是(　　)
A.
随机抽取100位女性老人　　
B.
随机抽取100位男性老人
C.
随机抽取公园内100位老人　　
D.
在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人
4.
(·毕节)为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为(　　)
A.
1
250条
　　B.
1
750条
　　
C.
2
500条
　　D.
5
000条
5.
(·安徽)为了解某校学生今年“五一”期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1
000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生人数大约是(　　)
A.
280　　B.
240　　C.
300　　D.
260
6.
某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如下表所示，则下列说法正确的是(　　)
年　级
七年级
八年级
九年级
合格人数
270
262
254
A.
七年级的合格率最高
B.
八年级的学生人数为262
C.
八年级的合格率高于全校的合格率
D.
九年级的合格人数最少
7.
(·通辽)空气是混合物，为直观介绍空气中各成分的百分比，最适合用的统计图是(　　)
A.
折线图　　B.
条形图　　C.
直方图　D.
扇形图
8.
(·温州)某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有(　　)
A.
75人　　B.
100人　　C.
125人　　D.
200人
9.
(·呼和浩特)如图是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图．观察统计图获得以下信息，其中错误的是(　　)
A.
2010年至2014年间工业生产总值逐年增加
B.
2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元
C.
2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同
D.
从2011年至2014年，每一年与前一年比，2014年的增长率最大
10.
(·宜宾)某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间的关系如图所示，下列说法不正确的是(　　)
A.
参加本次植树活动的共有30人　　
B.
每人植树量的众数是4棵
C.
每人植树量的中位数是5棵　　
D.
每人植树量的平均数是5棵
11.
(·百色)九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的扇形的圆心角度数是(　　)
A.
45°　　B.
60°　　C.
72°　　D.
120°
12.
(·六盘水)国产大飞机C919用数学建模的方法预测的价格是(单位：美元)：5
098，5
099，5
001，5
002，4
990，4
920，5
080，5
010，4
901，4
902，这组数据的平均数是(　　)
A.
5
000.3　　B.
4
999.7　　C.
4
997
　　D.
5
003
13.
(·聊城)为了满足顾客的需求，某商场将5
kg奶糖，3
kg酥心糖和2
kg水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，水果糖为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克(　　)
A.
25元　　B.
28.5元　　C.
29元　　D.
34.5元
14.
(·郴州)在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七名同学植树的棵数分别为3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是(　　)
A.
3，2　　B.
2，3　　C.
2，2　　D.
3，3
15.
(·泰安)某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人　数
4
16
15
9
6
则他们捐款金额的中位数和平均数分别是(　　)
A.
10元，20.6元　　B.
20元，20.6元　　
C.
10元，30.6元　　D.
20元，30.6元
16.
(·常德)如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是(　　)
A.
30
℃，28
℃　　B.
26
℃，26
℃　　
C.
31
℃，30
℃　　D.
26
℃，22
℃
17.
(·安顺)如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是(　　)
A.
16小时，10.5小时　　B.
8小时，9小时　　
C.
16小时，8.5小时　　D.
8小时，8.5小时
18.
(·毕节)对一组数据：－2，1，2，1，下列说法不正确的是(　　)
A.
平均数是1
　　B.
众数是1　　
C.
中位数是1
　　D.
极差是4
19.
(·南充)某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到的结果如下表：
成绩/分
36
37
38
39
40
人　数
1
2
1
4
2
下列说法正确的是(　　)
A.
这10名同学体育成绩的中位数为38分　　
B.
这10名同学体育成绩的平均数为38分
C.
这10名同学体育成绩的众数为39分　　
D.
这10名同学体育成绩的方差为2分2
20.
(·枣庄)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数/cm
185
180
185
180
方差/cm2
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(　　)
A.
甲　　B.
乙　　C.
丙　　D.
丁
21.
(·潍坊)甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如下表所示，丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选(　　)
甲
乙
平均数/环
9
8
方差/环2
1
1
　第21题
A.
甲　　B.
乙　　C.
丙　　D.
丁
22.
(·德州)某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下表：
尺码/码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是(　　)
A.
平均数　　B.
方差　　C.
众数　　D.
中位数
23.
(·盘锦)在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的(　　)
A.
众数　　B.
方差　　C.
平均数　　D.
中位数
24.
(·南通)一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是(　　)
A.
平均数　　B.
中位数　　C.
众数　　D.
方差
25.
(·宁波)若一组数据：2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为(　　)
A.
2　　B.
3　　C.
5
　　D.
7
26.
(·牡丹江)一组数据：1，5，7，x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是(　　)
A.
6　　B.
5　　C.
4.5　　D.
3.5
27.
(·鸡西)一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，唯一的众数是4，则该组数据的平均数是(　　)
A.
3.6　　B.
3.8　　
C.
3.6或3.8　　D.
4.2
28.
(·舟山)已知一组数据：a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据：a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是(　　)
A.
3，2　　B.
3，4　　C.
5，2　　D.
5，4
29.
(·镇江)根据下表中的信息解决问题：
数　据
37
38
39
40
41
频　数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有(　　)
A.
3个　　B.
4个　　C.
5个　　D.
6个
30.(·泰州)某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：160，165，170，163，167.增加1名身高为165
cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是(　　)
A.
平均数不变，方差不变　B.
平均数不变，方差变大
C.
平均数不变，方差变小　D.
平均数变小，方差不变
二、
填空题
31.
(·贺州)为了调查某市中小学生对“营养午餐”的满意程度，适合采用的调查方式是________．(填“普查”或“抽样调查”)
32.
(·常德)彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷________千克．
33.
(·益阳)学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12，频率为0.25，那么被调查的学生人数为________．
34.
(·玉林)如图是小强根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱“体育”节目的人数是________．
35.
(·大庆)已知一组数据：3，5，x，7，9的平均数为6，则x＝________．
36.
(·张家界)某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级(1)班50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表：
植树棵数
3
4
5
6
人　数
20
15
10
5
那么这50名学生平均每人植树________棵．
37.
(·新疆)某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的抓饭，如图是该餐厅某月销售抓饭情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售抓饭的平均单价为________元．
38.
(1)
(·沈阳)一组数据：2，3，5，5，6，7的中位数是________；
(2)
(·扬州)为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为________分；
(3)
(·重庆)某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是________个．
39.
(1)
(·岳阳)在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是________，众数是________；
(2)
(·咸宁)小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：
步数/万
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
天　数
3
7
5
12
3
在这组数据中，众数和中位数分别是________．
40.
(·绥化)在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9，则这位选手五次射击环数的方差为________．
41.
(·长沙)甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S＝1.2米2，S＝0.5米2，则在本次测试中，________同学的成绩更稳定．(填“甲”或“乙”)
42.
(·辽阳)甲、乙、丙、丁四名射击运动员分别连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表：
甲
乙
丙
丁
平均成绩/环
8.6
8.4
8.6
7.6
方差/环2
0.94
0.74
0.56
1.92
如果选一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应选择的运动员是________．
43.
(1)
(·黔西南州)若一组数据：3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的众数是________；
(2)
(·江西)已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是________．
44.
(·温州)数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是____________．
三、
解答题
45.
(·德州)随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况(选项：A.
和同学亲友聊天；B.
学习；C.
购物；D.
游戏；E.
其他)，端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表(部分信息未给出)：
选　项
A
B
C
D
E
频　数
10
n
5
p
5
频　率
m
0.2
0.1
0.4
0.1
第45题
根据以上信息解答下列问题：
(1)
这次被调查的学生有多少人？
(2)
求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
(3)
若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人．并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议．
46.
(·河南)为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学．根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表.
组　别
分组(单位：元)
人　数
A
0≤x<30
4
B
30≤x<60
16
C
60≤x<90
a
D
90≤x<120
b
E
x≥120
2
　
请根据以上图表，解答下列问题：
(1)
填空：这次被调查的同学共有________人，a＋b＝________，m＝________；
(2)
求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
(3)
该校共有学生1
000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x<120范围的人数．
47.
(·宁波)大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”“御龙”“甬岱”“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗的成活率为80%，并把实验数据绘制成下面两幅统计图(部分信息未给出)：
300尾鱼苗中四个品种
的鱼苗数扇形统计图
(1)
求实验中“宁港”品种鱼苗的数量．
(2)
求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图．
(3)
你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．
48.
(·福建)自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
累计车费/元
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
人　数
5
15
10
30
25
15
(1)
写出a，b的值．
(2)
已知该校有5
000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5
800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
49.
(·宜昌)YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现随机抽取某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格：
时　间
需要租用自行车却未租到车的人数
第一天7：00～8：00
1
500
第二天7：00～8：00
1
200
第三天7：00～8：00
1
300
第四天7：00～8：00
1
300
第五天7：00～8：00
1
200
请回答下面的问题：
(1)
表格中的五个数据(人数)的中位数是多少？
(2)
由随机抽样估计，平均每天在7：00～8：00需要租用公共自行车的人数是多少？
50.
(·齐齐哈尔)为养成学生课外阅读的习惯，各学校普遍开展了“我的梦·中国梦”课外阅读活动，某校为了解七年级1
200名学生课外日阅读所用时间情况，从中随机抽查了部分同学，进行了相关统计，整理并绘制出如下不完整的频数分布表和频数分布直方图，请根据图表信息解答下列问题：
(1)
表中a＝________，b＝________；
(2)
请补全频数分布直方图中空缺的部分；
(3)
样本中，学生日阅读所用时间的中位数落在第____组；
(4)
请估计该校七年级学生日阅读量不足1小时的人数.
组
别
时间/小时
频
数
频
率
1
0≤x<0.5
10
0.05
2
0.5≤x<1.0
20
0.10
3
1.0≤x<1.5
80
b
4
1.5≤x<2.0
a
0.35
5
2.0≤x<2.5
12
0.06
6
2.5≤x<3.0
8
0.04
第50题
51.
(·绵阳)红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下表(单位：颗)：
182
195
201
179
208
175
193
200
203
188
188
186
198
202
221
204
186
192
210
204
197
212
207
185
206
199
219
208
187
224
(1)
对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中的空格，并完善频数分布直方图.
谷粒颗数
175≤
x<185
185≤
x<195
195≤
x<205
205≤
x<215
215≤
x<225
频　数
8
10
3
对应扇形
图中区域
D
E
C
在如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为________°，扇形B对应的圆心角为________°；
(2)
该试验田中大约有3
000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？
52.(·百色)甲、乙两名运动员的射击成绩(靶心为10环)统计如下表(不完全)：
次数环数运动员
1
2
3
4
5
甲
10
8
9
10
8
乙
10
9
9
a
b
某同学计算出了甲的成绩平均数是9环，方差是S＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.8(环2)，请作答：
(1)
在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；
(2)
若甲、乙射击成绩平均数一样，则a＋b＝________；
(3)
在(2)的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a，b的所有可能的取值，并说明理由．
答案
一、
D　
D　
D　
A　
A　
D　
D　
D　
D
D　
C　
A　
C　
B　
D　
B　
B　
A　
C　
A　
C　
C　
D　
D　
C
C　
C　
B　
C　
C
二、
抽样调查　
24
000　
48　
10　
6　
4
17　
(1)
5　(2)
135　(3)
183　
(1)
92　95　(2)
1.4万，1.35万　
2环2　
乙　
丙　
(1)
4　(2)
5　
4.8或5或5.2
三、
(1)
从选项C可看出，这次被调查的学生有5÷0.1＝50(人)　(2)
m＝＝0.2，n＝0.2×50＝10，p＝0.4×50＝20，补全图形如图所示　(3)
估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的学生有800×(0.1＋0.4)＝800×0.5＝400(人)　根据以上调查结果，建议不唯一，如中学生要将手机多用于学习
(1)
由于B组的人数是16，对应的百分比是32%，∴
被调查的同学共有16÷32%＝50(人)．此时b＝50×16%＝8，a＝50－4－16－8－2＝20，a＋b＝8＋20＝28.A组所占的百分比是＝8%，即m＝8　(2)
扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝144°　(3)
每月零花钱的数额x在
60≤x<120范围的有1
000×＝560(人)
(1)
实验中“宁港”品种鱼苗有300×(1－30%－25%－25%)＝60(尾)　(2)
实验中“甬岱”品种鱼苗有300×30%×80%＝72(尾)，补全条形统计图略　(3)
“宁港”　理由：“宁港”品种鱼苗的成活率为×100%＝85%,
“御龙”品种鱼苗的成活率为×100%≈74.7%,
“象山港”品种鱼苗的成活率为×100%＝80%，∴
“宁港”品种鱼苗的成活率最高，应选“宁港”品种进行推广．
(1)
a＝0.9＋0.3＝1.2，b＝1.2＋0.2＝1.4　(2)
不能获利
理由：根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为×(0×5＋0.5×15＋0.9×10＋1.2×30＋1.4×25＋1.5×15)＝1.1(元)，∴
估计5
000名师生一天使用A品牌共享单车的费用为
5
000×1.1＝5
500(元)．∵
5
500<5
800，∴
收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
(1)
表格中5个数据按从小到大的顺序排列为1
200，1
200，1
300，13
00，15
00，∴
中位数是1
300　(2)
平均每天需要租用公共自行车却未租到车的人数为(1
500＋1
200＋1
300＋1
300＋1
200)÷5＝1
300.∵
YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，∴
平均每天需要租用公共自行车的人数是1
300＋700＝2
000
(1)
70　0.40　(2)
根据a＝70补全频数分布直方图略　(3)
样本中一共有200人，中位数是第100和101人的读书时间的平均数，即第3组：1.0～1.5小时　(4)
1
200×(0.05＋0.10)＝1
200×0.15＝180(人)，∴
估计该校七年级学生日阅读量不足1小时的人数为180
(1)
表格中：175≤x<185的频数为3，对应扇形图中的区域为B；205≤x<215的频数为6，对应扇形图中的区域为A；完善的频数分布直方图如图所示．在扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为360°×＝72°，扇形B对应的圆心角为360°×＝36°　(2)
3
000×＝900(株)，∴
该试验田
3
000株水稻中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻大约有900株
(1)
如图所示　(2)
由题意，知＝9，∴
a＋b＝17　(3)
a＝7，b＝10或a＝10，b＝7　理由：∵
甲比乙的成绩较稳定，∴
S[(10－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(a－9)2＋(b－9)2]>0.8.∵
a＋b＝17，∴
b＝17－a.代入上式，整理，得a2－17a＋71>0.构造二次函数y＝
a2－17a＋71，令y＝0，得a＝，∴
二次函数的图象与x轴的两交点坐标为，.观察抛物线，得函数值y>0的自变量a的取值范围是a<或a>.∵
a，b均为整数，且a＋b＝17，0≤a≤10，0≤b≤10，∴
a＝7，b＝10或a＝10，b＝7.沪科版九年级数学中考复习一次方程(组)和分式方程汇编（含答案）
1、一次方程组
一、
选择题
1.
(·杭州)设x，y，c是实数．(　　)
A.
若x＝y，则x＋c＝y－c
　　
B.
若x＝y，则xc＝yc
C.
若x＝y，则＝　　
D.
若＝，则2x＝3y
2.
(·南充)如果a＋3＝0，那么a的值是(　　)
A.
3　　B.
－3　　
C.
　　D.
－
3.
(·永州)已知x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　)
A.
－2　　B.
2　　C.
－1　　D.
1
4.
(·天津)方程组的解是(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
5.
(·衢州)二元一次方程组的解是(　　)
A.
　　B.
　　
C.
　　D.
6.
(·舟山)若二元一次方程组的解为则a－b的值为(　　)
A.
1　　B.
3　　
C.
－　　D.
7.
(·眉山)已知关于x，y的二元一次方程组的解为则a－2b的值是(　　)
A.
－2　　B.
2　　
C.
3　　D.
－3
8.
(·巴中)若方程组的解满足x＋y＝0，则k的值为(　　)
A.
－1　　B.
1　　C.
0　　D.
无法确定
二、
填空题
9.
(·云南)已知关于x的方程2x＋a＋5＝0的解是
x＝1，则a的值为________．
10.
(·崇左)若4a2b2n＋1与amb3是同类项，则m＋n的值为________．
11.
(·长沙)方程组的解是________．
12.
(·乐山)二元一次方程组＝＝x＋2的解是________．
13.
(·南宁)已知是方程组的解，则3a－b＝________．
14.
(·包头)若关于x，y的二元一次方程组的解是则ab的值为________．
15.
(·枣庄)已知是方程组的解，则a2－b2＝________．
16.
(·镇江)若实数a满足＝，则a对应于图中数轴上的点可以是A，B，C三点中的点________．
17.
(·荆州)若单项式－5x4y2m＋n与2
017xm－ny2是同类项，则m－7n的算术平方根是________．
三、
解答题
18.
(·柳州)解方程：2x－7＝0.
19.
(·武汉)解方程：4x－3＝2(x－1)．
20.
(·湖州)对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝2a－b.例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.若3?x＝－2
011，求x的值．
21.
(·荆州)解方程组
22.
(·桂林)解二元一次方程组
23.
(·镇江)解方程组
24.
(·广州)解方程组
25.
(·重庆)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6.
(1)
计算：F(243)，F(617)．
(2)
若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．
2.
分式方程
一、
选择题
1.
(·河南)解分式方程－2＝，去分母，得(　　)
A.
1－2(x－1)＝－3　　B.
1－2(x－1)＝3
C.
1－2x－2＝－3　　D.
1－2x＋2＝3
2.
(·哈尔滨)方程＝的解为(　　)
A.
x＝3　　B.
x＝4　　
C.
x＝5　　D.
x＝－5
3.
(·黔东南州)分式方程＝1－的根为(　　)
A.
－1或3　　B.
－1　　
C.
3　　D.
1或－3
4.
(·岳阳)解分式方程－＝1，可知方程的解为(　　)
A.
x＝1　　B.
x＝3　　
C.
x＝　　D.
无解
5.
(·滨州)分式方程－1＝的解为(　　)
A.
x＝1
　　B.
x＝－1　　
C.
无解　　D.
x＝－2
6.
(·成都)已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为(　　)
A.
－1　　B.
0　　
C.
1　　D.
2
7.
(·毕节)已知关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为(　　)
A.
1　　B.
3　　
C.
4　　D.
5
8.
(·聊城)如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为(　　)
A.
－2　　B.
2　　
C.
4　　D.
－4
9.
(·七台河)已知关于x的分式方程＝的解是非负数，那么a的取值范围是(　　)
A.
a>1　　B.
a≥1
C.
a≥1且a≠9　　D.
a≤1
10.
(·重庆)若实数a使关于x的分式方程＋＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为(　　)
A.
10　　B.
12　　
C.
14　　D.
16
二、
填空题
11.
(·淮安)方程＝1的解是________．
12.
(·宁波)分式方程＝的解是________．
13.
(·常德)分式方程＋1＝的解为________．
14.
(·襄阳)分式方程＝的解是________．
15.
(·株洲)分式方程－＝0的解为________．
16.
(·南京)方程－＝0的解是________．
17.
(·威海)方程＋＝1的解是________．
18.
(·黄石)分式方程＝－2的解为________．
19.
(·绵阳)分式方程－＝的解是________．
20.
(·六盘水)方程－＝1的解为x＝________.
21.
(·泰安)已知分式与的和为4，则x的值为________．
22.
(·宿迁)若关于x的分式方程＝－3有增根，则实数m的值是________．
23.
(·荆州)若关于x的分式方程＝2的解为负数，则k的取值范围为________．
24.(·泸州)若关于x的分式方程＋＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是____________．
三、
解答题
25.
(·无锡)解方程：＝.
26.
(·常州)解方程：＝－3.
27.
(·湖州)解方程：＝＋1.
28.
(·宁夏)解方程：－＝1.
29.
(·眉山)解方程：＋2＝.
30.
(·泰州)解方程：＋＝1.
31.
(·随州)解分式方程：＋1＝.
32.
(·上海)解方程：－＝1.
1.
一次方程(组)
一、
B　
B　
B　
D　
B　
D　
B　
B
二、
－7　
3　　　
5　
1
1　
B　
4
三、
x＝　
x＝
根据题意，得2×3－x＝－2
011，即6－x＝－2
011，解得
x＝2
017
　　　
(1)
F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9　F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14　(2)
∵
s，t都是“相异数”，∴
F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6.∵
F(s)＋F(t)＝18，∴
x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18.∴
x＋y＝7.∵
1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，∴
或或或或或∵
s，t是“相异数”，∴
x≠2，x≠3，y≠1，y≠5.∴
满足条件的有或或∴
或或∴
k＝＝＝或k＝＝＝1或k＝＝＝.∴
k的最大值为
2.
分式方程
一、
A　
C　
C　
D　
C　
D　
C　
D　
C
A
二、
x＝3　
x＝1　
x＝2　
x＝9　
x＝－
x＝2　
x＝3　
x＝　
x＝－2　
－2　
3　
1　
k<3且k≠1　
m<6且m≠2
三、
x＝13
两边同时乘(x－2)，得
2x－5＝3x－3－3(x－2)；去括号，得2x－5＝3x－3－3x＋6；移项，得2x－3x＋3x＝6－3＋5；合并同类项，得2x＝8；系数化为1，得x＝4.检验：当x＝4时，x－2≠0，∴
x＝4是原分式方程的解
方程两边都乘(x－1)，得2＝1＋x－1，解得x＝2.检验：当x＝2时，x－1≠0，∴
x＝2是原方程的解
方程两边同乘(x－3)(x＋3)，得(x＋3)2－4(x－3)＝(x－3)(x＋3)，解得x＝－15.检验：当x＝－15时，(x－3)(x＋3)≠0，∴
x＝－15是原分式方程的解
原方程可化为＋2＝，方程两边都乘(x－2)，得
1＋2(x－2)＝x－1，解得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0，∴
x＝2是原方程的增根，因此原方程无解
原方程可化为－＝1，方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，∴
x＝1是原方程的增根，因此原分式方程无解
原方程可化为＋1＝，方程两边同乘x(x－1)，得3＋x(x－1)＝x2，解得x＝3.检验：当x＝3时，x(x－1)＝6≠0，∴
x＝3是原方程的根
原方程可化为－＝1，方程两边都乘x(x－3)，得3－x＝x(x－3)，即x2－2x－3＝0，∴
(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1.经检验，x＝3是原方程的增根，x＝－1是原方程的根，∴
原方程的根为x＝－1沪科版九年级数学中考复习方程(组)的应用专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·深圳)一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程为(　　)
A.
10%x＝330　　B.
(1－10%)x＝330
C.
(1－10%)2x＝330　　D.
(1＋10%)x＝330
2.
(·滨州)某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是(　　)
A.
22x＝16(27－x)　　B.
16x＝22(27－x)
C.
2×16x＝22(27－x)　　D.
2×22x＝16(27－x)
3.
(·荆州)为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款(　　)
A.
140元　　B.
150元　　
C.
160元　　D.
200元
4.
(·长沙)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为(　　)
A.
24里　　B.
12里　　
C.
6里　　D.
3里
5.
(·内江)端午节前夕，某超市用1
680元购进A，B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是(　　)
A.
　　B.
C.
　　D.
6.
(·随州)小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组为(　　)
A.
　　B.
C.
　　D.
7.
(·鸡西)某企业决定投资不超过20万元建造A，B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有(　　)
A.
2种　　B.
3种　　
C.
4种　　D.
5种
8.
(·德州)某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是(　　)
A.
－＝4　　B.
－＝4
C.
－＝4　　D.
－＝4
9.
(·乌鲁木齐)年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是(　　)
A.
－＝5　　B.
－＝5
C.
＋5＝　　D.
－＝5
10.
(·南宁)一艘轮船在静水中的最大航速为35
km/h，它以最大航速沿江顺流航行120
km所用时间与以最大航速逆流航行90
km所用时间相等．设江水的流速为
v
km/h，则可列方程为(　　)
A.
＝　　B.
＝
C.
＝　　D.
＝
11.
(·达州)某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5米3.求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/米3，根据题意列方程，正确的是(　　)
A.
－＝5　　B.
－＝5
C.
－＝5　　D.
－＝5
12.
(·白银)如图，某小区计划在一块长为32
m、宽为20
m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570
m2.若设道路的宽为x
m，则下列方程正确的是(　　)
A.
(32－2x)(20－x)＝570
B.
32x＋2×20x＝32×20－570
C.
(32－x)(20－x)＝32×20－570
D.
32x＋2×20x－2x2＝570
13.
(·辽阳)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1
000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(　　)
A.
1
000(1＋x)2＝1
000＋440
B.
1
000(1＋x)2＝440
C.
440(1＋x)2＝1
000
D.
1
000(1＋2x)＝1
000＋440
14.
(·无锡)某商店今年1月的销售额是2万元，3月的销售额是4.5万元，从1月到3月，该店销售额平均每月的增长率是(　　)
A.
20%　　B.
25%　　C.
50%　　D.
62.5%
二、
填空题
15.
(·杭州)某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉________千克．(用含t的代数式表示)
16.
(·遵义)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意为有一群人分银子，如果每人分七两，那么剩余四两；如果每人分九两，那么还差八两，请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)
17.
(·荆门)派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄比派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为________岁．
18.
(1)
(·新疆)一台空调标价2
000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是________元；
(2)
(·宁夏)某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为________元．
19.
(·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可列方程组为__．
20.
(·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是________．
21.
(·天门)“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需________元．
22.
(·营口)某市为绿化环境计划植树2
400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为____________．
23.
(·永州)某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3千克．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意可列方程为____________．
24.
(·南通)甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为________．
25.
(·宜宾)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________________．
26.
(·兰州)王叔叔从市场上买了一块长80
cm、宽
70
cm
的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x
cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3
000
cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为________________．
三、
解答题
27.
(·安徽)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文为现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差
4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
28.
(·张家界)某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑、白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价/元
零售价/元
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1
860元，黑、白两种文化衫各购多少件？
29.
(·岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
30.
(·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64米3，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36米3，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．
31.
(·威海)某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
32.
(·呼和浩特)某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1
080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1
960元，计算打了多少折？
33.
(·长春)某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．
34.
(·广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
(1)
求乙队筑路的总千米数；
(2)
若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少千米．
35.
(·淄博)某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420
km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2
h．求汽车原来的平均速度．
36.
(·通辽)一汽车从甲地出发开往相距240
km的乙地，出发后第1
h内按原计划的速度匀速行驶，1
h后比原来的速度加快，比原计划提前24
min到达乙地，求汽车出发后第1
h内的行驶速度．
37.
(·襄阳)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)
求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)
若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过3.4亿元？
38.
(·深圳)一个矩形的周长为56
cm.
(1)
当矩形的面积为180
cm2时，长、宽分别为多少？
(2)
能围成面积为200
cm2的矩形吗？请说明理由．
39.
(·菏泽)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20
000元？
40.(·眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)
若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次产品？
(2)
由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1
080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？
41.
(·盐城)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3
500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2
400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
(1)
2014年这种礼盒的进价是多少？
(2)
若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
42.
(·宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年年初开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在
年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3∶2.
(1)
这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
(2)
市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
(3)
求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
答案
一、
D　
D　
B　
C　
B　
B　
B　
D　
A
D　
A　
A　
A　
C
二、
　
46　
12　
(1)
1
000　(2)
4　　　
48　－＝8　＝－3　
8　
50(1－x)2＝32　
(80－2x)(70－2x)＝3
000
三、
设购买该物品的共有x人．由题意，得8x－3＝7x＋4，解得x＝7，∴
8x－3＝53.∴
购买该物品的共有7人，这个物品的价格是53元
解法1：设购黑色文化衫x件，则购白色文化衫(140－x)件．根据题意，得(25－10)x＋(20－8)(140－x)＝1
860，解得
x＝60，此时140－x＝80.∴
购黑色文化衫60件，购白色文化衫80件．解法2：设购黑色文化衫x件，购白色文化衫y件．依题意，得解得∴
购黑色文化衫60件，购白色文化衫80件
解法1：设每包x本书，共有y本书．由题意，得解得∴
这批书共有1
500本．解法2：设这批书共有3x本，根据题意，得＝，解得x＝500，此时3x＝1
500.∴
这批书共有1
500本
设每辆甲种车一次运土x米3，每辆乙种车一次运土y米3.由题意，得解得∴
每辆甲种车一次运土8米3，每辆乙种车一次运土12米3
设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨．根据题意，得解得∴
50×(1＋5%)＝52.5(吨)，150×(1＋15%)＝172.5(吨)．∴
农场去年实际生产玉米52.5吨，小麦172.5吨
设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件．根据题意，得解得∴
500×16＋450×4＝9
800(元)．∴
＝0.8，即打了
8折．∴
购买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1
960元，此时打了8折
设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元．依题意，得－＝30，解得x＝15.经检验，x＝15是原方程的根，且符合题意．∴
跳绳的单价是15元
(1)
60×＝80(千米)．∴
乙队筑路的总千米数为80　(2)
设乙队平均每天筑路8x千米，则甲队平均每天筑路5x千米．根据题意，得－＝20，解得x＝0.1.经检验，x＝0.1是原方程的解，且符合题意，∴
8x＝0.8.∴
乙队平均每天筑路0.8千米
设汽车原来的平均速度为x
km/h，根据题意，得－＝2，解得x＝70.经检验，x＝70是所列方程的解，且符合题意．∴
汽车原来的平均速度为70
km/h
设汽车出发后第1
h内的行驶速度是x
km/h，则1
h后的速度为x＝x
km/h.根据题意，得＝1＋＋，解得x＝80.经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．∴
汽车出发后第1
h内的行驶速度是80
km/h
(1)
设这两年该企业利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，即(1＋x)2＝1.44，解得
x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．∴
这两年该企业利润的年平均增长率为20%　(2)
如果年仍保持相同的年平均增长率，那么年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456>3.4.∴
该企业年的利润能超过3.4亿元
(1)
设矩形的长为x
cm，则宽为(28－x)cm.依题意，得
x(28－x)＝180，即x2－28x＋180＝0，解得x1＝10(不合题意，舍去)，x2＝18，∴
28－x＝28－18＝10.∴
矩形的长为18
cm，宽为10
cm　(2)
不能　理由：设矩形的长为y
cm，则宽为(28－y)cm.依题意，得y(28－y)＝200，即y2－28y＋200＝0，则Δ＝(－28)2－4×1×200＝784－800<0，∴
上述方程没有实数根，因此不能围成一个面积为200
cm2的矩形．
解法1：设这种玩具的销售单价为x元．由题意，得(x－360)·[160＋2(480－x)]＝20
000.整理，得x2－920x＋211
600＝0，即(x－460)2＝0，解得x1＝x2＝460.∴
这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20
000元．解法2：设这种玩具的销售单价降低x元后，厂家每天可获利润为20
000元，此时售价为(480－x)元，销售量为(160＋2x)件，根据题意，得(480－x－360)(160＋2x)＝20
000，整理，得x2－40x＋400＝0，即(x－20)2＝0，解得x1＝x2＝20，此时销售单价为480－20＝460(元)．∴
这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20
000元
(1)
(14－10)÷2＋1＝3(档次)．∴
此批次蛋糕属第三档次产品　(2)
设该烘焙店生产的是第x档次的产品．根据题意，得[2(x－1)＋10]×[76－4(x－1)]＝1
080，整理，得x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．∴
该烘焙店生产的是第五档次的产品
(1)
设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x－11)元/盒．根据题意，得＝，解得x＝35.经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．∴
2014年这种礼盒的进价是35元/盒　(2)
设年增长率为a.由(1)，得2014年的销售数量为3
500÷35＝100(盒)，根据题意，得(60－35)×100(1＋a)2＝(60－35＋11)×100，即(1＋a)2＝，解得a1＝0.2＝20%，a2＝－2.2(不合题意，舍去)．∴
年增长率为20%
(1)
三年用于辅助配套的投资将达到54×＝36(亿元)　(2)
设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得解得∴
市政府2015年年初对三项工程的总投资为x＋2x＋4x＝7x＝35(亿元)　(3)
由x＝5，得2015年年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y.由题意，得20(1－y)2＝5，即(1－y)2＝0.25，解得y1＝0.5＝50%，y2＝1.5(不合题意，舍去)．∴
搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%沪科版九年级数学中考复习解直角三角形的应用专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·绥化)某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5
m，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为(　　)
A.
3.5
sin
29°
m　　B.
3.5
cos
29°
m　　
C.
3.5
tan
29°
m　　D.
m
2.
(·兰州)如图，一个斜坡长130
m，坡顶离水平地面的距离为50
m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
3.
(·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直．设A，D，B在同一条直线上，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(　　)
A.
　　B.
　　C.
　　D.
h·cos
α
4.
(·威海)如图，为了方便行人推车过某天桥，市政府在10
m高的天桥一侧修建了40
m长的斜道，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.
(·烟台)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20
m到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6
m，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1
m，tan
67.5°≈2.414)(　　)
A.
34.14
m　　B.
34.1
m　　C.
35.7
m　　D.
35.74
m
　　　　
6.
(·深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20
m，DE的长为10
m，则树AB的高度是(　　)
A.
20
m　　B.
30
m　　C.
30
m　　D.
40
m
7.
(·玉林)如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　　)
A.
15海里　　B.
30海里　　C.
45海里　　D.
30海里
8.
(·南宁)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向上，距离灯塔60
n
mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　　)
A.
60
n
mile　　B.
60
n
mile
C.
30
n
mile　　D.
30
n
mile
9.
(·百色)如图，在距离铁轨200
m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车．当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10
s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　)
A.
20(＋1)m/s　　B.
20(－1)m/s
C.
200
m/s　　D.
300
m/s
10.
(·重庆)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°.若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin
40°≈0.64，cos
40°≈0.77，tan
40°≈0.84)(　　)
A.
5.1米　　B.
6.3米　　C.
7.1米　　D.
9.2米
11.(·重庆)如图，点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin
20°≈0.342，cos
20°≈0.940，tan
20°≈0.364)(　　)
A.
29.1米　B.
31.9米　C.
45.9米　D.
95.9米
二、
填空题
12.
(·宁波)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B.已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了约________米．(参考数据：sin
34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan
34°≈0.67)
　　　　
13.
(·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米．(结果保留一位小数，参考数据：sin
54°≈0.809
0，cos
54°≈0.587
8，tan
54°≈1.376
4)
14.
(·邵阳)如图，运载火箭从地面l处垂直向上发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40
km，仰角是30°，n秒后，火箭到达点B，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________km.
15.
(·黄石)如图，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：不计测量人员的身高，结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)
16.
(·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C，测得α＝30°，β＝45°，量得BC的长为100
m，则河的宽度为________m.
17.
(·南通)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100
m，则这栋楼的高度为________m.
18.
(·东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A，B两点的距离为s米，则塔高为________米．
19.
(·泰州)小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50
m，则小明沿垂直方向升高了________m.
20.
(·天门)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan
E＝，则CE的长为________米．
21.
(·葫芦岛)一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里．(结果保留根号)
22.
(·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86
n
mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为________n
mile.(结果保留整数，参考数据：≈1.7，≈1.4)
23.
(·大庆)如图，有一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80
m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________m.
24.
(·苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头
A北偏东60°的方向上，在码头
B北偏西45°的方向上，AC＝4
km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2.若回到
A，B所用时间相等，则＝________.(结果保留根号)
三、
解答题
25.
(·湘潭)某游乐场部分平面图如图所示，C，E，A三处在同一直线上，D，E，B三处在同一直线上．测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.求：
(1)
旋转木马E处到出口B处的距离；
(2)
海洋球D处到出口B处的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)
26.
(·安徽)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600
m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin
75°≈0.97，cos
75°≈0.26，≈1.41)
27.
(·贵阳)如图，贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数．(结果精确到1°)
28.
(·凉山州)如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米？
29.
(·舟山)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80
cm，宽AB＝48
cm，小强身高166
cm，下半身FG＝100
cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°角(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15
cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
(1)
此时小强头部E点与地面DK相距多少厘米？
(2)
小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少厘米？
(参考数据：sin
80°≈0.98，cos
80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1
cm)
30.
(·通辽)如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA＝30°，在OB的位置时俯角∠FOB＝60°.若OC⊥EF，点A比点B高7
cm.求：
(1)
单摆的长度；
(2)
从点A摆动到点B经过的路径长．
31.
(·遵义)如图，乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97
m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.
(1)
求主桥AB的长度；
(2)
若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
(长度均精确到1
m，参考数据：≈1.73，sin
80°36′≈0.987，cos
80°36′≈0.163，tan
80°36′≈6.04)
32.
(·潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5
m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5
m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14
m．求居民楼的高度．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.73)
33.（·荆门）金桥学校“科技体艺”期间，八年级数学活动小组的任务是测量旗杆AB的高度，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1
m，点C距地面的高度CD为3
m，台阶CF的坡角为30°，且点E，F，D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
34.
(·随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43
m到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D，C，H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35
m(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10
m，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高度．(参考数据：tan
55°≈1.4，tan
35°≈0.7，sin
55°≈0.8，sin
35°≈0.6)
　　　　
35.
(·长沙)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)
求∠APB的度数；
(2)
已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
36.
(·南京)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向上，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5
km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin
37°≈0.60，cos
37°≈0.80，tan
37°≈0.75)
37.
(·泸州)如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70
n
mile.若该渔船由西向东航行30
n
mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．
38.
(·锦州)超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为．如图，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120
km，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7
s后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝200
m，B在A的北偏东75°方向上，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
39.
(·海南)如图，为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案如下：水坝加高2
m(即CD＝2
m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1，已知AE＝4
m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin
50°≈0.77，cos
50°≈0.64，tan
50°≈1.2)
40.
(·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2
m处的点C处出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4
m到达点D处，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5
m．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．(参考数据：sin
37°≈，cos
37°≈，tan
37°≈.结果保留根号)
41.(·达州)如图，信号塔PQ坐落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2
m，落在警示牌上的影子MN长为3
m，求信号塔PQ的高度.
42.
(·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3
m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2
m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：
(1)
树DE的高度；
(2)
食堂MN的高度．
答案
一、
A　
C　
B　
A　
C　
B　
B　
B　
A
A　
A
二、
280　
15.3　
(20－20)　
137　
50(＋1)　
(100＋100)　　
25　
8　
(4－4)　
102　
20　
三、
(1)
在Rt△ABE中，AE＝80米，∠BAE＝30°，sin∠BAE＝，∴
BE＝AE·sin∠BAE＝80×sin
30°＝80×＝40(米)．∴
旋转木马E处到出口B处的距离为40米　(2)
∵
∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠DEC＝∠AEB，△ABE，△DCE的内角和均为180°，∴
∠D＝∠BAE＝30°.在Rt△DCE中，CD＝34米，cos
D＝，∴
DE＝＝＝≈＝40(米)．∴
DB＝DE＋BE≈40＋40＝80(米)．∴
海洋球D处到出口B处的距离约为80米
∵
在Rt△ABC中，
AB＝600
m，∠ABC＝α＝75°，∴
BC＝AB·cos
75°≈600×0.26＝156(m)．∵
在Rt△BDF中，∠DBF＝β＝45°，∴
DF＝BD·sin
45°＝600×≈300×1.41＝423(m)．由题意，得四边形BCEF是矩形，∴
EF＝BC＝156
m．∴
DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．∴
DE的长为579
m
延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得∠AEB＝90°，BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°.∵
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴
CE＝AE·tan
60°＝15米．∴
BE＝(17＋15)米．∵
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，∴
利用计算器，可得∠BAE≈71°.∴
第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°
由题意，得O是AD的中点，∴
AO＝AD＝10米．如图，过点C作CH⊥AO，垂足为H，再过点B作BE⊥CH，垂足为E.∵
AD⊥AB，CH⊥AO，BE⊥CH，∴
四边形HABE为矩形．∴
AB＝EH，AH＝BE，∠ABE＝90°.∵
∠ABC＝120°，∴
∠CBE＝30°.∵
BC＝2米，∴
在Rt△CEB中，CE＝BC＝1米，BE＝BC·cos
30°＝米．∴
AH＝米．∴
OH＝AO－AH＝(10－)米．∵
四边形OABC的内角和为360°，∴
∠AOC＝360°－∠ABC－90°×2＝60°.∴
在Rt△CHO中，CH＝OH·tan
60°＝(10－)×＝(10－3)米．∴
EH＝CH－CE＝(10－4)米．∴
AB＝(10－4)米．∴
路灯的灯柱AB的高应该设计为(10－4)米　点拨：本题另解如下：延长OC，AB交于点P，构造两个含30°角的直角三角形解题．
(1)
如图，过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥NF的延长线于点M.∵
EF＋FG＝166
cm，FG＝100
cm，∴
EF＝66
cm.∵
∠FGK＝80°，∴
FN＝FG·sin∠FGK＝100·sin
80°≈98
cm.∵
∠GFN＋∠FGN＝90°，∴
∠GFN＝10°.∵
∠EFG＝125°，∴
∠EFM＝180°－125°－10°＝45°.∴
FM＝EF·cos∠EFM＝66·cos
45°＝33≈46.53(cm)．∴
MN＝FN＋FM≈144.5
cm，∴
此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5
cm　(2)
如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.∵
AB＝48
cm，O为AB中点，∴
AO＝BO＝24
cm.∵
EM＝EF·sin∠EFM＝66·sin
45°≈46.53
cm，即PH≈46.53
cm，GN＝FG·cos∠FGK＝100·cos
80°≈17
cm，CG＝15
cm，∴
OH≈24＋15＋17＝56(cm)．∴
OP＝OH－PH≈9.5(cm)．∴
他应向前约9.5
cm
(1)
如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q.∵
∠EOA＝30°，∠FOB＝60°，且OC⊥EF，∴
∠AOP＝60°，∠BOQ＝30°.设OA＝OB＝x
cm，则在
Rt△AOP中，OP＝OAcos∠AOP＝x
cm.在Rt△BOQ中，OQ＝OBcos∠BOQ＝x
cm.∵
PQ＝OQ－OP＝7
cm，∴
x－x＝7，解得x＝(7＋7)．∴
单摆的长度为(7＋7)cm　(2)
由(1)知，∠AOP＝60°，∠BOQ＝30°，∴
∠AOB＝90°.∵
OA＝OB＝(7＋7)cm，∴
从点A摆动到点B经过的路径长为＝(cm)．∴
从点A摆动到点B经过的路径长为cm
(1)
由题意，知PA⊥AC，DB⊥AC，∠ABP＝30°，∠C＝80°36′，AP＝97
m．∵
在Rt△PAB中，tan∠ABP＝，∴
AB＝＝＝＝97≈168(m)．∴
主桥AB的长度约为168
m　(2)
∵
在Rt△PAB中，∠ABP＝30°，AP＝97
m，∴
PB＝2PA＝194
m．∵
DB⊥AC，∠ABP＝30°，∴
∠PBD＝60°.根据题意，得∠DPB＝30°＋30°＝60°，∴
∠DPB＝∠PBD.∴
PD＝DB.∴
△PBD是等边三角形．∴
DB＝PB＝194
m．∵
在Rt△CBD中，tan
C＝，∴
BC＝＝≈32(m)．∴
引桥BC的长约为32
m
设每层楼高为x
m，由题意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1
m，∴
DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴
C′A′＝＝(5x＋1)m.在
Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴
C′B′＝＝(4x＋1)m.∵
A′B′＝C′B′－C′A′＝AB＝14
m，∴
(4x＋1)－(5x＋1)＝14，解得x≈3.18.∴
CD＝DM＋MC≈5×3.18＋2.5＝18.4(m)．∴
居民楼的高度约为18.4
m
过点C作CM⊥AB于点M，则四边形MEDC是矩形，∴
ME＝DC＝3
m，CM＝ED.在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x
m，则AF＝＝2x
m，AE＝EF·tan
60°＝x
m．在Rt△FDC中，CD＝3
m，∠CFD＝30°，∴
DF＝＝3
m．在Rt△AMC中，∠ACM＝45°.∴
∠MAC＝∠ACM＝45°.∴
MA＝MC.∴
MA＝ED.∵
MA＝AE－ME，ED＝EF＋DF，∴
x－3＝x＋3，解得x＝6＋3.∴
AE＝(6＋3)＝(6＋9)m.∴
AB＝AE－BE＝9＋6－1≈18.4(m)．∴
旗杆AB的高度约为18.4
m
根据题意，得AG＝43
m，CD＝35
m，BG＝10
m，∠CAH＝55°.如图，作BE⊥DH交DH于点E，则∠DBE＝45°，四边形BGHE为矩形，∴
GH＝BE，BG＝EH＝10
m．设AH＝x
m，则BE＝GH＝AG＋AH＝(43＋x)m.在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH＝(tan
55°·x)m，∴
CE＝CH－EH＝(tan
55°·x－10)m.此时DE＝CD＋CE＝(tan
55°·x＋25)m.∵
在Rt△BED中，∠DBE＝45°，∴
∠D＝∠DBE＝45°.∴
BE＝DE＝(tan
55°·x＋25)m.由GH＝BE，得43＋x＝tan
55°·x＋25，解得x≈45.∴
CH＝tan
55°·x≈63(m)．∴
塔杆CH的高约为63
m
(1)
由题意，得AB＝50×1＝50(海里)，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，∴
在△ABP中，∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°　(2)
如图，作PH⊥AB于点H.由(1)，得∠BAP＝∠BPA＝30°，∴
BA＝BP＝50(海里)．∵
在Rt△PBH中，∠PBH＝90°－30°＝60°，∴
PH＝PB·sin
60°＝50×＝25(海里)．∵
25>25，∴
海监船继续向正东方向航行是安全的
如图，过点C作CH⊥AD，垂足为H.设CH＝x
km.在
Rt△ACH中，∵
tan
A＝，∠A＝37°，即tan
37°＝，∴
AH＝＝
km.在Rt△CEH中，∵
∠CEH＝45°，∴
∠ECH＝∠CEH＝45°.∴
CH＝EH＝x
km.∵
CH⊥AD，BD⊥AD，∴
∠AHC＝∠ADB＝90°.∴
CH∥BD.∴
＝.∵
C是AB的中点，∴
AC＝CB.∴
AH＝HD.∴
＝x＋5.∴
x＝≈＝15.∴
AE＝AH＋HE≈＋15≈35(km)．∴
E处距离港口A有35
km
如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意，得AC＝70
n
mile，AB＝30
n
mile，∠CBD＝90°－30°＝60°.设BC＝x
n
mile，则在Rt△BCD中，BD＝BC·cos
60°＝x
n
mile，CD＝BC·sin
60°＝x
n
mile，∴
AD＝n
mile.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即＋＝702，即x2＋30x－4
000＝0，解得x1＝50，x2＝－80(不合题意，舍去)．∴
该渔船此时与小岛C之间的距离为50
n
mile
这辆车超速了　理由：如图，点D在点C的正南方向上，并且点D在AB上．过点D分别作DF⊥CB于点F，作DE⊥AC于点E.由题意，得∠ACD＝30°，∠DCB＝45°，∠CDB＝75°，则∠DAE＝45°，∠CDF＝45°，∠FDB＝30°.设BF＝x
m，则在Rt△DFB中，DF＝＝x
m．在Rt△DFC中，CF＝DF·tan
45°＝x
m．∵
BC＝200
m，BC＝
CF＋
BF，∴
x＋x＝200，解得x＝100(－1)．∴
BF＝100(－1)m，DF＝CF＝100(－1)m.∴
在
Rt△DFB中，BD＝＝200(－1)m.在Rt△DFC中，DC＝＝CF＝(300－100)m.∴
在
Rt△DEC中，DE＝DC＝(150－50)m.在
Rt△AED中，AD＝＝(300－100)m，∴
AB＝AD＋BD＝300－100＋200(－1)＝100(＋1)≈273(m)．∴
汽车的速度为＝39(m/s)．∵
小型车限速为每小时120千米，≈33.3(m/s)，此时39>33.3，∴
这辆车超速了．
设BC＝x
m．∵
∠EAC＝130°，∴
∠CAB＝180°－∠EAC＝50°.在Rt△ABC中，tan∠CAB＝，∴
AB＝≈＝x
m．∵
CD＝2
m，AE＝4
m，∴
BD＝(x＋2)m,
BE＝m.∵
背水坡DE的坡度i＝1∶1，∴
在
Rt△EBD中，i＝BD∶BE＝1∶1，即BD＝BE.∴
x＋2＝x＋4，解得x＝12.∴
BC＝12
m．∴
水坝原来的高度BC为12
m
如图，延长ED交BC的延长线于点F.∵
AB⊥BC，AB∥DE，则EF⊥BF，即∠CFD＝90°.∵
斜坡CD的坡度i＝1∶，∴
tan∠DCF＝i＝＝.∴
∠DCF＝30°.∵
CD＝4
m，∴
DF＝CD＝2
m，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2
m．∴
BF＝BC＋CF＝2＋2＝4(m)．过点E作EG⊥AB于点G，则四边形GBFE是矩形，∴
GE＝BF＝4
m，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5(m)．又
∵
在
Rt△AGE中，∠AEG＝37°，∴
AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan
37°≈4×＝3(m)．∴
AB＝AG＋BG＝(3＋3.5)m.∴
旗杆AB的高度为(3＋3.5)m
由题意，得MN∥PQ.如图，作MF⊥PQ于点F，QE⊥MN于点E，则四边形QEMF是矩形，∴
FQ＝EM，EQ＝MF.在Rt△QEN中，设EN＝x
m(x>0)．∵
斜坡QN的坡度
i＝tan∠EQN＝1∶2，∴
EQ＝2EN＝2x
m．在Rt△QEN中，由勾股定理，得EN2＋QE2＝QN2，即(2x)2＋x2＝(2)2，解得x＝2(负值舍去)．∴
EN＝2
m，EQ＝MF＝4
m．∵
MN＝3
m，∴
FQ＝EM＝1
m．根据题意，得∠PMF＝60°.∵
在Rt△PFM中，tan∠PMF＝，∴
PF＝FM·tan
60°＝4
m．∴
PQ＝PF＋FQ＝(4＋1)m.∴
信号塔PQ的高度为(4＋1)m
(1)
由题意，四边形ABDF是矩形，∴
∠ABC＝∠BDF＝∠AFD＝90°，AF＝BD.如图，设DE＝x
m．∵
AB＝DF＝2
m，∴
EF＝DE－DF＝(x－2)m.∵
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，∴
AF＝＝＝(x－2)m.又∵
在Rt△CDE中，∠DCE＝60°，∴
CD＝＝＝x
m．∵
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴
BC＝＝＝2(m)．∴
BD＝BC＋CD＝m.由AF＝BD，得(x－2)＝2＋x，解得x＝6.∴
树DE的高度为6
m　(2)
延长NM交DB的延长线于点P，则四边形MPBA是矩形，∴
AM＝BP＝3
m，MP＝AB＝2
m．由(1)，知CD＝x＝×6＝2(m)，BC＝2
m，∴
PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝(3＋4)m.∵
在Rt△NPD中，∠NDP＝45°，∴
∠PND＝∠NDP＝45°.∴
NP＝PD＝(3＋4)m.∴
MN＝NP－MP＝3＋4－2＝(1＋4)m.∴
食堂MN的高度为(1＋4)m沪科版九年级数学中考复习一元二次方程专题（含答案）
一、
选择题
1.
(·广东)如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为(　　)
A.
1　　B.
2　　C.
－1　　D.
－2
2.
(·威海)若1－是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(　　)
A.
－2　　B.
4－2　　C.
3－　　D.
1＋
3.
(·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是(　　)
A.
x1＝1，x2＝3　　B.
x1＝1，x2＝－3
C.
x1＝－1，x2＝3　　D.
x1＝－1，x2＝－3
4.
(·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(　　)
A.
(x－3)2＝15　　B.
(x－3)2＝3
C.
(x＋3)2＝15　　D.
(x＋3)2＝3
5.
(·台湾)一元二次方程式x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为(　　)
A.
20　　B.
12　　C.
－12　　D.
－20
6.
(·凉山州)若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同，则a的值为(　　)
A.
1　　B.
1或－3　　C.
－1　　D.
－1或3
7.
(·东营)若|x2－4x＋4|与的值互为相反数，则x＋y的值为(　　)
A.
3　　B.
4　　C.
6　　D.
9
8.
(·益阳)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是(　　)
A.
b2－4ac>0　　B.
b2－4ac＝0
C.
b2－4ac<0　　D.
b2－4ac≤0
9.
(·宜宾)一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是(　　)
A.
有两个不相等的实数根　B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根　　D.
无法判断
10.
(·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是(　　)
A.
有两个相等的实数根　B.
有两个不相等的实数根
C.
只有一个实数根　　
　　D.
没有实数根
11.
(·上海)下列方程中，没有实数根的是(　　)
A.
x2－2x＝0　　B.
x2－2x－1＝0
C.
x2－2x＋1＝0　　D.
x2－2x＋2＝0
12.
(·广州)已知关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(　　)
A.
q<16　　B.
q>16
　　C.
q≤4
　　D.
q≥4
13.
(·兰州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为(　　)
A.
m>　　B.
m>　　C.
m＝　　D.
m＝
14.
(·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(　　)
A.
有两个相等的实数根　B.
有两个不相等的实数根
C.
没有实数根　　D.
无法判断
15.
(·通辽)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
　　　　　　
16.
(·宁夏)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是(　　)
A.
a
>－　　B.
a
≥－
C.
a
>－且a≠1　　D.
a
≥－且a≠1
17.
(·齐齐哈尔)若关于x的方程kx2－3x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A.
k＝0　　B.
k≥－1且k≠0　　
C.
k≥－1　　D.
k>－1
18.
(·怀化)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是(　　)
A.
2　　B.
－2　　C.
4　　D.
－3
19.
(·凉山州)一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是(　　)
A.
，－2　　B.
，－2　　C.
－，2　　D.
－，2
20.
(·江西)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A.
x1＋x2＝－　　B.
x1·x2＝1
C.
x1，x2都是有理数　　D.
x1，x2都是正数
21.
(·新疆)已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是(　　)
A.
－3　　B.
－2　　C.
3　　D.
6
22.
(·烟台)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)
A.
－1或2　　B.
1或－2　　C.
－2　　D.
1
23.
(·黔东南州)已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋的值为(　　)
A.
2　　B.
－1　　C.
－　　D.
－2
24.
(·绵阳)已知关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为(　　)
A.
－8　　B.
8　　C.
16　　D.
－16
25.
(·呼和浩特)已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为(　　)
A.
2　　B.
0　　C.
1　　D.
2或0
26.(·天门)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(　　)
A.
－13　　B.
12　　C.
14　　D.
15
二、
填空题
27.
(1)
(·常州)已知x＝1是关于x的方程ax2－2x＋3＝0的一个根，则a的值为________；
(2)
(·菏泽)关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．
28.
(·贵阳)方程(x－3)(x－9)＝0的根是__．
29.
(1)
(·淮安)若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________；
(2)
(·连云港)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是________；
(3)
(·泰安)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围为________．
30.
(1)
(·辽阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是________；
(2)
(·枣庄)已知关于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________；
(3)
(·营口)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________________；
(4)
(·白银)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__．
31.
(·南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________．
32.
(1)
(·张家界)已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________；
(2)
(·泰州)已知方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1，x2，则＋的值为________．
33.
(1)
(·眉山)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是________；
(2)
(·西宁)若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个根，则xx2＋x1x的值是________．
34.
(·内江)设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两实数根，则＋的值为________．
35.
(·盐城)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．
36.
(·成都)已知x1，x2是关于x的一元二次方程
x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
37.
(·淄博)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为________．
38.
(·镇江)已知实数m满足m2－3m＋1＝0，则代数式m2＋的值为________．
39.
(·岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
三、
解答题
40.
解方程：
(1)
(·德州)3x(x－1)＝2(x－1)；
(2)
(·丽水)(x－3)(x－1)＝3.
41.
(·滨州)根据要求解答下列问题：
(1)
①
方程x2－2x＋1＝0的解为__；
②
方程x2－3x＋2＝0的解为__；
③
方程x2－4x＋3＝0的解为__；
…
(2)
根据以上方程及其解的特征，请猜想：
①
方程x2－9x＋8＝0的解为__；
②
关于x的方程________________的解为x1＝1，x2＝n.
(3)
请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
42.
(·湘潭)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
例如分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)
分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)；
(2)
请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
43.
(·北京)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)
求证：方程总有两个实数根；
(2)
若方程有一根小于1，求k的取值范围．
44.
(·南充)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)
求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)
如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．
45.
(·黄石)已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0.
(1)
求证：该方程有两个不等的实数根；
(2)
若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋2x2＝9，求m的值．
46.
(·荆州)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k为常数．
(1)
求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)
若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
47.
(·鄂州)已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)
求实数k的取值范围．
(2)
设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
48.
(·孝感)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)
求m的取值范围；
(2)
若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．
49.
(·绥化)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.
(1)
当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
答案
一、
B　
A　
D　
A　
A　
C　
A　
A　
B　
B　
D　
A　
C　
B　
A　
D　
C　
D　
B　
D　
A　
D　
D　
C
B　
B
二、
(1)
－1　(2)
0　
x1＝3，x2＝9　
(1)
k<－(2)
1　(3)
k>　
(1)
k<　
(2)
a>－1且a≠0　(3)
k>且k≠1　(4)
k≤5且k≠1　
4　3　
(1)
17(2)
3　
(1)
－4　(2)
15　
47　
5　　
0
9　
2
三、
(1)
x1＝1，x2＝　(2)
x1＝0，x2＝4
(1)
①
x1＝x2＝1　②
x1＝1，x2＝2　③
x1＝1，x2＝3　(2)
①
x1＝1，x2＝8　②
x2－(1＋n)x＋n＝0　(3)
移项，得x2－9x＝－8；配方，得x2－9x＋＝－8＋，即＝；直接开平方，得x－＝或x－＝－，∴
x1＝1，x2＝8.因此猜想正确
(1)
2　4　(2)
∵
x2－3x－4＝0，∴
(x＋1)(x－4)＝0，解得x1＝－1，x2＝4
(1)
∵
在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴
方程总有两个实数根　(2)
∵
x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0，∴
x2－(k＋3)x＋2(k＋1)＝0.将方程的左边分解因式，得(x－2)(x－k－1)＝0，∴
x1＝2，x2＝k＋1.∵
方程有一根小于1，∴
k＋1<1，解得k<0.∴
k的取值范围为k<0
(1)
在x2－(m－3)x－m＝0中，∵
Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8>0，∴
方程有两个不相等的实数根　(2)
根据根与系数的关系，得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.∵
x＋x－x1x2＝7，∴
(x1＋x2)2－3
x1x2＝7.∴
(m－3)2－3×(－m)＝7，即m2－3m＋2＝0，(m－1)(m－2)＝0，解得m1＝1，m2＝2.∴
m的值是1或2
(1)
在方程x2－4x－m2＝0中，Δ＝(－4)2－4×1×(－m2)＝16＋4m2.∵
m2≥0，∴
4m2≥0.∴
16＋4m2>0，即Δ>0.∴
该方程有两个不等的实数根　(2)
∵
该方程的两个实数根分别为x1，x2，∴
x1＋x2＝4
①，x1x2＝－m2
②.∵
x1＋2x2＝9
③，∴
联立①③，解得x1＝－1，x2＝5.代入②，得m2＝－x1x2＝5，∴
m＝±.∴
m的值为±
(1)
在方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0中，Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k－3)2＋12.∵
(k－3)2≥0，∴
(k－3)2＋12>0，即Δ>0.∴
无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根　(2)
设方程的两个根分别是x1，x2.根据题意，得(x1－3)(x2－3)<0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9<0.又∵
x1＋x2＝－(k－5)，x1x2＝1－k，代入，得1－k＋3(k－5)＋9<0，解得k<，∴
此时k的最大整数值为2
(1)
∵
方程有两个不相等的实数根，∴
Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11>0，解得k>　(2)
假设存在满足题意的k值．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2>0.将|x1|－|x2|＝两边平方，得x－2|x1x2|＋x＝5，即x－2
x1x2
＋x＝5，∴
(x1＋x2)2－4x1x2＝5.∴
(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5.整理，得4k－11＝5，解得k＝4.∴
假设成立．因此k的值为4
(1)
∵
关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，∴
Δ＝(－6)2－4×1×(m＋4)＝20－4m≥0，解得m≤5.∴
m的取值范围为m≤5　(2)
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6
①，x1x2＝m＋4
②.∵
3x1＝|x2|＋2，∴
当x2≥0时，有3x1＝x2＋2
③.联立①③，解得x1＝2，x2＝4.代入②，得8＝m＋4，∴
m＝4.当x2<0时，有3x1＝－x2＋2
④，联立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴
符合条件的m的值为4
(1)
∵
方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，∴
Δ＝(2m＋1)2－4(m2－4)＝4m＋17>0，解得m>－.∴
当m>－时，方程有两个不相等的实数根　(2)
设方程的两根分别为a，b.由根与系数的关系，得a＋b＝－2m－1，ab＝m2－4.根据题意，得2a，2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，结合菱形对角线的性质，得a2＋b2＝52，即(a＋b)2－2ab＝25，∴
(－2m－1)2－2(m2－4)＝25.整理，得m2＋2m－8＝0，解得m1＝－4，m2＝2.∵
a>0，b>0，∴
a＋b＝－2m－1>0，ab＝m2－4>0，即m<－2.∴
m＝－4

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