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【备考2021】高考二轮专项训练 三角函数化简题汇编（含解析）
1.若 ，且 ，则cos2α的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
2.将函数f（x）= sin2x﹣ cos2x+1的图象向左平移 个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关予函数y=g（x）的说法错误的是（?? ）
A.?函数y=g（x）的最小正周期为π?????????????????????????B.?函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=
C.?g（x）dx= ?????????????????????????????????????????????D.?函数y=g（x）在区间[ ， ]上单调递减
3.函数满足， 则的值为（????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.化简 的结果是（?? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
5.已知 ，则 等于（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.若角 的终边落在直线 上，则 的值等于（ ?）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?-2?????????????????????????????????????????C.?-2或2?????????????????????????????????????????D.?0
7.若 ，则 的值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.已知α，β均为锐角，且sinα= ，cos（α+β）=﹣ ，则β等于（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9.若tan（π﹣a）=﹣ ，则 的值为（?? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣15?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?15
10.的值为（?? ）

A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
11.的值是（?? ）
A.?sin2﹣cos2???????????????????B.?cos2﹣sin2???????????????????C.?﹣（sin2+cos2）???????????????????D.?sin2+cos2
12.已知sin α﹣3cos α=0，则 =（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣
13.已知α∈（ ，π），且cosα=﹣ ，则 =（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?﹣ ????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?﹣
14.若 等于（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
15.设a=cos212°﹣sin212°，b= ，c= ，则有（?? ）
A.?c＜b＜a?????????????????????????????B.?a＜b＜c?????????????????????????????C.?a＜c＜b?????????????????????????????D.?b＜a＜c
16.求cos cos cos cos cos =（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????????????D.?﹣
17.设 ，且tanα= ，则下列正确的是（?? ）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
18.已知△ABC的三个内角A，B，C满足2017cos2C﹣cos2A=2016﹣2sin2B，则 =（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
19.已知 ，则 的值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.?- ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?-
20.在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则 的取值范围是________．
21.已知在x=θ时，f（x）=3sinx+4cosx取最大值，则 =________
22.计算： =________．
23.=________．
24.sin10°sin50°sin70°=________．
25.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2=2016c2 ， 则 =________．
26.=________．
27.在△ABC中，若 + =3，则sinA的最大值为________．
28.+ 的值为________．
29.已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝ .
（1）求tanα的值；
（2）将 用tanα表示出来，并求其值．
30.已知 ，计算下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α－2sin αcos α＋1.
31.综合题
（1）已知α为第二象限角，且 sinα= ，求 的值．
（2）已知α∈（0， ），β∈（0，π），且tan（α﹣β）= ，tanβ=﹣ ，求tan（2α﹣β）的值及角2α﹣β．
32.已知向量 ，且 ，
（1）求 的取值范围；
（2）求证 ；
（3）求函数 的取值范围．
33.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．
（1）求 的值；
（2）设∠AOP=θ（ ≤θ≤ π）， = + ，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（ ? ﹣1）2+ S﹣1，求f（θ）的最值及此时θ的值．
34.已知 ，其中 是第四象限角.
（1）化简 ；
（2）若，, .
35.已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值.
36.已知
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值.
37.已知角α终边上一点P（4，3 ），求 ．
38.求下列各式的值：
（1）；
（2）．
39.已知函数f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）= ＜α＜0，求sinα?cosα，sinα﹣cosα的值．
40.已知函数 ，记函数 的最小正周期为 ，向量 ， ?（ ），且 .
(Ⅰ)求 在区间 上的最值；
(Ⅱ)求 的值.
41.已知 ，求
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
42.计算题
（1）计算： ；
（2）已知sinθ=2cosθ，求值 ．
43.已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根（a∈R）．
（1）求sin3θ+cos3θ的值；
（2）求tan θ+ 的值．
44.计算下列各式的值
（1）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，α是第三象限角，则计算 ?tan2（π﹣α）；
（2）．
45.求值：
（1）sin6°sin42°sin66°sin78°；
（2）sin220°+cos250°+sin20°cos50°．
46.化简
（1）?sin（α﹣π）?cos（2π﹣α）；?
（2）．
47.已知﹣ ＜θ＜0，且sinθ+cosθ= ．
（1）求sinθ﹣cosθ的值；
（2）求 的值．
48.在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C分别是三角形的内角．
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC
（2）求证：tan tan +tan tan +tan tan 为定值．
49.化简与求值：
（1）．
（2）．
50.已知 =k（0＜α＜ ）．试用k表示sinα﹣cosα的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，且 ， ∴3（cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，
即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）= （cosα﹣sinα），
∴cosα+sinα= ，
∴1+sin2α= ，∴sin2α=﹣ ，
∵ ，∴cos2α=﹣ =﹣ ．
故选：A．
【分析】利用二倍角公式及正弦函数两角差公式得到cosα+sinα= ，从而求出sin2α=﹣ ，由此能求出cos2α．
2.【答案】D
【解析】【解答】解：把f（x）= sin2x﹣ cos2x+1=2sin（2x﹣ ）+1的图象向左平移 个单位， 得到函数y=2sin[2（x+ ）﹣ ]+1=2sin（2x+ ）+1的图象，
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+ ）的图象，
对于A，由于T= ，故正确；
对于B，由2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈Z，可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x= ，故正确；
对于C， g（x）dx= 2sin（2x+ ）dx=﹣cos（2x+ ）| =﹣（cos ﹣cos ）= ，故正确；
对于D，由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，可得函数y=g（x）在区间[ ， ]上单调递减，故错误．
故选：D．
【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．
3.【答案】 A
【解析】【分析】根据f（|x|)=f（x)，得到三角函数是一个偶函数，函数的图形关于y轴对称，三角函数要变化成一个余弦函数才能够是偶函数，得到角度要等于的结果，根据所给的范围得到结果．
【解答】∵f（|x|)=f（x)，
∴三角函数是一个偶函数，
∴函数的图形关于y轴对称，
∴+=+2kπ，
?∈（0，π)
∴=
故选A．
【点评】本题根据函数的图形确定函数的解析式，本题解题的关键是从所给的条件中看出三角函数是一个偶函数，进而得到结果．
4.【答案】 B
【解析】【解答】 ，
故答案为：B。

【分析】根据正弦和余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的商数关系，即可求出相应式子的值.
5.【答案】 D
【解析】【解答】 ，
，
? ．
故答案为：D．
【分析】直接利用已知条件 ?求出 ， 再利用分母的平方关系式，化简所求表达式为正切函数的形式，代入， 然后求解即可得出答案。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解法一：∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝ ＋ ，
⑴当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；
⑵当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.
解法二：∵角α的终边在直线y＝－x上，
∴α＝kπ－ (k∈Z)，
∴sinα与cosα符号相反，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝0.
故答案为：D
【分析】根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】由 可得： ，据此可知： ，则：
.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用三角函数的商数关系，求得tan的值，再利用三角函数的基本关系式化简，即可求解。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵α，β均为锐角，且sinα= ，cos（α+β）=﹣ ，
∴cosα= = ，sin（α+β）= = ，
∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）?cosα+sinα?sin（α+β）=﹣ + = ，
∴β= ，
故答案为：A．
【分析】由同角三角函数关系得出cosα，sin（α+β）的值，cosβ=cos[（α+β）﹣α]，根据两角差的余弦公式即可得出答案.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣ ，∴tanα= ，
∴ = ．
故答案为：D．
【分析】根据同角三角函数的基本公式拼凑出tanα即可求得结果。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解： = = = ，
故答案为：B．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】【解答】解： = = =|sin2+cos2|=sin2+cos2， 故选：D．
【分析】根据诱导公式以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．
12.【答案】D
【解析】【解答】解：∵sinα=3cosα?tanα=3， ∴ = = =﹣ ．
故选：D．
【分析】由同角三角函数关系式化简已知可得tanα=3，从而利用二倍角的函数公式即可求值．
13.【答案】C
【解析】【解答】解：∵α∈（ ，π），且cosα=﹣ ， ∴sinα= = ，
∴ = = = ．
故选：C．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用诱导公式化简所求即可计算得解．
14.【答案】C
【解析】【解答】解： = = ，
则sinα﹣cosα= ．
故选：C．
【分析】利用二倍角的余弦与两角差的余弦函数将已知等式化简即可得答案．
15.【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=cos212°﹣sin212°=cos24°， b= =tan24°＜ ＜ ＜cos24°，
c= =sin24° ＜sin24°，
∴则a、b、c的大小关系为 c＜b＜a．
故选：A．
【分析】由条件利用三角恒等变换，特殊角的三角函数值即可比较得解．
16.【答案】A
【解析】【解答】解：cos cos cos cos cos =
=
=
=
=
=
= ．
故选：A
【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．
17.【答案】C
【解析】【解答】解：由tanα= ，可得：tanαcosβ﹣tanαsinβ=cosβ+sinβ，即tanβ= =tan（ ） ∵ ，
∴β= ，即 ，
故选C
【分析】根据正切的和与差公式化解可得答案．
18.【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，2017cos2C﹣cos2A=2016﹣2sin2B， 可得sin2B+sin2A=2017sin2C，
由正弦定理可得：a2+b2=2017c2 ．
那么cosC= = ．
故 = = ．
故选：D．
【分析】利用二倍角公式化解2017cos2C﹣cos2A=2016﹣2sin2B，可得sin2B+sin2A=2017sin2C，即a2+b2=2017c2 ． 将 化简通分可得： ，利用正弦定理可得求解．
19.【答案】B
【解析】【解答】解： ， 又
则 =- ．
故选：B．
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简求解即可．
二、填空题
20.【答案】
【解析】【解答】由正弦定理,a2=b(b+c)即为
sin2A?sin2B=sinBsinC，
?，
?，
sin(A+B)sin(A?B)=sinBsinC
即为sinCsin(A?B)=sinBsinC，
sin(A?B)=sinB，
由于A，B为三角形的内角，则有A?B=B，即A=2B，
sinA=sin2B=2sinBcosB，
由正弦定理可得, ?，
结合题意可得角的范围： ?,
则 的取值范围是 。
【分析】由三角函数的诱导公式得出角A、B的关系，再由三角形内角性质和正弦定理即可求解。
21.【答案】
【解析】【解答】解：∵在x=θ时，f（x）=3sinx+4cosx=5（ sinx+ cosx）=5sin（x+α）取最大值为5， 其中，cosα= ，sinα= ，
则f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，∴sinθ= ，cosθ= ，
则 = ═ = ，
故答案为： ．
【分析】由题意可得f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，可得sinθ= ，cosθ= ，由此求得所给式子的值．
22.【答案】1
【解析】【解答】解：∵tan60°= ， ∴ =
=tan（60°﹣15°）
=tan45°
=1．
故答案为：1．
【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．
23.【答案】1
【解析】【解答】解： =
=
= ．
故答案为：1．
【分析】把分子中的47°拆为30°+17°，展开两角和的正弦，再把分母利用诱导公式及两角和的正弦化简，则答案可求．
24.【答案】
【解析】【解答】解：sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°=cos20°cos40°cos80° = = = ．
故答案为： ．
【分析】化正弦为余弦，分子分母同时乘以2sin20°，依次利用二倍角的正弦求解．
25.【答案】
【解析】【解答】解：在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2=2016c2 ， 由余弦定理a2+b2﹣2abcosC=c2 ， 可得：2abcosC=2015c2 ，
再由正弦定理可得，2sinAsinBcosC=2015sin2C，
sinAsinB= sin（A+B）tanC，
则 = = = ，
故答案为： ．
【分析】通过余弦定理以及正弦定理，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，把正弦函数余弦函数化为正切，即可得到结果．
26.【答案】﹣4
【解析】【解答】解： = = = =﹣4 故答案为：﹣4 ．
【分析】利用二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
27.【答案】
【解析】【解答】解：在△ABC中， +=3， ∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
根据正弦定理得： ．
∴a2=3bccosA．
又根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣2bccosA=3bccosA．
∴ ．
当且仅当b=c时等号成立，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：
【分析】运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得答案．
28.【答案】±1或±3
【解析】【解答】解：原式= + = 故答案为±1或±3．
【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可得出．
三、解答题
29.【答案】 （1）解：(解法1)联立方程 由①得cosα＝ －sinα，
将其代入②，整理，得25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α是三角形内角，∴ ∴tanα＝－ .
(解法2)∵sinα＋cosα＝ ，∴(sinα＋cosα)2＝ ，即1＋2sinαcosα＝ ，
∴2sinαcosα＝－ ，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋ ＝ .
∵sinαcosα＝－ <0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0.
∵sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝ .
由 得 ∴tanα＝－
（2）解： .
∵tanα＝－ ，∴ ＝
【解析】【分析】（1）先由已知与联立，得到 25sin2α－5sinα－12＝0 ，解出sinα和cosα，即可得 tanα的值；
（2）先利用同角三角函数的关系式，把原式变形为关于tanα的表达式，再把（1）中tanα的值代入即可求值.
30.【答案】 （1）解：原式＝ ＝
（2）解：原式＝ ＋1＝ ＋1＝ ＋1＝ .
【解析】【分析】（1）由题目已知条件求出,把这个关系式代入题目中，便可化简计算出最后答案。（2）由第一问也可以快速算出,因为,? 可以处理为,然后式子上下同时除以,转为的式子，最后得出答案。
31.【答案】 （1）解：∵已知α为第二象限角，且 sinα= ，∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴ = = =﹣
（2）解：∵已知α∈（0， ），β∈（0，π），且tan（α﹣β）= ，tanβ=﹣ ，
∴β∈（ ，π），α﹣β∈（﹣π，﹣ ），2α﹣β∈（﹣π，0）．
∵tan（2α﹣2β）= = ＞1，
∴tan（2α﹣β）=tan[（2α﹣2β）+β]= = =1，
∴2α﹣β=﹣
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得要求式子的值．（2）利用两角和差的三角公式求得 tan（2α﹣β）=tan[（2α﹣2β）+β]的值，再结合2α﹣β的范围，求得2α﹣β的值．
32.【答案】 （1）解：∵ =sinx?cosx+sinx?cosx=2sinx?cosx=sin2x
∵x∈[0， ]，
∴2x∈[0，π]
∴ ∈[0，1]
（2）解：证明：∵=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴| |=
=
∵x∈[0， ]，
∴x+ ∈[ ， ]，
∴sin（x+ ）＞0，
∴ =2sin（x+ ），
∴| + |=2sin（x+ ）．
（3）解：∵x∈[0， ]，
∴x+ ∈[ ， ]
∴f（x）=
=
=2sinxcosx﹣2（sinx+cosx）
解法1：令t=sinx+cosx
∴
∴y=t2﹣1﹣2t
=（t﹣1）2﹣2
∴y∈ ，
解法2：f（x）=sin2x﹣2
=
= ﹣1
∵ ≤1
∴f（x）∈[﹣2， ]
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算公式可求得 =sin2x，又x∈[0， ]，从而可求 的取值范围；（2）由 =（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念结合辅助角公式即可证得| |=2sin（x+ ）．（3）将 化简为：f（x）═2sinxcosx﹣2（sinx+cosx），解法1：令t=sinx+cosx，sinx?cosx= （1≤t≤ ），y=t2﹣1﹣2t=（t﹣1）2﹣2取值范围可求．
解法2：f（x）=sin2x﹣2 sin（x+ ）= ﹣1，求得sin（x+ ）的范围即可．
33.【答案】 （1）解：依题意，tanα= =﹣2，
∴ = = =﹣10
（2）解：由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），
又 = + ， ，
∴四边形OAQP为菱形，
∴S=2S△OAP=sinθ，
∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴ =（1+cosθ，sinθ），
∴ ? =1+cosθ，
∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）2+ sinθ﹣1
=cos2θ+ sinθ﹣1
=﹣sin2θ+ sinθ，
∵ ≤sinθ≤1，
∴当sinθ= ，即θ= 时，f（θ）max= ；
当sinθ=1，即θ= 时，f（θ）max= ﹣1
【解析】【分析】（1）依题意，可求得tanα=2，将 中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=﹣sin2θ+ sinθ；θ∈[ ， ]? ≤sinθ≤1，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．
34.【答案】 （1）解： ,
∵ 是第四象限角,∴ ，又 ,
∴ .
（2）解：由（1）知 ,又 ,∴ ,
即 ,解得 ,
∵ 是第四象限角,∴ ,
∴ .
【解析】【分析】（1）由 , ,可将原式的根号去掉,然后结合 是第四象限角,可对原式进行化简;（2）结合（1）可求得 的值,进而可求得 , .
35.【答案】 （1）解：由题意得
??
．
（2）解：∵ ，
∴ ．
又 为第三象限角，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由已知利用诱导公式进行化简即可；
（2）由已知得到 ， 由 为第三象限角化简，得到 即可求值.
36.【答案】 （1）解：
（2）解： 是第三象限角,
【解析】【分析】（1）由诱导公式,代入数据计算，即可得出答案。
（2）由公式及弦切互化,代入数据计算，即可得出答案。
37.【答案】 解：角α终边上一点P（4，3 ），
∴tanα= = ；
∴
=
=
= =tanα=
【解析】【分析】根据定义求出tanα的值，再化简题目中的代数式并代入求值．
38.【答案】 （1）解： = =
= ；
（2）解： =
= = ．
【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式化简求值即可；（2）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简求值即可．
39.【答案】 （1）解：f（α）= = + =sinα+cosα= sin（α+ ）
（2）解：由 ，平方可得 ，
即 ，∴sinα?cosα=﹣ ，∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα= ，
又 ，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=﹣
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数式f（α）的解析式，可得结果．（2）利用同角三角函数的基本关系求得 sinα?cosα 的值，结合 sinα与cosα 的符号，可得（sinα﹣cosα）2的值，可得sinα﹣cosα的值．
40.【答案】 解：(Ⅰ) =
? ? ，
? 的最大值是 ，最小值是
(Ⅱ)
? ?
?
= = = =
【解析】【分析】（1）用三角恒等变换将f(x)化为一个角的一种三角函数的形式，从而求出f(x)在给定区间上的最值。
（2）由向量数量积的坐标运算结合同角三角函数关系式先求出sinα的值，将目标式恒等变换，再利用同角三角函数关系求值。
41.【答案】 （1）解： =
=
=7；
（2）解：tanα= =﹣ ，
∴sinα=﹣ cosα，
∴sin2α+cos2α= +cos2α= cos2α=1，
解得cosα=± ；
又α∈（ ，π），∴cosα=﹣ ，
∴ = = = ；
（3）解： =
=
=
=
=﹣ ．
【解析】【分析】（1）由两角差的正切公式计算即可；（2）由tanα求出cosα的值，利用半角公式求出 的值；（3）由二倍角公式，利用弦化切即可求出计算结果．
42.【答案】 （1）解： =cos ﹣tan +sinπ= ﹣1+0= ﹣1．
（2）解：∵已知sinθ=2cosθ，∴tanθ=2，∴ = = = ．
【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．（2）由已知可得tanθ=2，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
43.【答案】 （1）解：由题意利用韦达定理知：sin θ+cos θ=a，sin θ?cos θ=a．
∵（sin θ+cos θ）2=1+2sin θcos θ，∴a2=1+2a．
解得：a=1﹣ 或a=1+ ．
∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a=1+ 舍去，a=1﹣ ．
∴sin3θ+cos3θ=（sin θ+cos θ）（sin2θ﹣sin θcos θ+cos2θ）=（sin θ+cos θ） （1﹣sin θcos θ）
=a（1﹣a）= ﹣2．
（2）解：tan θ+ = + = = = = =﹣1﹣ ．
【解析】【分析】（1）利用韦达定理、结合正弦函数的值域求得a的值，再利用立方和公式求得sin3θ+cos3θ的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
44.【答案】 （1）解：由方程5x2﹣7x﹣6=0的根，解得x= ，2．
∵α是第三象限角，∴sinα=﹣ ，cosα=﹣ ，tanα= ．
则 ?tan2（π﹣α）= tan2α=﹣tan2α=﹣ ．
（2）解： = = =1．
【解析】【分析】（1）由方程5x2﹣7x﹣6=0的根，解得x= ，2．由α是第三象限角，可得sinα=﹣ ，cosα=﹣ ，tanα= ，利用诱导公式即可得出 ?tan2（π﹣α）的值．（2）利用三角函数基本关系式即可得出．
45.【答案】 （1）解：原式=sin6°cos12°cos24°cos48°
=
=
=
= = =
（2）解：原式=
=
= ﹣sin70°sin30°+ sin70°=
【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简可得sin6°cos12°cos24°cos48°，考虑到题目中的角成二倍角，故添项cos6°，配凑二倍角的正弦，从而可求（2）利用二倍角的余弦公式及积化和差公式、和差化积公式，化简可得
46.【答案】 （1）解： ?sin（α﹣π）?cos（2π﹣α），
= ?（﹣sinα）?cosα，
=﹣sin2α；
（2）解： ，
= ，
= ，
=﹣ ，
=﹣1．
【解析】【分析】（1）由诱导公式和同角三角函数关系进行化简求值；（2）由诱导公式、三角函数的平方关系进行化简求值．
47.【答案】 （1）解：∵﹣ ＜θ＜0，sinθ+cosθ= ，又 sinθ2+cosθ2=1，
解得：sinθ=﹣ ，cosθ= ，
那么：sinθ﹣cosθ═﹣ ﹣ =﹣ ；
（2）解：由（1）可知：sinθ=﹣ ，cosθ= ，
∴tanθ= = ，
∴ = =﹣ ．
【解析】【分析】根据同角三角函数关系式求出sinθ，cosθ后代入求值即可．
48.【答案】 （1）证明：左边=
=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC
=tan（π﹣C）（1﹣tanAtanB）+tanC
=﹣tanC+tanAtanBtanC+tanC
=tanA?tanB?tanC=右．
得证．
（2）证明：在△ABC中，∵A+B+C=π，
∴tan tan +tan tan +tan tan
=tan ?tan（ + ）（1﹣tan tan ）+tan tan
=tan ?cot （1﹣tan tan ）+tan tan
=（1﹣tan tan ）+tan tan
=1（定值）．
【解析】【分析】（1）根据内角和定理得A+B=π﹣C，代入两角和的正切公式化简即可得证．（2）在△ABC中，A+B+C=π，逆用两角和的正切，可得（tan +tan ）=tan（ + ）（1﹣tan tan ）=cot （1﹣tan tan ），即可证得结论成立
49.【答案】 （1）解：
=
=cosα
（2）解：
=
=1
【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．
50.【答案】 解：
=
=
=2sinαcosα=k．
当0＜α＜ 时，sinα＜cosα，
此时sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=﹣
=﹣ =﹣ ．
当 ≤α＜ 时，sinα≥cosα，
此时sinα﹣cosα≥0，
∴sinα﹣cosα= = = ．
【解析】【分析】利用倍角公式及切化弦可把原式化为2sinαcosα=k．分0＜α＜ ， ≤α＜ 两种情况通过求（sinα﹣cosα）2可得答案．
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