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勾股定理
知识点
1.
勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.
勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．
（3)平面直角坐标系中点与点之间的距离；
注意点：
（1）勾股定理的前提是直角三角形
（2）已知直角三角形中两条边的长，求第三边的长，要弄清那条是斜边，哪条是直角边，不能确定时，要分类讨论。
2.
勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.
作用：
（1）判定一个三角形是否是直角三角形的.
（2）证明两直线是否垂直。
3.
勾股数：
若三个正整数a，b，c满足a?+b?=c?，则称a，b，c是勾股数.
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……
4.
含特殊角的三角形的小结论
图
形
结
论
a：b：c=1：
：2
b
a:
b:
c=1:
1
:
a:
a
:
c=1:
1:
类型一：运用勾股定理计算线段的长
典例精析
例1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（　　）
A．5
B．7
C．
D．或5
【变式】若一直角三角形两边长分别为5和12,则第三边长为(
)
A.13
B.13或
C.13或15
D.15
例2.如图：在一个高5米，长13米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是
米
【变式】如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）
A．5
m
B．12
m
C．13
m
D．18
m
例3.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．
例4.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
例5.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
l1、l2、l3上，且
l1、l2之间的距离为2
,
l2、l3之间的距离为3
,求AC的长。
基础训练
如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为(　　)
A.
米
B.
米
C.(+1)米
D.3米
2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的(
)
A．1倍
B．2倍
C．3倍
3.一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（
）
A．13
B．
C．
D．
4.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(
)
A．48
B．60
C．100
D．140
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的BC边的中线．若AB＝，BC＝2AC，则AD的长是（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
6.如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-4,3),以点B(-1,0)为圆心,以BP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于(　)
A.
-6和-5之间
B.
-5和-4之间
C.
-4和-3之间
D.
-3和-2之间
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝　
　．
8.等腰三角形的腰长5
cm,底长8
cm,则底边上的高为
　cm.
9.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为
.?
10.如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
11.如图，已知带孔的长方形零件尺寸（单位：），两孔中心的距离为
．
12.如图，等腰中，，，以所在直线为轴，点为坐标原点建立直角坐标系，点在第一象限，则点的坐标为__________．
13.如图，一个长为10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么它的底端B也滑动1米吗？试说明理由．
巩固提高
1.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过△ABC的顶点B作直线，且点A到的距离为2，点C到的距离为3，则AC的长是（
）
A．
B．
C．
D．5
3.在△ABC中,AB=,AC=5.若BC边上的高等于3,则BC边的长为
?.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是　
　．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE为BC边的中线，BC＝10，AE＝12，AB＝13．若BD平分∠ABC，则△ABD的面积为　
　．
6.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△ACE≌△ACF；
（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．
类型二：弦图有关问题
典例精析
例1.如图，直线
l上有三个正方形
a、b、c
，若
a、c的面积分别为5和11，则b
的面积为（　　）
A、4
B、6
C、16
D、55
【变式1】如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积之和是________．
【变式2】如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1
、S
2、S
3，则S1
、S
2、S3
之间的关系是（
）
A、S1+S
2>S3
B、S1
+S
2C、S1
+S2=S3
D、S12
+S22
=S32
例2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为
a，较长直角边为
b，那么(a+b)2
的值为（
）
A、13
B、19
C、25
D、169
基础训练
1.如图，正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（
）
A．5
B．7
C．9
D．25
2.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为
。
3.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为
．
巩固提高
1.如图，Rt△ABC
的周长为(5+3
)
cm，以
AB、
AC为边向外作正方形ABPQ
和正方形ACMN
．若这两个正方形的面积之和为25cm2
，则
△ABC的面积是
cm2.
2.在直线
l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=
．
3.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1
，S2，S3．
若S1+S2+S3＝10，则S2的值是
4.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于
．
类型三：运用勾股定理解决折叠问题
典例精析
例1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD=
。
【变式】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　
　．
例2.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（
）
A．
B．
C．
D．3
基础训练
1.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知CD=6cm，CD'=2cm，则AD的长为
.
2.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为
。
3.将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为
．
4.折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长.
5.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8
cm，BC=10
cm,折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕为AE，求CE的长.
巩固提高
1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（
）
A．12厘米
B．16厘米
C．20厘米
D．28厘米
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）
A、5
B、5－5
C、10－5
D、5
+
3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
4.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处如图③，则折痕DE的长
。
5.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．
6.如图，在长方形ABCD中，DC
=
9．在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若△ABF的面积是54，求△FCE的面积．
类型四：运用勾股定理解决最值问题
典例精析
例1.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A．4
dm
B．2
dm
C．2
dm
D．4dm
例2.如图，已知长方体的长为6
cm，宽为5
cm，高为3
cm，那么虫子想沿表面从A爬到B的最短路程是（
）
A．14
cm
B．10
cm
C．
cm
D．6
cm
例3.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？
例4.已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
例5.如图∠AOB
=
45°，P是∠AOB内一点，PO
=
10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
巩固提高
1.如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为
2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=3cm，点P是内壁BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）
A．（4+）cm
B．5cm
C．8cm
D．7cm
3.如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A1点到C点的最短距离为_______．
4.在边长为2
cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm
5.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
cm．
6.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为____．
7.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
8.已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；
（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
9.在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
11.如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
类型五：运用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形
典例精析
例1.△ABC三边长分别为a、b、c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5
B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝6，b＝8，c＝10
D．a＝5，b＝12，c＝13
【变式】如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（
）
A．CD,EF,GH
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
例2.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（
）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形
【变式】如果△ABC的三边a,b,c满足关系式
+（b-18）2+=0则△ABC是
_______三角形。
例3.如图，在四边形ABCD中，，，，，AB⊥BC，四边形ABCD的面积为___________________．
【变式】一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？
基础训练
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（
）
A．5，6，7
B．4，5，6
C．6，7，8
D．5，12，13
2.已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于(
)
A．10
B．14
C．4.8
D．2.4
3.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）
A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10
D．a=5，b=12，c=13
4.已知的三边长分别为，且满足，则的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5.由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．AB2＝BC2+AC2
6.下列说法正确的是（　　）
A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是4
7.已知，△ABC的三边长分别为：2，，，则△ABC的面积是_____．
8.已知a，b为实数，且满足+b2﹣6b+9＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c，求△ABC的面积．
9.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点
判断的形状，并说明理由．
求BC边上的高．
10.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2且∠B＝90°，求∠DAB的度数。
巩固提高
1.若三角形的三边是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是
.
2.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.
当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝
米时,有DC
2＝AE
2＋BC2
.
3.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？
　
　
类型六：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题
典例精析
例.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
巩固提高
1.在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
2.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
为了积极响应国家新农村建设，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为800米，假使宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？

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