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构造差函数 强化恒成立
函数中常会碰到两个函数在某个区间（或整个定义域）内一个函数值恒大于或小于另一个函数值问题，即对于区间上的函数，，对于任意，恒成立．现结合具体例题为同学们介绍构造差函数的方法．
例1 设函数，在区间上可导，且，则当时，有（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：因为函数，在区间上可导，则函数在区间上可导，且由于，则在区间上恒成立，即在上函数是增函数，对于任意有（同时），故，所以，选（C）．
同理可得．
点评：本题并没有过多地考虑，在某具体点处的函数值的大小问题，而是从构造差函数入手，研究新函数的单调性，利用差函数的导数，简捷得到相应的结论．
例2 已知函数．求证：在区间上，函数的图象在函数图象的下方．
解析：构造函数，即，则．
因为，所以，故函数在区间上是减函数，注意到，所以在区间上恒成立（恒成立），故函数的图象总在函数图象的下方．
请用上述思想，试解下列三道习题：
1．设是锐角三角形的两个内角，求证．
提示：可证，由的单调性（求导数），只需证，即即可，这由题设三角形为锐角三角形易知．
2．当时，证明：．
提示：利用导数，，则，，，是增函数；同理，构造函数，，由得是增函数；而时， ，由单调性知，时，．
3．已知函数，，若对任意的都有，求实数的取值范围．
提示：构造函数，即，对任意的都有，则在上恒成立，只要在上恒成立，．
由，解得或，
若显然，．
若，，即，解得，则．
特别地，当时，也满足题意．
综上，实数的取值范围是．不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
恒成立,也就是一个代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x ≥0，在实数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )范围既x∈R内恒成立
能成立,也就是一个代数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.
恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1) =0，在x=1时恰成立.
可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.
例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1常见关键词列表如下：
问题类型 关键词1 关键词2
恒成立问题 对任意，一切，所有 恒成立，都成立，都有，总有，总是，
能成立问题 存在实数…使得，解集不是空集，有解
恰成立问题 解集是，值域是，
一、不等式恒成立问题的处理方法
多参数恒成立问题举例：
例1: 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.
二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
例2、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______
例3、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________．
例4、已知函数（）存在单调递减区间，求的取值范围________.
三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法
例5、不等式的解集为则___________
例6、已知当的值域是,试求实数的值.
例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。
（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（3）对任意x1、x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、设函数．对于任意实数，恒成立，求的最大值。
2、已知不等式恒成立。求实数的取值范围。
3、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。
4. （1）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围
（2）若不等式对任意实数m恒成立，求实数x的取值范围。
5、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围
6、 若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围 。
6、不等式有解，求的取值范围。
7、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是M；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为N，求集合．
8、设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
9、已知函数，（Ⅰ）求 ( http: / / www. / )的值域；
（Ⅱ）设，函数 ( http: / / www. / )。若对任意，总存在 ( http: / / www. / )，使, 求实数 ( http: / / www. / )的取值范围.
解：⑴方法一：对函数求导， ( http: / / www. / )令=0，得 ( http: / / www. / )或，
当 ( http: / / www. / )时，>0， ( http: / / www. / )在上单调递增；当 ( http: / / www. / )时, <0, ( http: / / www. / )在(1,2)上单调递减。又 ( http: / / www. / )当 ( http: / / www. / )时的值域是 ( http: / / www. / )；
方法二：当时 ( http: / / www. / )=0；当时 ( http: / / www. / )当且仅当 ( http: / / www. / )时的值域是 ( http: / / www. / )；
（2）设函数在 ( http: / / www. / )的值域是，∵对任意 ( http: / / www. / )，总存在，使 ( http: / / www. / )。
∴ ( http: / / www. / )对函数求导， ( http: / / www. / )， ( http: / / www. / )
①当时，函数 ( http: / / www. / )在上单调递减，
( http: / / www. / )∴当时，不满足 ( http: / / www. / )；
②当 ( http: / / www. / )时， ( http: / / www. / )，令得 ( http: / / www. / )（舍去），
（i）当， ( http: / / www. / )时，列表
0 ( http: / / www. / ) ( http: / / www. / ) 2
( http: / / www. / ) － 0 ＋
( http: / / www. / ) 0 ( http: / / www. / ) ( http: / / www. / )
∵ ( http: / / www. / )又∵ ( http: / / www. / )，∴解得 ( http: / / www. / )
(ii）当时, ( http: / / www. / ),∴函数在 ( http: / / www. / )上单调递减，
( http: / / www. / ),∴当时，不满足 ( http: / / www. / ).综上,实数 ( http: / / www. / )的取值范围是.
10.（2004.福建）已知在区间上是增函数.
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
在[－1，1]上是增函数， ∴对x∈[－1，1]恒成立，
即对x∈[－1，1]恒成立, ①
方法一：由图象知
① ， ∴.
方法二：
①或 或
∴.
（Ⅱ）由=，得， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程的两非零实根， ∴， ，
从而|x1－x2|==. ∵，∴=≤3.
要使不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当对任意t∈[－1，1]恒成立，
即对任意t∈[－1，1]恒成立． ② 设
② ．
所以，存在实数，使不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是．
11. 设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，,若存在使得成立，求的取值范围.
8. 本题的第（Ⅱ） “若存在使得成立，求的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.
由（Ⅰ）可得,函数在的值域为,
又在的值域为,
存在使得成立，等价于或，容易证明,.
于是, .
12. 已知函数
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.
9. （1）对函数求导，得
令解得
可以求得，当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，的值域为.
（2）对函数求导，得
因为，当时，
因此当时，为减函数，
从而当时有
又
即时有的值域为是
如何理解“任给，，存在使得”，
实际上，这等价于值域是值域的子集，即这就变成一个恒成立问题，的最小值不小于的最小值，的最大值不大于的最大值
即
解①式得 ；
解②式得
又，故a的取值范围为
①
②含参数的不等式恒成立问题的处理策略
含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。
一、分离变量法
对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例1．不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。
解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k2-k+3
<==>（2 sinx+1）2max< k2-k+3
而（2 sinx+1）2max=9 ∴k2-k+3=9
解之得：k > 3或k < -2
故k的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)
④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)
二、数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，利用图象直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数K的不等式。
例2 如果不等式 x-5 ≠kx+2在[s，+∞]内恒成立求参数K的取值范围
解：令f(x) = x-5 , g(k) = kx+2（x≥5）；f(x)的图象是抛物线y2=x-5位于x轴上方的部分，g(k)的图象则是斜率为k在y轴上的截距为2的动直线
过A（0，2）作y2=x-5的切线，令它的方程为y=kx+2，显然k≠0
由 y2=x-5 清去y得 k2x+（4k-1）+9=0
y=kx+2
由△=-20k2-8k+1=0解得k = 1 ，k= 1
10 2
y= 1 x+2切抛物线y2=（x-5）于上半部y=- 1 x+2
10 2
切抛物线y2=x-5于下半部，故y= 1 x+2与y= x+5 相
10
切，又KBA=- 2 ，其中A(0，2) B(5，0)，令y= 1 x切
5 10
y= x-5 于C，x-5 ≠kx+2 在[5，+∞）内恒成立。
（二）y = f(x)与y = g(x)的图象无
交点,如图知当过A的直线在∠BAC
的外部时它们没有交点
故当k> 1 或K<- 2 时,不等
10 5
式 x-5≠kx+2，在[5，+∞)内恒成立。
三、利用函数的单调性
当不等式两边的函数在使不等式恒成立的区间内具有不同的单调性时，我们可以利用这一特点将问题化归为极端情形，从而将一般问题作特殊化处理。
例3．不等式x2-loga x<0在（0， 1 ）内恒成立，求参
2
数a的取值范围。
解：x2-logax<0可化为x2∴logax >x2 >0（0<， 1 ） ∴0 < a < 1
2
而y= logax在（0， 1 ）单调下降，y=x2在（0， 1 ）
2 2
内单调上升
∴x2( 1 )2≤loga 1
2 2 2
即a ≥ 1 ∴m≥ 1 故m的取值范围是[ 1 ,1)
2 16 16
四、简价化归
化归是一种重要的思想方法，含参数的不等式恒成立问题也可用一个与之等价的命题来代替它，从而实现化归。
例4．若不等式（x-1）log32 a-6xlog3 a+x+1 > 0在[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围。
解：令f(x) = (x-1) log32 a -6xlog3 a+x+1
即f(x) =x ( log32 a -6log3 a+1)+1- log32 a
f(x) >0在[0，1]上恒成立<==> f(0) > 0 即 1-log32 a > 0
f(1) > 0 2-log32 a > 0
解之得：-1< log32 a < 1 ∴ 1 < a < 3 3
3 3
故a的取值范围是（ 1 , 3 3
3
五、分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例5．已知x∈[2，+∞]时不等式| loga x | > 0恒成立，求实数a的取值范围。
解：当x∈[2，+∞]时| loga x | > 0恒成立
<==> 当x∈[2，+∞] 时loga x > 1 或loga x > -1
若x∈[2，+∞] loga x > 1恒成立
∵loga x > 1 x∈[2，+∞] ∴a > 1 从而y = loga x在[2，+∞]上单调增加 x∈[2，+∞] loga x > 1<==> log a2 > 1解得a < 2
∴1 < a < 2
若x∈[2，+∞] loga x > -1恒成立
∵loga x > -1 x∈[2，+∞] ∴0 < a < 1 从而y = loga x在[2，+∞]单调下降 ∴x∈[2，+∞] loga x > -1<==> loga 2
< -1 解得a > 1
2
∴ 1 < a < 1
2
综上所述，a的取值范围是（1，2）∪（ 1 , 1）
2
六、利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解。
例6．不等式 2x2+2mx+m < 1，对一切x均成立，求
4x2+6x+3
实数m的取值范围。
解：∵4x2+6x+3 = (2x+ 3 ) 2 + 3 > 0在R上恒成立
2 4
∴ 2x2+2mx+m < 1<==> 2x2+2mx+m < 4x2+6x+3
4x2+6x+3
<==> 2x2+(6-2m)x+3-m>0 x∈R
∴ △=(6-2m) 2 – 8(3-m) < 0 解之得1 < m < 3
故实数m的取值范围是(1, 3)
一般地f(x)=ax2+bx+c恒正<==> a > 0
△< 0
f(x)=ax2+bx+c恒负<==> a < 0
△< 0
七、利用基本不等式
基本不等式可用来帮助我们求解含参数的不等式恒成立的问题。
例7．设n是自然数对任意的x, y, z恒有（x2+y2+z2）2≤n(x4+y4+z4)4，求n的最小值。
解：在三元均值不等式 a2+b2+c2 ≥ a+b+c 中
3 3
令x2=a y2=b z2=c 则有 x4+y4+z4 ≥ x2+y2+z2
3 3
变形即得（x2+y2+z2）2≤3 x4+y4+z4
故当n=3时不等式恒成立。
在（x2+y2+z2）2≤n(x4+y4+z4)4中令x2=y2=z2则有
9 x4≤3nx4 ∴n≥3
故n的最小值是3。
利用不等式求解含参数不等式恒成立问题的方法是：先设法确定参数的取值范围，再说明端点能够实现不能实现，从而准确地得到参数的取值范围。
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理。解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法
“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：
即一般的，若函数在定义域为D，则当x∈D时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
例一 已知函数.
①求的反函数;
②若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围.
分析：本题的第二问将不等式转化成为关于t的一次函数在恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？
【解析】 ①略解
②由题设有,∴,
即对于恒成立. 显然,a≠-1
令,由可知
则对于恒成立.
由于是关于t的一次函数.（在的条件下表示一条线段，只要线段的两个端点在x轴上方就可以保证恒成立）
∴
例二 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有
恒成立，求实数m的取值范围.
分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间[a，b]上恒成立问题可以转化成为在[a，b]上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由得到：
因为为奇函数，
故有恒成立，
又因为为R减函数，
从而有对恒成立
设，则对于恒成立，
在设函数,对称轴为.
①当时，，
即，又
∴(如图1)
②当，即时,
,即,
∴,又,
∴(如图2)
③当时，恒成立.
∴(如图3)
故由①②③可知：.
例三 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2＞0对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．
【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，
所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
，
即对于任意恒成立.
令t=3＞0，
问题等价于对于任意恒成立.
令,其对称轴为直线
当,即时,
恒成立,符合题意,故;
当时,
对于任意,恒成立，解得
综上所述,当时,对于任意恒成立.
本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.
分离系数,由得.
由于,所以,故,即u的最小值为.
要使对于不等式恒成立,只要
说明: 上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
例四 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。（2005年湖北卷第17题）
分析：利用导数将“函数在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的取值范围。
【解析】依定义。
则，
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。
∴在（-1，1）上恒成立。
考虑函数，（如图4）
由于的图象是对称轴为，
开口向上的抛物线，
故要使在（-1，1）上恒成立，
即。
而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是.
数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想．
t=m
t
g(t)
o
·
1
图1
t=m
t
g(t)
o
·
1
图2
t=m
t
g(t)
o
·
1
图3
·
o
x
·
1
·
-1
y
·
g(x)
图4剖析高考数学中的恒成立问题
新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：
一、函数性质法
1、二次函数：
①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；
②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参
数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。
解析：当时，在上恒成立，而
在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)
当时，在上递减且只在上恒成立，
而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。
当时，在上递增且在上恒成立，
而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，
与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)
则有或解得或，
综上可得即。 故选B。
例2（09年江西卷文17）设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）
解析：(1) , 对,, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值为。
2、其它函数：
恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.
例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.
（1）试确定、的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析： 恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，。
解：（1）（2）略
（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.
要使恒成立，只需.即，
从而. 解得或. 的取值范围为.
例4（08天津文21）．设函数，其中．
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）
分析：，即，，，要解决此题关键是求。
解：（Ⅲ）由条件可知
，从而恒成立．当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，
即，即在上恒成立．即，
所以，因此满足条件的的取值范围是．
例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数
（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）
分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解：（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
；
则由题意得 即解得 。
二、主参换位法
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例6（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数 均有，.
(Ⅰ) 求函数的解析式；
(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.
解析： (Ⅰ) ，
，而，恒成立.则由二次函数性质得 ，解得，， 。
（Ⅱ）.令，则 即.由于，则有. 解得 .所以的取值范围为。
例7 (08安徽文科20 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))．已知函数，其中为实数．
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）
分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。
解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），
则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。
三、分离参数法
　 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；
（2） 求在上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8 （07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
解析: 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.
例9（09年山东卷文21）已知函数,其中
当满足什么条件时,取得极值
已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
分析：此题虽有三个变量、、，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，所以可以将看成一个已知数，对和进行离参。
解析：(2) 在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，，令得或(舍去)，
当时,，当时，单调增函数；
当时，单调减函数,
。。
当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。
综上，当时, ； 当时，。
四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例10 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) （D）
解析：对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知，即。
上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。
2009年6月
图3
1
o
x
y
图1
1
x
y
0
1
x
y
0
图2
O常见 “恒成立问题” 的解决办法
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法．
一 变量分离法
变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、
思路2、
例1．（2008年上海）已知函数f(x)＝2x－若不等式2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围
解：本题可通过变量分离来解决．
当时，
即，，
，
故的取值范围是
例2．（1990年全国）设，其中a为实数，n为
任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围．
解：本题即为对于，有恒成立．
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立．
构造函数，则问题转化为求函数在上的值域，由于函数在上是单调增函数，
则在上为单调增函数．于是有的最大值为，从而可得．
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值．
二 赋值法——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例3．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( )
A.10 B.7 C.-1 D.0
略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D
例4．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.
A.1 B.-1 C . D. -.
略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
三 构造函数法
1、一次函数型
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷．给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有
例5．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.
分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.
2、二次函数型
若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解．
例6． 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围.
分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当恒成立，
所以 ①当
此时
②当
有
综上所述，f(x)的定义域为R时，
例7.已知函数，若时，恒成立，求的取值范围.
分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可.
解：，令在上的最小值为.
⑴当，即时， 又
不存在.
⑵当，即时， 又
⑶当，即时， 又
综上所述，.
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例6），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题（如例7）．
四 数形结合法
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图
象，则可以通过画图直接判断得出结果．
例8.设，若不等式恒成立，求a的取值范围．
解：若设，则为上半圆．设，为过原点，a为斜率的直线．在同一坐标系内 作出函数图象，依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为．
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.
五 换元引参法
例9.对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，
则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”．
这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：． 解得，即有，易得．
通过换元引参，把把问题变成熟悉的二次函数问题，使问题迎刃而解．
六　变更主元法
例10.若对于，方程都有实根，求实根的范围．
解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则，
由原方程知，得 又，即
解之得或．
利用变更主元法解决恒成立问题，应先把主元变更，然后结合两者之间的关系，得出正确答案.

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