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3.平行线的判定
第七章 平行线的证明
① 同位角有4对：
② 内错角有2对：
③ 同旁内角有2对：
∠1和∠2,
∠3和∠4,
∠5和∠6,
∠7和∠8.
∠7和∠2,
∠5和∠4.
∠7和∠4,
∠5和∠2
在三线八角中：
F
1
3
7
5
2
8
6
D
C
A
B
E
4
前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两条直线都和第三条直线平行，则这 两条直线互相平行
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
——— 公理
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
分析：这是一个文字证明题，需要先把命题的文
字语言转化成几何图形和符号语言。
证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
证明一个文字叙述的命题的一般步骤:
(1)弄清条件和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)结合图形，根据条件和结论写出已知、求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.
1
2
3
a
b
c
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补定义）
∴∠1=180°－∠2（等式的性质）
∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠3=180°－∠2（等式的性质）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c
截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。
求证：a∥b．
议一议
小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
1
2
3
a
b
c
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c
截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1+∠3=180°（平角定义）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠2与∠3互补（互补的定义）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
想一想
借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，
你还能证明哪些熟悉的结论呢？
答：如果两条直线都和第三条直线垂直，那
么这两条直线平行
已知：如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．
a
b
c
┐ ┐
1
2
练一练
蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个
四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′,
∠ β=70 °32′,试确定这三个四边形的形状。
两直线平行 的 判定：
议一议
1、同位角相等，两直线平行.
2、内错角相等，两直线平行.
3、同旁内角互补，两直线平行.
议一议
小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
平行线的判定——应用
方法
文字叙述
数学符号
图形
一
定义
同一平面内，不相交的两条直线互相平行
二
公理
同位角相等，
两直线平行
∵∠1=∠2
∴a∥b
三
定理
内错角相等，
两直线平行
∵∠2=∠3
∴a∥b
四
定理
同旁内角互补，两直线平行
∵∠2+∠4=180°
∴a∥b
五
推论
平行于同一条直线的两直线平行
∵a∥b，c∥b
∴a∥c
六
推论
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
∵a⊥b，c ⊥ b
∴a∥c
a
b
c
1
2
3
4
a
b
c
c
a
b
1、观察右图并填空：
∠1 与 是同位角;
(2) ∠5 与 是同旁内角;
(3) ∠1 与 是内错角;
练习
b
a
n
m
2
3
1
4
5
∠4
∠3
∠2
2、当图中各角满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行?
(1) ∠1 = ∠4;
(2) ∠2 = ∠4;
(3) ∠1 + ∠3 = 180?;
a
b
l
m
n
1
2
3
4
a∥b.
l∥m.
l∥n .
?2.看图填空：（1）如右图，
因为∠1＝∠2 根据 。
所以 ∥ ，
因为∠2＝ ，
同位角相等，两直线平行
所以 ∥ ，
因为∠3＋∠4＝180°所以 ∥ ，
所以AC∥FG.
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
G
?（2）如右图，
∵ ∠2=（ ）
∴ DE∥BC ，
∵ ∠B＋ ＝180°，
∴ DB ∥EF
∵ ∠B＋ ∠5 ＝180 °
∴ ∥ .
A
B
C
D
E
F
4
3
2
1
5
① ∵ ∠1 =_____（已知）
∴ AB∥CE
② ∵ ∠1 +_____=180o（已知）
∴ CD∥BF
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
∴ _____∥_____
AB
CE
∠2
④ ∵ ∠4 +_____=180o（已知）
∴ CE∥AB
平行线的判定
∠3
∠3
如图：
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
（内错角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
知识应用
1、一弯形轨道ABCD的拐角?ABC=120?，那么当另一拐角? BCD= 时，AB??CD
D
C
B
A
60°
2、用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线，能解释其中道理的依据是____________________________
内错角相等，两直线平行
4、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
（A）第一次向右拐50?，第二次向左拐130?
（B）第一次向左拐30?，第二次向右拐30?
（C）第一次向右拐50?，第二次向右拐130?
（D）第一次向左拐50?，第二次向左拐130?
B
例2???????? 如图∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，且∠A＝∠C，∠B＝∠D，那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。
D
A
B
C
解∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°
∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
2∠A+2∠B＝360°
∠A+∠B＝180°
你能说明AD∥BC吗？
EF
内错角相等，两直线平行
BC
同旁内角互补，两直线平行
AD
BC
平行于同一条直线的两条直线互相平行
∴ ∥ 。
如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥ （ ）
又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 °
∴ EF ∥ （ ）
（ ）
? 看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
( )
∵∠2＝
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
或 ∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，( )
∴AC∥FG.
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
G
∠4
AC DE
DE FG
DE FG
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
? ? 看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ）
∴DE∥BC ，
∵ ∠B＋ ＝180°，
∴ DB ∥EF
∵ ∠B＋ ∠5 ＝180 °
∴ ∥ .

A
B
C
D
E
F
4
3
2
1
5
∠4
∠3
DE BC
例：如图，∠1 = ∠2 = 55°， ∠3等
于多少度？直线AB、CD平行吗？
3
1
2
A
B
F
C
D
E
解：∵ ∠1 = ∠2 = 55°
∠3 = ∠2，
∴ ∠3 =∠1= 55°( 等量代换 )
∴ AB∥CD（ ？ ）
（ ）
对顶角相等
例：如图所示，已知∠1=43°，∠D=137°，求证：AB∥CD
1
2
A
B
C
D
证明：∵∠ 1 = ∠ 2 (对顶角相等)，
∴∠2 = ∠1=43° (等量代换)．
∴∠2 +∠D = 43°+ 137°=180°
∴AB∥CD
(同旁内角互补，两直线平行)．
例：如图所示，已知：BD平分∠ABC， ∠1=∠2 求证：DE∥BC。
1
2
A
B
C
D
3
E
证明：∵BD平分∠ABC(已知)
∴∠2=∠3(角平分线的定义)
又∵∠1=∠2 ( 已 知 )，
∴∠1 = ∠3 (等量代换)．
∴ DE∥BC
(内错角相等，两直线平行)．
1、如图，已知∠ABC＝∠ADC ,
BF、DE是∠ABC、∠ ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证:DC∥AB。
2、如图，已知∠B＝∠C，点B、A、D在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，
求证：AE∥BC。
B
A
C
D
E
如图， ∠A、∠B、∠C满足什么条件时，直线AD‖CE
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
方法
文字叙述
数学符号
图形
一
定义
同一平面内，不相交的两条直线互相平行
二
公理
同位角相等，
两直线平行
∵∠1=∠2
∴a∥b
三
定理
内错角相等，
两直线平行
∵∠2=∠3
∴a∥b
四
定理
同旁内角互补，两直线平行
∵∠2+∠4=180°
∴a∥b
五
推论
平行于同一条直线的两直线平行
∵a∥b，c∥b
∴a∥c
六
推论
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
∵a⊥b，c ⊥ b
∴a∥c
a
b
c
1
2
3
4
a
b
c
c
a
b
平行线的判定可用文字和几何语言表示：
今天的作业
课本习题6.4第1、2题
公理:
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
平行线的判定可用文字和几何语言表示：

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