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(共36张PPT)
2　万有引力定律
第七章　万有引力与宇宙航行
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式.
2.了解月—地检验的内容和作用.
3.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.
4.认识引力常量测定的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题.
学习目标
梳理教材　夯实基础
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材　夯实基础
01
行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r.
天文观测测得行星公转周期为T，则
行星与太阳间的引力
一
月—地检验
二
2.验证：(1)苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8
m/s2.
(2)月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108
m.
月球公转周期T＝27.3
d≈2.36×106
s
3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从
的规律.
2.7×10－3
2.8×10－4
相同
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的
，引力的大小与物体的
成正比，与它们之间
成反比.
2.表达式：
，其中G叫作引力常量.
万有引力定律
三
连线上
质量m1和m2的乘积
距离r的二次方
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.
英国物理学家
通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝_______
N·m2/kg2.
引力常量
四
卡文迪什
6.67×
10－11
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(　　)
(2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量.(　　)
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大.(　　)
(4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大.(　　)
(5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力.(　　)
√
×
×
×
×
2.两个质量都是1
kg的物体(可看成质点)，相距1
m时，两物体间的万有引力F＝___________
N，其中一个物体的重力F′＝____
N，万有引力F与重力F′的比值为___________.(已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，取重力加速度g＝10
m/s2)
6.67×10－11
10
6.67×10－12
探究重点　提升素养
02
对太阳与行星间引力的理解
一
导学探究
1.是什么原因使行星绕太阳运动？
答案　太阳对行星的引力使行星绕太阳运动.
2.在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动怎么简化处理的？用了哪些知识？
答案　将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律.
知识深化
万有引力定律的得出过程
√
√
解析　由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.
万有引力定律
二
导学探究
(1)通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图1，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100
kg，相距1
m)间的万有引力我们却感受不到？
图1
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案　相等.它们是一对相互作用力.
知识深化
1.万有引力定律表达式：F＝G
，G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
2.万有引力定律公式适用的条件
(1)两个质点间的相互作用.
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离.
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离.
例2　关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是
A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
D.引力常量的大小是牛顿首先测出来的，且约等于6.67×10－11
N·m2/kg2
√
解析　任何两物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；
物体间的万有引力与它们之间距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C对；
引力常量G是由卡文迪什首先精确测出的，D错.
例3　如图2所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为
图2
√
例4　(2019·江川二中高一期末)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图3所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的
质点，求：
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
图3
解析　被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
重力和万有引力的关系
三
1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图4所示.
图4
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小
mg.
2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G
(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.
3.特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G
.
例5　(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是
√
√
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
答案　222.2
N
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5
m高，那他在火星表面能跳多高？
答案　3.375
m
随堂演练　逐点落实
03
1.(对万有引力定律的理解)(2019·武威第十八中学高一期末)对于万有引力定律的表达式F＝G
，下列说法正确的是
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C.对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D.m1与m2受到的引力是一对平衡力
1
2
3
4
√
解析　万有引力定律的表达式F＝G
，公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A正确；
1
2
3
4
当r趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B错误；
m1与m2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C错误；
m1与m2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D错误.
2.(月—地检验)(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
1
2
3
4
√
3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为
A.2F
B.4F
C.8F
D.16F
1
2
3
4
√
4.(重力加速度的计算)据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为
1
2
3
4
√(共37张PPT)
4　宇宙航行
第七章　万有引力与宇宙航行
1.会推导第一宇宙速度，知道三个宇宙速度的含义.
2.了解人造地球卫星的历史及现状，认识同步卫星的特点.
3.了解人类对太空的探索历程和我国载人航天工程的发展.
学习目标
梳理教材　夯实基础
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材　夯实基础
01
1.牛顿的设想
如图1所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度
，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为
.
宇宙速度
一
图1
足够大
人造地球卫星
匀速圆周
万有
引力
mg
(3)三个宇宙速度及含义
?
数值
意义
第一宇
宙速度
km/s
物体在
绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇
宙速度
km/s
在地面附近发射飞行器使物体克服
引力，永远离开地球的最小地面发射速度
第三宇
宙速度
km/s
在地面附近发射飞行器使物体挣脱
引力束缚，飞到太阳系外的
地面发射速度
7.9
地面附近
11.2
地球
16.7
太阳
最小
人造地球卫星
二
1.
年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功.
年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功.为我国航天事业作出特殊贡献的科学家
被誉为“中国航天之父”.
2.地球同步卫星的特点
地球同步卫星位于
上方高度约
处，因
，也称静止卫星.地球同步卫星与地球以
的角速度转动，周期与地球自转周期
.
1957
1970
钱学森
赤道
36
000
km
相对地面静止
相同
相同
1.
年苏联宇航员
进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑.
2.1969年，美国
飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕.
3.
年10月15日9时，我国
宇宙飞船把中国第一位航天员
送入太空，截止到2017年底，我国已经将
名航天员送入太空，包括两名女航天员.
4.
年6月，神舟十号分别完成与
空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接.2017年4月20日，我国发射了货运飞船
，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验.
载人航天与太空探索
三
1961
加加林
阿波罗11号
2003
神舟五号
杨利伟
11
2013
天宫一号
天舟一号
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9
km/s.(　　)
(2)人造地球卫星的最小绕行速度是7.9
km/s.(　　)
(3)我国向月球发射的“嫦娥二号”宇宙飞船在地面附近的发射速度要大于11.2
km/s.
(　　)
(4)在地面附近发射火星探测器的速度应为11.2
km/skm/s.(　　)
(5)由v＝
，高轨道卫星运行速度小，故发射高轨道卫星比发射低轨道卫星
更容易.(　　)
√
×
×
√
×
2.已知火星的半径为R，火星的质量为m火，引力常量为G，则火星的第一宇宙速度
为
.
探究重点　提升素养
02
三个宇宙速度
一
导学探究
不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？
知识深化
1.第一宇宙速度
(1)两个表达式
(2)含义
①近地卫星的圆轨道运行速度，大小为7.9
km/s，也是卫星圆轨道的最大运行速度.
②人造卫星的最小发射速度，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，需要更多能量.
2.第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度，其大小为11.2
km/s.当发射速度7.9
km/skm/s时，物体绕地球运行的轨迹是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同.
3.第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7
km/s.
√
例2　(2019·湘潭一中期末)某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中.已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度.(物体只受星球的引力，忽略星球自转的影响)
人造地球卫星
二
1.人造地球卫星
(1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图2所示.
图2
(2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心.
2.近地卫星
(2)7.9
km/s和85
min分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期.
3.同步卫星
(1)“同步”的含义就是和地面保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期.
(2)特点
①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24
h.
②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东.
④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变.
⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变.
例3　(多选)“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料.设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是
A.同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍
√
√
解析　地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，所以同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍，A正确；
同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据v＝rω知，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的n倍，C错误；
例4　如图3所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.其中有静止轨道同步卫星和中地球轨道卫星.已知中地球轨道卫星的轨道高度为5
000～15
000
km，则下列说法正确的是
A.中地球轨道卫星的线速度小于静止轨道同步卫星的线速度
B.上述两种卫星的运行速度可能大于7.9
km/s
C.中地球轨道卫星绕地球一圈的时间小于24小时
D.静止轨道同步卫星可以定位于北京的上空
图3
√
同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
三
例5　如图4所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则
A.ωA＝ωC<ωB
B.TA＝TCC.vA＝vCD.aA＝aC>aB
图4
√
解析　同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得
vC>vA，aC>aA
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaB>aC>aA.选项A正确，B、C、D错误.
总结
提升
2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小.
针对训练　(2018·四川凉山州木里中学高一下期中)如图5所示，A是地球赤道上随地球自转的物体，其向心加速度大小为a1，线速度大小为v1；B是绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，其向心加速度大小为a2，线速度大小为v2；C是地球同步卫星，其轨道半径为r.已知地球半径为R，下列关于A、B的向心加速度和线速度的大小关系正确的是
图5
√
随堂演练　逐点落实
03
1.(对宇宙速度的理解)(多选)(2019·巴蜀中学期末)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是
A.人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于或等于7.9
km/s、小于11.2
km/s
B.火星探测卫星的发射速度大于16.7
km/s
C.第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的
　人造行星的最小发射速度
D.第一宇宙速度7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
1
2
3
4
√
√
解析　根据v＝　　　可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕
速度越小，7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；
实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；
火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；
第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确.
1
2
3
4
2.(对同步卫星的认识)(多选)(2019·海师附中期中)下列关于同步通信卫星的说法正确的是
A.各国发射的地球同步卫星的高度和速率都是相等的
B.同步通信卫星的角速度虽已确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增
　大，高度降低，速率减小，仍同步
C.我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114
min，它的高度比同步卫星低
D.同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星速率小
1
2
3
4
√
√
√
3.(同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较)(多选)如图6所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是
1
2
3
4
√
√
图6
解析　地球同步卫星：轨道半径为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；
地球赤道上的物体：轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；
以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星.
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，
1
2
3
4
4.(第一宇宙速度的计算)(2019·岷县一中期末)已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍.已知地球的第一宇宙速度为7.9
km/s，则在该星球上发射一颗人造卫星，其发射人造卫星的速度最小是多少？
1
2
3
4
答案　23.7
km/s
1
2
3
4
解析　设地球质量为M1，半径为R1；该星球的质量为M2，半径为R2
则在该星球上发射人造卫星的速度至少为：
v2＝3v1＝23.7
km/s.本章知识网络构建
开普勒第一定律(轨道定律)
开普勒定律开普勒第二定律(面积定律
开普勒第三定律(周期定律):=k
T
内容
公式:F=G1m1?2,G为引力常量,由卡文迪什在实验室中测得
万有引力定律
适用条件:(1)质点间的相互作用
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用
(3)质点与质量分布均匀的球体间的相互作用
“称量”地球的质量(mg=F万):mg
GMm
RMg(忽略地球自转影响)
质量(F万=Fn)
GMn
4π
4π
71
T2
M2
GT2
万有
计算天体的
3丌T
引力
GT2
R3
高空测量
与宇万有引力理
平均密度:o
4
宙航
T
论的成就
丌R
地表测量(r=R)
行丁
4丌
1→>T=2丌
GM
GM
人造地球卫星:G
GM
0→>o
GM
ran
第一宇宙速度:7.9km/s
个宇宙速度第二宇宙速度:1.2km
第三宇宙速度:16.7km/s
相对论时空观
相对论时空观与牛顿力学的局限性
牛顿力学的成就与局限性(共35张PPT)
3　万有引力理论的成就
第七章　万有引力与宇宙航行
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
2.了解“称量”地球质量、计算太阳质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.
3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法.
学习目标
梳理教材　夯实基础
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材　夯实基础
01
1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于_________
.
2.关系式：mg＝
.
3.结果：m地＝
，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.
4.推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量.
“称量”地球的质量
一
地球对物
体的引力
计算天体的质量
二
1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，
充当向心力.
行星与太阳间的万有引力
3.结论：m太＝
，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量.
4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量.
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生
和法国年轻的天文学家
根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的
在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.
2.其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了
、阋神星等几个较大的天体.
发现未知天体
三
亚当斯
勒维耶
伽勒
冥王星
英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为
，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了
点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在
年左右.
预言哈雷彗星回归
四
76年
近日
2061
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(　　)
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量.(　　)
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(　　)
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(　　)
(5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.(　　)
×
×
×
√
√
2.已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8
m/s2，地球半径R＝6.4×106
m，则可知地球的质量约为__________.(结果保留一位有效数字)
6×1024
kg
探究重点　提升素养
02
天体质量和密度的计算
一
导学探究
1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.
(1)他“称量”的依据是什么？
答案　若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力；
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度.
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
知识深化
天体质量和密度的计算方法
?
重力加速度法
环绕法
情景
已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做
匀速圆周运动
思路
物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G
天体
质量
天体
密度
说明
g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动
这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量
T为公转周期
r为轨道半径
R为中心天体半径
例1　(2019·潍坊一中期末)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转.
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.
卫星距天体表面的高度为h时，
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
√
例2　(2019·临夏中学期末)若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的
A.27倍
B.3倍
C.0.5倍
D.9倍
√
天体运动的分析与计算
二
1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.
由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小.
②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢.
例３　在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是
A.甲的运行周期一定比乙的长
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
由于两碎片的质量未知，无法判断向心力的大小，故C错；
√
例4　(2019·潍坊市联考)如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是
√
图1
解析　两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向.
随堂演练　逐点落实
03
1.(天体质量的计算)(多选)(2019·西安高级中学期中)已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)
A.月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C.人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D.地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
1
2
3
4
√
√
5
2.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(2019·安阳市二十六中期末)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36
000
km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是
A.周期
B.角速度
C.线速度
D.向心加速度
1
2
3
4
√
5
解析　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五1
2
3
4
5
3.(天体密度的计算)地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为
1
2
3
4
√
5
4.(天体质量和密度的计算)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是密度均匀的球体，引力常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量
A.飞船的轨道半径
B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期
D.行星的质量
1
2
3
4
√
5
1
2
3
4
5
5.(天体运动的分析与计算)如图2所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱.已知月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，不考虑月球的自转.求：
(1)月球的质量M；
1
2
3
4
图2
5
(2)轨道舱绕月球飞行的周期T.
1
2
3
4
解析　轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m
5(共29张PPT)
5　相对论时空观与牛顿力学的局限性
第七章　万有引力与宇宙航行
1.了解相对论时空观，知道时间延缓效应和长度收缩效应.
2.认识牛顿力学的成就，适用范围及局限性.
3.了解科学理论的相对性，体会科学理论是不断发展和完善的.
学习目标
梳理教材　夯实基础
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材　夯实基础
01
1.19世纪，英国物理学家　　　　
根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度
光速c.
2.1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度
！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系
(填“相符”或“不符”).
3.爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是
的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的.
相对论时空观
一
麦克斯韦
等于
都是一样的
不符
相同
4.时间延缓效应
(1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的
时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝
.
(2)Δt与Δτ的关系总有
，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态
.(填“有关”或“无关”)
Δt＞Δτ
有关
5.长度收缩效应：
(1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得
杆长是l，那么两者之间的关系是l＝
.
(2)l与l0的关系总有
，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态
.
(填“无关”或“有关”)
l＜l0
有关
牛顿力学的成就与局限性
二
1.牛顿力学的成就：牛顿力学的基础是
，
定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬.
2.牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是
(填“高速”或“低速”)运动的
(填“宏观”或“微观”)物体.
(1)当物体以接近光速运动时，有些与牛顿力学的结论
.
(2)电子、质子、中子等微观粒子的运动
用牛顿力学来说明.
3.牛顿力学
被新的科学成就所否定，当物体运动的速度
时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别.
牛顿运动定律
万有引力
低速
宏观
不相同
不能
不会
远小于光速c
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)运动的时钟显示的时间变慢，高速飞行的μ子的寿命变长.(　　)
(2)沿着杆的方向，相对于观察者运动的杆的长度变短.(　　)
(3)经典力学只适用于世界上普通的物体，研究天体的运动经典力学就无能为力了.
(　　)
(4)洲际导弹的速度可达到6
000
m/s，在这种高速运动状态下，经典力学不适用.
(　　)
(5)当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了.(　　)
(6)对于质子、电子的运动情况，经典力学同样适用.(　　)
√
√
×
×
√
×
2.以约8
km/s的速度运行的飞船上，一只完好的手表走过1
h，地面上的时钟显示的时间______(填“大于”“等于”或“小于”)1
h.
大于
探究重点　提升素养
02
相对论时空观
一
导学探究
地球绕太阳公转的速度是3×104
m/s，设在美国伊利诺斯州费米实验室的圆形粒子加速器可以把电子加速到0.999
999
999
987倍光速的速度，请思考：
(1)地球的公转速度在狭义相对论中属于低速还是高速？被加速器加速后的电子的速度属于低速还是高速？
答案　地球公转速度属于低速，被加速器加速后的电子的速度属于高速.
(2)在地面上校准的两只钟，一只留在地面上，一只随宇宙飞船遨游太空，隔一段时间飞船返回地面时，两只钟显示的时间相同吗？有什么差别？
答案　不相同，随飞船旅行的时钟变慢(显示的时间少).
知识深化
1.低速与高速
(1)低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体.
(2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速.
2.相对论的两个效应
3.对于低速运动的物体，相对论效应可以忽略不计，一般用经典力学规律来处理；对于高速运动问题，经典力学不再适用，需要用相对论知识来处理.
例1　在静止坐标系中的正立方体边长为l0，另一坐标系以相对速度v平行于正立方体的一边运动.问在后一坐标系中的观察者测得的立方体的体积是多少？
总结
提升
相对于地面以速度v运动的物体，从地面上看：
(1)沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多.
(2)在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象.
例2　A、B两火箭沿同一方向高速飞过地面上的某处，vA＞vB，在地面上的人观察到的结果正确的是
A.火箭A上的时钟走得最快
B.地面上的时钟走得最快
C.火箭B上的时钟走得最快
D.火箭B上的时钟走得最慢
√
牛顿力学的成就与局限性
二
导学探究
如图1所示，质子束被加速到接近光速，经典力学适用于质子束的运动规律吗？
图1
答案　不适用.
知识深化
1.经典力学的成就
(1)经典力学体系是时代的产物，是现代机械、土木建筑、交通运输以至航空航天技术的理论基础.
(2)经典力学的思想方法对艺术、政治、哲学等社会科学领域也有巨大影响.
2.经典力学的局限性及适用范围
(1)经典力学适用于低速运动的物体，相对论阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律.
(2)经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律.
3.相对论和量子力学没有否定经典力学
(1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别；
(2)当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别.
(3)相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形.
例3　(2019·北师大附中高二上期中)下列关于经典力学的说法正确的是
A.经典力学适用于宏观、低速(远小于光速)运动的物体
B.经典力学适用于微观、高速(接近光速)运动的粒子
C.相对论和量子力学的出现，表明经典力学已被完全否定了
D.经典力学在理论和实践上取得了巨大的成功，从地面到天体的运动都服从经典力
　学的规律，因此任何情况下都适用
解析　经典力学是狭义相对论在低速(v?c)条件下的近似，即只要速度远小于光速，经过数学变换狭义相对论的公式就全部变化为经典力学的公式，故A正确，B、D错误；
相对论与量子力学并没有否定经典力学，而是在其基础上发展起来的，故C错误.
√
例4　下列运动中不能用经典力学规律描述的是
A.子弹的飞行
B.和谐号从深圳向广州飞驰
C.人造卫星绕地球运动
D.粒子接近光速的运动
解析　子弹的飞行、火车的运动及人造卫星绕地球的运动，都属于宏观、低速，经典力学能适用.而粒子接近光速的运动，不能适用于经典力学，故选D.
√
随堂演练　逐点落实
03
1.(长度收缩效应)假设地面上有一火车以接近光速的速度运行，其内站立着一个中等身材的人，站在路旁的人观察车里的人，观察的结果是
A.这个人是一个矮胖子
B.这个人是一个瘦高个子
C.这个人矮但不胖
D.这个人瘦但不高
1
2
3
4
5
√
解析　取路旁的人为惯性系，车上的人相对于路旁的人高速运动，根据长度收缩效应，人在运动方向上将变窄，但在垂直于运动方向上没有发生变化，故选D.
6
2.(时间延缓效应)话说有兄弟两个，哥哥乘坐宇宙飞船以接近光的速度离开地球去遨游太空，经过一段时间返回地球，哥哥惊奇地发现弟弟比自己要苍老许多，则该现象的科学解释是
A.哥哥在太空中发生了基因突变，停止生长了
B.弟弟思念哥哥而加速生长了
C.由相对论可知，物体速度越大，在其上时间进程就越慢，生理过程也越慢
D.这是神话，科学无法解释
1
2
3
4
√
5
解析　根据相对论的时间延缓效应，当飞船速度接近光速时，时间会变慢，时间延缓效应对生命过程、化学反应等也是成立的.飞船运行的速度越大，时间延缓效应越明显，人体新陈代谢越缓慢.
6
3.(相对论效应)来自太阳和宇宙深处的高能粒子流，与高层大气作用产生一种叫作μ子的次级宇宙射线，μ子低速运动时的寿命只有3.0
μs，按常理，μ子不可能穿过高度大于100
km的大气层到达地面，但实际上在地面上可以观测到许多μ子.则根据相对论可以确定：在地球上测量向地球高速飞行的该粒子的平均寿命______(选填“大于”“等于”或“小于”)3.0
μs.如果观察者和μ子一起以接近光速的速度飞向地面，观察者认为大气层厚度______(选填“大于”“等于”或“小于”)
100
km；如果观察者和μ子一起以0.99c的速度飞向地面，观察者观察同方向向地球照射的太阳光的光速______c.(选填“大于”“等于”或“小于”)
1
2
3
4
5
大于
小于
等于
6
解析　μ子低速运动时的寿命只有3.0
μs，根据时间延缓效应知在地球上测量向地球高速飞行的该粒子的平均寿命大于3.0
μs；
根据长度收缩效应得，如果观察者和μ子一起以接近光速的速度飞向地面，观察者认为大气层厚度小于100
km；
根据光速不变原理得，如果观察者和μ子一起以0.99c的速度飞向地面，观察者观察同方向向地球照射的太阳光的光速等于c.
1
2
3
4
5
6
4.(经典力学的成就与局限性)(多选)下列说法中正确的是
A.经典力学是以牛顿的三大定律为基础的
B.经典力学在任何情况下都适用
C.当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了
D.相对论和量子力学的出现，使经典力学失去了意义
1
2
3
4
√
5
√
解析　牛顿运动定律是经典力学的基础，A正确；
经典力学只适用于低速、宏观、弱引力场的范围，B错误，C正确；
相对论和量子力学的出现，并没有否定经典力学，只是说经典力学有一定的适用范围，D错误.
6
5.(经典力学的适用范围)(2018·庆阳中学期末)关于经典力学、相对论和量子力学，下列说法中正确的是
A.相对论和经典力学是相互对立、互不相容的两种理论
B.经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例
C.经典力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动
D.不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的
1
2
3
4
5
解析　相对论没有否定经典力学，经典力学是相对论在一定条件下的特殊情形，选项A错误，B正确；
经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，选项C、D错误.
√
6
1
2
3
4
5
6.(经典力学的适用范围)(多选)下列服从经典力学规律的是
A.自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动
B.发射导弹、人造卫星、宇宙飞船
C.以接近光速飞行的μ子的运动
D.地壳的变动
解析　经典力学适用于宏观、低速运动的物体，所以A、B、D正确；
当物体运动的速率接近于光速时，经典力学就不适用了，故C错误.
√
√
√
61　行星的运动
[学习目标]
1.了解地心说与日心说的主要内容和代表人物.2.理解开普勒行星运动定律，知道开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关.3.知道行星运动在中学阶段的研究中的近似处理.
一、两种对立的学说
1.地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密.
2.日心说
(1)太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)日心说的代表人物是哥白尼.
3.局限性
(1)古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.
(2)开普勒研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符(填“不符”或“相符”).
二、开普勒定律
1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等.
3.第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.其表达式为＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是公转周期，k是一个对所有行星都相同的常量.
三、行星运动的近似处理
1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心.
2.行星绕太阳做匀速圆周运动.
3.所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k.
1.判断下列说法的正误.
(1)同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小.(　√　)
(2)行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长.(　√　)
(3)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动.(　×　)
(4)开普勒第三定律中的常数k与行星无关，与太阳也无关.(　×　)
2.如图1所示，椭圆为地球绕太阳运动的轨道，A、B分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为vA和vB；阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用SA和SB表示，则vA__________vB、SA______SB.(均选填“>”“＝”或“<”)
图1
答案　>　＝
一、开普勒定律的理解
1.开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，如图2所示.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳.开普勒第一定律又叫轨道定律.
图2
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
(1)如图3所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大.开普勒第二定律又叫面积定律.
图3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.
3.开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
(1)如图4所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长.比值k是一个对所有行星都相同的常量.开普勒第三定律也叫周期定律.
图4
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定.
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案　C
解析　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒第二定律知，火星绕太阳运行的速度大小在不断变化，选项B错误；根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，选项C正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D错误.
针对训练1　如图5所示，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球做圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC.下列说法或关系式正确的是(　　)
图5
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B.B卫星和C卫星运动的速度大小均不变
C.＝，该比值的大小与地球和卫星都有关
D.≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
答案　A
解析　由开普勒第一定律可知，选项A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，选项B错误；由开普勒第三定律可知，＝，该比值的大小仅与地球有关，选项C、D错误.
二、开普勒定律的应用
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律.
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径.
(2018·夷陵中学期中)某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为(　　)
A.vb＝va
B.vb＝va
C.vb＝va
D.vb＝va
答案　C
解析　如图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有avaΔt＝bvbΔt，所以vb＝va，故选C.
(2019·深圳市龙岗区高一下月考)长期以来，“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19
600
km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家又发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48
000
km，则它的公转周期T2最接近(　　)
A.15天
B.25天
C.35天
D.45天
答案　B
解析　根据开普勒第三定律得：＝
则T2＝T1＝6.39×≈24.5
天，最接近25天，故选B.
针对训练2　木星和地球都绕太阳公转，木星的公转周期约为12年，地球与太阳的距离为1天文单位，则木星与太阳的距离约为(　　)
A.2天文单位
B.5.2天文单位
C.10天文单位
D.12天文单位
答案　B
解析　设地球与太阳的距离为r1，木星与太阳的距离为r2，根据开普勒第三定律可知＝，则＝＝≈5.2，所以r2≈5.2r1＝5.2天文单位，选项B正确.
1.(对开普勒定律的认识)(2018·孟坝中学期末)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是(　　)
A.所有的行星都绕太阳做圆周运动
B.对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积
C.在＝k中，k是与太阳无关的常量
D.开普勒行星运动定律仅适用于行星绕太阳运动
答案　B
解析　根据开普勒第一定律知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；由开普勒第二定律知，对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故B正确；在＝k中，k是与太阳有关的常量，故C错误；开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中卫星绕行星的运动，故D错误.
2.(开普勒第二定律的应用)(2019·云天化中学高一下学期期中)如图6所示是行星m绕太阳M运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴.下列说法中正确的是(　　)
图6
A.行星运动到A点时速度最大
B.行星运动到C点或D点时速度最小
C.行星从C点顺时针运动到B点的过程中做加速运动
D.行星从B点顺时针运动到D点的时间与从A点顺时针运动到C点的时间相等
答案　C
解析　由开普勒第二定律知，行星在A点速度最小，在B点速度最大，所以行星从A向B顺时针运动的过程中速度在增大，行星从B点顺时针运动到D点的时间小于从A点顺时针运动到C点的时间，故A、B、D错误，C正确.
3.(对开普勒第三定律的理解)(多选)关于开普勒行星运动定律的表达式＝k，以下理解正确的是(　　)
A.k是一个与行星无关的常量
B.a代表行星的球体半径
C.T代表行星运动的自转周期
D.T代表行星绕中心天体运动的公转周期
答案　AD
4.(开普勒第三定律的应用)1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”.若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图7所示.已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为(　　)
图7
A.R
B.R
C.R
D.R
答案　C
解析　根据开普勒第三定律，有＝，其中T＝1年，
解得R钱＝R＝R，故C正确.
考点一　开普勒定律的理解
1.(2019·平遥中学高一下学期期中)开普勒关于行星运动的描述正确的是(　　)
A.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
C.所有行星轨道半长轴的三次方跟自转周期的二次方的比值都相等
D.所有行星轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
答案　A
解析　开普勒第一定律的内容为：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，A正确，B错误；开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，C、D错误.
2.关于开普勒第三定律＝k，以下说法中正确的是(　　)
A.T表示行星运动的自转周期
B.k值只与中心天体有关，与行星无关
C.该定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕行星的运动
D.若地球绕太阳运转的半长轴为r1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为r2，周期为T2，则＝
答案　B
解析　T表示行星运动的公转周期，不是自转周期，A错误；k是一个与行星无关的量，k只与中心天体有关，B正确；开普勒第三定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，C错误；地球绕太阳转动，而月球绕地球转动，二者不是同一中心天体，故对应的k值不同，D错误.
3.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同.下列反映公转周期与行星轨道半长轴的关系图像中正确的是(　　)
答案　D
解析　由＝k知r3＝kT2，D项正确.
4.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于(　　)
图1
A.F2
B.A
C.F1
D.B
答案　A
解析　根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F2.
5.(2019·定远县育才学校期末)科学家们推测，太阳系的另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”.由以上信息可以确定(　　)
A.这颗行星的公转周期与地球相等
B.这颗行星的半径等于地球的半径
C.这颗行星的质量等于地球的质量
D.这颗行星上同样存在着生命
答案　A
考点二　开普勒定律的应用
6.某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运动周期是(　　)
A.天
B.天
C.1天
D.9天
答案　C
解析　由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故选项C正确.
7.(2019·新绛县第二中学高一下期中)测得海王星绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的30倍，则它的公转周期约是(　　)
A.
年
B.30年
C.30
年
D.90年
答案　C
解析　根据开普勒第三定律得：＝，又r海＝30r地，解得：T海＝T地＝30
年，故选C.
8.(多选)(2019·成都外国语学校高一期末)若地球绕太阳运行到图2中A、B、C、D四个位置时，分别为春分、夏至、秋分和冬至，以下说法错误的是(　　)
图2
A.地球由夏至运行到秋分的过程中速率逐渐减小
B.地球由春分运行到夏至的过程中速率逐渐增大
C.地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间长
D.地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间短
答案　ABD
9.如图3所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，运行的周期为T0，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P到M、Q到N的运动过程中(　　)
图3
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N做减速运动
C.从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N所用时间等于
答案　C
解析　由开普勒第二定律知，从P至Q速率在减小，Q至N速率在增大，所以B错误，C正确；由对称性知，P→M→Q与Q→N→P所用的时间均为，故从P到M所用时间小于，从Q→N所用时间大于，从M→N所用时间大于，A、D错误.
10.太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可粗略地视为圆，下表是各行星的半径和轨道半径.
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
行星半径/
×106
m
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径/
×1011
m
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近(　　)
A.80年
B.120年
C.165年
D.200年
答案　C
解析　设海王星绕太阳运行的轨道半径为r1，公转周期为T1，地球绕太阳运行的轨道半径为r2，公转周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝·T2≈164年，最接近165年，故选C.
11.(2019·山西省实验中学高一下期中)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现.
(1)这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年？
(2)若哈雷彗星在近日点的线速度为v1在远日点的线速度为v2，则哪个线速度大？
答案　(1)2062年　(2)v1
解析　(1)由开普勒第三定律知＝k
得：()3＝()2
解得：T哈＝T地≈76年
即下次飞近地球大约为(1986＋76)年＝2062年.
(2)由开普勒第二定律知v1>v2.
12.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如图4所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切.如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需的时间.
图4
答案　
解析　根据题意知飞船椭圆轨道的半长轴为，
设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，根据开普勒第三定律：
则有＝，
因此飞船从A点运动到B点所需的时间为：
t＝＝.(共4张PPT)
本章知识网络构建
第七章　万有引力与宇宙航行
开普勒定律
万有引力定律
开普勒第一定律(轨道定律)
开普勒第二定律(面积定律)
开普勒第三定律(周期定律)：
＝k
内容
公式：F＝　　　
，G为引力常量，由
在实验
室中测得
适用条件：(1)
间的相互作用
　　　　　(2)
的球体间的相互作用
　　　　　(3)质点与
的球体间的相互作用
卡文迪什
质点
两个质量分布均匀
质量分布均匀
万有引力理论的成就
计算天体的
“称量”地球的质量(mg＝F万)：mg＝
?M＝
(忽略地球
自转影响)
质量(F万＝Fn)：　　
＝
?M＝_____
平均密度：ρ＝
?
ρ＝
——高空测量
ρ＝
——地表测量(r＝R)
万有引力理论的成就
人造地球卫星：G
＝
?T＝________
m　?v＝_______
mω2r?ω＝_______
man?an＝____
三个宇宙速度
第一宇宙速度：
km/s
第二宇宙速度：
km/s
第三宇宙速度：
km/s
相对论时空观与牛顿力学的局限性
相对论时空观
牛顿力学的成就与局限性
7.9
11.2
16.7
万引与行
有力宇航专题强化　卫星变轨问题和双星问题
[学习目标]
1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.
一、人造卫星的变轨问题
1.变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m.
(2)变轨运行
卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化.
①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.
②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨.
2.实例分析
(1)飞船对接问题
①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图1甲所示).
②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.
图1
(2)卫星的发射、变轨问题
如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P点点火加速，使其满足＝m，进入圆轨道3做圆周运动.
图2
(2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是(　　)
图3
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期
C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
答案　B
解析　卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
G＝m，可得v＝
因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；
由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；
在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，
所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；
在同一点P，由＝man知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D项错误.
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.
3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.
4.判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断.
针对训练　(多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(　　)
图4
A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
答案　ABC
解析　在轨道Ⅱ上由A点运动到B点，由开普勒第二定律可知，经过A的速度小于经过B的速度，A正确；从轨道Ⅰ的A点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，B正确；根据开普勒第三定律＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D错误.
二、双星或多星问题
1.双星模型
(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.
图5
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2.
2.多星系统
在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.
两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
图6
答案　　　
解析　双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m1：＝m1r1ω2
对m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得周期T＝.
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
图7
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
答案　C
解析　任意两星间的万有引力F＝G，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r＝L，F合＝2Fcos
30°＝F，由牛顿第二定律可得F合＝mω2r，联立可得ω＝，an＝ω2r＝，选项A、B错误；由周期公式可得T＝＝2π，L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得v＝ωr＝，L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，大小不变，选项D错误.
1.(卫星变轨问题)(2019·启东中学高一下学期期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道
Ⅰ
上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道
Ⅱ.在圆形轨道
Ⅱ
上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是(　　)
图8
A.沿轨道
Ⅰ
运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道
Ⅱ
B.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
C.沿轨道
Ⅰ
运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D.在轨道
Ⅰ
上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
答案　B
2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
图9
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案　C
解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误.
3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A.轨道半径约为卡戎的
B.角速度约为卡戎的
C.线速度大小约为卡戎的7倍
D.向心力大小约为卡戎的7倍
答案　A
解析　双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确；根据v＝ωr，得＝＝，C错误.
4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是(　　)
A.这两颗恒星的质量必定相等
B.这两颗恒星的质量之和为
C.这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1
D.其中必有一颗恒星的质量为
答案　BCD
解析　两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得G＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，故A错误，C正确；由上式可得m1＝，m2＝，m1＋m2＝，故B、D正确.
一、选择题
1.(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　)
图1
A.v1＞v2，v1＝
B.v1＞v2，v1＞
C.v1＜v2，v1＝
D.v1＜v2，v1＞
答案　B
解析　根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由＝可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v＝，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>，故B正确.
2.(2019·北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A.质量大的天体线速度较大
B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小一定相等
D.两个天体的向心加速度大小一定相等
答案　C
解析　双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律有：
G＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L
故r1＝L，r2＝L，故＝＝
故质量大的天体线速度较小，故A错误.
3.(2019·定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道
Ⅰ
到达P点后经过调整速度进入圆轨道
Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确的是(　　)
图2
A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2
km/s
B.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P点进入轨道Ⅱ时要加速
C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P点的速度
D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P点的加速度相等
答案　D
4.(2019·长丰县二中期末)如图3所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法中不正确的是(　　)
图3
A.卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期
B.卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率
C.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率
D.卫星在轨道2上运行时，经过Q点时加速度大于经过P点的加速度
答案　A
解析　根据开普勒第三定律＝k知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期，故A不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力，即＝m，可知v＝，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2上运行时，从Q点向P点运动，速度逐渐减小，经过Q点时的速率大于经过P点时的速率，故C正确；卫星离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2上运行时经过Q点时加速度大于经过P点的加速度，故D正确.
5.(2019·杨村一中期末)如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是(　　)
图4
A.m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2
B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C.m1做圆周运动的半径为L
D.m2做圆周运动的半径为L
答案　C
解析　设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度大小分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确.
6.(2019·榆树一中期末)如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200
km，远地点N距地面340
km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340
km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正确的是(　　)
图5
A.v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B.v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C.v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D.v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
答案　D
解析　根据万有引力提供向心力，即＝man得：an＝，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340
km的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v1′，根据＝得：v＝，又因为r1＜r3，所以v1′＞v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1>v1′，故v1＞v3＞v2，故选D.
7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接.已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转.那么以下选项正确的是(　　)
图6
A.月球的质量为
B.航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速
C.航天飞机从A处到B处做减速运动
D.月球表面的重力加速度为
答案　A
解析　设空间站质量为m，在圆轨道上，由G＝m，得M＝，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg月＝G，可得g月＝＝，D错误.
8.(多选)如图7所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞船在半径为4R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则(　　)
图7
A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于
B.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B处的运行速率
C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度
D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1
答案　BC
解析　由＝mg0知，v＝，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于，A错误；由v＝知，vⅠvⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B正确；由an＝知，飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B处的向心加速度，C正确；由T＝2π知，飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D错误.
9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为(　　)
A.T
B.T
C.T
D.T
答案　B
解析　设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，
双星靠彼此的引力提供向心力，则有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时
T′＝2π＝T
故选项B正确.
10.(多选)(2019·雅安中学高一下学期期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量.假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中(　　)
图8
A.它们做圆周运动的万有引力保持不变
B.它们做圆周运动的角速度不断变大
C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大
D.体积较大星体圆周运动的线速度变大
答案　CD
解析　由F＝知F增大，A错误；设体积较小者质量为m1，轨迹半径为r1，体积较大者质量为m2，轨迹半径为r2，则有＝m1ω2r1，＝m2ω2r2得：ω＝，因m1＋m2及L不变，故ω不变，B错误；半径r2＝，因m1增大，故r2变大，C正确；线速度大小v2＝ωr2，变大，D正确.
11.(2019·扬州中学模拟)进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的(　　)
A.1倍
B.2倍
C.倍
D.2倍
答案　D
解析　设正方形边长为L，每颗星的轨道半径为r＝L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：
2×cos
45°＋＝mω2r
得：ω＝，所以当边长变为原来的一半，星体的角速度变为原来的2倍，故D项正确.
二、非选择题
12.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图9所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球的自转，求：
图9
(1)飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速；
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.
答案　(1)加速　(2)　(3)－R
解析　(2)在地球表面有mg＝①
根据牛顿第二定律有：G＝maA②
由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝
(3)飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，有G＝m(R＋h2)③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④
由①③④式联立解得h2＝－R.
13.(2019·厦门一中模拟)如图10所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧.引力常量为G.
图10
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024
kg和7.35×1022
kg.求T2与T1两者平方之比.(计算结果保留四位有效数字)
答案　(1)2π　(2)1.012
解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知：
对B有：G＝Mr2
对A有：G＝mr1
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2π
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知M地＝5.98×1024
kg，m月＝7.35×1022
kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
＝m月L′
解得T2＝2π
则＝
故＝≈1.012.3　万有引力理论的成就
[学习目标]
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量”地球质量、计算太阳质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法.
一、“称量”地球的质量
1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力.
2.关系式：mg＝G.
3.结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.
4.推广：若知道其他某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量.
二、计算天体的质量
1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.
2.关系式：＝mr.
3.结论：m太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量.
4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量.
三、发现未知天体
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.
2.其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质.近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.
四、预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间.1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右.
1.判断下列说法的正误.
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(　×　)
(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量.(　×　)
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(　×　)
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(　√　)
(5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.(　√　)
2.已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8
m/s2，地球半径R＝6.4×106
m，则可知地球的质量约为________.(结果保留一位有效数字)
答案　6×1024
kg
一、天体质量和密度的计算
导学探究
1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量和密度.
答案　(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力；
(2)由mg＝G得，M＝，ρ＝＝＝.
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
答案　由＝m地r知m太＝，可以求出太阳的质量；由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度，还需要知道太阳的半径.
知识深化
天体质量和密度的计算方法
重力加速度法
环绕法
情景
已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r(以T为例)
天体
质量
天体质量：M＝
中心天体质量：M＝
天体
密度
ρ＝＝
ρ＝＝
说明
g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动
这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量
T为公转周期
r为轨道半径
R为中心天体半径
(2019·潍坊一中期末)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转.
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案　(1)　(2)
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
G＝m(R＋h)，则有M＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝
ρ＝＝＝.
针对训练　(2019·醴陵二中期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg
b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51
peg
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为(　　)
A.
B.1
C.5
D.10
答案　B
解析　由G＝mr得M∝
已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B项正确.
(2019·临夏中学期末)若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的(　　)
A.27倍
B.3倍
C.0.5倍
D.9倍
答案　A
解析　物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G＝mg，解得g＝，质量M＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·πR3可知，星球质量是地球质量的27倍，故A正确.
二、天体运动的分析与计算
1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.
基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr.
2.忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”.
3.天体运动的物理量与轨道半径的关系
(1)由G＝m得v＝.
(2)由G＝mω2r得ω＝.
(3)由G＝m2r得T＝2π.
(4)由G＝man得an＝.
由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小.
②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢.
在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是(　　)
A.甲的运行周期一定比乙的长
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
答案　D
解析　由G＝m，得v＝，甲的运行速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期短，故A错；由于两碎片的质量未知，无法判断向心力的大小，故C错；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对.
(2019·潍坊市联考)如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　)
图1
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
答案　C
解析　两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向.
由＝m得＝＝＝，故A错误；
由＝mr2得＝＝，故B错误；
由＝mrω2得＝＝，故C正确；
由＝man得＝＝，故D错误.
1.(天体质量的计算)(多选)(2019·西安高级中学期中)已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)(　　)
A.月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C.人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D.地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
答案　AC
2.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(2019·安阳市二十六中期末)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36
000
km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A.周期
B.角速度
C.线速度
D.向心加速度
答案　A
解析　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五T＝∝，T五ω＝∝，ω五>ω四，故B错；
v＝∝，v五>v四，故C错；
an＝∝，an五>an四，故D错.
3.(天体密度的计算)地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，则M＝，又V＝πR3，可得地球的平均密度ρ＝＝.
4.(天体质量和密度的计算)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是密度均匀的球体，引力常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量(　　)
A.飞船的轨道半径
B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期
D.行星的质量
答案　C
解析　根据密度公式得ρ＝＝，这里的R为该行星的半径，若仅已知飞船的轨道半径或行星的质量，无法求出行星的密度，A、D错误；已知飞船的运行速度，根据万有引力提供向心力得G＝m，解得M＝，代入密度公式后，无法求出行星的密度，故B错误；根据万有引力提供向心力得G＝mR，解得M＝，代入密度公式得ρ＝，C正确.
5.(天体运动的分析与计算)如图2所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱.已知月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，不考虑月球的自转.求：
图2
(1)月球的质量M；
(2)轨道舱绕月球飞行的周期T.
答案　(1)　(2)
解析　(1)设月球表面上质量为m1的物体，其在月球表面有：G＝m1g
月球质量：M＝
(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m
由牛顿第二定律得：G＝m()2r解得：T＝.
考点一　天体质量和密度的计算
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)
A.月球的质量
B.地球的质量
C.地球的半径
D.地球的密度
答案　B
解析　由G＝mr可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确.
2.(2019·铜陵市第一中学期末)如果我们能测出月球表面的重力加速度g，月球的半径R和月球绕地球的转动周期T，就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了.已知引力常量为G，关于月球质量M的表达式正确的是(　　)
A.M＝
B.M＝
C.M＝
D.M＝
答案　A
解析　在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G＝mg，可得月球的质量为M＝，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝Mr，由于r表示轨道半径，而R表示月球半径，可得地球质量M地＝，故C、D错误.
3.(2018·天津七中期末)如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　)
图1
A.M＝，ρ＝
B.M＝，ρ＝
C.M＝，ρ＝
D.M＝，ρ＝
答案　D
解析　设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正确.
考点二　天体运动的分析
4.(2019·镇远中学期末)由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的(　　)
A.速率变大，周期变小
B.速率变小，周期不变
C.速率变大，周期变大
D.速率变小，周期变小
答案　A
解析　根据G＝m可得v＝，故半径减小，速率增大；根据G＝mr可得T＝2π，故半径减小，周期减小，A正确.
5.伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是(　　)
名称
周期/天
木卫一
1.77
木卫二
3.65
木卫三
7.16
木卫四
16.7
A.木卫一角速度最小
B.木卫四线速度最大
C.木卫四轨道半径最大
D.木卫一受到的木星的万有引力最大
答案　C
6.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图2所示，下列说法中正确的是(　　)
图2
A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D.a、c存在在P点相撞的危险
答案　A
解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，选项B、C错误，A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，由题图可知当c运动到P点时与a不会相撞，以后也不可能相撞，选项D错误.
7.如图3所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
图3
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
答案　A
解析　万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝man＝mr＝mω2r＝m，可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知条件可得an甲＜an乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
8.(多选)(2019·峨山第一中学期末)如图4所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)
图4
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
答案　ABD
解析　因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝，则b所需向心力最小，A对；由＝mr()2得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对；由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错；由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对.
9.(多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则(　　)
A.卫星的线速度为
B.卫星的角速度为
C.卫星的周期为4π
D.卫星的加速度为
答案　ABC
解析　万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即＝man＝m＝mω2(2R0)，由地球表面重力等于万有引力可得GM＝gR02，则卫星的向心加速度an＝，线速度v＝，角速度ω＝，T＝＝4π，所以A、B、C正确，D错误.
10.(2019·合肥六中、淮北一中期末联考)若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是(　　)
A.可以求出该行星的质量
B.可以求出太阳的质量
C.ρT2是定值
D.是定值
答案　C
解析　设该行星的质量为M，卫星的质量为m，该行星的半径为R，根据G＝m得M＝，则ρ＝＝＝，故ρT2＝是定值，选项C正确；因无法求解该行星的半径R，则无法求解该行星的质量，选项A错误；只知道该行星到太阳的距离无法求解太阳的质量，选项B错误；因为T不是该行星绕太阳的转动周期，则不是定值，选项D错误.
11.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×
10－11
N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A.5×109
kg/m3
B.5×1012
kg/m3
C.5×1015
kg/m3
D.5×1018
kg/m3
答案　C
解析　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝
＝
kg/m3
≈5×1015
kg/m3.
12.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝g月t2，
解得g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝.
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝.
13.2018年5月21日，我国在西昌卫星发射中心将“鹊桥”号中继星发射升空并成功进入预定轨道.设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)“鹊桥”号中继星离地面的高度h；
(2)“鹊桥”号中继星运行的线速度大小v；
(3)“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度的大小.
答案　(1)－R　(2)　(3)
解析　(1)设地球质量为M，“鹊桥”号中继星的质量为m，万有引力提供向心力：G＝m(R＋h)
对地面上质量为m′的物体有：G＝m′g
联立解得：h＝－R
(2)“鹊桥”号中继星线速度大小为：v＝
联立解得：v＝
(3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小为：a＝
联立解得：a＝.
一、选择题
1.(2019·贵阳市高一下期末)关于人造地球卫星所受向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是(　　)
A.由Fn＝可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的
B.由Fn＝mrω2可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的2倍
C.由Fn＝mvω可知，卫星的向心力与轨道半径r无关
D.由Fn＝可知，当r减小为原来的时，卫星的向心力变为原来的4倍
答案　D
2.(多选)(2019·修远中学3月月考)如图1所示，a、b两颗人造地球卫星分别在半径不同的轨道上绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
图1
A.a的加速度大于b的加速度
B.a的周期小于b的周期
C.a的线速度大于b的线速度
D.地球对a的引力小于对b的引力
答案　ABC
解析　万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，G＝m＝mr＝man，可知T＝2π，v＝，an＝G，故轨道半径小的卫星向心加速度大，所以a的加速度大于b的加速度；半径大的卫星周期大，所以a的周期小于b的周期；半径大的卫星速度小，所以a的速度大于b的速度，故A、B、C正确；a、b两颗卫星质量关系不知道，引力大小关系无法确定，故D错误.
3.2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107
s)，轨道半径约为1.5×1011
m，已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为(　　)
A.1.8×1030
kg
B.1.8×1027
kg
C.1.8×1024
kg
D.1.8×1021
kg
答案　A
解析　根据万有引力充当向心力，有G＝mr，则中心天体的质量M＝≈
kg≈1.8×1030
kg，故A正确.
4.已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　对地球绕太阳的圆周运动有＝mr
对地球表面的物体有m′g＝
联立两式可得太阳质量M＝，B正确.
5.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝q，则两颗卫星的周期之比为(　　)
A.
B.q
C.p
D.q
答案　D
解析　卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则有：G＝mR()2，得T＝，又＝p，＝q，解得＝q，故D正确，A、B、C错误.
6.(2019·肥东高级中学高一下期末)已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，一颗距离地面高度为2R的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是(　　)
A.线速度大小为
B.角速度为
C.加速度大小为
D.周期为6π
答案　B
7.(多选)(2019·海南华侨中学期中考试)假设“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v在月球表面附近做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是(　　)
A.“嫦娥三号”探月卫星的轨道半径为
B.月球的平均密度约为
C.“嫦娥三号”探月卫星的质量约为
D.月球表面的重力加速度约为
答案　ABD
解析　设月球半径为R，由T＝得R＝，选项A正确；由G＝m及R＝可得月球质量M＝，由ρ＝得ρ＝，选项B正确；由题干条件无法求出“嫦娥三号”探月卫星质量，选项C错误；由mg月＝mv·得g月＝，选项D正确.
8.(多选)(2019·东华高级中学期末)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　)
A.若v2∝R，则该层是土星的卫星群
B.若v∝R，则该层是土星的一部分
C.若v∝，则该层是土星的一部分
D.若v2∝，则该层是土星的卫星群
答案　BD
解析　若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确.
9.(2019·西北工业大学附中期中考试)我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据.如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星相对月球中心经过的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由题意可知卫星的线速度v＝，角速度ω＝，做匀速圆周运动的半径r＝，由G＝mrω2得M＝，故选项B正确.
10.(多选)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接.如图2所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转.则(　　)
图2
A.可求出地球的质量
B.可求出地球的平均密度
C.可求出组合体做圆周运动的线速度
D.可求出组合体受到的地球的万有引力
答案　ABC
解析　组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度ω＝，万有引力提供组合体做圆周运动的向心力，则＝mω2r，所以M＝＝，A正确；不考虑地球的自转时，组合体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则mg＝G，解得R＝，地球的平均密度ρ＝＝＝()，将A选项中求出的M＝代入即可求出平均密度，B正确；根据v＝ωr可知v＝，C正确；由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，D错误.
二、非选择题
11.(2019·泉港一中期末)我国首个月球探测计划“嫦娥工程”分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，忽略地球的自转.试求出月球绕地球运动的轨道半径r.
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点.已知月球半径R月，引力常量G，忽略月球的自转.试求出月球的质量m月.
答案　(1)　(2)
解析　(1)设地球的质量为m，根据万有引力定律和向心力公式：
G＝m月()2r
在地球表面有：g＝G
联立解得：r＝
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意知t＝
在月球表面有：g月＝G
联立解得：m月＝
12.(2019·湖北省部分重点中学高一下学期期中)2018年11月，我国成功发射第41颗北斗导航卫星.这颗卫星是地球同步卫星，其运行周期与地球的自转周期T相同.已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，求该卫星的轨道半径r和地球平均密度ρ.
答案　　
解析　根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力有：
G＝mr
在地球表面：G＝m1g
又ρ＝，V＝πR3
联立解得：r＝，ρ＝
13.(2019·商丘市九校期末联考)a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转)
(1)a、b两颗卫星的周期；
(2)a、b两颗卫星的线速度之比；
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
答案　(1)2π　16π　(2)2∶1
(3)或
解析　(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有F引＝Fn
对地球表面上质量为m的物体，有G＝mg
对a卫星，有＝maR
解得Ta＝2π
对b卫星，有＝mb·4R
解得Tb＝16π
(2)卫星做匀速圆周运动则有F引＝Fn
对a卫星，有＝
解得va＝
对b卫星有G＝mb
解得vb＝
所以va∶vb＝2∶1
(3)设经过t时间，二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，则－＝π
解得t＝
若两卫星反向运转，则(＋)t＝π
解得t＝.4　宇宙航行
[学习目标]
1.会推导第一宇宙速度，知道三个宇宙速度的含义.2.了解人造地球卫星的历史及现状，认识同步卫星的特点.3.了解人类对太空的探索历程和我国载人航天工程的发展.
一、宇宙速度
1.牛顿的设想
如图1所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星.
图1
2.第一宇宙速度的推导
(1)已知地球质量m地和半径R，物体绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，即＝m，可得v＝.
(2)已知地面附近的重力加速度g和地球半径R，由mg＝m得：v＝.
(3)三个宇宙速度及含义
数值
意义
第一宇
宙速度
7.9
km/s
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇
宙速度
11.2
km/s
在地面附近发射飞行器使物体克服地球引力，永远离开地球的最小地面发射速度
第三宇
宙速度
16.7
km/s
在地面附近发射飞行器使物体挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度
二、人造地球卫星
1.1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功.1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功.为我国航天事业作出特殊贡献的科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.
2.地球同步卫星的特点
地球同步卫星位于赤道上方高度约36
000
km处，因相对地面静止，也称静止卫星.地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同.
三、载人航天与太空探索
1.1961年苏联宇航员加加林进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑.
2.1969年，美国阿波罗11号飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕.
3.2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空，截止到2017年底，我国已经将11名航天员送入太空，包括两名女航天员.
4.2013年6月，神舟十号分别完成与天宫一号空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接.2017年4月20日，我国发射了货运飞船天舟一号，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验.
1.判断下列说法的正误.
(1)在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9
km/s.(　√　)
(2)人造地球卫星的最小绕行速度是7.9
km/s.(　×　)
(3)我国向月球发射的“嫦娥二号”宇宙飞船在地面附近的发射速度要大于11.2
km/s.
(　×　)
(4)在地面附近发射火星探测器的速度应为11.2
km/skm/s.(　√　)
(5)由v＝，高轨道卫星运行速度小，故发射高轨道卫星比发射低轨道卫星更容易.
(　×　)
2.已知火星的半径为R，火星的质量为m火，引力常量为G，则火星的第一宇宙速度为
.
答案　
一、三个宇宙速度
导学探究
不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？
答案　一般不同.由＝m得，第一宇宙速度v＝，可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关.
知识深化
1.第一宇宙速度
(1)两个表达式
思路一：万有引力提供向心力，由G＝m得v＝
思路二：重力提供向心力，由mg＝m得v＝
(2)含义
①近地卫星的圆轨道运行速度，大小为7.9
km/s，也是卫星圆轨道的最大运行速度.
②人造卫星的最小发射速度，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，需要更多能量.
2.第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度，其大小为11.2
km/s.当发射速度7.9
km/skm/s时，物体绕地球运行的轨迹是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同.
3.第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7
km/s.
(2019·天津一中期末)我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球的第一宇宙速度约为7.9
km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为(　　)
A.0.4
km/s
B.1.8
km/s
C.11
km/s
D.36
km/s
答案　B
解析　由G＝m得，v＝
又＝，＝
故月球和地球的第一宇宙速度之比＝＝＝
故v月＝7.9×
km/s≈1.8
km/s，因此B项正确.
(2019·湘潭一中期末)某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中.已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度.(物体只受星球的引力，忽略星球自转的影响)
答案　
解析　根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g0＝，该星球的第一宇宙速度即卫星在其表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度大小，由mg0＝得，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝.
二、人造地球卫星
1.人造地球卫星
(1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图2所示.
图2
(2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心.
2.近地卫星
(1)v1＝7.9
km/s；T＝≈85
min.
(2)7.9
km/s和85
min分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期.
3.同步卫星
(1)“同步”的含义就是和地面保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期.
(2)特点
①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24
h.
②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东.
③定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝－R≈3.58×104
km≈6R.
④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变.
⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变.
(多选)“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料.设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是(　　)
A.同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍
B.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
C.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的(忽略地球的自转)
答案　AB
解析　地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，所以同步卫星距地面的高度是地球半径的(n－1)倍，A正确；由万有引力提供向心力即＝，得v＝，r＝nR，第一宇宙速度v′＝，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的，B正确；同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据v＝rω知，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的n倍，C错误；根据＝ma，得a＝＝，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的，D错误.
如图3所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.其中有静止轨道同步卫星和中地球轨道卫星.已知中地球轨道卫星的轨道高度为5
000～15
000
km，则下列说法正确的是(　　)
图3
A.中地球轨道卫星的线速度小于静止轨道同步卫星的线速度
B.上述两种卫星的运行速度可能大于7.9
km/s
C.中地球轨道卫星绕地球一圈的时间小于24小时
D.静止轨道同步卫星可以定位于北京的上空
答案　C
三、同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
如图4所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则(　　)
图4
A.ωA＝ωC<ωB
B.TA＝TCC.vA＝vCD.aA＝aC>aB
答案　A
解析　同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得
vC>vA，aC>aA
对同步卫星和近地卫星，根据＝m＝mω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC.
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaB>aC>aA.选项A正确，B、C、D错误.
同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大.
2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小.
针对训练　(2018·四川凉山州木里中学高一下期中)如图5所示，A是地球赤道上随地球自转的物体，其向心加速度大小为a1，线速度大小为v1；B是绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，其向心加速度大小为a2，线速度大小为v2；C是地球同步卫星，其轨道半径为r.已知地球半径为R，下列关于A、B的向心加速度和线速度的大小关系正确的是(　　)
图5
A.＝
B.＝
C.＝
D.v1＝v2
答案　B
解析　设同步卫星C的向心加速度大小为a3，线速度大小为v3.赤道上的物体A和同步卫星C的运行周期相同，根据a＝可知＝，根据v＝可知＝；对于近地卫星B和同步卫星C，根据万有引力提供向心力有G＝ma＝m，可得a＝，v＝，则有＝，＝，所以＝，＝，故B正确，A、C、D错误.
1.(对宇宙速度的理解)(多选)(2019·巴蜀中学期末)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(　　)
A.人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于或等于7.9
km/s、小于11.2
km/s
B.火星探测卫星的发射速度大于16.7
km/s
C.第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D.第一宇宙速度7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案　CD
解析　根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确.
2.(对同步卫星的认识)(多选)(2019·海师附中期中)下列关于同步通信卫星的说法正确的是(　　)
A.各国发射的地球同步卫星的高度和速率都是相等的
B.同步通信卫星的角速度虽已确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大，高度降低，速率减小，仍同步
C.我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114
min，它的高度比同步卫星低
D.同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星速率小
答案　ACD
3.(同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较)(多选)如图6所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是(　　)
图6
A.＝
B.＝()2
C.＝
D.＝
答案　AD
解析　地球同步卫星：轨道半径为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；
地球赤道上的物体：轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；
以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星.
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，
则G＝m，故
＝.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则an＝ω2r，故
＝.
4.(第一宇宙速度的计算)(2019·岷县一中期末)已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍.已知地球的第一宇宙速度为7.9
km/s，则在该星球上发射一颗人造卫星，其发射人造卫星的速度最小是多少？
答案　23.7
km/s
解析　设地球质量为M1，半径为R1；该星球的质量为M2，半径为R2
由万有引力提供向心力得G＝m，则v＝
故地球和该星球的第一宇宙速度之比＝＝＝
则在该星球上发射人造卫星的速度至少为：
v2＝3v1＝23.7
km/s.
考点一　宇宙速度
1.(多选)(2019·镇远中学高一期末)物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度叫作第一宇宙速度.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是(　　)
A.第一宇宙速度大小约为11.2
km/s
B.第一宇宙速度是使人造卫星绕地球运动所需的最小发射速度
C.第一宇宙速度是人造卫星绕地球运动的最小运行速度
D.若已知地球的半径和地球表面的重力加速度，即可求出第一宇宙速度
答案　BD
解析　由万有引力提供向心力可知第一宇宙速度v1＝，根据万有引力等于重力得mg＝，联立以上两式可得v1＝，将g＝9.8
m/s2，R＝6.4×106
m代入得v1≈7.9
km/s，A错误，D正确；由于第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故B正确；由v＝可得，当轨道半径越大时，其运行速度越小，所以第一宇宙速度是卫星能绕地球做匀速圆周运动的最大速度，C错误.
2.(多选)(2019·贵阳市高一下期末)如图1所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远.如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是(　　)
图1
A.以v<7.9
km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B.以v<7.9
km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动
C.以7.9
km/skm/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动
D.以11.2
km/skm/s的速度抛出的物体可能沿C轨道运动
答案　AC
解析　物体抛出速度v<7.9
km/s时必落回地面，物体抛出速度v＝7.9
km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，故A正确，B错误；当物体抛出速度7.9
km/skm/s时，物体在抛出点做离心运动，但物体不能脱离地球引力束缚，故物体做椭圆运动，可能沿C轨道运动，故C正确；当物体抛出速度v>11.2
km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，故D错误.
3.若取地球的第一宇宙速度为8
km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为(　　)
A.16
km/s
B.32
km/s
C.4
km/s
D.2
km/s
答案　A
考点二　人造地球卫星
4.(多选)(2019·长丰县二中期末)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括多颗同步卫星和多颗一般轨道卫星.关于这些卫星，以下说法正确的是(　　)
A.同步卫星的轨道半径都相同
B.同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小
答案　AB
解析　所有同步卫星的轨道都位于赤道面，轨道半径r和运行周期都相同，选项A、B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，由G＝m可得v＝，故随着卫星运行半径越大，运行速度越小，在地球表面附近运行的卫星速度最大，称为第一宇宙速度，其他卫星运行速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由开普勒第三定律＝k知，轨道半径r越大，周期越大，故D错误.
5.(多选)据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”发射升空后经过4次变轨控制，最终定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点的“天链一号01星”，下列说法中正确的是(　　)
A.运行速度大于7.9
km/s
B.离地面高度一定，相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
答案　BC
解析　成功定点后的“天链一号01星”是同步卫星，即T＝24
h.由G＝m＝mr，得v＝，T＝2π.由于同步卫星的轨道半径r大于地球的半径R，所以“天链一号01星”的运行速度小于第一宇宙速度(7.9
km/s)，A错误；由于“天链一号01星”的运行周期T是一定的，所以轨道半径r一定，离地面的高度一定，B正确；由于ω＝，且T同ω月，C正确；同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的转动周期T，且赤道上物体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由an＝()2r得赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，D错误.
6.(多选)(2019·厦门市期末)2017年9月25日是我国新一代同步卫星“风云四号”在轨交付的日子，与上一代相比，“风云四号”的整星观察数据量提高了160倍，图2为“风云四号”拍摄的中国所在的东半球上空视角照片，下列关于“风云四号”同步卫星的说法正确的是(　　)
图2
A.一定位于赤道正上空
B.绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大
C.发射速度大于7.9
km/s，小于11.2
km/s
D.运行速度大于7.9
km/s，小于11.2
km/s
答案　AC
解析　地球同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，故A正确；根据＝k知，同步卫星相对于月球轨道半径较小，则周期较小，故B错误；地球的第一宇宙速度为7.9
km/s，第二宇宙速度为11.2
km/s，地球同步卫星没有脱离地球的引力范围，故地球同步卫星的发射速度大于7.9
km/s，且小于11.2
km/s，故C正确；由万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，可知卫星的线速度v随轨道半径r的增大而减小，v＝7.9
km/s为卫星围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大，因此其线速度应小于7.9
km/s，故D错误.
7.(2019·长春外国语学校高一下学期期中)如图3所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T.则(　　)
图3
A.卫星c的周期为T
B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍
C.卫星b也是地球同步卫星
D.a、b、c三颗卫星的运行线速度大小关系为va答案　A
8.(多选)(2017·江苏卷)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380
km的圆轨道上飞行，则其(　　)
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
答案　BCD
解析　由万有引力提供向心力得G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得，v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确.
9.(2019·湖北省部分重点中学高一下学期期中)如图4所示，a为放在赤道上随地球一起自转的物体，b为同步卫星，c为一般轨道卫星，d为极地卫星.设b、c、d三卫星距地心的距离均为r，做匀速圆周运动.则下列说法正确的是(　　)
图4
A.a、b、c、d线速度大小相等
B.a、b、c、d向心加速度大小相等
C.d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空
D.若b卫星升到更高圆轨道上运动，则b仍可能与a物体相对静止
答案　C
10.如图5所示，地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e、p、q的线速度大小分别为v1、v2、v3，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，则(　　)
图5
A.v1＞v2＞v3
B.v1＜v2＜v3
C.a1＞a2＞a3
D.a1＜a3＜a2
答案　D
解析　卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，r越大，则线速度越小，所以v3＜v2，q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，选项A、B错误；由G＝man，得an＝，同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径，可知向心加速度a3＜a2，由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的轨道半径大于e的轨道半径，根据an＝ω2r可知a1＜a3，即a1＜a3＜a2，选项D正确，选项C错误.
11.(2019·沙市中学月考)如图6所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动.分别以a1、a2表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是(　　)
图6
A.a2>a3>a1
B.a2>a1>a3
C.a3>a1>a2
D.a3>a2>a1
答案　D
解析　空间站与月球绕地球同周期运动，根据a＝()2r可得，空间站向心加速度a1比月球向心加速度a2小，即a1a2，所以a3>a2>a1，故D项正确.
12.(2019·郑州市期末)如图7所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求：
图7
(1)该星球表面的重力加速度大小；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)根据小球做平抛运动的规律可得：
x＝v0t
y＝gt2
tan
α＝
解得：g＝
(2)由mg＝G得，M＝＝
ρ＝＝
(3)根据星球表面附近万有引力近似等于重力，该力提供向心力，可得：
mg＝m
解得：v＝
13.据报道：某国发射了一颗质量为100
kg、周期为1
h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是一则假新闻，试写出他的论证方案.(地球半径约为6.4×103
km，地球表面重力加速度g地取9.8
m/s2)
答案　见解析
解析　对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2π
则r＝R月时，T有最小值，又＝g月
故Tmin＝2π＝2π＝2π
代入数据解得Tmin≈1.73
h
环月卫星最小周期为1.73
h，故该报道是则假新闻.
14.(2019·合肥六中、淮北一中期末联考)宇航员在X星球表面做了一个实验：如图8甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示.已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是(　　)
图8
A.X星球的第一宇宙速度v1＝
B.X星球的密度ρ＝
C.X星球的质量M＝
D.环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T＝4π
答案　D
解析　由题图乙知，当v2＝b时，F＝0，杆对小球无弹力，此时重力提供向心力，有mg＝m，得X星球表面的重力加速度g＝，则X星球的第一宇宙速度v1＝＝，故A错；X星球质量M＝＝，故C错误；X星球的密度ρ＝＝＝，故B错误；卫星的轨道半径为2R0时，由G＝m·2R0，GM＝gR02＝，解得T＝4π，故D正确.
15.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信.目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A.1
h
B.4
h
C.8
h
D.16
h
答案　B
解析　万有引力提供向心力，对同步卫星有：
＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24
h
若地球的自转周期变小，卫星轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星如图所示分布.
则有＝
解得T′≈4
h，选项B正确.(共28张PPT)
1　行星的运动
第七章　万有引力与宇宙航行
1.了解地心说与日心说的主要内容和代表人物.
2.理解开普勒行星运动定律，知道开普勒第三定律中k值的大小只与中心天体有关.
3.知道行星运动在中学阶段的研究中的近似处理.
学习目标
梳理教材　夯实基础
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
梳理教材　夯实基础
01
1.地心说
(1)
是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕
运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家
.
2.日心说
(1)
是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做
；
(2)日心说的代表人物是
.
两种对立的学说
一
地球
地球
托勒密
太阳
匀速圆周运动
哥白尼
3.局限性
(1)古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的
运动.
(2)开普勒研究了
的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据
(填“不符”或“相符”).
匀速圆周
第谷
不符
1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是
，太阳处在
上.
2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______
.
3.第三定律：所有行星轨道的
跟它的
的比都相等.其表达式为
＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是公转周期，k是一个对所有行星
的常量.
开普勒定律
二
椭圆
椭圆的一个焦点
面积
相等
半长轴的三次方
公转周期的二次方
都相同
1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在
.
2.行星绕太阳做
运动.
3.所有行星
的三次方跟它的公转周期T的二次方的
，即
＝k.
行星运动的近似处理
三
圆心
匀速圆周
轨道半径r
比值都相等
即学即用
1.判断下列说法的正误.
(1)同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小.
(　　)
(2)行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长.(　　)
(3)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动.(　　)
(4)开普勒第三定律中的常数k与行星无关，与太阳也无关.(　　)
√
√
×
×
2.如图1所示，椭圆为地球绕太阳运动的轨道，A、B分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为vA和vB；阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用SA和SB表示，则vA_____vB、SA______SB.(均选填“>”“＝”或“<”)
图1
>
＝
探究重点　提升素养
02
开普勒定律的理解
一
1.开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，如图2所示.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳.开普勒第一定律又叫轨道定律.
图2
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
(1)如图3所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大.开普勒第二定律又叫面积定律.
图3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.
3.开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
(1)如图4所示，由
＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长.比值k是一个对所有行星都相同的常量.开普勒第三定律也叫周期定律.
图4
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定.
例1　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；
由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒第二定律知，火星绕太阳运行的速度大小在不断变化，选项B错误；
根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，选项C正确；
相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D错误.
√
针对训练1　如图5所示，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球做圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC.下列说法或关系式正确的是
A.地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B.B卫星和C卫星运动的速度大小均不变
图5
√
解析　由开普勒第一定律可知，选项A正确；
由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，选项B错误；
开普勒定律的应用
二
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律.
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径.
例2　(2018·夷陵中学期中)某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为
√
例3　(2019·深圳市龙岗区高一下月考)长期以来，“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19
600
km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家又发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48
000
km，则它的公转周期T2最接近
A.15天
B.25天
C.35天
D.45天
√
针对训练2　木星和地球都绕太阳公转，木星的公转周期约为12年，地球与太阳的距离为1天文单位，则木星与太阳的距离约为
A.2天文单位
B.5.2天文单位
C.10天文单位
D.12天文单位
√
随堂演练　逐点落实
03
1.(对开普勒定律的认识)(2018·孟坝中学期末)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是
A.所有的行星都绕太阳做圆周运动
B.对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积
C.在
＝k中，k是与太阳无关的常量
D.开普勒行星运动定律仅适用于行星绕太阳运动
√
1
2
3
4
解析　根据开普勒第一定律知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；
由开普勒第二定律知，对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故B正确；
在
＝k中，k是与太阳有关的常量，故C错误；
1
2
3
4
开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中卫星绕行星的运动，故D错误.
2.(开普勒第二定律的应用)(2019·云天化中学高一下学期期中)如图6所示是行星m绕太阳M运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴.下列说法中正确的是
A.行星运动到A点时速度最大
B.行星运动到C点或D点时速度最小
C.行星从C点顺时针运动到B点的过程中做加速运动
D.行星从B点顺时针运动到D点的时间与从A点顺时针运动到
　C点的时间相等
解析　由开普勒第二定律知，行星在A点速度最小，在B点速度最大，所以行星从A向B顺时针运动的过程中速度在增大，行星从B点顺时针运动到D点的时间小于从A点顺时针运动到C点的时间，故A、B、D错误，C正确.
√
1
2
3
4
图6
3.(对开普勒第三定律的理解)(多选)关于开普勒行星运动定律的表达式　＝k，以下理解正确的是
A.k是一个与行星无关的常量
B.a代表行星的球体半径
C.T代表行星运动的自转周期
D.T代表行星绕中心天体运动的公转周期
√
1
2
3
4
√
4.(开普勒第三定律的应用)1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”.若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图7所示.已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为
1
2
3
4
√
图7
1
2
3
45　相对论时空观与牛顿力学的局限性
[学习目标]
1.了解相对论时空观，知道时间延缓效应和长度收缩效应.2.认识牛顿力学的成就，适用范围及局限性.3.了解科学理论的相对性，体会科学理论是不断发展和完善的.
一、相对论时空观
1.19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c.
2.1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符(填“相符”或“不符”).
3.爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的.
4.时间延缓效应
(1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝.
(2)Δt与Δτ的关系总有Δt＞Δτ，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态有关.(填“有关”或“无关”)
5.长度收缩效应：
(1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0.
(2)l与l0的关系总有l＜l0，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态有关.(填“无关”或“有关”)
二、牛顿力学的成就与局限性
1.牛顿力学的成就：牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬.
2.牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是低速(填“高速”或“低速”)运动的宏观(填“宏观”或“微观”)物体.
(1)当物体以接近光速运动时，有些与牛顿力学的结论不相同.
(2)电子、质子、中子等微观粒子的运动不能用牛顿力学来说明.
3.牛顿力学不会被新的科学成就所否定，当物体运动的速度远小于光速c时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别.
1.判断下列说法的正误.
(1)运动的时钟显示的时间变慢，高速飞行的μ子的寿命变长.(　√　)
(2)沿着杆的方向，相对于观察者运动的杆的长度变短.(　√　)
(3)经典力学只适用于世界上普通的物体，研究天体的运动经典力学就无能为力了.(　×　)
(4)洲际导弹的速度可达到6
000
m/s，在这种高速运动状态下，经典力学不适用.(　×　)
(5)当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了.(　√　)
(6)对于质子、电子的运动情况，经典力学同样适用.(　×　)
2.以约8
km/s的速度运行的飞船上，一只完好的手表走过1
h，地面上的时钟显示的时间________(填“大于”“等于”或“小于”)1
h.
答案　大于
一、相对论时空观
导学探究
地球绕太阳公转的速度是3×104
m/s，设在美国伊利诺斯州费米实验室的圆形粒子加速器可以把电子加速到0.999
999
999
987倍光速的速度，请思考：
(1)地球的公转速度在狭义相对论中属于低速还是高速？被加速器加速后的电子的速度属于低速还是高速？
(2)在地面上校准的两只钟，一只留在地面上，一只随宇宙飞船遨游太空，隔一段时间飞船返回地面时，两只钟显示的时间相同吗？有什么差别？
答案　(1)地球公转速度属于低速，被加速器加速后的电子的速度属于高速.
(2)不相同，随飞船旅行的时钟变慢(显示的时间少).
知识深化
1.低速与高速
(1)低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体.
(2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速.
2.相对论的两个效应
(1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝.
(2)长度收缩效应：运动长度会收缩，即l＝l0.
3.对于低速运动的物体，相对论效应可以忽略不计，一般用经典力学规律来处理；对于高速运动问题，经典力学不再适用，需要用相对论知识来处理.
在静止坐标系中的正立方体边长为l0，另一坐标系以相对速度v平行于正立方体的一边运动.问在后一坐标系中的观察者测得的立方体的体积是多少？
答案　l03
解析　本题中正立方体相对于另一坐标系以速度v运动，一条边与运动方向平行，则坐标系中观察者测得该条边的长度为l＝l0
测得立方体的体积为V＝l02l＝l03.
物体静止长度l0和运动长度l之间的关系为l＝l0
相对于地面以速度v运动的物体，从地面上看：
(1)沿着运动方向上的长度变短了，速度越大，变短得越多.
(2)在垂直于运动方向不发生长度收缩效应现象.
A、B两火箭沿同一方向高速飞过地面上的某处，vA＞vB，在地面上的人观察到的结果正确的是(　　)
A.火箭A上的时钟走得最快
B.地面上的时钟走得最快
C.火箭B上的时钟走得最快
D.火箭B上的时钟走得最慢
答案　B
解析　在地面上的人看来，A、B两火箭都远离自己，由Δt＝知，地面上的人观察到的结果为：A、B两火箭上的时钟都变慢了.又vA＞vB，则A火箭上的时钟走得最慢，地面上的时钟走得最快，因此B正确，A、C、D错误.
二、牛顿力学的成就与局限性
导学探究
如图1所示，质子束被加速到接近光速，经典力学适用于质子束的运动规律吗？
图1
答案　不适用.
知识深化
1.经典力学的成就
(1)经典力学体系是时代的产物，是现代机械、土木建筑、交通运输以至航空航天技术的理论基础.
(2)经典力学的思想方法对艺术、政治、哲学等社会科学领域也有巨大影响.
2.经典力学的局限性及适用范围
(1)经典力学适用于低速运动的物体，相对论阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律.
(2)经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律.
3.相对论和量子力学没有否定经典力学
(1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别；
(2)当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别.
(3)相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形.
(2019·北师大附中高二上期中)下列关于经典力学的说法正确的是(　　)
A.经典力学适用于宏观、低速(远小于光速)运动的物体
B.经典力学适用于微观、高速(接近光速)运动的粒子
C.相对论和量子力学的出现，表明经典力学已被完全否定了
D.经典力学在理论和实践上取得了巨大的成功，从地面到天体的运动都服从经典力学的规律，因此任何情况下都适用
答案　A
解析　经典力学是狭义相对论在低速(v?c)条件下的近似，即只要速度远小于光速，经过数学变换狭义相对论的公式就全部变化为经典力学的公式，故A正确，B、D错误；相对论与量子力学并没有否定经典力学，而是在其基础上发展起来的，故C错误.
下列运动中不能用经典力学规律描述的是(　　)
A.子弹的飞行
B.和谐号从深圳向广州飞驰
C.人造卫星绕地球运动
D.粒子接近光速的运动
答案　D
解析　子弹的飞行、火车的运动及人造卫星绕地球的运动，都属于宏观、低速，经典力学能适用.而粒子接近光速的运动，不能适用于经典力学，故选D.
1.(长度收缩效应)假设地面上有一火车以接近光速的速度运行，其内站立着一个中等身材的人，站在路旁的人观察车里的人，观察的结果是(　　)
A.这个人是一个矮胖子
B.这个人是一个瘦高个子
C.这个人矮但不胖
D.这个人瘦但不高
答案　D
解析　取路旁的人为惯性系，车上的人相对于路旁的人高速运动，根据长度收缩效应，人在运动方向上将变窄，但在垂直于运动方向上没有发生变化，故选D.
2.(时间延缓效应)话说有兄弟两个，哥哥乘坐宇宙飞船以接近光的速度离开地球去遨游太空，经过一段时间返回地球，哥哥惊奇地发现弟弟比自己要苍老许多，则该现象的科学解释是(　　)
A.哥哥在太空中发生了基因突变，停止生长了
B.弟弟思念哥哥而加速生长了
C.由相对论可知，物体速度越大，在其上时间进程就越慢，生理过程也越慢
D.这是神话，科学无法解释
答案　C
解析　根据相对论的时间延缓效应，当飞船速度接近光速时，时间会变慢，时间延缓效应对生命过程、化学反应等也是成立的.飞船运行的速度越大，时间延缓效应越明显，人体新陈代谢越缓慢.
3.(相对论效应)来自太阳和宇宙深处的高能粒子流，与高层大气作用产生一种叫作μ子的次级宇宙射线，μ子低速运动时的寿命只有3.0
μs，按常理，μ子不可能穿过高度大于100
km的大气层到达地面，但实际上在地面上可以观测到许多μ子.则根据相对论可以确定：在地球上测量向地球高速飞行的该粒子的平均寿命________(选填“大于”“等于”或“小于”)3.0
μs.如果观察者和μ子一起以接近光速的速度飞向地面，观察者认为大气层厚度______(选填“大于”“等于”或“小于”)
100
km；如果观察者和μ子一起以0.99c的速度飞向地面，观察者观察同方向向地球照射的太阳光的光速________c.(选填“大于”“等于”或“小于”)
答案　大于　小于　等于
解析　μ子低速运动时的寿命只有3.0
μs，根据时间延缓效应知在地球上测量向地球高速飞行的该粒子的平均寿命大于3.0
μs；根据长度收缩效应得，如果观察者和μ子一起以接近光速的速度飞向地面，观察者认为大气层厚度小于100
km；
根据光速不变原理得，如果观察者和μ子一起以0.99c的速度飞向地面，观察者观察同方向向地球照射的太阳光的光速等于c.
4.(经典力学的成就与局限性)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.经典力学是以牛顿的三大定律为基础的
B.经典力学在任何情况下都适用
C.当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了
D.相对论和量子力学的出现，使经典力学失去了意义
答案　AC
解析　牛顿运动定律是经典力学的基础，A正确；经典力学只适用于低速、宏观、弱引力场的范围，B错误，C正确；相对论和量子力学的出现，并没有否定经典力学，只是说经典力学有一定的适用范围，D错误.
5.(经典力学的适用范围)(2018·庆阳中学期末)关于经典力学、相对论和量子力学，下列说法中正确的是(　　)
A.相对论和经典力学是相互对立、互不相容的两种理论
B.经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例
C.经典力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动
D.不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的
答案　B
解析　相对论没有否定经典力学，经典力学是相对论在一定条件下的特殊情形，选项A错误，B正确；经典力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，选项C、D错误.
6.(经典力学的适用范围)(多选)下列服从经典力学规律的是(　　)
A.自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动
B.发射导弹、人造卫星、宇宙飞船
C.以接近光速飞行的μ子的运动
D.地壳的变动
答案　ABD
解析　经典力学适用于宏观、低速运动的物体，所以A、B、D正确；当物体运动的速率接近于光速时，经典力学就不适用了，故C错误.(共25张PPT)
专题强化　卫星变轨问题和双星问题
第七章　万有引力与宇宙航行
1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.
2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.
学习目标
探究重点　提升素养
随堂演练　逐点落实
内容索引
NEIRONGSUOYIN
探究重点　提升素养
01
1.变轨问题概述
(1)稳定运行
人造卫星的变轨问题
一
(2)变轨运行
卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化.
①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m　
减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.
②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m　增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨.
2.实例分析
(1)飞船对接问题
①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图1甲所示).
②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.
图1
(2)卫星的发射、变轨问题
图2
例1　(2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期
C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
图3
√
解析　卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；
由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；
在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速，
所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；
总结
提升
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.
3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.
针对训练　(多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
图4
√
√
√
解析　在轨道Ⅱ上由A点运动到B点，由开普勒第二定律可知，经过A的速度小于经过B的速度，A正确；
从轨道Ⅰ的A点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，B正确；
在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D错误.
1.双星模型
(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.
双星或多星问题
二
图5
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同.
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.
2.多星系统
在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.
例2　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
图6
例3　宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为
　原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
图7
√
随堂演练　逐点落实
02
1.(卫星变轨问题)(2019·启东中学高一下学期期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是
A.沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
C.沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D.在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
1
2
3
4
√
图8
2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追
　上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室
　减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验
　室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验　
　室，两者速度接近时实现对接
1
2
3
4
图9
√
解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；
空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；
当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；
当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误.
1
2
3
4
3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的
A.轨道半径约为卡戎的
B.角速度约为卡戎的
C.线速度大小约为卡戎的7倍
D.向心力大小约为卡戎的7倍
1
2
3
4
√
解析　双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；
双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；
4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是
A.这两颗恒星的质量必定相等
1
2
3
4
C.这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1
√
√
√
1
2
3
42　万有引力定律
[学习目标]
1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式.2.了解月—地检验的内容和作用.3.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.4.认识引力常量测定的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题.
一、行星与太阳间的引力
行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r.
天文观测测得行星公转周期为T，则
向心力F＝m＝mr①
根据开普勒第三定律：＝k②
由①②得：F＝4π2k③
由③式可知太阳对行星的引力F∝
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝
则行星与太阳间的引力F∝
写成等式F＝G.
二、月—地检验
1.猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G.
地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G.
由于r＝60R，所以＝.
2.验证：(1)苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8
m/s2.
(2)月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108
m.
月球公转周期T＝27.3
d≈2.36×106
s
则a月＝()2r＝2.7×10－3
m/s2(保留两位有效数字)
＝2.8×10－4(数值)≈(比例).
3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律.
三、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.
2.表达式：F＝G，其中G叫作引力常量.
四、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
1.判断下列说法的正误.
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(　√　)
(2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量.(　×　)
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大.(　×　)
(4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大.(　×　)
(5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力.(　×　)
2.两个质量都是1
kg的物体(可看成质点)，相距1
m时，两物体间的万有引力F＝________
N，其中一个物体的重力F′＝________
N，万有引力F与重力F′的比值为________.(已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，取重力加速度g＝10
m/s2)
答案　6.67×10－11　10　6.67×10－12
一、对太阳与行星间引力的理解
导学探究
1.是什么原因使行星绕太阳运动？
答案　太阳对行星的引力使行星绕太阳运动.
2.在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动怎么简化处理的？用了哪些知识？
答案　将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律.
知识深化
万有引力定律的得出过程
(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是(　　)
A.由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M
B.F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C.F和F′大小相等，是同一个力
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案　BD
解析　由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.
二、万有引力定律
导学探究
(1)通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图1，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100
kg，相距1
m)间的万有引力我们却感受不到？
图1
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案　(1)两个人之间的万有引力大小为：F＝＝
N＝6.67×10－7
N，因引力很小，所以通常感受不到.
(2)相等.它们是一对相互作用力.
知识深化
1.万有引力定律表达式：F＝G，G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
2.万有引力定律公式适用的条件
(1)两个质点间的相互作用.
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离.
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离.
关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)
A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C.由F＝知，两物体间距离r减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大
D.引力常量的大小是牛顿首先测出来的，且约等于6.67×10－11
N·m2/kg2
答案　C
解析　任何两物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们之间距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪什首先精确测出的，D错.
如图2所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为(　　)
图2
A.G
B.
C.
D.
答案　D
解析　两个匀质球体间的万有引力F＝G，r是两球心间的距离，选D.
(2019·江川二中高一期末)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图3所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：
图3
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
答案　(1)G　(2)G
解析　(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
F2＝G＝G＝G
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3可知，大球的质量为8m，则大球对m2的万有引力为
F1＝G＝G
m2所受剩余部分的万有引力为F＝F1－F2＝G.
三、重力和万有引力的关系
1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图4所示.
图4
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G.
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝G－mω2R
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.
3.特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是(　　)
A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
答案　AC
解析　物体在两极时，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有F1火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50
kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10
m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5
m高，那他在火星表面能跳多高？
答案　(1)222.2
N　(2)3.375
m
解析　(1)在地球表面有mg＝G
在火星表面上有mg′＝G
代入数据，联立解得g′＝
m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×
N≈222.2
N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝
综上可知，h＝H＝×1.5
m＝3.375
m.
1.(对万有引力定律的理解)(2019·武威第十八中学高一期末)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法正确的是(　　)
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C.对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D.m1与m2受到的引力是一对平衡力
答案　A
解析　万有引力定律的表达式F＝G，公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A正确；当r趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B错误；m1与m2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C错误；m1与m2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D错误.
2.(月—地检验)(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　　)
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案　B
3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为(　　)
A.2F
B.4F
C.8F
D.16F
答案　D
解析　两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，故选D.
4.(重力加速度的计算)据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由mg＝G可知：g地＝G，g星＝G，＝·＝，所以选项B正确.
考点一　万有引力定律的理解
1.(2019·肥东高级中学高一下期末)下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是(　　)
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一种性质的力
B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比
答案　A
2.(多选)关于引力常量G，下列说法中正确的是(　　)
A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2
B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1
kg的可视为质点的物体相距1
m时的相互吸引力
D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关
答案　AC
解析　由F＝G得G＝，所以在国际单位制中，G的单位为N·m2/kg2，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与两物体质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1
kg的可视为质点的物体相距1
m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪什测出，但其数值大小与单位制的选择有关，选项D错误.
3.(2019·北京牛栏山一中期中)图1(a)是用来“显示桌(或支持)面的微小形变”的演示实验；图(b)是用来“测量万有引力常量”的实验.由图可知，两个实验共同的物理思想方法是(　　)
图1
A.极限的思想方法
B.放大的思想方法
C.控制变量的方法
D.猜想的思想方法
答案　B
考点二　万有引力定律的简单应用
4.(2019·永春县第一中学高一期末)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是(　　)
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D.使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
答案　D
解析　根据万有引力定律可知F＝G.使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误.
5.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F.若此物体受到的引力减小到，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径)(　　)
A.2R
B.4R
C.R
D.8R
答案　C
解析　根据万有引力定律有F＝G，由题意可知F＝G，解得h＝R，选项C正确.
6.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为(　　)
A.(－1)R
B.R
C.R
D.2R
答案　A
解析　设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，根据万有引力近似等于重力，则有＝mg，＝m，联立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，选项A正确.
7.(多选)如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法正确的是(　　)
图2
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
答案　BC
解析　根据万有引力定律，地球与一颗卫星间的引力大小为F＝，A错误，B正确；三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知任意两卫星之间的距离为r，故两卫星之间的引力大小为F′＝＝，C正确；任意两卫星对地球引力的夹角为120°，故任意两卫星对地球引力的合力与第三颗卫星对地球的引力大小相等、方向相反，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误.
8.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(　　)
A.1∶9
B.9∶1
C.1∶10
D.10∶1
答案　C
解析　设月球质量为m，则地球质量为81m，月球球心距地球球心的距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确.
9.如图3所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)
图3
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F.
10.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系.如图4所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动.如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则(　　)
图4
A.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
B.每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
C.母星的质量是每颗小星质量的3倍
D.母星的质量是每颗小星质量的3倍
答案　BC
解析　假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝a.
根据万有引力定律：F＝G，9F＝G
联立解得M＝3m，故C正确，D错误；
任意一颗小星受到的万有引力F总＝9F＋2F·cos
30°＝(＋9)F，故A错误，B正确.
11.若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体.“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为[已知：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于质点(m)在球体内半径为r的同心球体(M′)表面受到的万有引力](　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　根据题意有，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力即为其在半径等于(R－d)的球体表面受到的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝＝πGρ(R－d)；根据万有引力提供向心力，G＝mg0，“天宫一号”所在处的重力加速度为g0＝＝，所以＝，故C正确，A、B、D错误.
12.已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月球、地球几乎在同一直线上，且月球位于太阳与地球之间，如图5所示.设月球到太阳的距离为a，地球到月球的距离为b，则太阳对地球的引力F1和太阳对月球的引力F2的大小之比为多少？
图5
答案　
解析　由公式F＝G得
太阳对地球的引力F1＝G
太阳对月球的引力F2＝G
联立可得＝.
13.某物体在地面上受到的重力为160
N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物相互挤压的力为90
N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103
km，g表示地面处重力加速度，g取10
m/s2)
答案　1.92×104
km
解析　卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，此时受到地球的引力为F＝G
在地球表面G＝mg
在上升至离地面h时，FN－F＝ma
物体在地面上受到的重力为160
N，则m＝16
kg
联立解得＝
则h＝(－1)R地
代入数值解得h＝1.92×104
km.
14.某地区的地下发现了天然气资源，如图6所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1).已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)
图6
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石对物体m的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝，故选D.

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