资源简介 解析几何单元易错题练习一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:(一)椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是(三)双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(四)双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.4.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.6. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.(五)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2．抛物线的方程有四种类型：、、、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.6.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.7. 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.(六).两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.(八).圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.四．基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;10.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为。∵（2，1）在直线上，∴， ①又，即ab = 8 ， ②由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y – 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。例题2 求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-，0），∴，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。例题3 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。例题4 已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r ＝。当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 ＞ r 。即 ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 ＞ r ，即a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a的另一制约条件4 – 3 a2 ＞ 0。事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值范围是（）。例题5 已知直线L：y = x + b与曲线C：y =有两个公共点，求实线b的取值范围。错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）∵ L与曲线C有两个公共点， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－＜b＜剖析：上述解法忽视了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。 解得1≤ b ≤。例题6 等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：=，即：=∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上，C点的坐标须满足，且，故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。例题7 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件：错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，故z = 3x + 5y在A点取得最大值。解方程组，得A点坐标为（，）。∴ z最大＝3＋5= 17 。剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。解方程组，得C（－2，－1）。∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。例题8 已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点（1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程的两实根，满足解答：（1）设因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得则代入（1）得故点的方程是一条射线。（2）设同上（1）-（2）得（1）+（2）得（3）代入（4）消去得得 又即的两根满足故。易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。例题9 已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。解答：（1）由得：，故（2）设点，则又双曲线的定义得又或点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或除去点图略。（3）联列：消去得整理得：当时 得 从图可知：，又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。例题10 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆O2：，即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径,设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r则且，所以即，化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为例题11 点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则即两边平方、整理得=1 （1）由此式可得：因为所以剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决即：当时，例题12 已知双曲线的离心率e=, 过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。错解 由已知，有 解之得：所以双曲线方程为把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：所以(1)设CD中点为，则APCD，且易知：所以 (2)将(2)式代入(1)式得 解得m>4或故所求m的范围是剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1) 式时，m受k的制约。因为 所以故所求m的范围应为m>4或例题13 椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。错解 设所求椭圆方程为因为，所以a=2b于是椭圆方程为设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d,则：所以当时，有所以所求椭圆方程为剖析 由椭圆方程得由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，其正解应对f(y)=的最值情况进行讨论：（1）当，即时=7,方程为（2）当, 即时，，与矛盾。综上所述，所求椭圆方程为例题15 已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。错解 设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由 得根据,说明所求直线不存在。例题15 已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。错解 设A、B两点坐标分别为、因为， 所以，又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以即，同理所以设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得所以代入(1)式得所以，所以|有最小值3,无最大值。剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有所以有最小值为 3，最大值为25/4课后练习题1、圆x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于的点共有（ ）A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为，导致错选（ D ）。事实上，已知圆的方程为：（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆，圆的圆心到直线x + y + 1 = 0的距离为d==，这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为的平行直线即可。如图2所示，图中三个点A、B、C为所求，故应选（C）。2、过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是A k>2 B -32 D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑3、设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为A 2 B 2或 C D解 答：D易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。4、已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。5、若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A B C D解 答：C易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。6、已知圆+y=4 和 直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则︱OP︱·︱OQ︱=( )A 1+m B C 5 D 10正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。7、双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。8、已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsin－ycos=1表示（ ）A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆正确答案：D 错因：学生不能由sin+cos=判断角为钝角。9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。10、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( )A、 B、4 C、5 D、2正确答案：B错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条正确答案：C错解：设直线的方程为，联立，得，即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。12、已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是 （ ）A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。13、在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（ ）A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆C．一条直线和半个圆 D．一条线段和半个圆正确答案：D 错因：忽视定义取值。14、设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）。A.1 B. C. 2 D.正解：A ①又 ②联立①②解得 误解：未将两边平方，再与②联立，直接求出。15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点M（），使，那双曲线的交点（ ）。A.在轴上 B.在轴上 C.当时在轴上 D.当时在轴上正解：B。 由得，可设，此时的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在轴上。所以选B。误解：设双曲线方程为，化简得：，代入，，，焦点在轴上。这个方法没错，但确定有误，应，焦点在轴上。误解：选B，没有分组。16、与圆相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）A、2条 B、3条 C、4条 D、6条答案：C错解：A错因：忽略过原点的圆C的两条切线17、若双曲线的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为，则a+b 的值是（ ）A、 B、 C、 D、答案：B错解：C错因：没有挖掘出隐含条件18、双曲线中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ） A、 B、 C、 D、不存在答案：D错解：A错因：没有检验出与双曲线无交点。19、过函数y=-的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、不存在正确答案：（B）错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。20、双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离_______。错解 设双曲线的两个焦点分别为,,由双曲线定义知所以或剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求21、一双曲线与椭圆有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为_____。正解：-，设双曲线的方程为 （27）又由题意知故所求双曲线方程为误解：不注意焦点在轴上，出现错误。22、过双曲线x2－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条。错解：2错因：设代入椭圆的方程算出有两条，当不存在，即直线AB轴时，｜AB｜＝4，忽视此种情况。正解：323、一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的比是，则动点轨道方程为 。答案：错解：由题意有动点的轨迹是双曲线，又F（4，0），所以c=4，又准线x=3,所以，故双曲线方程为错因：没有明确曲线的中心位置，而套用标准方程。24、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的弦AB，则的周长为 。答案：设其中，所以，将弦AB的方程代入双曲线方程，整理得，可求得，故答案为错解：10错因：作图错误，没有考虑倾斜角为的直线与渐近线的关系，而误将直线作成与右支有两交点。25、如果不论实数b 取何值，直线与双曲线总有公共点，那么k的取值范围为 。答案：错解：错因：没考虑b=0时，直线不能与渐近线平行。26、双曲线上有一点P到左准线的距离为,则P到右焦点的距离为 。错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为，易求得a=3,c=5,从而离心率e＝,再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定义，得|PF2|=。剖析：以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。而事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离| A2 F1|＝a+c＝8，而，故点P只能在左支，于是|PF2|=。小结：一般地，若|PF1| ≥ a+c,则P可能在两支上，若|PF1| < a+c,则P只能在一支上。27、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为，求双曲线的方程。错解：由,于是可求得双曲线的方程为。点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此看来，判断准方程的类型是个关键。28、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条错解：设直线的方程为，联立，得，即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。小结：直线与抛物线只有一解时，并不一定相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一解。29、已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围。错解：曲线C：可化为（1），联立，得：，由Δ＝0,得。分析：方程（1）与原方程并不等价，应加上。故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如图），结合图形易求得m的范围为。解题回顾：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。30、设双曲线的渐近线为：，求其离心率。错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：或。31、已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点。错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵ ∴解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。剖析：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在。解题反思：使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式是否成立。32、直线L：与圆O：相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程。错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由，得：∴，整理得：剖析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时。33、设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值。错解：因 ∴，得：，同理得：，故 ∴最大、最小值分别为3,-3.剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为。PAGE正弦定理、余弦定理及其应用考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1 中，，BC＝3，则的周长为（ ）A． B．C． D．分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．解：由正弦定理得：，得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3 在中，已知，那么一定是（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4 在中，若，，，则的面积S＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB ACsinA即可解决．解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．∴ S＝AB ACsinA＝．∴ AB AC sinA＝AC h，得h＝AB sinA＝，故选(A)．四、求值问题例5 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45° 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理，，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．例6 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，（Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设，求a＋c的值.分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等．解：（Ⅰ）由由b2=ac及正弦定理得则（Ⅱ）由，得ca cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b2＝2．由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.易错题解析例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。错解：∵。则，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A＜90°。又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。例题2 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。错解：由正弦定理，得即。∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得，∴2A＝或。∵或。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。错解：∵A＝60°，b＝1，，又，∴，解得c＝4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。∴。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。。例题4 在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得，又∵∴。故的最大值为。辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得因此∴a＋b的最大值为。例题5 在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。错解：由余弦定理，得∴。又由正弦定理，得而。辨析：由题意，∴。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解：同上，。例题6 在△ABC中，，判断△ABC的形状。错解：在△ABC中，∵，由正弦定理得∴∴A＝B且A＋B＝90°故△ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。正解：在△ABC中，∵，由正弦定理，得。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7 若a，b，c是三角形的三边长，证明长为的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。。由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有，即。∴长为的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得又∵即长为的三条线段能构成锐角三角形。高考试题展示1、（06湖北卷）若的内角满足，则A. B． C． D．解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又，故选A2、（06安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，所以是钝角三角形。故选D。3、（06辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D)【解析】，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、（06辽宁卷）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：依题意，结合图形可得，故，选D5、（06全国卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A． B． C． D．解：中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.6、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=1 （B）2 （C）—1 （D）解：由正弦定理得sinB＝，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B7、（06四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件解析：设分别是的三个内角所对的边，若，则，则，∴ ，，又，∴ ，∴ ，，若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要条件，选A.8、（06北京卷）在中，若，则的大小是___________.解： abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小为.9、（06湖北卷）在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ .解：由正弦定理易得结论sinB＝。10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、（06上海春）在△中，已知，三角形面积为12，则 .解：由三角形面积公式，得，即．于是从而应填．13、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.（1）证明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)．如图3，， 即．（2）．在中，由正弦定理得 由(1)得， 即． 14、（06江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值．解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，，所以cosA＝，则（2），则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝15、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数（2）求y＝的最大值与最小值解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝，MAG＝，由正弦定理得则S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝y＝＝＝72（3＋cot2），因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240当＝时，y取得最小值ymin＝21616、（06全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值。.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为17、（06全国II）在,求（1）(2)若点解：（1）由 由正弦定理知（2），由余弦定理知18、（06四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。（Ⅰ）∵ ∴ 即,∵ ∴ ∴（Ⅱ）由题知，整理得∴ ∴∴或而使，舍去 ∴∴19、（06天津卷）如图，在中，，，．（1）求的值；（2）求的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解： 由余弦定理，那么，（Ⅱ）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故.20、（07重庆理5）在中，则BC =（ ）A. B. C.2 D.【答案】：A【分析】：由正弦定理得：21、（07北京文12理11）在中，若，，，则 解析：在中，若，，∴ A 为锐角，，，则根据正弦定理=。．22、（07湖南理12）在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．【答案】【解析】由正弦定理得，所以23、（07湖南文12） 在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则A= .【解析】由正弦定理得，所以A=24、（07重庆文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。【答案】：【分析】：由余弦定理得：24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则，∴ 两条直角边的长分别为3，4，设直角三角形中较小的锐角为，cosθ=，cos2θ=2cos2θ－1=。25、（07福建理17）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．26、（07广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，，．（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．解析： （1），，若c=5， 则，∴，∴sin∠A＝；2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．解：在中，．由正弦定理得．所以．在中，．28、（07湖北理16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即当时，；当时，．29、（07全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）．由为锐角三角形知，，．，所以．由此有，所以，的取值范围为．30、（07全国卷2理17）在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．31、（07山东理20）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结，由已知，，，，．在中，由余弦定理，．．由正弦定理，，即，．在中，由已知，由余弦定理，．，乙船的速度的大小为海里/小时．答：乙船每小时航行海里．32、（07山东文17）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求．解：（1）又 解得．，是锐角． ．（2）， ， ．又． ．． ．33、（07上海理17）在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．解： 由题意，得为锐角，，，由正弦定理得 ， ．34、（07天津文17）在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．．35、（07浙江理18）已知的周长为，且．（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．36、（07天津文理15） 如图，在中，是边上一点，则.【答案】【分析】法一：由余弦定理得可得，又夹角大小为，，所以.法二：根据向量的加减法法则有:,此时.图1ABCD西北南东ABC30°15°图2图3ABC北45°15°BDCαβA图3北甲乙北乙甲平面向量易错题解析1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用；）3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）4、你弄清“”与“”了吗？[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如（1）若，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；（3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知，，则 （答：或）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积：。③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：）；④平面向量数量积：。如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：或）；⑤向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；⑥两点间的距离：若，则。如如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。（答：（1）2；（2））；7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。如下列命题中：① ；② ；③；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）9、向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则 （答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）10.线段的定比分点：（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_______（答：）（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______（答：）；（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_______（答：２或－４）11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）例题1 已知向量,且求(1) 及;(2)若的最小值是,求实数的值.错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.答案: (1)易求, = ;(2) ===从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;当时, ;当时,解得,不满足;综合可得: 实数的值为.例题2 在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若即故,从而解得;(2)若即,也就是,而故,解得;(3)若即,也就是而,故,解得综合上面讨论可知,或或例题4 已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求+的取值范围。解：(1)设=(x,y)则由<,>=得：cos<,>== ①由·=-1得x+y=-1 ②联立①②两式得或 ∴=(0,-1)或(-1,0)(2) ∵<,>=得·=0若=(1,0)则·=-10故(-1,0) ∴=(0,-1)∵2B=A+C，A+B+C= B= ∴C=+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC)∴+===== = =∵0∴+()例题5 已知函数f(x)=mx-1(mR且m0)设向量)，，，，当(0，)时，比较f()与f()的大小。解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2∵(0,) ∴2(0, ) ∴cos2>0∴当m>0时，2mcos2>0，即f()>f()当m<0时，2mcos2<0，即f()例题6 已知A、B、C为ABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)当f(A、B)取最小值时，求C(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值，∴A=30或60，2B=60或120 C=180-B-A=120或90(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-===例题7 已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落< , >为锐角，求实数x的取值范围.解：要满足<>为锐角 只须>0且（）= = =即 x (mx-1) >01°当 m > 0时x<0 或2°m<0时，x ( -mx+1) <0 ，3°m=0时 只要x<0综上所述：x > 0时，x = 0时，x < 0时，例题8 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2a·b =∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1, b2=1,∴a·b ==（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值为，又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。∴=60°,此时a与b的夹角为60°。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。例题9 已知向量，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．解（Ⅰ）,., ,即 . .（Ⅱ），，.例题10 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．解：（Ⅰ）∵，，∴ MN垂直平分AF．又，∴ 点M在AE上，∴ ，，∴ ，∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，∴ ．∴ 点M的轨迹W的方程为（）．（Ⅱ）设∵ ，，∴ ∴由点P、Q均在椭圆W上，∴ 消去并整理，得，由及，解得．基础练习题1、设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、答案：A点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。2、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与∠BAC的角平分线有关。3、若向量 =(cos,sin) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）A． 与的夹角等于- B．∥C．(+)(-) D． ⊥正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 （ ）A．3 B．6 C．9 D．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当OPcos最大时，· 即为最大。5、在中,,则的值为 ( )A 20 B C D错误分析:错误认为,从而出错.答案: B略解: 由题意可知,故=.6、已知向量 =(2cos，2sin)，()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )A．- B．+ C．- D．正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，]。7、如果，那么 （ ）A． B． C． D．在方向上的投影相等正确答案：D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。8、已知向量则向量的夹角范围是（ ）A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。9、设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；③ ； ④ (+)//(－)A、1个 B、2个 C、3个 D、4个答案：C点评：①②④正确，易错选D。10、以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）正解：B设，则由 ①而又由得 ②由①②联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。11、设向量，则是的（ ）条件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要正解：C若则，若，有可能或为0，故选C。误解：，此式是否成立，未考虑，选A。12、在OAB中，，若，则=（ ）A、 B、 C、 D、正解：D。∵∴（LV为与的夹角）∴∴∴误解：C。将面积公式记错，误记为13、设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）A、 B、（2，+ C、（— D、（-错解：C错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：A14、设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：① ②③ ④若不平行其中正确命题的个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个正确答案：(B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15、若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.正确解法: ，的夹角为钝角,解得或 (1)又由共线且反向可得 (2)由(1),(2)得的范围是答案: .16、已知平面上三点A、B、C满足的值等于 （ C ）A．25 B．24 C．－25 D．－2417、已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.（1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|；（2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；（3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.解：（1）设A（，因为导数，则直线AC的方程：由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=－（－）=+，故|AF|=|CF|.（2）设由得. ①直线OB方程： ②直线m的方程:， ③由①②③得y=－p，故点P的轨迹方程为y=－p（x≠0）.（3）设则因为AB是焦点弦，设AB的方程为：得由（1）知直线AT方程：同理直线BT方程：所以直线AB方程：，又因为AB过焦点，，故T在准线上.18、如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足，求以P、G、D为项点的三角形的面积.解：（Ⅰ）∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.由以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.∴所求点P的轨迹方程为（Ⅱ）G为椭圆的左焦点.又由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）又∵点P在椭圆上，又19、已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （D）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心20、已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为 （C）A. 且.B.C.D. , 或PAGE集合与函数、导数部分易错题分析1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？[问题]:、 、 的区别是什么？4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？[问题]:如何解不等式：？6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射？[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A到B上的映射，那么可以作 个A到B上的一一映射.9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？[问题]：已知函数求函数的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）[问题]：已知函数图象与的图象关于直线.10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗 [问题]：已知函数上，恒有，则实数取值范围是： 。12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题 ①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？[问题]：写出函数的图象及单调区间.时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？[问题]：证明“函数的图象关于直线对称”与证明“函数与函数的图象关于直线对称”有什么不同吗？例题讲解1、忽略的存在：例题1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．【错解】AB，解得：【分析】忽略A=的情况.【正解】（1）A≠时，AB，解得：；（2）A= 时，，得.综上所述，m的取值范围是（,2、分不清四种集合：、、、的区别.例题2、已知函数，，那么集合中元素的个数为…………………………………………………………………………（ ）（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D.【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，、、、分别表示函数定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式的解集.【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C.3、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.【错解】因为BA，所以：.【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为BA，所以：.4、不理解有关逻辑语言：例题4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不属于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有……………………………………………………………（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对.【分析】实际上，由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正确的.【正解】正确答案是B（2、4两个命题正确）.5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：例题5、若a<0, 则关于x的不等式的解集是 .【错解】x<－a或x >5 a【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清5 a和－a的大小.【正解】{x|x<5 a或x >－a }6、不能严谨地掌握充要条件的概念：例题6、题甲“a，b，c成等比数列”，命题乙“”，那么甲是乙的………………（ ）（A） 充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又非必要条件【错解】选C【分析】若a，b，c成等比数列，则；若，则有可能.【正解】正确答案为：D7、考虑充要条件时，忽略了前提条件：例题7、△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的…………………………………（ ）条件（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要【错解】错选A【分析】实际上，由“A=B”能推出“sinA=sinB”；在△ABC中，由正弦定理及“sinA=sinB”，可知，从而有“A=B”成立.【正解】正确答案为C.8、不能正确地理解有关概念，导致推理错误：例题8、已知直线m、n和平面、，其中m、n，则∥的一个充分不必要条件是：……………………………………………………………………………………（ ）（A）⊥,⊥ （B） m∥, n∥（C） ∥,∥ （D）内不共线的三点到的距离相等【错解】错选A.【分析】注意：寻找的是一个充分不必要条件.学生往往错误地认为：∥某条件，且某条件不能推出∥.而实际上，应该是：某条件∥，且∥不能推出某条件.【正解】正确答案为C.9、逻辑推理混乱：例题9、使不等式成立的充分而不必要的条件是…………………（ ）（A） （B）（C） （D）【错解】搞不清所要求的条件和不等式的关系.【分析】所要求的“某条件”满足：（1）“某条件”不等式成立；（2）“某条件”不等式成立；【正解】正确答案为：B10、不会用“等价命题”推理：例题10、设命题p：|4x－3|≤1，命题q：，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 .【错解】常见错误解答是：.【分析】解答此题比较好的思路是：由p是q的必要而不充分条件得知p是q的充分而不必要条件，然后再解两个不等式，求a的取值范围.【正解】正确答案是.11、不注意数形结合，导致解题错误.例题11、曲线与直线有两个不同交点的充要条件是【错解】误将半圆认为是圆.【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：二、函数部分1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称.例题1、函数的奇偶性为【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：例题2、，若时，，则x1、x2满足的条件是 ；【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题.【分析】可以判断出f(x)是偶函数，且在上是增函数.【正解】由f(x)在上的图象可知答案为.3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：例3、函数当时，则a的取值范围是…（ ）（A）（B） （C） （D）【错解】只想到一种情况，选D【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C4、不理解函数的定义：例4、函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是……………………………（ ）（A）至少有一个 （B） 至多有一个 （C）必有一个 （D） 有一个或两个【错解】选是A、C或D【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域内的一个x值只能对应一个y值）.【正解】正确答案为：B变式、在同一坐标系内，函数的图象关于…………………（ ）（A） 原点对称 （B）x轴对称 （C）y轴对称 （D） 直线y=x对称【错解】没有思路.【分析】要知道两函数的图象关于y轴对称.【正解】的图象由的图象向左平移1个单位而得到，＝ 的图象由的图象向右平移一个单位而得到.故选C.基础练习题1、已知函数，，那么集合中元素的个数为（ C ）A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或22、已知函数的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数的定义域和值域分别是（ C ）A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]3、已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（ A ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4、将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（ B ）A. B.C. D.5、已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是（ D ）A. B. C. D.6、函数在下面的哪个区间上是增函数（ B ）A. B. C. D.7、设，、，且＞，则下列结论必成立的是（ D ）A. ＞ B. +＞0 C. ＜ D. ＞8、方程和的根分别是、，则有（ A ）A. ＜ B. ＞ C. = D. 无法确定与的大小9、若、是关于的方程（）的两个实根，则的最大值等于（ C ）A. 6 B. C. 18 D. 1910、若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ C ）A. 在上是增函数 B. 在上是增函数C. 在上是减函数 D. 在上是增函数，在上是减函数11、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（ B ）A. B. C. D.12、不等式≤在上恒成立，则实数的取值范围是（ C ）A. B. C. D.13、方程至少有一个负的实根的充要条件是（ C ）A. 0<≤1 B. ＜1 C.≤1 D. 0<≤1或< 014、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是C（A） （B）（C） （D）15、函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（ B ）A. B. C. D.16、函数的图象关于原点中心对称，则BA. 在上为增函数B. 在上为减函数C. 在上为增函数，在上为减函数D. 在上为增函数，在上为减函数17、且＜0，则的取值范围是（ A ）A. B. C. D.18、二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（ D ）A. B. C. D. [2,4]19、已知函数的图象如图所示，则 （ B ）A. B.C. D. 0 1 220、设，，，则的面积可能是 （ A ）A. 1 B. C. 4 D. 4二、填空题：21、函数（＞-4）的值域是____________________.22、函数的值域是________________________.23、函数的值域是_________________________.24、若实数满足，则=______10____.25、设定义在区间上的函数是奇函数，则实数的值是_________2______________.26、函数（<-1）的反函数是_______.27、函数在（1，+）上是增函数，则实数的取值范围是____________________.28、已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.29、已知函数是定义在R上的偶函数，当＜0时， 是单调递增的，则不等式＞的解集是____________.30、已知对任意都有意义，则实数的取值范围是______________31、函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______________________.32、函数的值域是______.33、对于任意，函数表示，，中的较大者，则的最小值是_________2___________________.34、已知＞1，＞＞0，若方程的解是，则方程的解是____________________.35、已知函数（≠0）在区间上的最大值为1，则实数的值是____或________________.36、对于任意实数、，定义运算*为：*=，其中、、为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数，使得对于任意实数，都有*=，则=____________4_____.37、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_____或 ___________________.38、若函数（>0且≠1）的值域为，则实数的取值范围是___或_____________.39、若曲线与有且只有一个公共点，为坐标原点，则的取值范围是________.40、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________________.41、正实数x1，x2及函数，f (x)满足，则的最小值为 （ B ）A．4 B． C．2 D．42、已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件43、一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；丙：若规定对任意恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个44、已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②③；④其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上所有满足题意的序号）46、已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.（1）求f（x）的解析式（2）若函数上是单调减函数，求k的取值范围.（1）∵f（x+1）为偶函数，∴恒成立，即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0 ∴b=－2a∴∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，∴二次方程有两相等实数根，∴，（2）∵，，故k的取值范围为47、已知三次函数在和时取极值，且．(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．解：(1) ，由题意得，是的两个根，解得，．再由可得．∴．(2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．∴函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数．函数的极大值是，极小值是．(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）．而，∴，即．于是，函数在区间上的值域为．令得或．由的单调性知，，即．综上所述，、应满足的条件是：，且．48、定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为____ (答：)；49、函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)50、如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是__ (答：)．51、已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。52、已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）53、函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）54、设集合，，，则_____（答：） 55、，如果，求的取值。（答：a≤0）56、已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 （答：）57、若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（C ）（A） （B） （C） （D）58、定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：①对任何②对任何则 0 .59、已知全集U=R，集合，则A． B．C．{（1，－2）} D．（ ）60、若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a2＋b2－2a的取值范围是（ ）A．[2，4] B．[4，16] C．[2，2] D．[4，12]61、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（A ）A． B． C． D．62、 (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。（1）依题意得解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60（2）=0,得：比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62.数列单元易错题分析1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？基本量方法：抓住及方程思想；②利用等差（等比）数列性质）.[问题]：在等差数列中，，其前，的最小值；3、解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗？4、在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗？(时，应有)5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题）[问题]：已知:6、你知道存在的条件吗？（,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗 (倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法)*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n＝n0 (k≥n0)时成立；(2)假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论.2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论.例题选讲1、不能正确地运用通项与前n项和之间的关系解题：例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝－2；【错解】由公式an=sn－sn－1得：（1）an=10n－2; （2）【分析】应该先求出a1，再利用公式an=sn－sn－1求解.【正解】（1）an=10n－2; （2）2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件：例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .【错解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)=.【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1.【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)当a=1时，S =；当时，S=忽视公比的符号例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。【正解】设四个数分别为则，由时，可得当时，可得变式、等比数列中，若，，则的值（A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在【错解】 是等比数列， ，，成等比，＝9，选A【分析】，，是中的奇数项，这三项要同号。错解中忽视这一点。【正解】C(见手写P13－25 13)5、 (见手写P14－25 14)6、缺乏整体求解的意识例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求【错解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将作为一个整体，不能解决问题。事实上，本题求，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，，求出即可。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。【正解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有，可得 ，代入(3)有 ，从而有， 又所求项恰为该数列的中间项，例7 (1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法 ，。错误分析 在错解中，由，时，应有。在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意,即因为，所以所以解得说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。例题7 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－.∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.逆命题为假.例题8 已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，（Ⅰ）设的通项公式；（Ⅱ）求n为何值时，最小（不需要求的最小值）解：（I）即数列{bn}的通项公式为（Ⅱ）若an最小，则注意n是正整数，解得8≤n≤9∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小例题9 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f(x)的表达式； （Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x．(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)令bn=an－1，0∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0(a1－a2)·(a3－1)+(a2－a3)·(a4－1)+…+(an－an+1)·(an+2－1)=＜=b1-bn+1＜b1＜1。例题10、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．（1）试用与n来表示；（2）设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，，即，于是数列是等差数列，故．，，又与共线，．当n＝1时，上式也成立．所以an．（2）把代入上式，得12＜a≤15，，当n=4时，取最小值， 最小值为a4=18－2a．基础练习题1、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数)2、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2－a1) = A(符号)(A) －8 (B) 8 (C) － (D)3、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。（忽视公比q = －1）4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），则n最小值为……………………………………………………………（ B ） (A)60 (B)62 (C)63 (D)705、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（C ）(A) (B) (C) (D)6、若数列中，，且对任意的正整数、都有，则（A） （B） （C） （D） ( C)7、已知数列的前项和为非零常数），则数列为（ ）（A）等差数列 （B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列8、设数列{an}是等比数列，，则a4与a10的等比中项为 （ ）A． B． C． D．9、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。10、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。11、等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“>”、“<”、“=”）．12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则 ，，…， 中最大的是 B(A) (B) (C) (D)13、已知数列为等差数列，则“”是“”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件易错原因：不注意为常数列特殊情况.14、“”是实数成等比数列的 （D）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件易错原因：对等比数列的概念理解不全面.15、等差数列中，若，则的值为 （B）A. B. C. D.易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.16、等差数列中，为其前项的和，则 （B）A.都小于，都大于B.都小于，都大于C. 都小于，都大于D. 都小于，都小于易错原因：已知条件不会灵活运用.17、在等差数列中，若，则的值是 （C）A. B. C. D.不能确定易错原因：找不到与的关系.18、若为等比数列，，若公比为整数，则（C）A. B. C. D.易错原因：①未考虑为整数；②运算发生错误.19、数列中，，则为 （C）A. B. C. D.易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.20、数列满足，且，则首项等于 （D）A. B. C. D.易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （）（答：A）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。（2）等差数列的通项：或。如（1）等差数列中，，，则通项 （答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）等差数列的前和：，。如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：）.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0 C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0 （答：B）(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。如（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。如（1）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）；（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. （答：，或2）（3）等比数列的前和：当时，；当时，。如（1）等比数列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）的值为__________（答：2046）；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知且，设数列满足，且，则 . （答：）；（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝ （答：－1）(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 _____（答：－2）(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）⑵已知（即）求，用作差法：。如已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）⑶已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______（答：）⑷若求用累加法：。如已知数列满足，，则=________（答：）⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求（答：）⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答： ）7.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如①求证：；②已知，则＝___（答：）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）；（2）设函数，数列满足：，①求证：数列是等比数列；②令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥.如（1）求和： （答：）；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= （答：）；②求和： （答：）8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）.PAGE不等式单元易错题练习1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，则；若，则.如（1）（2）已知，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设，比较的大小答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，试比较的大小（答：）；（3）比较与的大小.答：当或时，；当时，；当时，3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2 B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4.常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2），（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如：如果正数满足，则的取值范围是 ____（答：）5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有： 如（1）已知，求证： ；（2） 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；（4）若是不全相等的正数，求证：（5）若，求证：；（7）已知，求证：；（8）求证：。6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：）；（2）不等式的解集是____（答：）；（3）设函数的定义域都是，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：；（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围是______.（答：）7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________（答：）.8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式（答：）（4）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。（答：）9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若，则的取值范围是__________（答：或）；（2）解不等式（答：时，；时，；时，提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________（答：（－1,2））10.含绝对值不等式的性质：同号；异号.如设，实数满足，求证：11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（答：）；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：）；（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）2). 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答：）3). 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.例题选讲：例题1 对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；例题2、已知二次函数满足，，求的取值范围。错解：，，又正解：设，则有，即又， ，剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。例题3、已知，求的最大值。错解：，即的最大值为。正解1：因此，当且仅当时，的最大值为。正解2：（用导数知识解），，令，得或又，且当时，；当时，当时，的最大值为。剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式都不成立。例题4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。错解：正解：因为关于的不等式的解集是，所以，故或原不等式的解集是。剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正确解法。例题5、已知：、都是正数，且，，，求的最小值。错解：、都是正数，，即的最小值为4。正解：、都是正数，且，当且仅当时，的最小值为。剖析：中等号成立的条件是当且仅当，而中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾，因此解题中忽视了条件，从而造成错误。例题6 解不等式.错解一：原不等式可化为， 解得x≥2．∴原不等式的解集是{x|x≥2}.错解二：在不等式f(x)·≥0中，按f(x)的取值情况分类，有，或．当x – 1 > 0，即x > 1时，原不等式等价于x2 – x – 2 ≥ 0，解得x ≥ 2；当x – 1 = 0，即x = 1时，显然无意义，其解集为．综上所述，原不等式的解集为{x|x ≥ 2}．错因：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解．原因是忽略了不等式中“≥”具有相等与不相等的双重性．事实上，不等式f(x)·≥0与或g(x) = 0同解.错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况即当x – l < 0，且x2 – x – 2 = 0时也合乎条件，即补上x = - 1．故原不等式的解集为{x|x≥2，或x = - 1}．分析一：符号“≥”是由符号“>”“ = ”合成的，故不等式f(x)·≥ 0可转化为f(x)· > 0或f(x)· = 0．正解一：原不等式可化为(I)(x-1)> 0，或(Ⅱ)(x - 1) = O．(I)中,由得x > 2； (Ⅱ)中，由x2 – x – 2 = 0，或x – 1 = O，且x2 – x - 2有意义，得x = 1，或x = 2．∴原不等式的解集为{x|≥2，或x = - 1}．分析二：在不等式f(x)·≥0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：(1)g(x) > 0时,等式等价于(2)g(x) = 0时'只须f(x)有意义即可.正解二：分两种情况讨论．(1)当x2 – x – 2 > 0，即x > 2，或x < - 1时，原不等式等价于．解得x > 2．(2)当x2 – x – 2 = 0，即x = 2，或x = - 1时，显然有意义，是原不等式的解．综上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x = - 1}．例题7 设函数，其中，解不等式．错解：∵不等式f(x)≤1，∴≤1 + ax．两边平方，得x2 + 1≤(1 + ax)2 ,即x·[(a2 - 1)x + 2a]≥0．∵a > 0，∴当a > 1时，x ≥ 0，或x ≤-；当0 < a < 1时，0 ≤ x ≤．错因：未能从已知条件中挖掘出隐含条件：“1 + ax ≥ 1”，即“ax≥0”，进而由a > 0可得x≥0．正解：不等式f(x)≤1，即≤1 + ax．由此得1≤1 + ax，即ax≥O，其中a > 0．∴原不等式等价于不等式组即∴当0 < a <1时，原不等式的解集为{x|0≤x≤};当a≥1时,原不等式的解集为{x|x≥O}．小结：解不等式常见的思维误区有：（1）概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等.（2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.如例题6.（3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7.例题8 不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别 式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应例1 (2003年江苏新课程高考试题)已知,为整数.(Ⅰ)设,证明: ;(Ⅱ)设,对任意≥,证明: .分析 这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.证明 (Ⅰ)∵ ,∴ .(Ⅱ)对函数求导数,得,所以 .当≥>0时, .故当≥时,是关于的增函数,因此,当≥时,.即对任意≥, .评述 导数及其它向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形式更加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,在教学中应予以重视.二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真向量不等式等号成立的条件为,当向量∥且与方向相同时“+”不等式取等号; 当向量∥且与方向相反时“-”不等式取等号.例2 ≥ .错解 设 ,由得.∴≥ .成因分析 向量不等式等号成立的条件是 ∥,且向量与方向相反,而当∥时,得,此时方向相同,故等号不成立,使不等式范围缩小了.正解 设 ,由 ,得.当∥即时,方向相同,故等号成立.评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式与和差不等式证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,在教学中应适当推广及应用.三、多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量”、“参元”、“变元”等.若定位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍.例3 设、、[0,2] , 证明 ≥.分析 此不等式有三个元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位,而陷入误区,实际上原等式中、、三个元中只有是一次的,故可将视作变元,其余、视作常量即可解决问题.证明 设 .则为关于元的一次函数,且、、[0,2] .要证≥0,即要证≥0,且≥0 .而≥0 ,且≥0 .∴当、、[0,2]时, ≥0 .即≥ .评述 元的定位问题往往不是绝对的,定位切入点不同,解题的途径也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的分析问题的思维能力.四、忽视题设条件或隐含条件有些题设条件看似平淡,但在解题中就会显示出其隐蔽性,学生往往由于忽视了隐含条件,或对隐含条件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,从而在解题过程中误入陷阱.例4 设,为偶数,证明 ≥ .错解 .∵为偶数, ∴,又与同号 ,∴ ,故 .成因分析 实际上,为偶数时, 与不一定同号,这里忽略了题设条件,在没有明确字母的具体值情况下,要考虑分类讨论,即需分和有一个负值的两种情况加以分类讨论.正解 .①当时, ,≥0 ,∴≥0 ,故≥ ;②当有一个负值时,不妨设,且,即 .∵为偶数时,∴≥0 ,且∴≥0 ,故≥ .综合①②可知,原不等式成立 .五、分式不等式分母较复杂时,不能灵活变形而形成思维障碍证明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如轮换法、添加分母法、添加分式法、添加和积式法等等,在添加代数式时需考虑均值不等式等号成立条件,并最终利用均值不等式去掉分式或部分分母,但学生对于这一灵活的变形常常无法领悟,觉得在解题时处处均可下手,但又无从下手,从而形成分式变形障碍.例5已知,证明 ≥ .分析 这是一道技巧性较强的分式不等式证明题,其分子与分母差别太大,学生往往不能注意其整体联系,而想省事处理,想一步到位地消去所有分式,从而进入了繁忙的运算程序中,最后不得结果,反而觉得此题处处都是切入点,又处处陷于被动.实际上,由.可添加分式,使得≥ ,由时,不等式取等号,得 .故可考虑添加分式来解决问题.证明 ∵≥;≥;≥ .∴++≥(++)≥ .评述 在证明分式不等式时,要看准所要消的分式结构特征与整个式子的完整性,分清是“和”式还是“积”式、含有几个字母、各字母的次数,然后应用均值不等式等号成立条件确定待添加式的系数,然后从整体上消去分母.六、忽视一般化与特殊化之间的转化障碍一般化与特殊化的思维方向正好相反,它们相辅相成,是变更问题的两种基本原则.例6 证明 .分析 直接通过计算或用对数来比较不等式两边的大小,是难以办到的,也是证明中的障碍体现.如注意到,则可技巧性地将问题转化为如下一个一般化命题:“设n是大于1的正整数,证明不等式”.而原命题仅是此命题的一个特殊化的结论.证明 由≥∴ . 令 ,即得 .评述 某些特殊化的结论,其中往往蕴藏着一般化结论的线索,而由一般化的结论得出某些特殊化的结论是非常自然的.由特殊化联想到一般化是此类问题解决的一个突破口,教学中要加强这方面的训练,这有助于培养学生联想及变通的数学直觉意识能力.七、不能由此及彼的想象探究,揭示不等式间的内在联系如果说由特殊到一般是纵向引申,解决深度问题,那么由此及彼则是横向推广,解决广度问题.例7 求证 ：分析 此题可用数学归纳法加以证明,但新教材中部分省市已将之删去,学生面对此题,常不能对已有表象进行加工改造,创造出新的形象,对此不等式的递推感到无能为力,其原因主要在于不能由此及彼地探究此不等式与数列通项递推关系,形成障碍.其实,若令,则(k>2), 可用迭加法来证明.证明 令,则 (k>2) .令,可得个同向不等式,把这个同向不等式相加,并整理得 .∵ ,∴ .故原不等式成立 .评述 利用迭加法来证明数列型不等式,把不等式的一端设为,若经过化简、变形、放缩能化成该数列的通项,便可用此法证明,这一证明技巧也简洁地替代了数学归纳法的应用.另外,在不等式证明的教学中部分教师在处理教学内容时,过分强调了数学解题的技巧,学生没有理解仅靠“模仿”的训练,这也是不等式证明错误产生的一个主要原因.因此在学习中必需从实际出发,注重基础知识和基本技能的教学,突破障碍.在不等式证明的学习中可思考以下几点:①降低起点,减小坡度,将不等式人为设置出由浅入深的梯度来;②对有从属关系的不等式系列题,可采取分散和集中相结合法,切实地使学生既接受得了,又不失系统性和规律性;③培养联想能力,学会从已有感知入手,剖析不等式新旧信息源的联系与异同,寻找其内在因素和从属关系,领悟到“数”与“式”之间发展更替的规律及必然,并逐步地学会在新旧知识的对比中去联想、猜想和想象;④在不等式证明障碍点和学生的不足之处,应进行必要的循环和反复,并注重对一些重要方法的浓缩,掌握重点,突破难点,克服不足;⑤在学习的过程中,要精心选择数学题,使双基中见综合,综合中见双基,将双基训练与数学能力的培养有机地结合起来,以帮助切实掌握不等式证明的基础知识和基本技能,熟悉其中的数学基本思想和常用方法,在解题实践中提高逻辑思维、形象思维和灵感思维的能力,发展思维的灵活性和创造性.同时通过证明不等式,培养良好的思想品质和数学素养,树立辩证唯物主义基本观点,养成勤奋刻苦、严格认真、踏踏实实的学习习惯,勇于去攀登数学高峰.课后练习题1．设若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.2．设成立的充分不必要条件是A B C D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。3．不等式的解集是A B C D错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则A B C D错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。5．已知，则2a+3b的取值范围是A B C D错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。6．若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ）A a≤-或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。7．已知函数y=㏒(3x在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（ ）A a≤-6 B -＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D －8≤a≤-6正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。8．已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=＋＋,则（ ）A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上都非正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定xyz(＋＋)的符号。9．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）A． 甲 a＞b，乙 ＜B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣C 甲 a=b ，乙 a＋b=2D 甲 ，乙正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。10．f(x)=︱2—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2＜2 D 2＜2正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。11．a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）A.a2>b2 B.( ) a <()b C.lg(a－b)>0 D.>1正确答案：B。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。12．x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ ）A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2正确答案：D。错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。13．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( )A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1C.有最小值，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值正确答案：B 。错误原因：容易忽视x、y本身的范围。14．若a>b>0，且>，则m的取值范围是（ ）A. mR B. m>0 C. m<0 D. –b正确答案：D 。错误原因：错用分数的性质。15．已知，则是的（ ）条件A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充要正确答案：D错因：不严格证明随便判断。16．如果那么的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、正确答案：B错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于，于是就选了D.其实x等于120度时可取得该值。故选B。17．设则以下不等式中不恒成立的是 （ ）A． B．C． D．正确答案：B18．如果不等式（a>0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4正确答案：B19．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、答案：B点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。20．数列{an}的通项式，则数列{an}中的最大项是（ ）A、第9项 B、第8项和第9项C、第10项 D、第9项和第10项答案：D点评：易误选A，运用基本不等式，求，忽略定义域N*。21．.若不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ ）A． B. C． D．错解：D错因：选D恒成立。正解：C22．已知是方程的两个实根，则的最大值为（ ）A、18 B、19 C、 D、不存在答案：A错选：B错因：化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于所得的k的范围。23．实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是 。A、 B、 C、 D、答案：B错解：A错因：忽视基本不等式使用的条件，而用得出错解。24．如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ）A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥正确答案：（B）错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。25、设，则的最大值为错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式=，求出最大值为1。26、若恒成立，则a的最小值是错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。27、已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解二、，所以z的最小值是。错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。正解：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。28、若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是 。正确答案：(－2,2) 。错误原因：容易忽视m＝2。29、不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：①a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.正确答案 2 、3、 4错因：一元二次函数的理解30、不等式(x－2)≥0的解集是 ．正确答案：31、不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是______。正确答案：{-1，1}32、若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正确答案：<33、不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________答案：点评：误填而忽略x=－1。34、设x>1，则y=x+的最小值为___________答案：点评：误填：4，错因：≥，当且仅当即x=2时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。35、设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________.错解：错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。 正解：[－]36、－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件错解：充要条件 错因：忽视时符合题意。正解：充分非必要条件37、函数y=的最小值为_______________错解：2，错因：可化得，而些时等号不能成立。正解：38、已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.错解：错因：由得，，等号成立的条件是与已知矛盾。正解：39、设函数的定义域为R，则k的取值范围是 。A、 B、 C、 D、答案：B错解：C错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用。40、不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集为 。答案：错解：错因：忽视x=2时不等式成立。41、已知实数x,y满足，则x的取值范围是 。答案：错解：错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“”。42、若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。答案：由原方程可得错解：设代入原方程使用判别式。错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>843、已知实数满足，则的取值范围是 。正确答案：错误原因：找不到解题思路，另外变形为时易忽视这一条件。44、已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是 。正确答案：错误原因：条件x+y＝4不知如何使用。45、已知函数①②③④，其中以4为最小值的函数个数是 。正确答案：0错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。46、已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为 。正确答案：错误原因：不能正确转化为不等式组。47、已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为正确答案：3错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz≤348、设，且，求的取值范围。解：令，则，比较系数有，即说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。49、求函数的极大值或极小值。解：当时，，当且仅当即时，，当时，当且仅当，即时，说明：此题容易漏掉对的讨论，注意不等式成立的前提是。50、解不等式：。解：当时，原不等式为，当时，原不等式为，又原不等式的解为说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。注意分段求解的结果要考虑分段的前提。51、方程的两根都大于2，求实数的取值范围。解：设方程的两根为，则必有说明：此题易犯这样的错误：，且和判别式联立即得的范围，原因是只是的充分条件，即不能保证同时成立.PAGE 展开更多...... 收起↑ 资源列表 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－不等式单元易错题分析与练习.doc 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－平面向量单元易错题分析与练.doc 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－数列单元易错题分析与练习.doc 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－正弦定理、余弦定理及其应用.doc 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－解析几何单元易错题分析与练.doc 菁华学校2011高三数学培优补差辅导专题讲座－集合、函数与导数单元易错题.doc
资源列表