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专题九
四边形中的函数关系
【例1】如图，已知四边形
ABCD
是矩形，cot∠ADB=
，AB=16．点
E
在射线
BC
上，点
F
在线段
BD
上，且∠DEF=∠ADB．
（1）
求线段
BD
的长；
（2）
设
BE=x，△DEF
的面积为
y，求
y
关于
x
的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）
当△DEF
为等腰三角形时，求线段
BE
的长．
【例2】如图，矩形
ABCD
中，AB=3，BC=4，点
E
是射线
CB
上的动点，点F
是射线
CD
上一点，且
AF⊥AE，射线
EF
与对角线
BD
交于点
G，与射线
AD
交于点
M；
（1）
当点
E
在线段
BC
上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）
在（1）的条件下，联结
AG，设
BE=x，tan∠MAG=y，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出
x
的取值范围；
（3）当△AGM
与△ADF
相似时，求
BE
的长．
【例3】如图，已知在梯形
ABCD
中，AD
//
BC，AB
=
AD
=
5，tan∠DBC=
。点
E
为线段
BD
上任意一点（点
E
与点
B、D
不重合），过点
E
作
EF
//
CD，与BC
相交于点
F，联结CE．设BE
=
x，y=
。
（1）
求
BD
的长；
（2）
如果
BC
=
BD，当△DCE
是等腰三角形时，求
x
的值；
（3）
求
y
关于
x
的函数解析式，并写出自变量
x
的取值范围．
【例4】已知：如图，在菱形
ABCD
中，AB=5，联结
BD，sin∠ABD=
。点
P
是射线
BC
上的一个动点（点
P
不与点
B
重合），联结
AP，与对角线
BD相交于点
E，联结
EC．
（1）
求证：AE=CE；
（2）
当点
P
在线段
BC
上时，设
BP=x，△PEC
的面积为
y，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当点
P
在线段
BC
的延长线上时，若△PEC
是直角三角形，求线段
BP
的长．
如图，在梯形
ABCD
中，
AD
//
BC,
AC与BD相交于点O，AC
=
BC
，点
E
在
DC
的延长线上，∠BEC
=
∠ACB
,已知cos∠ABC
=
。
（1）
求证：BC2
=
CDBE
;
（2）
设
AD
=
x，CE
=
y,
求
y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）
如果△DBC∽△DEB，求
CE
的长.
如图，在边长为
6
的正方形
ABCD
中，点
E
为
AD
边上的一个动点（与点
A
、
D
不重合），∠EBM
=
45；B
E
交对角线
AC
于点
F
，BM
交对角线
AC
于点G
，交CD
于点
M
；
如图
1，联结
BD，求证：△DEB
∽△CGB
，并写出的值；
联结
EG
，如图
2，设
AE
=
x
，EG
=
y
，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出定义域；
当
M
为边
DC
的三等分点时，求
S△EGF的面积；
如图，平行四边形
ABCD
中，AB=5，BC=10，sin∠B=
，E
点为
BC
边上的一个动点（不与
B、C
重合），过
E
作直线
AB
的垂线，垂足为
F，FE
与
DC
的延长线相交于点
G，连结
DE，DF.
(1)
当△ABE
恰为直角三角形时，求
BF：CG
的值：
(2)
当点
E
在线段
BC
上运动时，△BEF
与△CEG
的周长之和是否是常数，请说明理由：
(3)
设
BE=x，△DEF
的面积为
y，试求出
y
关于
x
的函数关系式，并写出定义域.
如图，在?ABCD
中，E
为边
BC
的中点，F
为线段
AE
上一点，联结
BF
并延长交边
AD于点
G，过点
G
作
AE
的平行线，交射线
DC
于点
H.设=
=
x
。
（1）当x
=
1时，求
AG
:
AB
的值；
（2）设
=
y，求关于
x
的函数关系式，并写出
x
的取值范围；
（3）当DH
=
3HC
时，求
x
的值.
5.
如图，已知矩形
ABCD中，
AB
=
6，BC
=
8，E
是BC
边上一点（不与B
、C
重合），过点E
作EFAE
交
AC
、CD于点M
、F
，过点B
作BGAC
，垂足为G
，BG
交
AE
于点H
；
（1）求证：△
ABH
∽△ECM
；
（2）设BE
=
x
，
=
y，求
y
关于x
的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BHE
为等腰三角形时，求BE
的长；
6.
已知，等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点
P
是对角线
AC
上的一个动点，且∠APE=∠B，PE
分别交射线
AD
和射线
CD
于点
E
和点
G.
（1）
如图
1，当点
E、D
重合时，求
AP
的长；
（2）
如图
2，当点
E
在
AD
的延长线上时，设
AP=x，DE=y，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当线段
DG=
时，求
AE
的值.
7.
已知：在梯形
ABCD
中，AD//BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB
=
，点
E
在对角线
AC上，且
CE＝AD，BE
的延长线与射线
AD、射线
CD
分别相交于点
F、G．设
AD=x，△AEF的面积为
y．
（1）求证：∠DCA＝∠EBC；
（2）如图，当点
G
在线段
CD
上时，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△DFG
是直角三角形，求△AEF
的面积．
8．如图，在直角梯形
ABCD
中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线
AC、BD
交于点
G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=
，点
E
是射线
BC
上任意一点，过点B
作
BF⊥DE，垂足为点
F，交射线AC
于点
M，射线DC
于点
H．
（1）当点
F
是线段BH
中点时，求线段CH
的长；
（2）当点
E
在线段
BC
上时（点
E
不与
B、C
重合），设
BE=x，CM=y，求
y
关于
x
的函数解析式，并指出
x
的取值范围；
（3）连接
GF，如果线段GF
与直角梯形
ABCD
中的一条边（AD
除外）垂直时，求
x
的值．
9.
如图，梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M
在边CD
上，且
=
．
（1）如图①，联结
BM，求证：BM⊥DC；
（2）
如图②，
作∠EMF=90°，ME
交射线
AB
于点
E，MF
交射线
BC
于点
F，若
AE=x，
BF=y．
当点
F
在线段
BC
上时，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出定义域；
（3）若△MCF
是等腰三角形，求AE的值．
10.
已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90?，
BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
11.
如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tan
D
=
，E是腰AD上一点，
且AE：ED=1：3．
（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；
（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；
（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．
12.
如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．
（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；
（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；
（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．

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