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2020-2021学年人教A版必修二同步必刷题提高练
第三章《直线与方程》
3.3
直线的交点坐标与距离公式
一．选择题
1．（2020秋?广东月考）两直线x+y﹣1＝0与2x+2y﹣3＝0之间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?泸县校级期中）P（1，2）到直线l：x+ay+2﹣a＝0的距离最大值为（　　）
A．
B．4
C．
D．
3．（2020秋?历下区校级期中）若直线l经过点（﹣2，1），且原点到直线l的距离为2，则直线l的方程为（　　）
A．3x﹣4y+10＝0
B．x＝﹣2
C．3x﹣4y+10＝0或y＝﹣2
D．3x﹣4y+10＝0或x＝﹣2
4．（2020秋?湖州期中）已知P（1，1），Q（﹣2，﹣3），点P，Q到直线l的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2020春?江阴市期中）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（　　）
A．4x+y﹣6＝0
B．x+4y﹣6＝0
C．2x+3y﹣7＝0或x+4y﹣6＝0
D．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0
6．（2019春?常州期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x﹣3y+10＝0的距离的最大值为（　　）
A．2
B．
C．
D．
7．（2018春?双流区期末）在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l1：x﹣my+2m﹣1＝0、l2：mx+y﹣m﹣2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1、l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN的面积的最大值为（　　）
A．3
B．
C．5
D．
8．（2018?北京）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
9．（2020秋?瑶海区校级期中）若直线x﹣y＝1与直线（m﹣3）x+my﹣8＝0平行，则这两条平行线间的距离　
　．
10．（2020秋?亭湖区校级月考）已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为　
　．
11．（2020秋?章丘区校级期中）若直线4x+（m+1）y+8＝0与直线2x﹣3y﹣9＝0平行，则这两条平行线间的距离为　
　．
12．（2020春?湖北期中）设动直线x＝m与函数f（x）＝2x3，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则线段MN长度的最小值为　
　．
13．（2019秋?河南期末）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为32，AB＝2BC＝4，E∈平面ABB1A1，若点E到直线AA1的距离与到直线CD的距离相等，则|D1E|的最小值为　
　．
14．（2020春?西城区校级期末）函数f（x）的最大值是　
　．
15．（2020?梧州模拟）已知点A（﹣2，0），B（0，2），若点C是圆x2﹣2x+y2＝0上的动点，则△ABC面积的最小值是　
　．
三．解答题
16．（2020秋?九江期中）已知直线l的方程为（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
17．（2020秋?瑶海区校级期中）已知A，B为直线l1上两点，且A（1，0），B（﹣3，3），直线l2：6x+my+14＝0．
（1）求直线l1方程；
（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
18．（2020秋?浦东新区校级期中）已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直线l恒过定点的坐标；
（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
19．（2020秋?聊城期中）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣8＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若点P的坐标为（2，6），求直线PA、PB的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．
20．（2020春?海安市校级月考）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PAPB取最小值时，求直线的方程．
21．（2020春?新吴区校级期中）已知直线l经过点P（﹣2，3）．
（1）且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）若直线l被两条相交直线2x﹣y﹣2＝0和x+y+3＝0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：两直线x+y﹣1＝0与2x+2y﹣3＝0，即两直线2x+2y﹣2＝0与2x+2y﹣3＝0，
故它们之间的距离为
，
故选：B．
2．【解答】解：直线l：x+ay+2﹣a＝0化为：x+2+a（y﹣1）＝0，因此直线经过定点Q（﹣2，1），
P到直线l：x+ay+2﹣a＝0的距离最大值为|PQ|，
故选：A．
3．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，方程为x＝﹣2，检验满足条件．
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，根据直线l经过点（﹣2，1），
可得直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即
kx﹣y+1+2k＝0．
再根据原点到直线l的距离为2，可得2，求得k，
故直线l的方程为
3x﹣4y+10＝0．
综上可得，直线l的方程为x＝﹣2，或
3x﹣4y+10＝0，
故选：D．
4．【解答】解：由点P（1，1）、Q（﹣2，﹣3），易得PQ＝5，以点P为圆心，半径2为的圆，
与以点Q为圆心，半径为4的圆相交，
故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有2条，
故选：B．
5．【解答】解：设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
（1）AB的斜率为4，当直线l∥AB时，直线l的方程是y﹣2＝﹣4（x﹣1），即
4x+y﹣6＝0，
（2）当直线l经过线段AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为，直线l的方程是
y﹣2（x﹣1），即3x+2y﹣7＝0，
故所求直线的方程为3x+2y﹣7＝0，或4x+y﹣6＝0．
故选：D．
6．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0的斜率之积：1，
∴直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0垂直，
∵直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0分别过点M（0，4），N（3，0），
∴直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0的交点P在以MN为直径的圆上，
P为以C（，2）为圆心，半径为的圆上，
圆心C到直线4x﹣3y+10＝0的距离为d2，
则点P到直线4x﹣3y+10＝0的距离的最大值为d+r2．
故选：B．
7．【解答】解：将直线l1的方程变形得（x﹣1）+m（2﹣y）＝0，
由，得，则直线l1过定点A（1，2），同理可知，直线l2过定点A（1，2），
所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为（1，2），易知，直线l1⊥l2，如下图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2+b2＝5，
四边形OMPN的面积为S＝|OM|?|ON|＝ab，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D．
8．【解答】解：由题意d，
∴当sin（θ﹣α）＝﹣1时，
dmax＝13．
∴d的最大值为3．
故选：C．
二．填空题
9．【解答】解：∵直线x﹣y＝1与直线（m﹣3）x+my﹣8＝0平行，∴，求得m，
则这两条平行线即x﹣y＝1与直线x+y0，
故它们之间的距离为：．
故答案为：．
10．【解答】解：∵已知直线x+2y+3＝0与直线2x+my+1＝0平行，
∴，求得m＝4，
故两条平行直线即
直线2x+4y+6＝0与直线2x+4y+1＝0，
则它们之间的距离为
，
故答案为：．
11．【解答】解：∵直线4x+（m+1）y+8＝0与直线2x﹣3y﹣9＝0平行，∴，求得m＝﹣7，
则这两条平行线即
2x﹣3y+4＝0与直线2x﹣3y﹣9＝0，故它们之间的距离为，
故答案为：．
12．【解答】解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．
设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣lnx，
求导得：F'（x）＝6x2．
令F′（x）＞0，得x；令F′（x）＜0，得0＜x，
所以当x时，F（x）有最小值为F（）＝2ln（1+ln6），
故答案为：（1+ln6）．
13．【解答】解：根据题意，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为32，AB＝2BC＝4，则AA1＝4，
如图：在面A1ABB1建立平面直角坐标系，设E（x，y）．（0≤x≤4，0≤y≤4）
点E到直线AA1的距离即x，点E到直线CD的距离为，
则有x，
A1E
，
∴当y＝2，x＝2时，A1E取最小值2，
∴|D1E|的最小值为：4．
故答案为：4．
14．【解答】解：f（x）表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差
∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y＝x2，B在抛物线内，A在抛物线外
∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）
∵|AB|
∴函数f（x）的最大值是
故答案为．
15．【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，
∴圆心坐标为（1，0），半径r＝1，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴直线AB解析式为y＝x+2，
∵圆心到直线AB的距离d，
∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r1，
又OA＝OB＝2，∴根据勾股定理得AB＝2，
则△ABC面积的最小值为AB×（d﹣r）＝3．
故答案为：3
三．解答题
16．【解答】解：（1）由（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，化简得
m（x+y﹣10）+（﹣x+3y+6）＝0，
令，
故直线l恒过定点P（9，1）．
（2）由题得
（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，与直线
3x﹣4y+2＝0
平行，
∴3（m+3）+4（m﹣1）＝0，即
．
17．【解答】解：（1）∵A，B为直线l1上两点，且A（1，0），B（﹣3，3），直线l2：6x+my+14＝0，∴，
∴直线l1方程为：3x+4y﹣3＝0．
（2）∵l1∥l2，∴，即m＝8，
故直线l2：6x+my+14＝0可化为3x+4y+7＝0，
∴两平行线之间的距离．
18．【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，即
k（x+2）﹣y+1＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝1，该直线经过点（﹣2，1）．
（2）直线l：kx﹣y+1+2k＝0与x轴负半轴交点为（，0），和y轴正半轴交点为（0，1+2k），
故1+2k＞0，且0，解得k＞0．
直线l坐标轴围成的三角形面积为
?（）?（1+2k），即
4k2﹣5k+1＝0，
求得k＝1，或k．
19．【解答】解：（1）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣8＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
若点P的坐标为（2，6），
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2，满足题意．
当切线斜率不存在时，设切线的方程为y﹣6＝k（x﹣2），即
kx﹣y﹣2k+6＝0，
由2，求得k，此时切线方程为4x﹣3y+10＝0．
（2）∵点P为直线l：x+y﹣8＝0上一动点，设P（8﹣m，m），∵PA、PB为圆的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，故AB是以PO为直径的圆和已知圆的公共弦，
以PO为直径的圆为，
即
x2﹣（8﹣m）x+y2﹣my＝0
①．
又已知圆O：x2+y2＝4
②，
用①﹣②可得
AB直线的方程（8﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+8x﹣4＝0．
令y﹣x＝0，求得xy，
故直线AB经过定点Q（，）．
20．【解答】解：（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x，y＝2，
故直线恒过定点P（，2），
（2）设直线方程为，（a＞0，b＞0），
若满足条件（1），则a+b12，①
又∵直线过点P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
解得，或．
∴所求直线的方程为为或1，
即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0．
若满足条件②，则ab＝12，③
由题意得，1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6．
∴所求直线的方程为或1，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0．
综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程，为3x+4y﹣12＝0…（8分）
（3）由题意可知直线的倾斜角，
所以PA，PB，
所以PAPB，
令t＝cosα﹣sinα，
由可得，cos（），t，
PAPB在[，﹣1）上单调递增，
当t即时，上式取得最小值4，此时直线方程为y﹣2＝﹣（x），
化简可得，直线方程为3x+3y﹣10＝0…（14分）
21．【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2；
当直线斜率存在时，设直线方程为y﹣3＝k（x+2），
即kx﹣y+2k+3＝0，
由2，解得k；
∴直线l的方程为5x+12y﹣26＝0．
综上，所求直线方程为x＝﹣2或5x+12y﹣26＝0；
（2）设直线l夹在直线l1，l2之间的线段为AB（A在l1上，B在l2上），A，B的坐标分别设为（x1，y1），（x2，y2），
∵AB被点P平分，
∴x1+x2＝﹣4，y1+y2＝6，于是x2＝﹣4﹣x1，y2＝6﹣y1；
由于A在l1上，B在l2上，
∴，解得x1，y1，
即A的坐标是（，），
∴直线l的方程的斜率为：；
∴直线l的方程y﹣3[x﹣（﹣2）]，即
x+13y﹣37＝0．
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精品试卷·第
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