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2020-2021学年粤教版（2019）必修第二册
4.7 生产和生活中的机械能守恒 学案
学习目标
1.了解落锤打桩机的构成和工作原理，会分析机械能的转化.（重点）
2.会分析跳台滑雪和过山车的能量转化.（重点）
3.理解应用各种功能关系和能量的转化和守恒定律（重点、难点）
探究一　落锤打桩机
【典例1】　 打桩机的重锤质量是500 kg，把它提升到离地面12 m高处，然后让它自由下落（以地面为零势能面），求：
（1）重锤在最高处的重力势能；
（2）重锤下落5 m时的重力势能、动能和速度的大小；
（3）重锤落地时动能和速度的大小.
解析：（1）取地面为零势能面，则重锤在最高处的高度为h1＝12 m，所以重锤的重力势能为Ep1＝mgh1＝6×104 J.
（2）重锤下落5 m时离地高度为h2＝7 m，
重力势能为Ep2＝mgh2＝3.5×104 J，
根据机械能守恒，0＋mgh1＝Ek2＋mgh2.
动能Ek2＝mgh1－mgh2＝2.5×104 J.
由Ek2＝mv2，得v＝10 m/s.
（3）根据机械能守恒，重锤落地时的动能Ek3＝mgh1＝6×104 J.由Ek3＝mv得重锤落地时速度v3＝15.5 m/s.
答案：（1）6×104 J　（2）3.5×104 J　2.5×104 J　10 m/s
（3）6×104 J　15.5 m/s
训练：
1.（多选）打桩机重锤的质量是200 kg，把它提升到离地面25 m的高处，然后让它自由落下，取地面做参考平面，则重锤下落10 m时.（g取10 m/s2）（　　）
A.重力势能为3×104 J
B.重力势能为2×104 J
C.动能为2×104 J
D.机械能为5×104 J
解析：以地面为零势能面，则重锤下落10 m时离地面的高度为h＝15 m，重力势能为Ep＝mgh＝200×10×15＝30 000 J，A对，B错；设离地面的最大高度为H，由题H＝25 m，由机械能守恒可知：mg（H－h）＝Ek；解得动能为Ek＝20 000 J，C对；机械能为E＝Ep＋Ek＝5×104 J，D对.
答案：ACD
探究二　跳台滑雪
【典例2】　跳台滑雪是滑雪爱好者喜欢的一种运动.某滑雪轨道可以简化成如图所示的示意图，其中助滑雪道CB段长L＝40 m，且与水平方向夹角α＝37°，BO段是水平起跳台，OA段是着陆雪道，CB段与BO段用一小段光滑圆弧相连，滑雪者从助滑雪道CB上的C点在自身重力作用下由静止开始运动，滑到O点水平飞出，此时速度大小v0＝20 m/s.不计空气阻力，经t＝2 s落在着陆雪道上的A点，已知滑雪者和装备的总质量为m＝50 kg（可视为质点），g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）滑雪者经过CO段过程中减少的机械能E减；
（2）滑雪者即将落到A点时的动能EkA.
解析：（1）运动员经过CO段过程中减少的机械能
E减＝mgLsin 37°－mv，
据题L＝40 m，m＝50 kg，代入上式解得E减＝2 000 J.
（2）在OA段运动员下落的竖直高度h＝gt2＝20 m，
滑雪者即将落到A点时的动能
EkA＝mv＋mgh＝×50×202 J＋50×10×20 J＝2×104 J
答案：（1）2 000 J　（2）2×104 J
训练：
2.跳台滑雪就是运动员脚着特制的滑雪板，沿着跳台的倾斜助滑道下滑，以一定的速度从助滑道水平末端滑出，使整个身体在空中飞行3～5 s后，落在着陆坡上，经过一段减速运动最终停在终止区.如图所示是运动员跳台滑雪的模拟过程图，设运动员及装备总质量为60 kg，由静止从出发点开始自由下滑，并从助滑道末端水平飞出，着陆点与助滑道末端的竖直高度为h＝60 m，着陆瞬时速度的方向与水平面的夹角为60°（设助滑道光滑，不计空气阻力），则下列各项判断中错误的是（　　）
A.运动员（含装备）着地时的动能为4.8×104 J
B.运动员在空中运动的时间为2 s
C.运动员从着陆点到助滑道末端的水平距离是40 m
D.运动员离开助滑道时距离跳台出发点的竖直高度为80 m
答案：D
探究三　过山车
【典例3】　过山车是游乐场中常见的设施.如图是一种过山车运行轨道的简易模型，它由竖直平面内粗糙斜面轨道和光滑圆形轨道组成.过山车与斜面轨道间的动摩擦因数为μ，圆形轨道半径为R，A点是圆形轨道与斜面轨道的切点.过山车（可视为质点）从倾角为θ的斜面轨道某一点由静止开始释放并顺利通过圆形轨道.若整个过程中，人能承受过山车对他的作用力不超过其自身重力的8倍.求过山车释放点与A点的距离范围.
解析：过山车恰能通过圆轨道的最高点.
从释放的最低点到A点，由动能定理得
mgL1sin θ－μmgL1cos θ＝mv.
设过山车经过最高点速度为v，从A点到圆轨道的最高点，由机械能守恒定律得mv＝mgR（1＋cos θ）＋mv2.
在圆轨道最高点，由牛顿第二定律mg＝，
解得：L1＝，
过山车在圆轨道最低点承受作用力最大.
从释放的最高点到A点，由动能定理得
mgL2sin θ－μmgL2cos θ＝mv′.
从A点到圆轨道的最低点，由机械能守恒定律得
mv′＋mgR（1－cos θ）＝mv′，
在圆轨道最低点，由牛顿第二定律得
FN－mg＝；FN＝8mg，
解得：L2＝.
过山车释放点与A点的距离范围为
≤L≤.
答案：≤L≤
训练：
3.如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P点是该段轨道的最高点，A、B、C三处是过山车的车头、中点和车尾.假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略，那么，过山车在通过P点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.车头A通过P点时的速度最小
B.车的中点B通过P点时的速度最小
C.车尾C通过P点时的速度比车头A通过P点时的速度小
D.A、B、C通过P点时的速度一样大
解析：过山车在运动过程中，受到重力和轨道支持力作用，只有重力做功，机械能守恒，动能和重力势能之间相互转化，则当重力势能最大时，过山车的动能最小，即速度最小.根据题意可知，车的中点B通过P点时，质心的位置最高，重力势能最大，则动能最小，速度最小，故仅B选项正确.选B.
答案：B
探究四　功能关系和能量转化守恒定律
1.功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下表所示：
功 能量转化 关系式
重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp
弹力做功 弹性势能的改变 WF＝－ΔEp
合外力做功 动能的改变 W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 内能的改变 f·x相对＝Q
2.能量守恒定律.
（1）内容.
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持不变.
（2）适用范围.
能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律.
（3）表达式.
①E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和.
②ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量.
?特别说明　（1）机械能守恒定律实际上是能量守恒定律的一种特殊形式.
（2）若某一过程涉及的物体及能量种类比较多，应考虑应用能量守恒定律分析、求解.
【典例4】　如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h、质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点.已知在OM段物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g.
（1）求物块滑到O点时的速度大小；
（2）求弹簧为最大压缩量d时的弹性势能（设弹簧处于原长时弹性势能为零）；
（3）若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
解析：（1）由机械能守恒定律，得mgh＝mv2，
解得v＝.
（2）在水平滑道上，物块A克服摩擦力做的功W＝μmgd，
由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd，
联立以上各式，得Ep＝mgh－μmgd.
（3）物块A被弹回的过程中，克服摩擦力做的功仍为
W＝μmgd，
由能量守恒定律得Ep＝μmgd＋mgh′，
所以物块A能够上升的最大高度为h′＝h－2μd.
答案：（1）　（2）mgh－μmgd　（3）h－2μd
训练：
4.如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态.小物块的质量为m，从A处以一定的初速度向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止.物块向左运动的最大距离为x，此时弹簧的弹性势能为Ep，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度.求：
（1）物块全过程发生的位移；
（2）物块与地面间的动摩擦因数；
（3）物块在A点时的初速度大小.
解析：（1）物体从A点出发又回到A点，则整个过程中的位移为：x总＝0.
（2）由能量关系得Ep＝W克f，W克f＝μmgx，
解得μ＝.
（3）整个过程中由动能定理得mv＝2W克f，W克f＝Ep，
联立解得vA＝2.
答案：（1）x总＝0　（2）μ＝　（3）vA＝2
课堂小结

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