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高考数学专题—算法与程序框图
一、基础知识要求
1．算法与程序框图
(1)算法:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤；
(2)程序框图:程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
2．三种基本逻辑结构及相应语句
名称
示意图
相应语句
顺序结构
①输入语句：
INPUT　“提示内容”；变量
②输出语句：
PRINT　“提示内容”；表达式
③赋值语句：
变量＝表达式
条件结构
IF__条件__THEN
语句体
END__IF
IF__条件__THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END　IF
循环结构
当型循环结构
WHILE　条件
循环体
WEND
直到型循环结构
DO
循环体
LOOP__UNTIL条件
易错点：直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
算法与程序框图常见题型：（共4种题型：由程序框图求输出结果、由输出结果判断输入量的值、辨析程序框图的算法功能、完善程序框图）
由程序框图求输出结果：已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．
例1、【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.
【答案】
【解析】由于，所以，解得.
故答案为：
例2、【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为
A．2
B．
C．13
D．
【答案】A
【解析】当时，
；当时，；
当时，；…；当时，，
当时，，跳出循环；
故选:A．
例3、【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】，，
第一次循环：
，，
第二次循环：，，
第三次循环：，，
第四次循环：，，
第五次循环：，，停止循环，
输出.
故选B．
例4、【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1，
S，
不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S（1），
不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S（1），
此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.
故选：C．
例5、【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】输入，，又．
①，，，；
②，，
，，；
③，，，；
④，则否，输出.
故选：C．
例6、【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪.
下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，第一次循环，，，，；
第二次循环，
，，，；
第三次循环，，，，；
第四次循环，，，，；
第五次循环，，，，；
此时输出.
故选：B
例7、【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的的值是
A．31
B．63
C．127
D．255
【答案】C
【解析】第一次运行，，，成立，则，；
第二次运行，，，成立，则，；
第三次运行，，，成立，则，；
第四次运行，，，成立，则，；
第五次运行，，，成立，则，；
第六次运行，，，成立，则，；
第七次运行，，，成立，则，；
第八次运行，，，不成立，
所以输出的值为127.
故选：C．
由输出结果判断输入量的值
例8、【2020·黑龙江哈尔滨六中期中】执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为(　　)
A．3
B．6
C．5
D．4
【解析】　(1)第1次循环，n＝1，S＝；第2次循环，n＝2，S＝＋；第3次循环，n＝3，S＝＋＋；第4次循环，n＝4，S＝＋＋＋＝.因为输出的结果为，所以判断框的条件为n<4，所以输入的a为4.故选D.
例9、我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝1.5(单位：升)，则输入k的值为(　　)
A．4.5
B．6
C．7.5
D．9
【解析】选B.由程序框图知S＝k－－－＝1.5，解得k＝6，故选B.
例10、执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(　　)
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示:
S
M
t
初始状态
0
100
1
第1次循环结束
100
-10
2
第2次循环结束
90
1
3
此时S=90<91首次满足条件,程序需在t=3时跳出循环,即N=2为满足条件的最小值,故选D.
例11、【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合，从集合中任取一个元素，则事件“函数在上是增函数”的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当；
当；
当；
当；
当；
当，退出循环.
所以，
又函数在上是增函数，所以.
函数在上是增函数的概率为.
故选：C．
辨析程序框图的算法功能：对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．
例12、执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足
(　　)
A.y=2x
B.y=3x
C.y=4x
D.y=5x
【答案】C
【解析】由题图可知,x=0,y=1,n=1,执行如下循环:
x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;
x=+1=,y=6,退出循环,输出x=,y=6,验证可知,C正确.
例13、执行如图所示的程序框图,输出的结果为
(　　)
A.(-2,2)
B.(-4,0)
C.(-4,-4)
D.(0,-8)
【答案】B
【解析】x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,
x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,
x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x,y),即(-4,0).
例14、执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=(　　)
A.1+
B.1+
C.1+
D.1+
【答案】B
【解析】由程序框图依次计算可得,输入N=4,
T=1,S=1,k=2;
T=,S=1+,k=3;
T=,S=1+,k=4;
T=,S=1+,k=5;
此时k满足k>N,
故输出S=1+.
例15、如果执行下边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则(　　)
A.A+B为a1,a2,…,aN的和
B.
为a1,a2,…,aN的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
【答案】C
【解析】随着k的取值不同,x可以取遍实数a1,a2,…,aN,依次与A,B比较,A始终取较大的那个数,B始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A,B分别是这N个数中的最大数与最小数.
例16、【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入，，则程序中需要做减法的次数为
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【解析】由，，满足，满足，则；
满足，不满足，则；
满足，满足，则；
满足，不满足，则；
不满足，则输出；
则程序中需要做减法的次数为4，
故选：C．
4、完善程序框图：完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
例17、【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中为松长、为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填
A．；
B．；
C．；
D．；
【答案】B
【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填.
故选：B
例18、【2019·全国1·理T8文T9】下图是求的程序框图,图中空白框中应填入(　　)
A.A=
B.A=2+
C.A=
D.A=1+
【答案】A
【解析】执行第1次,A=,k=1≤2,是,第一次应该计算A=,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=,故选A.
例19、【2018·全国2·理T7文T8】为计算S=1-+…+,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入(　　)
A.i=i+1
B.i=i+2
C.i=i+3
D.i=i+4
【答案】B
【解析】由于N=0,T=0,i=1,N=0+=1,T=0+,i=3,N=1+,T=,i=5…最后输出S=N-T=1-+…+,一次处理两项,故i=i+2.
例20、下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1
000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入(　　)
A.A>1
000和n=n+1
B.A>1
000和n=n+2
C.A≤1
000和n=n+1
D.A≤1
000和n=n+2
【答案】D
【解析】因为要求A大于1
000时输出,且程序框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入A>1
000,排除A,B.又要求n为偶数,且n初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,故选D.
例21、执行下面的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为(　　)
A.x>3
B.x>4
C.x≤4
D.x≤5
【答案】B
【解析】因为输入的x的值为4,输出的y的值为2,所以程序运行y=log24=2.
故x=4不满足判断框中的条件,所以空白判断框中应填x>4.
例22、【2020年高考浙江】设集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，yS，若x≠y，则xyT；②对于任意的x，yT，若xA．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【解析】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项C；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若，
则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
例23、【2020年高考全国II卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C

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