资源简介

高2013级数学周考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）
1、 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
2、 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
3、有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8 D.5，8，11，14
4、命题“存在R，0”的否定是( )
A、不存在R, >0 B、存在R, 0
C、 对任意的R, 0 D、对任意的R, >0
5、已知条件p：<2，条件q：-5x-6<0，则p是q的
A、充分必要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件
6、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为
A、 B、 C、 D、
7、设，则方程不能表示的曲线为
A、椭圆 B、双曲线
C、抛物线 D、圆
8、动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A. 抛物线 B. 圆
C. 双曲线的一支 D. 椭圆
9、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B. C．－ D．－
10、 如图1－1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
图1－1
A. B. C. D.
11、已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
12、设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(　　)
A.或 B.或2 C.或2 D.或
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上）
13、已知与之间的一组数据为
0 1 2 3
1 3 5-a 7+a
则与的回归直线方程必过定点______
14、 过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
15、下列命题
①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．
② “am2③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假．
④在中，“”是三个角成等差数列的充要条件.
⑤中,若,则为直角三角形．
判断错误的有___________．
16、 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n,1,2,3,4,5成绩xn,70,76,72,70,72
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
18、（本小题満分12分） 设p ：指数函数在R上是减函数；q：。
若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求的取值范围。
19、（本小题满分12分）
直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
20、（本小题满分12分）
已知一条曲线上的每个点M到A（1,0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．
（1）求曲线的方程;
（2）讨论直线y=kx+1 （k∈R）与曲线的公共点个数．
21、（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
22、（本小题满分14分） 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。高2013级数学周考卷答案
一、选择题。（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D B D C C D C C A
解析:1、B　【解析】 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，又∵其准线方程为x＝－＝－2，∴p＝4，所求抛物线方程为y2＝8x.
2、C　【解析】 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.
9、D　【解析】 法一：联立直线与抛物线的方程得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或4，得A(1，－2)，B(4,4)，则|AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝3，由余弦定理得cos∠AFB＝－，故选D.
法二：联立方程解得x＝1或x＝4，所以交点坐标分别为A(1，－2)，B(4,4)，又F(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝＝＝－.
10、C　【解析】 因为S△ABE＝|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，
则点Q取自△ABE内部的概率p＝＝，故选C.
11、C　【解析】 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，A，B，
所以＝2p＝12，所以p＝6.又点P到AB边的距离为p＝6，
所以S△ABP＝×12×6＝36.
12、 A　【解析】 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
若圆锥曲线C为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；
若圆锥曲线C为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13、
14、2x－y＝0　【解析】 将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴该圆半径为1，圆心M(1,2)．
∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，
∴该直线的方程的斜率k＝＝2，
∴该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
15、②⑤
16、(1)5　(2)
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d＝＝5;
图1－4
(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋c＝0，同时可得到的圆心到直线4x＋3y＋c＝0的距离为OC＝3，
又圆的半径为r＝2，可得∠BOD＝60°，由图1－2可知点A在弧上移动，弧长l＝×c＝，圆周长c，故P(A)＝＝.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．）
17、（本小题满分12分）[2011·广东卷] 【解答】
(1)∵＝xn＝75，
∴x6＝6－xn＝6×75－70－76－72－70－72＝90，
s2＝ (xn－)2＝(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，
∴s＝7.
(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．
选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：
{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，
故所求概率为.
18、（本小题满分12分）解：∵p∨q是真命题，p∧q是假命题
∴p真q假 或 q假p真
p ：指数函数在R上不是减函数，即增函数；q：
∴或
所以的取值范围是
19、（本小题满分12分）
[2011·福建卷] 【解答】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
20、（本小题满分12分）解：（1）设点M（x,y）是曲线上任意一点,则-|x|=1，
化简得:y2=2x+2|x|
所求曲线的方程．C1：当x0时， y2=4x；C2：当x<0时，y=0．
（2）直线y=kx+1过定点（0,1），
y=kx+1，与y2=4x联列：ky2-4y+4=0, =16-16k
当k=0时,直线与C1有一个公共点,而与C2没有公共点,共1个公共点;
当k=1时, =0，直线与C1和C2各一个公共点,共2个公共点;
当00,直线与C1有2个公共点，和C2一个交点,共3个公共点;
当k<0时，>0,直线与C1有两个公共点，和C2没有公共点,共2个公共点;
当k>1时, <0,直线与C1没有公共点，和C2有1个公共点,共1个公共点;
所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点;
当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点;
当021、（本小题满分12分）(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由 x= 得 x0=2x－1
y= y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
22、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为

展开更多......

收起↑