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2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知均为的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．椭圆的焦点为，上顶点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知单位向量满足，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
7．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知且且且，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是偶函数
10．设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，则（ ）
A． B．的最大值为
C．在单调递增 D．在单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__________________．
14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，_____．
15．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
16．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求的通项公式．
18．（12分）
在四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求．
19．（12分）
一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．
20．（12分）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，
证明：这类多面体的总曲率是常数．
21．（12分）
双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
22．（12分）
已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
参考答案
1.答案：B
解析：
2.答案：C
解析：
3.答案：A
解析：
4.答案：C
解析：
5.答案：B
解析：
6.答案：D
解析：
7.答案：D
解析：
8.答案：D
解析：
9.答案：AC
解析：
10.答案：BC
解析：
11.答案：BD
解析：
12.答案：AD
解析：
13.答案：61pi
解析：
14.答案：；
解析：
15.答案：
解析：
16.答案：32
解析：
17.答案：（1），又，则数列为等比数列.
（2），则，.
解析：
18.答案：（1）
（2）
解析：
19.答案：（1）
（2）
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
解析：
20.答案：（1）
（2）设多面体有a个顶点，b条棱，c个面，各个面分别是边型，
则面角和为，
又，
则总曲率为.
解析：
21.答案：（1），则.
（2）设，，
题设等价于证明，即，
由于，
则，
即证.
解析：
22.答案：（1）注意到，
当时，；
当时，；
当时，.
，
则函数在上单调增，则，
则函数在上单调减，则；
综上即证.
（2）.
解析：

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