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微专题2.1：平抛运动与斜面、圆周等的组合
一、必备知识：
1．已知初速度和倾角，试求以下几种情况的运动时间？（重力加速度g）
二、关键能力：
2．如图所示是宇航员在月球表面水平抛出小球的闪光照片的一部分．已知照片上小方格代表的实际边长为a，闪光周期为T，求：
（1）平抛运动的初速度；
（2）月球的重力加速度；
（3）C、D的速度；
（4）A点是不是平抛运动的起始位置坐标？
三、课前小练：
3．（多选）在竖直墙壁上悬挂一镖靶，某人站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖A、B由同一位置水平掷出，两只飞镖插在靶上的状态如图所示(侧视图)，若不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．B镖的运动时间比A镖的运动时间长
B．B镖掷出时的初速度比A镖掷出时的初速度小
C．A、B镖的速度变化方向可能不同
D．A镖的质量一定比B镖的质量大
4．（多选）如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则（
）
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
图(a)
图(b)
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
5．图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径R=2.0
m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°，游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关，为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度
分别是(不计空气阻力，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8)（
）
A．0.15
m，4
m/s　　　　　　B．1.50
m，4
m/s
C．0.15
m，2
m/s
D．1.50
m，2
m/s
6．（多选）如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是（
）
A．3把飞刀在击中木板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
7．（多选）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（
）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为
8．如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3
s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50
kg（不计空气阻力，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8，g取10
m/s2）．求：
（1）A点与O点的距离L；
（2）运动员离开O点时的速度大小；
（3）运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．
四、课堂精练：
9．如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块(可看作质点)，恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道．圆弧轨道CDM的半径R=0.5
m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与水平面夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与水平面夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m=3
kg，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78
N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ=，小球第一次通过C点后立刻安装一个与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g=10
m/s2，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求：
（1）小物块平抛运动到C点时的速度大小；
（2）A点到C点的竖直距离；
（3）小物块在斜面MN上滑行的总路程．
10．如图所示，四分之一圆弧AB和半圆弧BC组成的光滑轨道固定在竖直平面内，A、C两端点等高，直径BC竖直，圆弧AB的半径为R，圆弧BC的半径为．一质量为m的小球从A点上方的D点由静止释放，恰好沿A点切线方向进入并沿轨道运动，不计空气阻力，重力加速度大小为g．
（1）要使小球能运动到C点，D、A两点间的高度差h至少为多大？
（2）改变h，小球通过C点后落到圆弧AB上的最小动能为多少？
11．如图所示，半径R=0.4
m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ=30°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m=0.1
kg的小物块(可视为质点)从空中A点以v0=2
m/s
的速度被水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动至D点时，弹簧被压缩至最短，C、D两点间的水平距离L=1.2
m，小物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，g取10
m/s2．求：
（1）小物块经过圆弧轨道上B点时速度vB的大小；
（2）小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小；
（3）弹簧的弹性势能的最大值Epm．
五、课后巩固：
12．（多选）如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O．一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石块，已知AO=40
m，重力加速度g=10
m/s2，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（
）
A．若v0>20
m/s，则石块可以落入水中
B．若v0<20
m/s，则石块不能落入水中
C．若石块能落入水中，则v0越大，落水速度方向与水平面的夹角越大
D．若石块不能落入水中，则落到斜面时速度方向与斜面的夹角与v0无关
13．在第18届亚运会，中国女排毫无悬念地赢得了冠军，图为中国队员比赛中高抛发球．若排球离开手时正好在底线中点正上空3.49
m处，速度方向水平且与底线垂直．已知每边球场的长和宽均9
m，球网高2.24
m，不计空气阻力，g取10
m/s2．为了使球能落到对方场地，下列发球速度大小可行的是（
）
A．15
m/s
B．17
m/s
C．20
m/s
D．25
m/s
14．如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是（
）
A．ta=tb
B．ta=3tb
C．va=vb
D．va=vb
15．如图，固定在竖直平面内的倾斜轨道AB，与水平固定光滑轨道BC相连，竖直墙壁CD高H=0.2
m，在地面上紧靠墙壁固定一个和CD等高，底边长L1=0.3
m的固定斜面．一个质量m=0.1
kg的小物块(视为质点)在轨道AB上从距离B点L2=4
m处由静止释放，从C点水平抛出，已知小物块与AB段轨道间的动摩擦因数为0.5，通过B点时无能量损失；AB段与水平面的夹角为37°．（空气阻力不计，取重力加速度g=10
m/s2，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8）
（1）求小物块运动到B点时的速度大小；
（2）求小物块从C点抛出到击中斜面的时间；
（3）改变小物块从轨道上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值．
16．如图所示，质量m=3
kg的小物块以初速度v0=4
m/s水平向右抛出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道．圆弧轨道的半径为R=3.75
m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角．MN是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN间的动摩擦因数μ=0.1，轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r=0.4
m的半圆弧轨道，C点是半圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接．已知重力加速度g取10
m/s2，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8．
（1）求小物块经过B点时对轨道的压力大小；
（2）若MN的长度为L=6
m，求小物块通过C点时对轨道的压力大小；
（3）若小物块恰好能通过C点，求MN的长度L′．
第2页/共4页微专题2.1：平抛运动与斜面、圆周等的组合答案
3．【答案】AB
【解析】根据h=gt2得：t=，飞镖B下落的高度大于飞镖A下落的高度，则B镖的运动时间长，故A正确；因为水平位移相等，B镖的运动时间长，则B镖掷出时的初速度小，故B正确；因为A、B镖都做平抛运动，速度变化的方向与加速度方向相同，均竖直向下，故C错误；平抛运动的加速度和运动轨迹均与质量无关，本题无法比较两飞镖的质量，故D错误．
4．【答案】BD
【解析】A错：v-t图象中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大表示在竖直方向上位移大，B对：比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x=vt知运动时间长的水平位移大，C错：从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a=，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次，D对：v-t图象的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg-f=ma，可得第二次受到的阻力大．
5．【答案】A
【解析】如图所示，弹丸从P点射出时的速度方向就是半径OP的方向，即与水平方向成37°．由平抛运动规律有
=tan
37°，竖直方向的速度vy=gt，竖直方向上的位移h+Rsin
37°=gt2，水平方向上的位移R+Rcos
37°=vxt，联立解得h=0.15
m，v0=vx=4
m/s，故A项正确，B项、C项、D项均错误．
6．【答案】CD
【解析】将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O点时水平位移相等．由H=gt2得t=，则到达M、N、P三点的飞行时间之比为∶∶1，B错误．在水平方向有l=vMt1=vNt2=vPt3，由Ek=mv2知3把飞刀在击中木板时打在M点处的动能最小，打在P点处的动能最大，A错误．由vy=gt可知到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1，C正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D正确．
7．【答案】AB
【解析】从抛出点到达斜面的最小位移为过抛出点作斜面的垂线．设经过时间t到达斜面上，根据平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，表示出水平和竖直方向上的位移，再根据几何关系即可求解时间．若小球垂直击中斜面，速度与斜面垂直，由分速度关系求时间．若小球能击中斜面中点，根据水平位移和竖直位移的关系列式求解时间．过抛出点作斜面的垂线CD，如图所示：当小球落在斜面上的D点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：
；竖直方向．根据几何关系有，即有，解得，A正确；若小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为θ，则，得，B正确；若小球能击中斜面中点时，小球下落的高度设为h，水平位移设为x．则由几何关系可得，得，CD错误．
8．【答案】（1）75
m　　
（2）20
m/s　　（3）1.5
s
【解析】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有
，
解得
L=75
m
（2）设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有：Lcos
37°=v0t
即v0=20
m/s
（3）解法一　运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动（初速度为v0cos
37°、加速度为gsin
37°）和垂直斜面方向的类似竖直上抛运动（初速度为v0sin
37°、加速度为gcos
37°）．
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin
37°=gcos
37°t′，解得t′=1.5
s
解法二　当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有：，t′=1.5s
9．【答案】（1）2
m/s　
（2）0.128
m　
（3）1
m
【解析】（1）在D点，支持力和重力的合力提供向心力，则有FD-mg=m
解得v=8(m/s)2
从C点到D点，由动能定理有mgR(1-sin
37°)=mv-mv
解得vC=2
m/s
（2）平抛运动到C点的竖直分速度vCy=vCcos
37°
A点到C点的竖直距离y=
解得y=0.128
m
（3）最后物块在CM之间来回滑动，且到达M点时速度为零，运用动能定理得-mgR(1-sin
37°)-μmgcos
53°·s总=-mv
代入数据并解得s总=1
m
10．【答案】（1）　
（2）mgR
【解析】（1）设小球刚好通过C点的速度为v，则mg=m
小球从D点到C点的过程中机械能守恒，有：mgh=mv2
联立解得h=
（2）设小球通过C点的速度为v0，落到圆弧AB上时，水平位移为x，下落高度为y，由平抛运动的规律可知：
x=v0t；y=gt2
从C点抛出到落到圆弧AB上，由动能定理得：mgy=Ek-mv02
又x2+y2=R2
联立可得：Ek=mg(+3y)
式中当=3y，即y=R时，Ek有最小值，
Ekmin=mgR
11．【答案】（1）4
m/s　
（2）8
N　
（3）0.8
J
【解析】（1）小物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，由几何关系有vB==4
m/s
（2）小物块由B点运动到C点，由机械能守恒定律有mgR(1+sin
θ)=mv-mv
在C点处，由牛顿第二定律有FN-mg=m，解得FN=8
N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN′大小为8
N
（3）小物块从B点运动到D点，由能量守恒定律有Epm=mv+mgR(1+sin
θ)-μmgL=0.8
J
【答案】AD
【解析】根据得，，则石块不落入水中的最大速度．知初速度v0>17．3m/s，则石块可以落入水中．故A正确，B错误．若石块能落入水中，则下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小．故C错误．若石块不能落入水中，速度方向与水平方向的夹角的正切值，位移方向与水平方向夹角的正切值，可知tanθ=2tanβ，因为β一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关．故D正确．故选AD．
13．【答案】C　
【解析】设排球离开手时的高度为H，网高为h，每边球场的长和宽均为L，排球刚好过网时，由平抛运动规律可知，在竖直方向H-h=gt，在水平方向L=v1t1，解得v1=18
m/s．排球刚好落到对方的场地的底线时，由平抛运动公式有，在竖直方向H=gt，在水平方向2L=v2t2，解得v2≈21.5
m/s，所以要使球落在对方场地，发球速度范围为18
m/s≤v≤21.5
m/s，故C符合要求．
14．【答案】C　
【解析】由于a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h=gt2可知下落时间t=，则两小球运动的时间关系是ta=tb，故A、B错误；因为两球水平位移之比为3∶2，由v0=得va=vb，故C正确，D错误．
15．【答案】（1）4
m/s　
（2）
s　
（3）0.15
J
【解析】（1）对小物块从A到B过程分析，根据动能定理有：mgL2sin
37°-μmgL2cos
37°=mvB2，
解得：vB=4
m/s；
（2）设物块落在斜面上时水平位移为x，竖直位移为y，如图所示：
对平抛运动，有：x=vBt，y=gt2
结合几何关系，有：==，
解得：t=
s或t=－
s(舍去)
（3）设小物块从轨道上A′点静止释放且A′B=L，运动到B点时的速度为vB′，对物块从A′到碰撞斜面过程分析，根据动能定理有：mgLsin
37°-μmgcos
37°·L+mgy=mv2-0
对物块从A′到运动到B过程分析，根据动能定理有mvB′2=mgLsin
37°-μmgLcos
37°
又x=vB′t，y=gt2，=
联立解得：mv2=mg(+-)
故当=，即y=H=0.12
m时，动能最小为Ekmin，代入数据，解得Ekmin=0.15
J
16．【答案】（1）62
N
　（2）60
N　
（3）10
m
【解析】（1）根据平抛运动的规律有v0=vA
cos
37°
解得小物块经过A点时的速度大小vA=5
m/s
小物块从A点运动到B点，根据动能定理有：mg(R-Rcos
37°)=mv-mv
小物块经过B点时，有FN-mg=
解得FN=62
N，根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62
N
（2）小物块由B点运动到C点，根据动能定理有：-μmgL-2mgr=mv-mv
在C点FN′+mg=
解得FN′=60
N，根据牛顿第三定律，小物块通过C点时对轨道的压力大小是60
N
（3）小物块刚好能通过C点时，根据mg=
解得vC′=2
m/s
小物块从B点运动到C点的过程中，根据动能定理有：-μmgL′-2mgr=mvC′2-mv
解得L′=10
m

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