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微专题2.3：竖直方向的圆周运动及其临界答案
4．【答案】（1）7mg
（2）
【解析】（1）当钉子在的P点时，小球绕钉子转动的半径为：
小球由静止到最低点的过程中机械能守恒：
在最低点细绳承受的拉力最大，有：
联解求得最大拉力F=7mg
（2）小球绕钉子圆周运动恰好到达最高点时，有：
运动中机械能守恒：
钉子所在位置为
联解得
因此钉子所在位置的范围为
5．【答案】（1），；（2）见解析
【解析】（1）游客从B点做平抛运动有
解得
从A到B，根据动能定理有：
解得：
(2)证明：设OP与OB间夹角θ，游客在P点时的速度为，受支持力为N，P点距水面高度h。从B到P由机械能守恒可得：
过P点时，对游客进行受力分析如下图2所示
由牛顿第二定律得：
联立解得
可证
6．【答案】（1）
；
（2）
【解析】（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep=5mgl
①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，有能量守恒定律得
②
联立①②式，去M=m并代入题给数据得
③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v满足
④
设P滑到D点时的速度为vP，由机械能守恒定律得
⑤
联立③⑤式得
⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．
设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
⑧
联立⑥⑦⑧式得
⑨
（2）为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知
⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C．
由机械能守恒定律有：
?
联立①②⑩?式得
?
7．【答案】（1）70
N　（2）1.15
m　（3）见解析
【解析】（1）从A点到D点过程，由动能定理
mg(h＋r－rcos
θ)=mv2
FN－mg=m
求得FN=70
N
根据牛顿第三定律，压力值等于支持力，所以对轨道的压力大小为70
N。
（2）因E点高于G点，要不脱轨，物块在E点的速度必须满足vE≥，
由机械能守恒定律得mg(H＋r－rcos
θ)=mv＋2mgr
求得H≥1.15
m。
（3）由几何关系，BC的长度l==
m
从A点到Q点由动能定理得mg－Nμmglcos
θ=0(N=1，3，5，7……)
Μ=(N=1，3，5，7……)
且满足μmgcos
θ≥mgsin
θ
即2≥μ≥0.75
所以当N=3时，μ=1.5，N=5时，μ=0.9
且满足mg(h＋r－rcos
θ)－μmglcos
θ≤mgr
μ≥，所以不存在这样的动摩擦因数μ值。
8．【答案】（1）6.6
N　
（2）45°　
（3）0.88
J
【解析】（1）物块从A滑至O过程，由机械能守恒定律得mgh=mv
其中h=Lsin
53°＋R(1－cos
53°)=2.8
R
圆周最低点O处FN－mg=m
代入得FN=6.6mg=6.6
N
（2）设物块在圆周轨道(右半侧)P点处的速度最大，PC与竖直方向的夹角为θ，此时有：
mgsin
θ=qEcos
θ，
tan
θ==1，
θ=45°
（3）分析知，在水平面上a=0时，即qE－μmg=0，解得μ=1
代入μ=0.2＋x，
解得x=0.8
m(速度最大)
据动能定理W电－Wf=Ekm－EkO
其中W电=qE·x=0.8
J，
Wf=·x=×1×0.8
J=0.48
J
代入数据，得Ekm=0.88
J。
9．【答案】D
【解析】若v0≥，物块将离开球面做平抛运动，由y=2R=、x=v0t，得x≥2R，A错误，D正确；若v0<，物块将沿球面下滑，若摩擦力足够大，则物块可能下滑一段后停在球面上某位置，若摩擦力较小，物块将在球心上方球面上某处离开，向下做斜抛运动，落地点到A点距离大于R，B、C错误．
10．【答案】AD　
【解析】由题图乙可知，当v2=a时，此时绳子的拉力为零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，则由牛顿第二定律得mg=，解得v2=gr，故a=gr，与小球的质量无关，故A正确；当v2=2a时，对小球受力分析，则由牛顿第二定律得mg+b=，解得b=mg，与小球的质量有关，故B错误；根据上述分析可知=与小球的质量有关，与圆周轨迹半径也有关，故C错误；由上述可知r=，m=，故D正确．
11．【答案】（1）10.0
N
（2）12.5
m
（3）当0m时，L′=36.0
m当1.0
m≤R3≤27.9
m时，L″=26.0
m
【解析】（1）小球经过第一个圆轨道的最高点，有：－μmgL1－mg·2R1=mv－mv
（1分）
小球在最高点，有：F＋mg=m
（1分）
解得F=10.0
N
（1分）
（2）小球在第二个圆轨道的最高点时，有：mg=m
（1分）
－μmg(L1＋L)－mg·2R2
=mv－mv
（1分）
解得L=12.5
m
（1分）
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
Ⅰ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，应满足：mg=m
（1分）
－μmg(L1＋2L)－mg·2R3=mv－mv
（1分）
解得
R3=0.4
m
（1分）
Ⅱ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，有：－μmg(L1＋2L)－mg·R3=0－mv
（1分）
解得R3
=1.0
m
（1分）
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
(R2＋R3)2
=L2
＋(R3－R2)2
（1分）
解得R3=27.9
m
（1分）
综合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径必须满足下面的条件
0m或
1.0
m≤R3≤27.9
m.
（1分）
当0m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
－μmgL′=
0－mv
（1分）
解得
L′=36.0
m
（1分）
当1.0
m≤R3≤27.9
m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L″，则
L″=L′－2(L′－L1－2L)
（1分）
解得L″=26.0
m
（1分）
12．【答案】（1）
（2）
（3）
(
G
f
N
θ
)【解析】（1）选P为研究对象，受力分析如图：
设P加速度为，其垂直于斜面方向受力平衡：
沿斜面方向，由牛顿第二定律得：
且，可得：
对CB段过程，由
代入数据得B点速度：
（2）P从C点出发，最终静止在F，分析整段过程；
由C到F，重力势能变化量：
①
减少的重力势能全部转化为内能。
设E点离B点的距离为xR，从C到F，产热：
②
由，联立①、②解得：x=1；
研究P从C点运动到E点过程
重力做功：
摩擦力做功：
动能变化量：
由动能定理：
代入得
，由ΔE弹=-W弹，到E点时弹性势能E弹为
(
F
C
D
G
R
O
Q
θ
)（3）其几何关系如下图，可知：，
由几何关系可得，G点在D左下方，竖直高度差为2.5R，水平距离为3R。
设P从D点抛出时速度为v0，到G点时间为t
其水平位移：
竖直位移：
解得：
研究P从E点到D点过程，设P此时质量为m'，此过程中：
重力做功：
①
摩擦力做功：
②
弹力做功：
③
动能变化量：
④
由动能定理：
⑤
将①②③④代入⑤，可得：微专题2.3：竖直方向的圆周运动及其临界
一、必备知识：
1．假设只受重力作用，重力加速度为g，圆轨道的半径为R．试判断做圆周运动的最小速度v，并分析不同v下的运动形式．
2．假设带负电的小球在电场强度为，圆轨道的半径为R，试求做圆周运动的最小速度v．
二、关键能力：
3．试判断以下几种情况的临界：
①恰好能做一个完整的圆周运动；
①在最高点恰好对轨道无压力；
①恰好能做一个完整的圆周运动；
②始终不脱离轨道；
②恰好能沿轨道下滑．
②恰好能过最高点．
③始终对轨道有压力．
①绳子始终不松弛（绷紧）；
①恰好能做一个完整的圆周运动；
②绳子始终有张力；
②在最高点时，轻杆恰好没有张力．
③绳子恰好断裂（最大拉力Tm）．
三、课前小练：
4．如图所示，在竖直平面内有xOy坐标系，长为的不可伸长细绳，一端固定在A点，A点的坐标为（0，），另一端系一质量为m的小球．现在x坐标轴上（x>0）固定一个小钉，拉小球使细绳绷直并呈水平位置，再让小球从静止释放，当细绳碰到钉子以后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．
（1）当钉子在的P点时，小球经过最低点时细绳恰好不被拉断，求细绳能承受的最大拉力；
（2）为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，而细绳又不被拉断，求钉子所在位置的范围．
5．图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图．整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为4.0m，圆弧轨道BC的半径为1.8m，圆心O恰在水面处．一质量为60kg的游客（视为质点）可从轨道AB上任意位置滑下，不计空气阻力，重力加速度大小g=10m/s2．
（1）若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，，求游客滑到B点时的速度大小及运动过程AB段轨道摩擦力对游客所做的功Wf；
（2）若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，后受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，以水面为重力势能零点，证明：游客到达P点时的重力势能是其动能的2倍．
6．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
四、课堂精练：
7．如图所示，斜面ABC下端与圆弧轨道CDE相切于C，整个装置竖直固定，D是圆轨道的最低点，斜面的倾角θ=37°，B与圆心O等高，圆弧轨道半径r=0.5
m，斜面高h=1.4
m．现有一个质量m=1
kg的小物块P（视为质点）从斜面上端A点静止下滑，经竖直圆轨道回到最低点D′点以后经直轨道D′F冲上两个半径为R=0.4
m的四分之一圆管轨道，所有轨道均光滑．取sin
37°=0.6，cos
37°=0.8，忽略空气阻力，g取10
m/s2．求：
（1）物块到达D点对轨道的压力大小；
（2）若物块既不脱离轨道的又能通过圆管轨道最高点G，则物块释放的高度至少为多少（距离斜面底端的高度）；
（3）现在在BC段铺上不同材料，材料的动摩擦因数μ≤2，物块仍然从A点静止下滑，则要使物块最终停在BC的中点位置Q（图中未标示），试讨论μ可能的取值？
8．如图所示，在xOy平面内竖直固定一个“9”字型轨道，圆形部分的半径R=0.2
m，圆心位于C点；直线轨道AB与圆形部分相切于B点，其长度L=3R，CB连线与竖直方向的夹角为53°；在x>0区域有范围很大的匀强电场，场强大小E=5×104
N/C，方向沿x轴正方向．现在A点处由静止释放质量m=0.1
kg、带电荷量q=＋2×10－5C的小物块（可看作质点），已知sin
53°=0.8，不计物块与“9”字型轨道的摩擦，g取10
m/s2．求：
（1）物块滑到圆周轨道最低点O处时受到的支持力大小；
（2）物块在圆周轨道上速度最大的位置P；（可用PC连线与竖直方向夹角表示）
（3）物块在圆周轨道上运动一圈后，从O′点滑出（轨道B′O′与BO段错开且靠近），其后的水平面上铺设
了一种特殊的材料，材料不同位置处的动摩擦因数满足μ=0.2＋x（x为所在处的横坐标值），物块在材料面上滑行过程的最大动能是多少？
五、课后巩固：
9．如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v0，则（　　）
A．若v0=，则物块落地点距离A点为
R
B．若球面是粗糙的，当v0<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面
C．若v0<，则物块落地点离A点为R
D．若v0≥，则物块落地点离A点至少为2R
10．（多选）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图象如图乙所示，图象中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，则以下说法正确的是（　　）　
A．数据a与小球的质量无关
B．数据b与小球的质量无关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
甲　　　　
　乙
11．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0
m、R2=1.4
m．一个质量为m=1.0
kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0=12.0
m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0
m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度g=10
m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少？
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．
12．如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出）随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF=4R．已知P与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为．（取，）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小；
（2）求P运动到点时弹簧的弹性势能；
(
37°
A
B
F
C
P
D
G
R
)（3）改变物块P的质量，将P推至点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点的左下方，与C点水平相距、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．

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