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微专题2.4：天体运动与万有引力定律答案
3．【答案】ABC
【解析】由开普勒第三定律可得：，圆轨道可看成长半轴、短半轴都为R的椭圆，故a=R，即椭圆轨道的长轴长度为2R，故A正确；根据万有引力做向心力可得：，故v=，那么，轨道半径越大，线速度越小；设卫星以OB为半径做圆周运动的速度为v'，那么，v'＜v0；又有卫星Ⅱ在B点做向心运动，故万有引力大于向心力，所以，vB4．【答案】A
【解析】设行星的质量为M，自转角速度为，其极地处的重力加速度为g，对质量为m的物体处于极地时，万有引力等于重力，则有，处于赤道时，则有，设同步卫星的质量为m1，距离地面的高度为h，根据万有引力提供向心力得，联立解得，故A正确，BCD错误．故选A．
5．【答案】C
【解析】D．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q星的周期为T；根据题意可知rP+rQ=l，rP-rQ=△r，解得：，，则P、Q两颗星的运动半径之比，故D正确，不符合题意；A．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：，解得，，则Q、P两颗星的质量差为△m=mQ-mP=，故A正确，不符合题意；B．P、Q两颗星的线速度大小之差为△v=vP-vQ=，故B正确，不符合题意；C．
P、Q两颗星的质量之比为，故C错误，符合题意。故选C．
6．【答案】B
【解析】
对a：－FN=ma，又=mg，故a7．【答案】ABD　
【解析】若卫星在半径为3R的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，则有，在地表附近又有，可得到，由于卫星沿椭圆轨道到达C点后做近心运动，故其在C点速度小于，故选项A正确；变轨的规律可以知道经过B点点火加速，故选项B正确；根据，可得卫星在C点的加速度，故选项C错误；卫星经过C点时加速，其可能在半径为3R的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，则其可以再次经过C点，故选项D正确．
8．【答案】?A　
【解析】根据题意有：，得，所以A正确；由开普勒第三定律有，得，所以B错误；卫星在椭圆轨道中运行时，机械能是守恒的，所以C错误；卫星从圆轨道进入椭圆轨道过程中在A点需点火减速，卫星的机械能减小，所以D错误．
9．【答案】D
【解析】“天宫一号”在椭圆轨道的B点的向心加速度以及在圆轨道B点的向心加速度都是由万有引力提供的，所以加速度相等，A项错误．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，只受到地球的引力作用，距离地球越来越远，地球的引力做负功，根据动能定理可知，动能越来越小，故B项错误．椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，“天宫一号”沿椭圆轨道运行的周期小于沿预定圆轨道运行的周期，故C项错误．“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，故周期，根据万有引力提供向心力，有，得地球质量，故D项正确．
10．【答案】C
【解析】地球近地卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律：mg=mR　T=2π，
此卫星运行周期是地球近地卫星的2倍，
所以该卫星运行周期T′=4π，
由=m′r，=m′g，得r=2R
如图，当卫星在阴影区时不能接受阳光，据几何关系：∠AOB=∠COD=，
卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间为：t=T′=
11．【答案】BC
【解析】根据G=ma，解得a=G，可知A的加速度大于B的加速度，故A错误；根据G=mr，解得T=，可得：=，故B正确；由题意可知当卫星A与B的连线与地球相切时信号中断，由几何关系可知此时A、B卫星与地心连线的夹角θ=，则有t=θ，联立可得：，故C正确；对于同步卫星来讲，由于赤道的角度为360度，而一颗卫星能覆盖120度，故要有3颗才能全部覆盖地球表面，同步卫星距地心的距离大约为7R，而卫星A的轨道半径为，覆盖的范围比同步卫星还要小，因此至少需要3颗以上才可以，故D错误．
12．【答案】ABC　
【解析】航天飞机在飞向B处的过程中，飞机受到的引力方向和飞行方向之间的夹角是锐角，月球引力做正功，A对；由运动的可逆性知，航天飞机在B处先减速才能由椭圆轨道进入空间站轨道，B对；设绕月球飞行的空间站质量为m，G=mr，可以算出月球质量M，C对；空间站的质量不知，不能算出空间站受到的月球引力大小，D错．
13．【答案】A
【解析】由题意可知当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大，可得行星的轨道半径r为：r=Rsinθ0
得：=sinθ0．设太阳的质量为M，根据万有引力提供向心力，则有：=mω2r得：ω2=．行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为：==．
14．【答案】BC
【解析】根据近地卫星向心力由万有引力提供，则=m可得近地卫星最小发射速度v=，火星质量是地球质量的0.1倍，火星半径是地球半径的0.5倍，所以v火==＜=v地，即在火星表面发射的飞行器的最小速度小于地球表面发射的飞行器最小速度7.9
km/s，故A项错误；根据开普勒第三定律可知：=，解得T火=T地=1.5年≈1.8年，设至少再次经过t火星再次冲日，则t－t=2π，解得t≈2.2年≈2年零3个月，则理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份，故B项正确；根据=mg，解得g=，则=·=0.1×2=，故C项正确；根据G=ma可知，火星运行的加速度比地球运行的加速度小，故D项错误．
15．【答案】B
【解析】由题可知，“风云四号”卫星是地球同步卫星，而同步卫星只能在赤道正上空，且高度保持不变，故A错误；根据G=man，得an=，其中G为引力常量，M为地球质量，r为轨道半径，因“风云四号”卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，故“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度，故B正确；与“风云四号”同轨道的卫星都是同步卫星，故线速度大小一定相同，但不知道各个卫星的质量是否相等，根据Ek=mv2知动能不一定相等，故C错误；7.9
km/s是卫星围绕地球表面运行的最大线速度，它的轨道半径等于地球半径，而“风云四号”的轨道半径大于地球半径，根据v=可知，其线速度小于7.9
km/s，故D错误．
16．【答案】B
【解析】当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有=m，r=3R，则有T=2π
=6π
.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得GM=gR2，所以T=6π　①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有==　②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t=nT2-T1(其中n=1、2、3、…)　③，联立①②③式得t=6πn-4π(其中n=1、2、3、…)，当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即tmin=6π
-4π
．微专题2.4：天体运动与万有引力定律
一、必备知识：
1．如图1所示，A点是赤道上某处的卫星发射点，静止的卫星通过火箭发射变到了近地轨道I，近地轨道I为一个圆形的轨道，之后在B点经过调整后进入转移轨道Ⅱ，轨道Ⅱ为一个椭圆形的轨道，再在C点经过调整后进入同步卫星轨道Ⅲ，同步卫星轨道Ⅲ也是一个圆形轨道．已知地球的质量为M，近地轨道I的半径为R，同步轨道的半径为r，引力常数为G．
（1）什么样的卫星叫做近地卫星？近地卫星有哪些运动特征？
（2）什么样的卫星叫做同步卫星？同步卫星有哪些运动特征？
（3）如图2所示，如何比较卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行的快慢？
（4）如何比较卫星在赤道上的速度与在近地轨道上运行速度的大小？
（5）如图3、4所示，如何将卫星从近地轨道变到同步轨道？
（6）如图5所示，卫星在不同环绕轨道的动能、重力(引力)势能、机械能如何变化？
（7）如图6所示，卫星从转移轨道的近地点B运动到远地点C的过程中，动能、引力（重力）势能和机械能是如何变化的？
（8）如图7所示，如何计算卫星从B点运动到C点的时间？
二、关键能力：
2．科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞．若双黑洞以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，它们的间距为L，质量分别为M1和M2，已知引力常量G，试计算：
（1）双星的轨道半径；
（2）双星的运行周期；
（3）双星的线速度．
三、课前小练：
3．（多选）如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（
）
A．椭圆轨道的半长轴长度为R
B．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，
则v0＞vB
C．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0＜aA
D．若OA=0.5R，则卫星在B点的速率vB＞
4．2019年10月8日，瑞典皇家科学院宣布，将2019年诺贝尔物理学奖的一半授予瑞士天文学家米歇尔·麦耶与迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们发现了围绕主序星的首颗太阳系外行星．假设该行星的半径为R，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的k倍（k<1）．若认为该行星为球体且质量分布均匀，则该行星的同步卫星距离其表面的高度为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．100多年前爱因斯坦预言了引力波存在，2015年科学家探测到黑洞合并引起的引力波．双星的运动是产生引力波的来源之一，在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则下列结论错误的是（　　）
A．Q、P两颗星的质量差为
B．P、Q两颗星的线速度大小之差
C．Q、P两颗星的质量之比为
D．Q、P两颗星的运动半径之比为
6．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有（　　）
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4
h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20
小时
四、课堂精练：
7．（多选）如图所示是某卫星在近地轨道做圆周运动时，经过操作调整以后沿椭圆轨道绕地球运动的示意图。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，卫星远地点C距地心的距离为3R，则（　　）
A．卫星C点的速度小于
B．卫星需要在B点点火加速
C．卫星经过C点时的加速度小于
D．卫星经过C点时加速，卫星可能再次经过C点
8．某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方．假设某时刻，该卫星在A点变轨进入椭圆轨道（如图），近地点B到地心距离为r2．设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力，则（　　）
A．
B．
C．卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能增大
D．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变
9．如图所示是我国首个空间实验室“天宫一号”的发射及运行示意图．长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上，“天宫一号”飞行几周后变轨进入预定圆轨道．已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R，则下列说法正确的是（　　）
A．“天宫一号”在椭圆轨道的B点的加速度大于在预定圆轨道的B点的加速度
B．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大
C．“天宫一号”沿椭圆轨道运行的周期大于沿预定圆轨道运行的周期
D．由题中给出的信息可以计算出地球的质量
10．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行周期是地球近地卫星的2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合，卫星上有太阳能收集板可以把光能转化为电能，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球公转，此时太阳处于赤道平面上，近似认为太阳光是平行光，则卫星绕地球一周，太阳能收集板的工作时间为（　　）
A．　　　　
B．
C．
D．
11．（多选）如图，赤道上空有2颗人造卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R，卫星A、B的轨道半径分别为R、R，卫星B的运动周期为T，某时刻2颗卫星与地心在同一直线上，两颗卫星之间保持用光信号直接通信．则（　　）
A．卫星A的加速度小于B的加速度
B．卫星A、B的周期之比为
C．再经时间，两颗卫星之间的通信将中断
D．为了使赤道上任一点任一时刻均能接收到卫星A所在轨道的卫星信号，该轨道至少需要3颗卫星
五、课后巩固：
12．（多选）未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是（　　）
A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
13．地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所成夹角叫做地球对该行星的观察视角，如图中θ所示．当行星处于最大观察视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时机．已知某行星的最大观察视角为θ0，则该行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比（　　）
A．
B．
C．
D．
质量
半径
与太阳间距离
地球
m
R
r
火星
约0.1m
约0.5R
约1.5r
14．（多选）2018年7月27日出现了“火星冲日”的天文奇观，火星离地球最近最亮．当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“火星冲日”．火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动．不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表．则根据提供的数据可知（　　）
A．在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9
km/s
B．理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间约在2020年10月份
C．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5
D．火星运行的加速度比地球运行的加速度大
15．2019年9月25日至9月28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲（左）变成华夏大地中国（右）．新照片由我国新一代静止轨道卫星“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力，下列说法正确的是（　　）
A．“风云四号”可能经过无锡正上空
B．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度
C．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等
D．“风云四号”的运行速度大于7.9
km/s
16．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（　　）
A．10π
－6π
　　　
B．6π
－4π
C．10π
－2π
D．6π
－2π

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