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一、比例的性质
1．，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式；
2．(反比定理)；
3．(或)(更比定理)；
4．(合比定理)；
5．(分比定理)；
6．(合分比定理)；
7．(等比定理).
二、 黄金分割
如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比．
三、平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线性质
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．
当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有 ．
四、相似三角形的定义
1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．
2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；
全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
五、相似三角形的判定：
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。
3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
六、相似三角形的性质：
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．
2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．
如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．
如图，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．
4．相似三角形周长的比等于相似比．
如图，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．
七、位似
1．定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。
【注意】从位似的定义中可以找到位似图形的判定及性质，在做题中这就是做题的依据。
2．位似常会出现多解情况，需要注意．
1、与角分线有关的相似
角平分线类的相似模型如下：
方法点拨：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．
已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：
2、与射影定理有关的相似
射影定理常见及扩展模型：
图1有：
图2有：
如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．
3、内接矩形与相似三角形
内接矩形类的模型及结论：
其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．
如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为_____________．
中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求
锐角中，，，两动点，分别在边，上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为.
（1）中边上高__________；
（2）当_________时，恰好落在边上（如图1）；
（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值为多少.

4、一线三等角模型与相似
一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示：
总结出三等角模型的基本图形是：
如图，梯形中，，，为上一点，且，若，，，则=______．
如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么________．
如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是_________．
如图，梯形中，∥，，，点 分别在线段上，且，若，求长．
如图，在矩形中，为中点，交于，连结．
⑴与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．
⑵设，是否存在这样的值，使得与相似， 若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．
5、旋转与相似
手拉手模型——相似
条件：，将旋转至右图位置
结论：右图且延长交与点必有
手拉手相似（特殊情况）：
当时，除之外，还会隐藏，满足,若连结、,则必有，（对角线互相垂直四边形）
6、各个模型之间的转化：
如图1，四边形是边长为的正方形，长方形的宽,长．将长方形绕点顺时针旋转15°得到长方形(如图2)，这时与相交于点．
（1）求的度数；
（2）在图2中，求两点间的距离；
（3）若把长方形绕点再顺时针旋转15°得到长方形,请问此时点B
在矩形的内部、外部、还是边上？并说明理由．
1、利用两边成比例和夹角相等的时候，一定要保证是夹角．
2、相似三角形中线段成比例时，线段一定要对应上．
如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度为（　　）
A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m
是斜边上的高，，交于，交于．求证：．
如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ．点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积．


如图，是一块锐角三角形余料，边长毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
如图，在中，，于，于，图中与相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
如图，中，，于， 于，若，，则、的长分别为（ ）
A． B．
D．

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