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寒假专题复习：七年级数学人教版第一章　有理数
1．1　正数和负数
【复习目标】
1．了解负数产生是生活、生产的需要．
2．掌握正、负数的概念和表示方法，理解数0表示的量的意义．
3．理解具有相反意义的量的含义．
【点拨】净胜球、产量负增长
知识探究
1．大于0的数叫做正数，在正数的前面加上符号“－”(负)的数叫负数．
2．若把一种量规定为“正”，那么它的相反的量就是“负”．
【反馈】
1．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
7，－9.24，－301，31.25，0
解：正数：7，31.25负数：－9.24，－301
2．在知识竞赛中，如果用＋10表示加10分，那么扣20分怎样表示？
解：－20
3．在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
解：离标准质量差0.03克．
【探究】
活动1：小组讨论
1．指出下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
－2，＋3，0，，204，－0.02，＋3.65，－5.
解：正数：＋3，，204，＋3.65负数：－2，－0.02，－5
2．(1)一个月内，小明体重增加2
kg，小华体重减少1
kg，小强体重无变化．写出他们这个月的体重增长值．
(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%，德国增长1.3%
法国减少2.4%，英国减少3.5%
意大利增长0.2%，中国增长7.5%
写出这些国家这一年进出口总额的增长率．
解：见课本P3“例题”．
活动2：活学活用
1．(1)在－7，0，－3，78，＋9100，－0.27中，负数有(　D　)
A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
(2)下列结论中正确的是(　D　)
A．0既是正数，又是负数
B．0是最小的正数
C．0是最大的负数
D．0既不是正数，也不是负数
(3)读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？
－2，0.6，＋6，0，－3.141
5，200，－754
200，
解：正数：0.6，＋6，200负数：－2，－3.141
5，－754
200
【点拨】正负数的定义，零的认识．
2．(1)如果上升8
m记作＋8
m，那么下降5
m记作－5m.如果－22元表示亏损22元，那么45元表示盈利45元．
(2)一种零件的直径尺寸在图纸上是30
(单位：mm)，表示这种零件的标准尺寸是30
mm，加工要求最大不超过30.03mm，最小不小于29.98mm.
(3)七(1)班一次数学测验平均成绩是85分，老师以平均成绩为基准，记为0，超过85分的记为正，那么92分、78分各记作什么？若老师把某3名同学的成绩简记为：－5，0，＋8，则这3名同学的实际成绩分别为多少分？
解：＋7，－7；80，85，93.
【点拨】正负数表示相反的量．
【小结】
1．正数和负数的概念．
2．正数和负数表示相反意义的量．
1．2　有理数
1．2.1　有理数
【复习目标】
1．理解有理数的概念．
2．会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数．
3．懂得有理数的两种分类方法．
知识探究
1．正整数、
0
和负整数统称为整数．
正分数和
负分数统称为分数．
2．
整数
和
分数
统称为有理数．
【反馈】
1．把下列各数写在相应的集合里．
－5，10，－4.5，0，＋2，－2.15，0.01，＋66，－，15%，，2
009，－16
正整数集合：{　10，＋66，2
009，…　}
负整数集合：{　－5，－16，…　}
负分数集合：{　－4.5，－2.15，－，…　}
正分数集合：{　＋2，0.01，15%，，…　}
整数集合：{　－5，10，0，＋66，2
009，－16，…　}
负数集合：{　－5，－4.5，－2.15，－，－16，…　}
正数集合：{　10，＋2，0.01，＋66，15%，，2
009，…　}
有理数集合：{　－5，10，－4.5，0，＋2，－2.15，0.01，＋66，－，15%，，2
009，－16，…　}
2．有理数的分类(　分两类　)．
【点拨】有理数的分类标准要统一．
【探究】
活动1：1．在数－5，，0，－0.24，7，4
076，－，－2中，正数有，7，4
076，负数有－5，－0.24，－，－2，整数有－5，0，7，4
076，－2，分数有，－0.24，－，有理数有－5，，0，－0.24，7，4076，－，－2.
2．下列说法不正确的是(　A　)
A．正整数和负整数统称为整数
B．正有理数和负有理数和零统称有理数
C．整数和分数统称有理数
D．正分数和负分数统称为分数
3．有理数：－7，3.5，－，1，0，π，中正分数有(　C　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
活动2：活学活用
1．下列各数：－8，－1，2.03，0.5，，－44，－0.99，其中整数是－8，－44
，负分数有－1，－0.99
.
2．下列说法正确的是(　D　)
A．一个有理数不是正数就是负数
B．正有理数和负有理数组成有理数
C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
D．负整数和负分数统称为负有理数
3．有理数中，是整数而不是负数的是
非负整数
，是负有理数而不是分数的是
负整数．
【小结】
通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数．
1．2.2　数轴
【复习目标】
1．了解数轴的概念，学会画数轴，知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应．
2．通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想．
3．体会数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系，激发学习热情．
【知识探究】
1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
2．数轴是一条
直线
，它可以向
两端
无限延伸．
3．数轴上原点左侧是
负
数，正数在原点的
右
侧．
【反馈】
1．数轴的三要素是
原点
、
正方向
、单位长度
．
2．指出图中所画数轴的错误：
解：略
3．如图，数轴上点A、B表示的数分别是－2.5
、2
.
4．数轴上表示－8的点在原点的
左
侧，距离原点
8
个单位长度；数轴上点P距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P表示的数是
－5
.
5．画一条数轴表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
，2，－4.5，0，，－0.5,
－
解：略　
【探究】活动1：1．画一条数轴，并表示出如下各点：±0.5，±0.1，±0.75；
2．画一条数轴，并表示出如下各点：1
000，5
000，－2
000；
3．画一条数轴，在数轴上标出到原点的距离小于3的整数；
4．画一条数轴，在数轴上标出－5和＋5之间的所有整数．
【点拨】数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置．
活动2：活学活用
1．在数轴上点A表示－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位，那么在新数轴上点A表示的数是(　C　)
A．－5　　　　B．－4　　　　C．－2　　　　D．2
2．在数轴上，表示数－3，2.6，－，0，4，－2，－1的点中，在原点左边的点有
4
个．
3．画出数轴并表示下列有理数：1.5，－2，2，－2.5，4，0.
解：略
4．写出数轴上点A，B，C，D，E所表示的数：
解：0，－2，1，2，－3
5．一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左边移动3个单位，然后再向右边移动6个单位，这时它表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？
解：－2，－1
【点拨】利用数轴数形结合解题．
【小结】
1．数轴的出现对数学的发展起了重要作用，以它作基础师生共同研究，什么是数轴？如何画数轴？如何在数轴上表示有理数？
2．利用数轴很多数学问题都可以借助图直观地表示．
1．2.3　相反数
【复习目标】
1．理解相反数的意义．
2．掌握求一个已知数的相反数的方法．
3．提高观察、归纳和概括的能力．
【知识】
1．相反数的定义是
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．在数轴上表示相反数的两个数的点
关于原点对称
．
3．我们规定：0的相反数是
0
.
【反馈】
1．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4，则这两个数是
±4.2
.
2．－2.3的相反数是
2.3
；0.01是
－0.01
的相反数．
3．相反数等于本身的数是
0
.
4．已知有理数a，则a的相反数可用
－a
表示．
5．表示下列各数的相反数，并求出相反数的值：
①7　②＋6.3　
③－3　
④＋(－)　
⑤－(＋3)
⑥－(－2.6)　
⑦
0
解：－7，－(＋6.3)＝－6.3，－(－3)＝3，－[＋(－)]＝，
－[－(＋3)]＝3，
－[－(－2.6)]＝－2.6,
－0＝0.
【探究】
活动1：1．化简下列各数，你能发现什么规律？
(1)－[－(－3)]＝－3
；
(2)－[＋(－3.5)]＝3.5
；
(3)＋[－(－6)]＝6
；
(4)－[－(＋7)]＝7
；
规律：负号个数为奇数时，化简得的结果为负；负号个数为偶数时化简得的结果为正．
2．化简下列各数，并总结一个有理数符号化简的规律．
(1)－(－)＝____；
(2)＋(＋10)＝10
；
(3)＋(－4)＝－4__；
(4)－{＋[－(－2)]}＝－2；
3．已知a、b在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上作出它们的相反数；
(2)用“＜”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．
解：(1)如图所示；(2)－a＜b＜－b＜a.
【教师点拨】相反数的特点和定义：到原点的距离相等，符号相反．
活动2：活学活用
1．－的相反数是____；的相反数是－__；0的相反数是0；a＋1的相反数是－a－1.
2．若a＝－4，则－(－a)＝
－4
.若－y＝3.1，则y＋3.1＝
0
；若－a＝－(－3)，则a＝
－3
，b－a与
a－b
互为相反数．
3．
负
数的相反数比它本身大，
正数
的相反数比它本身小，0的相反数和它本身相等．
4．若a＝－2，则－a＝
2
；若－b＝，则b＝
－
；若－c＝－8，则c＝
8
.
5．x的相反数仍是x，则x＝
0
.
6．已知a与b互为相反数，a与b应满足关系式
a＋b＝0
.
7．一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是
1
.
【课堂小结】
相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离原点的距离相等等性质均有广泛的应用
1．2.4　绝对值
第1课时　绝对值
【复习目标】
1．理解绝对值的几何意义和代数意义．
2．会求一个有理数的绝对值．
知识探究
1．一般地，
数轴上表示数a的点与原点的距离
，叫做数a的绝对值．
2．一个正数的绝对值是
它本身
，即：若a>0，则|a|＝a；一个负数的绝对值是
它的相反数
，即：若a<0，则|a|＝－a；0的绝对值是
0
(双重性)．
【反馈】
1．数轴上有一点到原点的距离为6.03，那么这个点表示的数是±6.03
.所以|6.03|＝
6.03
，|－6.03|＝
6.03
.
2．(1)|＋13|＝13；(2)|－8|＝8；(3)|＋3|＝3__；(4)|－8.22|＝8.22.
3．－2的绝对值是
2
，绝对值等于2的数是
±2
，它们是一对
相反数
．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b异号，求a、b两数在数轴上所表示的点之间的距离．
解：8
5．在|－7|，5，－(＋3)，－|0|中，负数共有(　A　)
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
6．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是(　D　)
A．1　　　　　　　
B．＋1，－1，0
C．1或－1　　　　　
D．非负数
【点拨】非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
【探究】
活动1：1．－2的相反数是(　A　)
A．2　　　　　B．－2　　　　　C．0.5　　　　　D．－0.5
2．下列四组数中不相等的是(　C　)
A．－(＋3)和＋(－3)　　　
B．＋(－5)和－5
C．＋(－7)和－(－7)　　　　
D．－(－1)和|－1|
3．下列说法正确的是(　B　)
A．一个数的绝对值的相反数一定不是负数
B．一个数的绝对值一定不是负数
C．一个数的绝对值一定是正数
D．一个数的绝对值一定是非正数
4．若|x－3|＋|y－2|＝0，则x＝
3
，y＝
2
.
活动2：活学活用
1．绝对值小于2的整数有
3
个，它们分别是
±1，0
.
2．指出下列各式中a的取值．
(1)若|a|＝－a，则a为
非正数
；
(2)若|－a|＝a，则a为
非负数
；
(3)若|a－1|＝0，则a为
1
.
3．已知a，b是有理数，且满足|a＋1|＋|2－b|＝0，求a＋b的值．
解：1
【点拨】注意绝对值的非负性．
【课堂小结】
1．绝对值的定义：有理数到原点的距离．
2．求一个有理数的相反数．
3．化简绝对值．
|a|＝
第2课时　有理数的大小比较
【目标】
1．理解比较有理数大小的规则的合理性．
2．会比较有理数的大小．
探究
1．在数轴上表示的两个有理数，左边的数
小于
右边的数．
2．正数
大于
0，0
大于
负数，正数大于负数；两个负数，
绝对值大
的反而小．
【反馈】
1．比较－和－；－|－(＋5)|和－[－(＋5)]的大小，并写出比较过程．
解：－<－，－|－(＋5)|<－[－(＋5)]，过程略
2．求同时满足：①│a│＝6，②－a＜0这两个条件的有理数a.
解：a＝6
【教师点拨】先化简，再比较．
【探究】
活动1：1．将有理数：－(－4)，0，－│－3│，－│＋2│，－│－(＋1.5)│，－(－3)，│－(＋2)│表示到数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
解：略
2．有理数x、y在数轴上的对应点如图所示：
(1)在数轴上表示－x，－y；
解：
(2)试把x、y、0、－x、－y这五个数从大到小用“>”连接．
解：x>－y>0>y>－x
【点拨】数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．
活动2：活学活用
1．下面四个结论中，正确的是(　D　)
A．|－2|>|－3|　　　　　　　
B．|2|>|3|
C．2>|－3|
D．|－2|<|－3|
2．比较大小(填“>”或“<”)．
(1)－>－
(2)－>－
(3)－(－)>－|－|
解：略
3．在数轴上表示下列各数：＋2，－，－(－6)，－7，－(＋3)，1，0，－1.5.并用“<”将它们连接起来．
解：略
4．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，请比较a，b，|a|，|b|的大小．
解：
即|b|>|a|>a>b.
【课堂小结】
1．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．正数大于零，零大于负数，正数大于负数．

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