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1.5分式
一、分式的概念
1、定义：若A，B表示两个整式，且B中含有
，那么式子______就叫做分式．
2、分式有意义的条件是分母
0；
分式无意义的条件是分母
0；
分式的值为零的条件是分子
0且分母
0.
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个
的整式，分式的值不变．
即：=______，
=_____（m≠0）
2．分式的变号法则：=_______．
3．约分：根据
_______
把一个分式分子和分母的
______
约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的
_______
，约分的结果必须是
______
分式或整式．
4．通分：根据
_________
把几个异分母的分式化为_______的同分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的
_______
．
5、确定最简公分母的方法：取各分母的系数的________与所有字母的_______的积作公分母.
三、分式的运算：
1．分式的乘除
（1）分式的乘法：=______
（2）分式的除法：=
________=
_______
分式乘除的关键是约分，即寻找分子分母的公因式:①系数：最大的公约数
②字母：相同公因式取最低次幂
2．分式的加减
（1）用分母分式相加减：分母不变，分子相加减，如=
________
（2）异分母分式相加减：先通分为同分母，在相加减，如=
________
=_______
分式加减的关键是通分，即寻找分母的最简公分母:①系数：最小公倍数
②字母：取所有字母的最高次幂
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即
=
_____
4．分式的混合运算：应先算______再算______最后算______，有括号的先算______里面的．
四、分式求值：
1、先化简，再求值；
2、由化简后的形式直接代数求分式的值；
3、式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
警惕：当分式化简求值题中所给的值是开放性或多值时，注意选值应该使原分式及化简过程中的分式都有意义.
命题点一、分式的相关概念和性质
1、（2020江苏南京）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　．
2、（2020湖南常德）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　
　．
3、（2020湖南省郴州）若分式的值不存在，则__________．
命题点二、分式化简求值
4、（2020山东烟台）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．
5、（2020湖南怀化）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
6、（2020黑龙江哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中．
先化简，再求代数式的值，其中．
7、（2020?荆州）先化简，再求值：（1），其中a是不等式组的最小整数解．
8、（2020四川自贡）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解.
9、（2020四川遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
10、（2020四川乐山）已知，且，求的值．
基础过关
1、（2020贵州）已知＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2、（2020浙江金华）分式
的值是零，则x的值为（
）
A.5
B.2
C.－2
D.－5
3、（2020贵州贵阳）当时，下列分式没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
4、（2019?扬州）分式可变形为　　
A．
B．
C．
D．
5、（2020河北）若，则下列分式化简正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
6、（2020浙江台州）计算的结果是
．
7、（2020湖北武汉）计算﹣的结果是　
　
8、（2020江苏徐州）
9、（2020湖北宜昌）先化简，再求值：，其中．
10、（2020山东潍坊）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是16的算术平方根．
11、（2020湖北鄂州）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
12、（2020青海）化简求值：（﹣）÷；其中a2﹣a﹣1＝0．
13、（2020辽宁营口）先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
14、（2020辽宁丹东）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
能力提升
15、已知，求的值.
16、已知y＝－x＋3，试说明：x取任何有意义的值，y值均不变．
17、（2019辽宁本溪）先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
18、（2020湖北荆州）先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解；
创新思维
19、为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”“-”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个进行化简以后结果为a-2，则所加的运算符号为（
）
A.+
B.-
C.×
D.÷
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21.5分式
一、分式的概念
1、定义：若A，B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式．
2、分式有意义的条件是分母不等于0；
分式无意义的条件是分母等于0；
分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0.
二、分式的基本性质
1．分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．
即：=，
=（m≠0）
2．分式的变号法则：=．
3．约分：根据
分式的基本性质
把一个分式分子和分母的
公因式
约去叫做分式的约分；约分的关键是确定分式的分子和分母中的
公因式
，约分的结果必须是
最简
分式或整式．
4．通分：根据
分式的基本性质
把几个异分母的分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是确定各分母的
最简公分母
．
5、确定最简公分母的方法：取各分母的系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作公分母.
三、分式的运算：
1．分式的乘除
（1）分式的乘法：=
（2）分式的除法：=
=
分式乘除的关键是约分，即寻找分子分母的公因式:①系数：最大的公约数
②字母：相同公因式取最低次幂
2．分式的加减
（1）用分母分式相加减：分母不变，分子相加减，如=
（2）异分母分式相加减：先通分为同分母，在相加减，如=
=
分式加减的关键是通分，即寻找分母的最简公分母:①系数：最小公倍数
②字母：取所有字母的最高次幂
3．分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即
=
4．分式的混合运算：应先算乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
四、分式求值：
1、先化简，再求值；
2、由化简后的形式直接代数求分式的值；
3、式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中．
警惕：当分式化简求值题中所给的值是开放性或多值时，注意选值应该使原分式及化简过程中的分式都有意义.
命题点一、分式的相关概念和性质
1、（2020江苏南京）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　．
解：若式子在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
2、（2020湖南常德）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　
　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．
解：由题意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
3、（2020湖南省郴州）若分式的值不存在，则__________．答案：-1
命题点二、分式化简求值
4、（2020山东烟台）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．
【分析】根据分式四则运算的顺序和法则进行计算，最后代入求值即可．
【解答】解：（﹣）÷，
＝[﹣]÷，
＝×，
＝，
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝＝2﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握计算法则，依据运算顺序进行计算是得出正确答案的前提．
5、（2020湖南怀化）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．
解：原式＝
＝
＝
＝．
∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，
当x＝0时，分母不为0，代入：
原式＝．
6、（2020黑龙江哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中．
先化简，再求代数式的值，其中．
解：原式
，
，
原式．
7、（2020?荆州）先化简，再求值：（1），其中a是不等式组的最小整数解．
【解答】解：原式?
．
解不等式组中的①，得a≥2．
解不等式②，得a＜4．
则2≤a＜4．
所以a的最小整数值是2，
所以，原式．
8、（2020四川自贡）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解.
【解析】化简得；解不等式组可得
∵，即，且为整数，∴，代入
9、（2020四川遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】﹣x+3，2
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝×
=
=
=
=﹣（x－3）
=﹣x+3
∵x≠
±2，
∴可取x＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
10、（2020四川乐山）已知，且，求的值．
【答案】，1
【解析】
【分析】
先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为．将代入进行计算即可．
【详解】原式=
=
=
，
∵，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含的表达式表示出．
基础过关
1、（2020贵州）已知＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故选：C．
2、（2020浙江金华）分式
的值是零，则x的值为（
）
A.5
B.2
C.－2
D.－5
【答案】
D
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得x+5=0且x-2≠0，
解得x=-5.
故答案为：D.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
3、（2020贵州贵阳）当时，下列分式没有意义的是（
）B
A．
B．
C．
D．
4、（2019?扬州）分式可变形为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
【解答】解：分式可变形为：．
故选：．
5、（2020河北）若，则下列分式化简正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
6、（2020浙江台州）计算的结果是　　．
【分析】先通分，再相减即可求解．
解：＝﹣＝．
故答案为：．
7、（2020湖北武汉）计算﹣的结果是　
　
解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
8、（2020江苏徐州）
原式=．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、绝对值的意义、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键．
9、（2020湖北宜昌）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2021
【解析】
【分析】
先把分解因式，再进行约分化简，最后把x=2020代入进行计算即可．
【详解】
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，在化简过程中要注意运算顺序和分式的化简，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
10、（2020山东潍坊）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是16的算术平方根．
【分析】先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把x值代入运算即可．
解：原式＝，
＝，
＝，
＝．
∵x是16的算术平方根，
∴x＝4，
当x＝4时，原式＝．
11、（2020湖北鄂州）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，-1．
【解析】
【分析】
先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=
=
在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2
当x=-2时，．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键．
12、（2020青海）化简求值：（﹣）÷；其中a2﹣a﹣1＝0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式＝，然后把a2＝a+1代入计算即可．
解：原式＝?
＝?
＝，
∵a2﹣a﹣1＝0．
∴a2＝a+1，
∴原式＝＝1．
13、（2020辽宁营口）先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可．
解：原式＝?
＝?
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．
当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
14、（2020辽宁丹东）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
解：原式＝?
＝?
＝
＝3x+10，
当x＝cos60°+6﹣1＝+＝时，
原式＝3×+10＝12．
能力提升
15、已知，求的值.
先根据二次根式的运算，分别求出x+y、xy的值，然后把分式变形求解即可.
【详解】
∵
∴x+y=，xy=，
∴原式==12，.
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，利用二次根式的性质求出x+y、xy的值，然后根据配方法化简分式，再整体代入求解，注意完全平方公式的应用.
16、已知y＝－x＋3，试说明：x取任何有意义的值，y值均不变．
【知识点】分式的运算
【答案】
x＋3＝x－x＋3＝3.
故x取任何有意义的值，y值均不变．
17、（2019辽宁本溪）先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
【知识点】分式的运算
【答案】
解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
18、（2020湖北荆州）先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解；
解：（1）原式=
（2）不等式的解集为，
所以a的最小值为2
所以原式=
创新思维
19、为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”“-”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个进行化简以后结果为a-2，则所加的运算符号为（
）A
A.+
B.-
C.×
D.÷
知识回顾
真题在线
分层精练
2

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