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二次根式的性质与化简
考点一：二次根式的概念
定义：一般地，我们把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号，a叫做被开方
二次根式应满足两个条件：
①有二次根号“
”，即根指数为2；
②被开方数是正数或0（非负数）
注意：
①表示a的算术平方根；
②a可以是数,也可以是式；
③形式上含有二次根号
④a≥0,
≥0
(
双重非负性)；
⑤既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
经典题型
1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
、
、
、
（x≥0，y≥0）
下列各式中，不是二次根式的是（　　）
3．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A.
B.
C.
D.
考点二：二次根式的双重非负性
被开方数
a≥0
二次根式≥0
应用：非负性求值
例如：已知求x的值。
解：
经典例题
例1.要使式子有意义，则m的取值范围
。
例2.若式子有意义，则x的取值范围是
。
例3.使代数式有意义的整数x有
例4.若+（c-4）?，则a-b+c=
。
随堂练习
1．使代数式有意义的x的取值范围是（
）
A．x>3
B．x≥3
C．
x>4
D．x≥3且x≠4
2．若
+y=4成立，则xy=（　　）
A．0
B．6
C．8
D．16
3．若+（n+1）?=0，则m+n
的值为
。
4．已知x,y为实数，且+3（y-2）?=0，则x-y的值为（
）
A．3
B．-3
C．1
D．-1
考点三：二次根式的性质
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0；≥0
（双重非负性）．
②（
）2=a
（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③=a（a≥0）（算术平方根的意义）
经典例题
例1.计算：
?
?
例2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
例3．如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：
随堂练习
计算下列各式的值：
=
；=
；=
。
2．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简
│a－b│+
的结果等于（
）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
3．如果1≤a≤
，则
+|a﹣1|的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．2a﹣3
D．3﹣2a
考点四：二次根式的积和商的性质
性质1．积的算术平方根
用“＞，＜或＝”填空：
，
，
性质2．商的算术平方根
填空：
一般地，二次根式的积与商有如下性质：
积的性质：
(a
≥0,b
≥0，积的算术平方根等于各算术平方根的积)；
商的性质：
（a
≥0,b
＞0商的算术平方根等于各算术平方根的商）．
经典例题
化简：
随堂练习
1．化简：
2．化简：
考点五：最简二次根式
最简二次根式：
（1）根号内不再含有可以开方的因式；
（2）根号内不再含有分母；
结果的分母中不含根号.
经典例题
化简：
例2．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.
随堂练习
1．下列根式中属最简二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.
2.化简：(1)
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B.
C.
D.

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