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(共28张PPT)
华师大版
八下数学
17.1变量与函数
情景导入
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究
这些运动变化并寻找规律呢?
观察
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．
结论：任给一个时间t的确定值，温度T都有唯一的一个值和它对应.
探究
小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
体重
（kg）
7.9
12.2
15.6
18.4
20.7
23.0
25.6
28.5
31.2
34.0
随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.
波长
λ（m）
300
500
600
1000
1500
频率
?（kHz）
1000
600
500
300
200
波长λ越大，频率
f
就_____．
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的.下面是一些对应的数值：
结论：任给一个波长λ的确定值，频率?都有唯一的一个值和它对应.
越小
波长λ和频率f
数值之间有什么关系?
探究
半径r（cm）
1
1.5
2
2.6
3.2
…
圆面积S（cm2）
…
结论：任给一个半径r的确定值，面积S都有唯一的一个值和它对应.
如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，S与r之间满足关系式：S=π
，
可以看出：圆的半径越大，它的面积就越大.
数值不断
变化的量
变量
数值固定
不变的量
常量
　　上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
概括
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，
叫做变量；
还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量.
变量，如：T和t,y和x,?和λ,S和r.
常量，如：问题3中的300000和问题4中的π.
练一练
1.球的表面积S（cm）和球的半径R（cm）的关系式：S=4πR2
2.公路上行驶的汽车的时间t（h）与路程S(km)的关系式：S=60t
3.圆的周长C（m）与半径r(m)之间的关系式：C=2πr
上面问题中都出现两个变量，它们
相互依赖，密切相关.
2
两个变量互相联系，当其中一个变量确定一个值时，另一个变量也（
）.
1
每个变化的过程中都存在着（
）变量.
两个
随之确定一个值
想一想
在前面问题中
定义
一般地，在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.
函数的本质：
就是唯一确定的
对应关系
因变量和自变量
的关系又叫函数
关系
（1）在一个变化过程中
（2）有两个变量x与y
（3）对于x的每一个确定的值，y都有唯
一确定的值与其对应
理解概念
练一练
1.判断下列变量关系是不是函数？
(1)等腰三角形的底边长与面积.
(2)关系式y=中，y是x的函数吗？
2.下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由.
?xy=2
?x2+y2=10
?x+y=5
?|y|=3x+1
?y=x2-4x+5
不是
不是
是
不是
是
是
不是
探究
图象法
列表法
已知：Y比X的3倍少2，
求Y与X的函数关系式.
解：由题知：
Y=3X-2
解析法
最常用的方法
函数的表示方法
总结
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
问题2
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题3
准确地反映了函数随自变量变化的数量关系
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
问题1
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
函数三种表示方法的区别
图象法
列表法
解析法
例1、等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，
并求出自变量x的取值范围.
解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知：
2x+y=180
有
y=180-2x
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是0例题解析
1.认真审题，根据题意找出等量关系；
2.按相等关系，写出关于两个变量的等式；
3.将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子.
列函数关系式的步骤
归纳
例2、如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y与线段MA的长度x之间的函数关系式.
(2)当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
例题解析
解：(1)重叠部分的面积y与线段MA的长度x之间的函数关系式为：
y=
(2)点A向右移动1cm，即x=1
当x=1时，y==
所以当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是
例题解析
某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.8元，超计划部分每吨按2.0元收费.
?
（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；
（2）5月该单位用水3200吨，6月用水2800吨，分别求出该单位5月，6月的水费分别是多少元；
（3）若某月该单位缴纳水费9400元，则该单位用水多少吨？
变式练习
解：（1）单位水费y（元）和每月用水量x（吨），
当x≤3000吨时；y=1.8x．
当x＞3000吨时：y=3000×1.8+2.0（x-3000）=2x-600．
（2）单位用水3200吨，水费是：y=2×3200-600=5800（元）；
用水2800吨，水费：y=1.8×2800=3240（元）．
（3）当该单位缴纳水费9400元，则9400=2x-600，
x=5000．
故此时用水5000吨．
变式练习
1.下列各式中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝　　
B．y2＝2|x|＋1
C．y＝x2＋2x－3
D．y＝x＋2
2.
函数y＝＋中自变量x的取值范围是(　　)
A．x≤2
B．x＝3
C.x＜2且x≠3
D．x≤2且x≠3
课堂练习
B
A
3.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q升与行驶时间t小时的关系是
.
Q＝40－5t
4.三角形的三边长分别为3cm、5cm、xcm，则三角形的周长y(cm)与x(cm)之间的函数关系式是
，自变量x的取值范围是
.
y＝x＋8
2＜x＜8
解：y＝50－6x(0≤x≤8)．
5.小华用50元钱去购买每件价格为6元的某种商品，写出他所剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x之间的关系式．
6.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
解：当t=8时
s=10t+2t2=10×8+2×82=208
答：滑到坡底的时间为8秒，坡长为208米.
课堂小结
在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
1、函数的概念
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，
这样的式子叫做函数解析式
2、函数解析式
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华师大版数学八年级下册17.1变量与函数导学案
课题
变量与函数
单元
17
学科
数学
年级
八年级
知识目标
经历对具体变化过程中两个变量之间关系的探索过程，能指出自变量和函数；
会求出函数值和写出解析式；认识变量之间的一一对应和唯一性，有简单的函数思想.
重点难点
重点：用关系式表示某些变量之间的关系.
难点：求自变量的取值范围.
教学过程
知识链接
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，如何用代数式表示总收入？
合作探究
一、教材第28页
问题1、从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．
问题2、小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表
观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
二、教材第29页
问题3、收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的.下面是一些对应的数值
波长λ和频率f
数值之间有什么关系?
问题4、
如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，S与r之间满足关系式：S=π
，
可以看出：圆的半径越大，它的面积就越大
概括：
变量：
。
自变量：
，
因变量：
。
函数：
。
三、教材第30页
函数的表示方法：
，
，
。
四、教材第31页
例1、等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
列函数关系式的步骤：
，
，
。
例2、如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合
(1)试写出两图形重叠部分的面积y与线段MA的长度x之间的函数关系式.
(2)当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
自主尝试
1、试写出用自变量表示函数的式子．
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．
(2)秀水村的耕地面积是106m2，人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．
2、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时012345…y/米1010．0510．1010．1510．2010．25…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式；
(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【方法宝典】
根据变量与函数进行解题即可.
当堂检测
1、若y与x的关系式为y=30x﹣6，当x=时，y的值为（　　）
　
A．5
B．10
C．4
D．﹣4
汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程
s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（　　）
A．S=120﹣30t（0≤t≤4）
B．S=120﹣30t（t＞0）
C．
S=30t（0≤t≤40）
D．S=30t（t＜4）
3、已知函数y=中，当x=a时的函数值为1，则a的值是（　　）
　
A．﹣1
B．1
C．﹣3
D．3
4、油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为　_________　，自变量的范围是　_________　．当Q=10kg时，t=　_________　．
5、x=　_________　时，函数y=3x﹣2与函数y=5x+1有相同的函数值．
6、已知三角形底边长为4，高为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为　________．
7、下列每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n个棋子，每个图案的棋子总数为下图的排列规律推断s与n之间的关系可以用式子S=　_________　来表示．
8、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）有如下关系：
x/kg0123456y/cm1212.51313.51414.515
（1）请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式．
（2）当挂重10千克时弹簧的总长是多少？　
9、已知两个变量x、y满足关系2x﹣3y+1=0，试问：①y是x的函数吗？②x是y的函数吗？若是，写出y与x的关系式，若不是，说明理由．
10、一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的周长为ycm，写了y与x的关系式，并指出自变量的取值范围．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1、C
2、A
3、D
Q=30﹣t，0≤t≤60，40．
5、﹣．
6、y=2x．
7、4n﹣4
8、解：（1）由表可知：常量为0.5，12，
所以，弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12，
（2）当x=10kg时，代入y=0.5x+12，解得y=17cm，即弹簧总长为17cm．
9、解：根据题意可知：①y=，∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴y是x的函数；
②x=，∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，∴x是y的函数．
10、解：∵原正方形边长为5，减少xcm后边长为5﹣x，
故周长y与边长x的函数关系式为y=20﹣4x，
自变量的范围应能使正方形的边长是正数，
即满足不等式组，
解得：0≤x＜5．
故自变量的取值范围是0≤x＜5．
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精品试卷·第
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