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第八节　函数与方程及函数模型的应用
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.3.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用.
本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，属于中档题，分值为5分.
1.数学运算2.逻辑推理3.直观想象4.数学建模
‖知识梳理‖
1．函数的零点
(1)函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
?常用结论
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
　
　函数性质　
　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴行
随x值增大，图象与x轴行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、走进教材
2．(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(4，5)
答案：B
3．(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2，16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1，16)内无零点
答案：C
4．(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
答案：D
5．(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)(　　)
A．2020年
B．2021年
C．2022年
D．2023年
答案：B
三、易错自纠
6．函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(4，＋∞)
解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3－>0，得f(2)·f(3)<0，故选B．
7．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km，如果超过100
km，超过100
km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_______________________________．
答案：y＝
函数的零点问题是命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，归纳起来常见的命题角度有：(1)函数零点个数的判断；(2)函数零点所在区间的判定；(3)已知方程根或函数零点求参数范围．
●命题角度一　函数零点个数的判断
【例1】　函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　
B．2
C．1
D．0
[解析]　解法一：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e，
因此函数f(x)共有2个零点．
解法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
[答案]　B
?名师点津
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
●命题角度二　函数零点所在区间的判定
【例2】　(2019届太原模拟)函数f(x)＝ln
x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)
A．
B．(1，2)
C．(2，e)
D．(e，3)
[解析]　因为y＝ln
x与y＝x－在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln
2－＝ln
<0，f(e)＝－＋e－2>0，所以f(2)·f(e)<0，故函数f(x)的零点所在的区间是(2，e)．
[答案]　C
?名师点津
判断函数零点所在区间的3种方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
●命题角度三　已知方程根或函数零点求参数范围
【例3】　(2019届昆明市高三质检)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－∞，5)
D．(－∞，5]
[解析]　解法一：当x≥1时，由ln
x＋1＝2，得x＝e，由方程f(x)＝2有两个解知，当x<1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x<1时，g(x)＝0有唯一解，则g(1)<0，得a<5，故选C．
解法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x<1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象，如图，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则a－3<2，得a<5，故选C．
[答案]　C
?名师点津
已知函数有零点(方程有根)
求参数取值范围的3种常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例4】　(2019届山东三校联考)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单元：元)满足如下关系：W(x)＝其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．
(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)由已知，得f(x)＝15W(x)－20x－10x
＝15W(x)－30x
＝
＝
(2)由(1)得，f(x)＝
＝
当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝390；当2因为390<480，所以当x＝4时，f(x)max＝480，
所以当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．
?名师点津
已知函数模型求解实际问题的3个步骤
(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．
(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．
(3)最后回归问题的结论．
|跟踪训练|
(2019年北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
解析：选A　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg
，得－26.7＋1.45＝lg
，lg
＝－25.25，∴lg
＝－10.1，lg
＝10.1，＝1010.1.故选A．
【例】　(2019届南昌市重点中学测试)已知定义在R上的函数f(x)，当x>－1时，f(x)＝且f(x－1)为奇函数，若方程f(x)＝kx＋k(k∈R)的根为x1，x2，…，xn，则x1＋x2＋…＋xn的所有可能取值为(　　)
A．－6或－4或－2
B．－7或－5或－3
C．－8或－6或－4或－2
D．－9或－7或－5或－3
[解析]　∵f(x－1)为奇函数，∴其图象关于(0，0)中心对称，则y＝f(x)的图象关于(－1，0)中心对称，结合函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，由f(－1)＝0及x>－1时f(x)＝作出函数f(x)的图象，同时作出函数y＝kx＋k＝k(x＋1)的图象(过定点(－1，0)的直线)如图所示，当直线y＝kx＋k分别位于①、②、③、④位置时，直线y＝kx＋k与函数f(x)的图象分别有9，7，5，3个交点，且交点关于点(－1，0)两两对称，∴方程f(x)＝kx＋k分别有9，7，5，3个不等实根，根的和分别为－9，－7，－5，－3，故选D．
[答案]　D
?名师点津
函数的零点问题是函数的图象与性质的综合运用问题，因此在解题过程中，要深入分析函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，从而解决函数的零点问题．
|跟踪训练|
(2019届石家庄市质检)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则对于
函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)＋a有下列四个命题：
命题1　存在实数a，使得函数g(x)没有零点；
命题2　存在实数a，使得函数g(x)有2个零点；
命题3　存在实数a，使得函数g(x)有4个零点；
命题4　存在实数a，使得函数g(x)有6个零点．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选D　设h(x)＝4x3－6x2＋1(x≥0)，则h′(x)＝12x(x－1)(x≥0)，∴x>1时，h′(x)>0；0时，方程t2－t＋a＝0无解，∴函数g(x)没有零点；当0t1，则01，由图1得函数g(x)有2个零点．∴4个命题全部正确，故选D．
PAGE第二节　函数的单调性与最值
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
　　以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性的应用仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题，分值为10分左右.
1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算
‖知识梳理‖
1．函数的单调性
单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
eq
\a\vs4\al(,自左向右看图象是,\x(3)上升的)
eq
\a\vs4\al(,自左向右看图象是,\x(4)下降的)
?常用结论
(1)函数单调性的两种等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]且x1①>0?f(x)在[a，b]上是增函数；<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．
(4)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(5)函数f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(　　)
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、走进教材
2．(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A．y＝－x
B．y＝x2－x
C．y＝ln
x－x
D．y＝ex
答案：A
3．(必修1P31例4改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________．
答案：2
三、易错自纠
4．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1]
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．[1，＋∞)
解析：选B　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B．
5．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为____________．
答案：[－1，1]，[5，7]
6．函数f(x)＝－x3在[－2，0]上的最大值与最小值之差为________．
解析：易知f(x)在[－2，0]上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝＋2＝.
答案：
|题组突破|
1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
解析：选D　(复合法)由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D．
2．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A．
B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和
D．和[2，＋∞)
解析：选B　(图象法)y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．故选B．
3．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1解：解法一(定义法)：函数f(x)＝ax2＋(1证明如下：设x1，x2是[1，2]上任意两个实数，且x1由1≤x1得x2－x1>0，2又因为1所以2得a(x1＋x2)－>0，
从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．
解法二(导数法)：因为f′(x)＝2ax－＝，
又因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8.
又10，
所以f′(x)>0，
所以函数f(x)＝ax2＋(其中1?名师点津
1．判断函数单调性的常用方法
2．确定函数的单调区间的方法
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．
常见的命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围．
●命题角度一　比较两个函数值或两个自变量的大小
【例1】　(2019届哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
[解析]　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，∴b>a>c.
[答案]　D
?名师点津
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
●命题角度二　解函数不等式
【例2】　已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为______________．
[解析]　由已知，可得解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
[答案]　(－3，－1)∪(3，＋∞)
?名师点津
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
●命题角度三　利用单调性求参数的取值范围
【例3】　(2019届山东济宁模拟)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
[解析]　因为函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，所以?≤a<1，即实数a的取值范围是.
[答案]　
?名师点津
利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
需注意：①若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
②对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
|跟踪训练|
1．(2019届河北衡水中学第二次调研)已知函数y＝f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，且f(－x)＝f(x)，若a＝f(log3)，b＝f(2－1.2)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b
B．b>c>a
C．b>a>c
D．a>b>c
解析：选B　易知f(x)为偶函数，因为a＝f(log3)＝f(－log23)＝f(log23)，且log23>，0<2－1.2<2－1＝，所以log23>>2－1.2>0.又f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，所以f(log3)c>a.故选B．
2．(2019届河北武邑期中)若函数y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
B．(－4，4]
C．[－4，4)
D．[－4，4]
解析：选D　令t＝x2－ax＋3a，则y＝logt，
易知t＝x2－ax＋3a在上单调递减，在上单调递增．
∵y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，
∴t＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上满足t>0，∴2≥，且4－2a＋3a≥0，
∴a∈[－4，4]．故选D．
【例4】　求下列函数的值域：
(1)y＝，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋4＋；(4)y＝；
(5)y＝log3x＋logx3－1.
[解]　(1)由y＝，可得y＝－.
∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，
∴≤y≤3，即y∈.
(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，
则x＝.
∴y＝－t2＋t＋1＝－＋(t≥0)．
∴当t＝，即x＝时，y取最大值，ymax＝，又∵此抛物线开口向下，
∴函数的值域为.
(3)(三角换元法)令x＝3cos
θ，θ∈[0，π]，
则y＝3cos
θ＋4＋3sin
θ＝3sin＋4.
∵0≤θ≤π，
∴≤θ＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴1≤y≤3＋4，
∴函数的值域为[1，3＋4]．
(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，
整理，得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0.
显然y≠2(运用判别式法之前，应先讨论x2的系数)．
将上式看作关于x的一元二次方程．
易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，∴Δ＝[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0.
解不等式得－≤y≤2.
又y≠2，∴原函数的值域为.
(5)将y＝log3x＋logx3－1变形，得y＝log3x＋－1.
①当log3x>0，即x>1时，y＝log3x＋－1≥2－1＝1，当且仅当log3x＝1，即x＝3时取“＝”．
②当log3x<0，即0当且仅当log3x＝－1，即x＝时取“＝”．
综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
?名师点津
求函数最值的5种常用方法
|跟踪训练|
3．(2019届福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞)
B．[4，＋∞)
C．(－∞，4]
D．(－∞，4)
解析：选B　由题意知，当x>0时，f(x)＝x＋≥2
＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4，故选B．
4．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：解法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方，得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
解法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.
答案：1
【例】　(2019届武汉市模拟)若存在正实数a，b，使得?x∈R，有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sin
x2，其中是“限增函数”的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③
[解析]　对于①，若f(x＋a)≤f(x)＋b，即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，整理得2ax≤－a2－a＋b，即x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f(x)＝，即≤＋b，整理得|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，∴由|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，故原不等式|x＋a|≤|x|＋b2＋2b恒成立，∴f(x)＝是“限增函数”．对于③，f(x)＝sin
x2，－1≤f(x)＝sin
x2≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，∴f(x)＝sin
x2是“限增函数”，故选B．
[答案]　B
?名师点津
求解此类问题的思路
(1)明确单调性的新定义．
(2)结合题目条件把要求问题转化为易处理的问题．
(3)求解问题，得出结论．
|跟踪训练|
设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2
014型增函数”，则实数a的取值范围是________．
解析：(图象法)由题意得，当x>0时，f(x)＝
①当a≥0时，函数f(x)的图象如图①所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a.
所以只需满足5a－(－a)＝6a<2
014，即0≤a<.
②当a<0时，函数f(x)的图象如图②所示，且f(x)为增函数．
因为x＋2
014>x，所以满足f(x＋2
014)>f(x)．
综上可知，实数a的取值范围是a<.
答案：
PAGE第六节　对数与对数函数
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).
　　对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算4.直观想象
‖知识梳理‖
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝N；
②logaaN＝N(a>0且a≠1)；
③零和负数没有对数．
(2)对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；
②logab＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
?常用结论
(1)指数式与对数式互化：ax＝N?x＝logaN.
(2)对数运算的一些结论：
①logambn＝logab；②logab·logba＝1；③logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
?常用结论
(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a>1还是0(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(3)函数y＝log2x及y＝log(3x)都是对数函数．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(必修1P73T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
答案：D
3．(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________．
答案：
三、易错自纠
4．如果logxA．yB．xC．1D．1解析：选D　由logxy>1.
5．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，须满足解得答案：
6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．
解析：当01时，loga1.
答案：∪(1，＋∞)
|题组突破|
1.＋log2＝(　　)
A．2
B．2－2log23
C．－2
D．2log23－2
解析：选B　＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B．
2．计算÷100＝________．
解析：原式＝(lg
2－2－lg
52)×100＝10lg
＝10lg
10－2＝－2×10＝－20.
答案：－20
3.lg－lg
＋lg＝________．
解析：lg
－lg
＋lg
＝(5lg
2－2lg
7)－××3lg
2＋(lg
5＋2lg
7)
＝(lg
2＋lg
5)＝.
答案：
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m＝(负值舍去)．
答案：
?名师点津
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【例1】　(1)(2019届合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)
(2)当0A．
B．
C．(1，)
D．(，2)
[解析]　(1)令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2(2)易知04，
解得a>，∴[答案]　(1)A　(2)B
?名师点津
(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界；当a>1时，是增函数；当0(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度，即得f(x)的图象，结合图象知选A．
2．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1，10)
B．(5，6)
C．(10，12)
D．(20，24)
解析：选C　作出f(x)的大致图象，不妨设aa|＝|lg
b|，因为a≠b，所以lg
a＝－lg
b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)．
常见的考查对数函数的性质的命题角度有：
(1)对数值大小的比较；(2)对数函数单调性的应用；(3)与对数函数有关的不等式问题．
●命题角度一　对数值大小的比较
【例2】　(2019年天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．aC．bD．c[解析]　由题意，可知a＝log52<1，b＝log0.50.2＝log＝log2－15－1＝log25>log24＝2，c＝0.50.2<1，
∴b最大，a，c都小于1.
∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝
，
而log25>log24＝2>，∴<，∴a∴a[答案]　A
?名师点津
比较对数值的大小，常有以下题型及求法：
—
●命题角度二　对数函数单调性的应用
【例3】　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由－x2＋4x＋5>0，解得－1二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得，函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需
解得≤m<2.
[答案]　C
?名师点津
与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
●命题角度三　与对数函数有关的不等式问题
【例4】　设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
[解析]　由题意，得
或
解得a>1或－1[答案]　C
?名师点津
处理这类问题的方法是：一般模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x相应地赋值证得结论．
|跟踪训练|
3．(2019年全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．aB．aC．cD．b解析：选B　a＝log20.220＝1，
∵0<0.20.3<0.20＝1，
∴c＝0.20.3∈(0，1)，
∴a4．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1解析：当x1答案：(1，2)
【例】　(2019届江西赣州模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0[解析]　∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m[答案]　9
?名师点津
由f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m|跟踪训练|
(2019届江西一模)若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，∴x＋－4能取遍所有的正数，
又当x>0时，x＋－4≥2－4，当x<0时，x＋－4≤－2－4<0(舍去)，
∴要满足题意，需2－4≤0，解得a≤4.
故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4]．
答案：(0，1)∪(1，4]
PAGE第七节　函数的图象
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
　　本节的常考点有函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用及利用图象解方程或不等式，其中函数图象的辨析仍将是2021年高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学运算3.数据分析4.数学建模
‖知识梳理‖
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
首先：①确定函数的定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)；
最后：描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b．
(2)伸缩变换
y＝f(x)
y＝f(ωx)；
y＝f(x)
y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
?常用结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、走进教材
2．(必修1P23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
答案：C
3．(必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
答案：C
三、易错自纠
4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1
B．ex－1
C．e－x＋1
D．e－x－1
解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D．
5．(2019年浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
解析：选D　可分别取a＝和a＝2，在同一直角坐标系内画出相应图象(图略)，对比可知，D正确，故选D．
6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8]．
答案：(2，8]
|题组突破|
1．(2019年全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
解析：选D　∵f(x)＝，x∈[－π，π]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为[－π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f(π)＝＝>0，因此排除B、C，故选D．
2．(2020届合肥调研)函数f(x)＝ln的图象大致为(　　)
解析：选B　解法一：易知f(x)定义域为{x|x≠0}．又因为f(－x)＝ln＝ln＝ln＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A、D；又f(1)＝ln<0，f(2)＝ln＝ln2－>0，所以f(2)>f(1)，故排除C．故选B．
解法二：因为f(x)＝ln＝ln，所以当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除A、C；当x→－∞时，1－→－1，x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除D，故选B．
3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝x2－2ln|x|
B．f(x)＝x2－ln|x|
C．f(x)＝|x|－2ln|x|
D．f(x)＝|x|－ln|x|
解析：选B　由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2，1，由此可得，仅函数f(x)＝x2－ln|x|符合条件，故选B．
?名师点津
识图的3种常用方法
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．
常见的命题角度有：(1)利用图象确定方程根的个数；(2)利用图象求参数的取值范围；(3)利用图象求解不等式；(4)利用图象研究函数的性质．
●命题角度一　利用图象确定方程根的个数
【例1】　(2019届文登一中模拟)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg
x|的图象的交点共有(　　)
A．10个　　
B．9个
C．8个
D．7个
[解析]　根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：
可验证，当x＝10时，y＝|lg
10|＝1；当x>10时，|lg
x|>1，因此结合图象及数据特点知，y＝f(x)与y＝|lg
x|的图象交点共有10个．
[答案]　A
?名师点津
利用函数图象研究方程根的策略
构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
●命题角度二　利用图象求参数的取值范围
【例2】　已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1]∪[2，＋∞)
B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞)
D．(0，]∪[3，＋∞)
[解析]　当01时，需满足(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0，故m≥3.综上可知，正实数m的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．
[答案]　B
●命题角度三　利用图象求解不等式
【例3】　(2019届成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，解不等式<0的解集为____________．
[解析]　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
[答案]　(－1，0)∪(0，1)
?名师点津
利用函数图象研究不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
●命题角度四　利用图象研究函数的性质
【例4】　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
[答案]　C
?名师点津
利用函数图象研究性质的方法
(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
(4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
|跟踪训练|
1．(2019年全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)
解析：选B　由y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，知f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是[－6，6]上的奇函数，因此排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A，故选B．
2．(2019届沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2，6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根，故选C．
【例】　(2019届河北邯郸一模)如图，在直角坐标系xOy中，边长为1的正方形OMNP的两个顶点在坐标轴上，点A，B分别在线段MN，NP上运动．设PB＝MA＝x，函数f(x)＝·，g(x)＝·，则f(x)与g(x)的图象为(　　)
[解析]　由已知可得，A(1，x)，B(x，1)，x∈[0，1]，则＝(1－x，x－1)，＝(1，x)，＝(x，1)，所以f(x)＝·＝1－x＋x(x－1)＝(x－1)2，g(x)＝·＝2x，故选A．
[答案]　A
?名师点津
利用条件建立f(x)与g(x)的表达式后，再结合选项进行判断．
|跟踪训练|
(2019届广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
解析：选B　函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D；一开始，h＝H，随着时间的变化减少程度逐渐变慢，超过一半时，h随着时间的变化减少程度逐渐变快，故选B．
PAGE第三节　函数的奇偶性及周期性
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
　　以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是2021年高考考查的热点．题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度，分值为5分到10分.
1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算
‖知识梳理‖
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
?常用结论
(1)函数奇偶性的几个重要结论
①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(2)有关对称性的结论
①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称．
②若对于R上的任意x都有f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)中心对称．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
?常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
对称性与周期的关系：
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin
x
B．y＝x2cos
x
C．y＝|ln
x|
D．y＝2－x
答案：B
3．(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
答案：1
三、易错自纠
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)
A．{x|－11}
B．{x|x<－1或0C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－1解析：选D　由题意，得f(－x)＝－f(x)，∵x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0.奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示：
则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－15．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
6．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以f＋f(2)＝f＋f(0)＝f＋0＝－f＝－4＝－2.
答案：－2
|题组突破|
1．(2019届山东青岛二模)下列函数是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝xsin
x
B．f(x)＝x2＋4x＋4
C．f(x)＝sin
x＋cos
x
D．f(x)＝log3(＋x)
解析：选A　选项A、B、C、D中函数的定义域均为R.对于选项A，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝(－x)(－sin
x)＝xsin
x＝f(x)，所以函数是偶函数；
对于选项B，f(－x)＝x2－4x＋4≠f(x)，所以函数不是偶函数；
对于选项C，f(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)＝－sin
x＋cos
x≠f(x)，所以函数不是偶函数；
对于选项D，f(－x)＝log3(－x)＝log3＝－log3(＋x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A．
2．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)
A．－1
B．1
C．－5
D．5
解析：选D　设F(x)＝f(x)＋x，由已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，得F(x)＝F(－x)，即f(x)＋x＝f(－x)－x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，∴f(－2)＝f(2)＋2×2＝5.
3．(2020届贵阳摸底)若f(x)＝a－是奇函数，则a＝________．
解析：解法一：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋?a＝＋＝＋＝1.
解法二：因为函数f(x)是奇函数且x∈R，所以f(0)＝0，即a－＝0?a＝1.
答案：1
?名师点津
应用函数奇偶性可解决的3类问题
(1)判定函数奇偶性
①定义法
②图象法
③性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(2)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(3)利用函数的奇偶性求值
首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．
|题组突破|
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2
015)＝________．
解析：∵f(x)＝－f，
∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数，则f(2
015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)的值为________．
解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
∴f(x)是R上的奇函数．又f(x＋2)＝f(－x)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，
∴f(2
017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
∴f(2
016)＋f(2
018)＝f(2
016)＋f(2
016＋2)＝f(2
016)－f(2
016)＝0，∴f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)＝4.
答案：4
?名师点津
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主，多以选择题、填空题形式出现．
常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合．
●命题角度一　单调性与奇偶性结合
【例1】　(2019年全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
A．f>f(2)>f(2)
B．f>f(2)>f(2)
C．f(2)>f(2)>f
D．f(2)>f(2)>f
[解析]　∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f＝f(log34)．
∵log34>log33＝1，0<2<2<20＝1，
∴0<2<2∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)>f(2)>f，故选C．
[答案]　C
●命题角度二　周期性与奇偶性结合
【例2】　(2020届四川五校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝2x＋ln
x，则f(2
019)＝________．
[解析]　由f(x)＝f(x＋4)得f(x)是周期为4的函数，故f(2
019)＝f(4×505－1)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋ln
1)＝－2.
[答案]　－2
●命题角度三　单调性、奇偶性与周期性结合
【例3】　已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2
017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aB．bC．aD．c[解析]　由①得，f(x)在[4，8]上单调递增；由②得，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以c＝f(2
017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③得，f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．结合f(x)在[4，8]上单调递增可知，f(5)[答案]　B
?名师点津
函数性质综合问题的求解方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)函数周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
|跟踪训练|
1．(2019届石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝
B．y＝|x|－1
C．y＝lg
x
D．y＝
解析：选B　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．故选B．
2.(2019届四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c
B．c>a>b
C．b>c>a
D．a>c>b
解析：选D　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，∴a>c>b，故选D．
【例】　已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则
(xi＋yi)＝(　　)
A．0
B．m
C．2m
D．4m
[解析]　y＝＝1＋，其图象如图，关于点(0，1)对称．又f(－x)＝2－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝2，∴y＝f(x)的图象也关于点(0，1)对称．又∵y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，∴由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称．不妨设点(x1，y1)与(xm，ym)关于点(0，1)对称．点(x2，y2)与(xm－1，ym－1)关于点(0，1)对称，….由对称性可知x1＋xm＝0，x2＋xm－1＝0，…，y1＋ym＝2，y2＋ym－1＝2，….∴
(xi＋yi)＝xi＋yi＝0＋2×＝m.故选B．
[答案]　B
?名师点津
求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴．
|跟踪训练|
(2019届江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin
πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则
(xi＋yi)＝(　　)
A．n
B．2n
C．3n
D．4n
解析：选C　因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sin
πx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以xi＝n，yi＝2n，所以
(xi＋yi)＝3n，故选C．
PAGE第四节　二次函数与幂函数
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
　　幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学运算
‖知识梳理‖
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
eq
\a\vs4\al()
eq
\a\vs4\al()
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增；在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
?常用结论
(1)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
(2)一元二次不等式恒成立的条件
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A．
B．1
C．
D．2
答案：C
3．(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是___________________．
答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)
三、易错自纠
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0，4a＋b＝0
B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0
D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A　由f(0)＝f(4)>f(1)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0.又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A．
5．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是____________________．
解析：由y＝x－2的图象关于y轴对称知，函数y＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，
所以或
或或
解得－14，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪∪(4，＋∞)
|题组突破|
1．(2019届福建龙岩新罗区期中)若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f(x)(　　)
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是单调递减函数
D．在定义域内有最小值
解析：选B　由幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象与坐标轴无交点，可得m2－m－1＝1，且m≤0，解得m＝－1，则函数f(x)＝x－1，是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B．
2．已知点在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，则t＋a＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选B　∵点在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，∴f＝(t－2)＝27，且t－2＝1，
解得t＝3，a＝－3，∴t＋a＝3－3＝0.故选B．
3．如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　)
A．2，，－，－2
B．2，，－2，－
C．－，－2，2，
D．－2，－，，2
解析：选A　根据幂函数y＝xn的性质及在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，递增速度越快，故曲线C1对应的n＝2，曲线C2对应的n＝；当n<0时，x→＋∞时，|n|越大，曲线递减速度越快，所以曲线C3对应的n＝－，曲线C4对应的n＝－2.故选A．
?名师点津
幂函数的图象与性质问题的解题策略
(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．
(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．
(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．
|题组突破|
4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④
B．①④
C．②③
D．①③
解析：选B　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0)
B．(－∞，－3]
C．[－2，0]
D．[－3，0]
解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件；
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上递减，知解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故选D．
6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0，3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3，0)
解析：选C　由已知得，解得b＝－4a，c＝3a，∴二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，∴其顶点的横坐标为2.故选C．
?名师点津
二次函数性质应用的求解策略
(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0.
(2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算．
【例】　设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
[解]　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1.
当－2当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，g(a)＝
|变式探究|
1．(变条件)若“y＝x2－ax，x∈[－2，2]”，问题不变．
解：∵对称轴x＝，∴①当≤－2，即a≤－4时，此时在[－2，2]上单调递增，故当x＝－2时，ymin＝g(－2)＝4＋2a.
②当≥2，即a≥4时，此时在[－2，2]上单调递减，∴当x＝2时，ymin＝g(2)＝4－2a.
③当－2<<2，即－4函数在x＝时取得最小值，即ymin＝g＝－.
综上，g(a)＝
2．(变条件)若“y＝ax2－2x，x∈[0，1]”，问题不变．
解：①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2；
②当a≠0时，有f(x)＝a－.
(ⅰ)当a>0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.∴f(x)min＝f＝－；当＞1，即0(ⅱ)当a<0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在[0，1]的左侧，∴f(x)在[0，1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，g(a)＝
?名师点津
求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－?[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－(3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时：
则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．
|跟踪训练|
求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．
解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
由题意得，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
①当－a<，即a>－时，
f(x)max＝f(2)＝4a＋5；
②当－a≥，即a≤－时，
f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝
【例】　设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．
[解析]　由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点时，m的取值范围为.
[答案]　
?名师点津
本题的关键是抓住“关联函数”的定义，充分利用二次函数图象结合数形结合思想去求解．
|跟踪训练|
(2019届江西红色七校第一次联考)定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a解析：由题意，知f′(x)＝x2－x在[0，m]上存在x1，x2(0则
答案：
PAGE第五节　指数与指数函数
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
　　指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算
‖知识梳理‖
1．根式的性质
(1)()n＝a(a使有意义)．
(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂的意义
(1)a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)．
(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a>0且a≠1)
图象
a>1
0性质,
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
单调递增
单调递减
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，00时，y>1
当x<0时，y>1；当x>0时，0?常用结论
(1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位长度后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)＝π－4.(　　)
(2)与()n都等于a(n∈N
)．(　　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.
(　　)
(5)若am>an，则m>n.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、走进教材
2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　)
A．1
B．2
C．
D．3
答案：C
3．(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)
A．y＝a(1＋p%)x(0B．y＝a(1＋p%)x(0C．y＝a(1＋xp%)(0D．y＝a(1＋xp%)(0答案：B
三、易错自纠
4．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9
B．7
C．－10
D．9
解析：选B　原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B．
5．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，
此时f(x)＝1－3＝－2，
故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，
∴0答案：(2，3)
|题组突破|
1．求值：＋2－2×－(0.01)0.5.
解：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
2．化简：a×b－2×(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
解：原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)
＝－ab
＝－·＝－.
3．化简：(a>0，b>0)．
解：原式＝
＝a－1b1－2＝ab－1＝.
?名师点津
【例1】　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
(2)已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有(　　)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．2－a<2c
D．1<2a＋2c<2
[解析]　(1)由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D；又当x＝0时，f(x)＝0，排除C．
(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为af(c)>f(b)，所以必有a<0，0|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1.故选D．
[答案]　(1)A　(2)D
?名师点津
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
|跟踪训练|
1．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A项错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，D项正确．故选D．
2．(2019届唐山模拟)当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0且a≠1)的图象有交点，则a的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，]
C．
D．
解析：选B　当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即1　　
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．
●命题角度一　比较指数式的大小
【例2】　(2019届大连模拟)设y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，则(　　)
A．y2>y1>y3
B．y3>y1>y2
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
[解析]　对于y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，∵y＝0.9x在R上是减函数，故有1>y1>y2.
∵y＝1.2x在R上是增函数，y3＝1.20.1>1.20＝1，
∴y3>y1>y2，故选B．
[答案]　B
?名师点津
比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．
●命题角度二　与指数函数有关的函数值域问题
【例3】　已知0≤x≤2，则y＝4x－3·2x＋5的最大值为________．
[解析]　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，∴当t＝1时，ymax＝.
[答案]　
?名师点津
形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0且a≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
●命题角度三　探究指数型函数的性质
【例4】　(1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
[解析]　(1)由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
[答案]　(1)B　(2)(－∞，4]
?名师点津
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．
|跟踪训练|
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．aC．bD．b解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b4．(2019届福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是______________．
解析：由题意知，当x>0时，f(x)单调递增，故f(x)>f(0)＝0，而x≤0时，x＝0，
故由f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0，
解得x>2或x<－.
答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)
【例】　设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
[解析]　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D．
[答案]　D
?名师点津
根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．
|跟踪训练|
(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f(x)的图象上；②点A，B关于坐标原点对称，则(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，(A，B)与(B，A)可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“姊妹点对”有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C　依题意知，“姊妹点对”(A，B)满足：点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于坐标原点对称．作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可．当x＝1时，0<<1，观察图象可得它们有2个交点，即f(x)的“姊妹点对”有2个，故选C．
PAGE第一节　函数及其表示
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
　　以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍将是2021年高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中等偏上难度.
1.数学抽象2.数学运算3.直观想象
‖知识梳理‖
函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．
(5)分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
?常用结论
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
二、走进教材
2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案：B
3．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2
B．y＝＋1
C．y＝＋1
D．y＝＋1
答案：B
三、易错自纠
4．(2019届深圳模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－2，1)
B．[－2，1]
C．(0，1)
D．(0，1]
解析：选C　由题意得解得05．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________．
解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；
若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.
答案：±1
6．(2019届江南十校联考)已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________．
解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.
∴f(x)＝.
答案：
|题组突破|
1．(2019届河南豫北名校联盟联考)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－1，0)∪(0，1]
B．(－1，1]
C．(－4，－1]
D．(－4，0)∪(0，1]
解析：选A　要使函数f(x)有意义，则解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A．
2．(2019届贵州遵义航天高级中学月考)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
解析：令t＝2x，则由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，可知f(t)中0≤t≤2.故要使函数f(2x)有意义，则0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为[0，1]．
所以函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1.
故函数g(x)的定义域是[0，1)．
答案：[0，1)
3．已知函数f(x)＝log2(ax2＋x＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：由条件知，ax2＋x＋1>0在R上恒成立，当a＝0时，x＋1>0不满足，故即a>.
答案：
?名师点津
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
【例1】　(1)若f＝－1，则f(x)＝________.
(2)若f(x)为有理函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则f(x)＝________．
(3)已知f(x)＋2f＝x＋1，则f(x)＝________．
[解析]　(1)解法一(配凑法)：
∵f＝－1＝
＝，
∴f(x)＝x(x－2)，即f(x)＝x2－2x(x≠1)．
解法二(换元法)：设＋1＝t，则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
(2)(待定系数法)∵f(x＋1)，f(x－1)与f(x)有相同的次数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，f(x)为有理函数，∴f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，
∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2ax2＋2bx＋2(a＋c)＝2x2－4x，
∴解得
∴f(x)＝x2－2x－1.
(3)(方程组法)用代替x，得到f＋2f(x)＝＋1.
①
又f(x)＋2f＝x＋1，
②
2×①－②得，3f(x)＝－x＋1，
∴f(x)＝－＋.
[答案]　(1)x2－2x(x≠1)　(2)x2－2x－1
(3)－＋
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|跟踪训练|
1．(2019届定州模拟)下列函数中，满足f(x2)＝[f(x)]2的是(　　)
A．f(x)＝ln
x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选C　对于函数f(x)＝x3，有f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以f(x2)＝[f(x)]2，故选C．
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：若－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
故f(x＋1)＝(x＋1)(1－x－1)＝－x(x＋1)．
因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝－.
答案：－
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．
常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．
●命题角度一　分段函数求值问题
【例2】　(2020届成都摸底)已知函数f(x)＝则f(－2)＋f(1)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意得f(－2)＋f(1)＝sin－2π＋＋(21＋1)＝sin＋3＝＋3＝，故选C．
[答案]　C
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分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
●命题角度二　分段函数的自变量求值问题
【例3】　(2019届山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)
A．－2
B．8
C．1
D．2
[解析]　讨论m的范围，分段代入求值．
当m≥2时，m2－1＝3，∴m＝2或m＝－2(舍)；
当0∴m＝2.故选D．
[答案]　D
?名师点津
分段函数的自变量求值问题常用分类讨论思想，讨论自变量与分段函数各段的定义区间的关系．
●命题角度三　分段函数与不等式问题
【例4】　(2019届湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析]　因为f(a)<1，所以或得－3[答案]　C
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解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．
|跟踪训练|
3．若f(x)＝是奇函数，则f[g(－2)]的值为(　　)
A．
B．－
C．1
D．－1
解析：选C　∵f(x)＝是奇函数，
∴当x<0时，g(x)＝－＋3，∴g(－2)＝－＋3＝－1，f[g(－2)]＝f(－1)＝g(－1)＝－＋3＝1.故选C．
4．已知函数f(x)＝若f[f(1)]>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f[f(1)]＝f(3)＝32＋6a，若f[f(1)]>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1答案：(－1，3)
【例】　(2019届滨州月考)对于具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．只有①
[解析]　(逐项验证法)对于①，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；
对于②，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；
对于③，f＝
满足f＝－f(x)，故③满足“倒负”变换，故选C．
[答案]　C
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求解函数新定义问题的思路
(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．
(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．
(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
|跟踪训练|
已知定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对?ε>0，?x0∈D，使得0<|f(x0)－c|<ε，则称函数y＝f(x)为“c敛函数”．给出下列函数：①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝2－x＋1(x∈Z)；③f(x)＝log2x；④f(x)＝1－x－1.
则其中是“1敛函数”的序号是(　　)
A．①②
B．③④
C．①②③
D．②③④
解析：选D　对于f(x)＝x(x∈Z)，对?ε>0，不会存在x∈Z，满足0<|x－1|<ε；
对于f(x)＝2－x＋1(x∈Z)，|f(x)－1|＝2－x，那么0<2－x<ε，存在x>logε满足题意；
对于f(x)＝log2x，|f(x)－1|＝|log2|，存在x＝21－满足题意；
对于f(x)＝1－x－1，|f(x)－1|＝x－1，存在x＝满足题意．
综上可知，②③④是“1敛函数”．故选D．
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