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第一节　不等关系与一元二次不等式
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
　　利用不等式的性质解题，高考中多以小题出现，题目难度不大；不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.
1.逻辑推理2.数学运算3.数据分析
‖知识梳理‖
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0?a>b.
(2)a－b＝0?a＝b.
(3)a－b<0?a2．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c.
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd.
(5)可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a>b>0?>(n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1?
?
?常用结论
1．由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?
2．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0?<.
(2)a<0(3)a>b>0，0.
(4)03．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则a>b.(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(6)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
二、走进教材
2．(必修5P74例1改编)若a>b>0，cA．>
B．<
C．>
D．<
答案：B
3．(必修5P103A2改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　)
A．(－2，3)
B．(－2，2)
C．(－2，2]
D．[－2，2]
答案：C
三、易错自纠
4．设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)
A．ac>bc
B．<
C．a2>b2
D．a3>b3
解析：选D　当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确；当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D．
5．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．
D．∪(1，＋∞)
解析：选C　①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．
②当m≠－1时，则解得m<－.
6．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________．
解析：由题意得Δ＝a2－16≥0，即a2≥16，
所以a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
|题组突破|
1．(2019届广东期末)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．<
B．>
C．a>b2
D．a2>2b
解析：选C　对于A，当a为正数，b为负数时，>，所以A错误；对于B，当a＝2，b＝时，<，所以B错误；对于C，因为1>b>－1?b2<1，且a>1，所以C正确；对于D，当a＝1.1，b＝0.8时，a2＝1.21，2b＝1.6，a2<2b，所以D错误．
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a3．若a＝，b＝，则a________(填“>”或“<”)b.
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89>1，所以b>a.
答案：<
4．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
答案：<
?名师点津
比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差?变形?判断差与0的大小?得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
|题组突破|
5．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为(　　)
A．{x|－2B．{x|x<－2或x>1}
C．{x|0D．{x|x<0或x>3}
解析：选C　由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0.
①
又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1由根与系数的关系得即
②
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
③
将②代入③得x2－3x<0，解得06．(2019届扬州中学调研)已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，所以a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
7．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解：原不等式可变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以a(x－1)<0.
所以当a>1时，解集为；
当a＝1时，解集为?；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为?；
当a>1时，不等式的解集为.
?名师点津
解一元二次不等式的一般步骤
[提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
——多维探究
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
●命题角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参
数的范围
【例1】　已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解]　要使不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
则函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立．
●命题角度二　形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围
【例2】　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立，
即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
解法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，
所以m<，则0当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，所以m<6，则m<0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
解法二：因为x2－x＋1＝＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.
●命题角度三　形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
【例3】　对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解]　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．
?名师点津
形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．
(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
[提醒]　解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．
|跟踪训练|
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)对于任意x∈[－2，2]，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ＝a2－4(3－a)≤0或②或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a<－6.
综上可知，实数a的取值范围为[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
要使当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－
]∪[－3＋，＋∞)．
【例】　(2017年天津卷)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．[－2，2]
D．
[解析]　作出函数f(x)的大致图象如图，若不等式f(x)≥在R上恒成立，则y＝f(x)的图象恒在y＝图象的上方(含交点)，当y＝＋a与y＝x＋在x>1相切时，a＝2；当y＝－－a与y＝x2－x＋3在x≤1相切时，x2－x＋3＝－－a，x2－x＋3＋a＝0有两个相等的根，则Δ＝－4(3＋a)＝0，解得a＝－，由图象可得a的取值范围是.
[答案]　A
?名师点津
解决不等式恒成立问题可结合图形求解．
|跟踪训练|
(2019年天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，e]
D．[1，e]
解析：选C　当x≤1时，此时f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a≥0恒成立，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，
所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立；
当a<1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，解得0≤a≤2，∴0≤a<1.
综上，a≥0.
当x>1时，此时f(x)＝x－aln
x≥0恒成立，
即a≤恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1e时，g′(x)>0，
∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.
综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．故选C．
PAGE第三节　基本不等式
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
　　本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.
1.数学运算2.逻辑推理3.数学建模
‖知识梳理‖
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
?常用结论
基本不等式的变形公式：
①a＋b≥2，ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)(a>0，b>0)．
②a＋≥2(a>0)(当且仅当a＝1时，等号成立)；a＋≤－2(a<0)(当且仅当a＝－1时，等号成立)．
③＋≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；＋≤－2(a，b异号，当且仅当a＝－b时，等号成立)．
④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立)．
⑤
≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立)．
⑥ab≤≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立)．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.
(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80
B．77
C．81
D．82
答案：C
3．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
答案：25
三、易错自纠
4．(2019届阜阳模拟)下列结论正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2
B．若x<0，则x＋≥－2
＝－4
C．若ab≠0，则＋≥a＋b
D．若x<0，则2x＋2－x>2
解析：选D　对于A，当ab<0时不成立，因此A选项不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－0，2－x>0，∴2x＋2－x>2＝2成立．故选D．
5．已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值是(　　)
A．3－2
B．3＋2
C．2
D．4
解析：选B　∵a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b＝(a＋2b)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝＋1，b＝1＋时取等号．故选B．
6．(2019届沈阳模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析：因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy.
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×，当且仅当x＝y时等号成立，即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2.
所以x＋y的最大值为2.
答案：2
——多维探究
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．
常见的命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；(3)通过消元法利用基本不等式求最值；(4)利用两次基本不等式求最值．
●命题角度一　通过配凑法利用基本不等式求最值
【例1】　(1)(2020届惠州调研)已知x＞，则函数y＝4x＋的最小值为________．
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
[解析]　(1)当x＞时，y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，即y＝4x＋的最小值为7.
(2)y＝
＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．
[答案]　(1)7　(2)2＋2
?名师点津
通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
●命题角度二　通过常数代换法利用基本不等式求最值
【例2】　(1)已知x>0，y>0，lg
2x＋lg
8y＝lg
2，则＋的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．2
(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
[解析]　(1)因为lg
2x＋lg
8y＝lg
2，所以lg(2x·8y)＝lg
2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.
因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y，即x＝，y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C．
(2)由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝＝＋＋≥＋2
＝.当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号．
[答案]　(1)C　(2)
?名师点津
通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
●命题角度三　通过消元法利用基本不等式求最值
【例3】　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________．
[解析]　由条件得，x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，0[答案]　4
?名师点津
消元法求最值多适用于三元变量问题，即通过条件消去其中一元，保留其他二元后通过变形、构造、创设使用基本不等式求最值．
●命题角度四　利用两次基本不等式求最值
【例4】　(2019年天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
[解析]　＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
[答案]　4
?名师点津
利用两次基本不等式求最值的注意点
当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
|跟踪训练|
1．(2019届常州调研)若实数x满足x>－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
解析：∵x>－4，∴x＋4>0，
∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2－4＝2，当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．
故函数f(x)＝x＋的最小值为2.
答案：2
2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．
解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0所以x＋2y＝x＋＝＋≥2
＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.
答案：
【例5】　(2019届孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120
km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解]　(1)当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4
900)＝[(x－65)2＋675]，∴当x＝65时，y有最小值，为×675＝9；当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10.因为9<10，所以该型号汽车的速度为65
km/h时，每小时耗油量最低．
(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50，80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80，120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10，因为10<16，所以当速度为120
km/h时，总耗油量最少．
?名师点津
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
|跟踪训练|
3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析：选B　若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是
元，仓储费用是
元，故总的费用是＋≥2
＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．故选B．
【例】　(2019届广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析]　由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当＝，即λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A．
[答案]　A
?名师点津
利用基本不等式求最值常与向量、三角、直线与圆、数列等知识交汇考查，求解时注意交汇知识运用及等号成立条件的确定．
|跟踪训练|
(2019届广东汕尾3月联考)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)
A．4
B．
C．
D．6
解析：选B　把圆的一般方程化成标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为(－1，2)．∵圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，∴a＋2b＝2(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)·＝×≥×5＋2＝.故选B．
PAGE第二节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
　　主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现．分值为5分.
1.直观想象2.数学运算
‖知识梳理‖
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组)
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数
关于变量x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规
划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
?常用结论
1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论
把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y(1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．
(2)若y2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，若b>0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b<0，则相反．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)
(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、走进教材
2．(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)
答案：B
3．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)
A．3，－3
B．2，－4
C．4，－2
D．4，－4
答案：C
三、易错自纠
4．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
解得A(1，1)，
易得B(0，4)，C，则|BC|＝4－＝.
所以S△ABC＝××1＝.
5．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析：选A作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a≤0时，直线y＝ax＋z在点(1，3)处不可能取得最大值；当a>0时，目标函数z＝y－ax要在(1，3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a>1，故选A．
|题组突破|
1．不等式组表示的平面区域的面积为(　　)
A．4
B．1
C．5
D．无穷大
解析：选B　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
2．(2019届漳州调研)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)
A．
B．2
C．－
D．－2
解析：选A　由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．
联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，将D代入mx－y＋m＋1＝0，解得m＝，故选A．
3．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选C　由不等式2x＋y<6得y<6－2x，又x>0，y>0，∴当x＝1时，0?名师点津
求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底和高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解，再求和即可．
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)求目标函数中的参数值或范围；(4)线性规划的实际应用．
●命题角度一　求线性目标函数的最值
【例1】　(2019年北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)
A．－7
B．1
C．5
D．7
[解析]　令z＝3x＋y，画出约束条件即或表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A(0，1)，B(－2，－1)，C(2，－1)，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C．
[答案]　C
?名师点津
求目标函数最值的3步骤
●命题角度二　求非线性目标函数的最值
【例2】　(1)(2019届四省八校联考)设x，y满足则z＝的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为________．
[解析]　(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示平面区域内的点M(x，y)与定点P(－1，0)连线的斜率的2倍．由解得点A，且当点M在点A时，z＝取得最大值＝.由解得点B，且当点M在点B时，z＝取得最小值＝1，所以z＝的取值范围是，故选C．
(2)x2＋y2表示可行域内的点与原点之间的距离的平方，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图象可知原点到直线AC的距离d就是可行域内的点与原点之间的距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，所以x2＋y2的最小值为18.
[答案]　(1)C　(2)18
?名师点津
常见的非线性目标函数
(1)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(2)斜率型：形如z＝.
●命题角度三　求目标函数中的参数值或范围
【例3】　设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝x＋ky(k>0)的最小值为13，则实数k＝(　　)
A．7
B．5或13
C．5或
D．13
[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A，B，由题意可知直线z＝x＋ky(k>0)过点A或B时，z取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或k＝.
[答案]　C
?名师点津
求解的关键在于抓住目标函数的斜率结合图形分析最值点的位置．
●命题角度四　线性规划的实际应用
【例4】　某共享汽车品牌在某市投放1
500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式．该市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A，B两种型号的宝马轿车，已知A，B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和1
000元/辆，根据要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A，B两种型号的轿车至少各租用1辆，则租车所需的租金最少为________元．
[解析]　设分别租用A，B两种型号的轿车x辆、y辆，所需的总租金为z元，则z＝600x＋1
000y，其中x，y满足不等式组作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋，由图可知，当直线y＝－x＋过点C时，目标函数z取得最小值．由解得C(5，1)，所以总租金z的最小值为600×5＋1
000×1＝4
000(元)．
[答案]　4
000
?名师点津
解答线性规划实际问题的3步骤
|跟踪训练|
1．(2019年天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)
A．2
B．3
C．5
D．6
解析：选C　画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由可得所以点A的坐标为(－1，1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.
2．已知实数x，y满足约束条件若z＝mx＋y(m>0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则m的值为(　　)
A．1
B．3
C．2
D．4
解析：选A　作出可行域如图中阴影部分所示，因为z＝mx＋y(m>0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，所以由图可知m＝1.故选A．
3．(2019届黄冈质检)设实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B　由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．易知A(2，0)，联立解得故B(2，6).的几何意义为可行域内的点与点P(－3，1)连线的斜率．因为kPA＝＝－，kPB＝＝1，数形结合知，的取值范围是.
【例】　(2020届惠州调研)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计π的值．如果统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意，120对正实数对(x，y)中的x，y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.若正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为－，则≈，≈，π≈，故选B．
[答案]　B
?名师点津
线性规划问题常与直线与圆、几何概型、平面向量、命题判断等知识交汇考查，综合性强，考查知识内容多，求解时一是要注意数形结合思想的运用，二是要注意逻辑推理与数学运算的培养．
|跟踪训练|
记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的值最大时，cos∠APB＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选D　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
要使∠APB最大，则∠OPA最大．因为sin∠OPA＝＝，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可．由图象可知当OP垂直直线4x＋3y－10＝0时，|OP|最小，此时|OP|＝＝＝2.
设∠APB＝α，则∠APO＝，即sin
＝＝，
所以cos
α＝1－2sin2＝1－2×＝1－＝，
即cos∠APB＝.故选D．
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