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第一节　集　合
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法、图示法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算.
　　集合的交、并、补运算以及两集合间的包含关系仍是2021年高考考查的热点，题型仍将为选择题，分值为5分.
1.数学抽象2.数学运算
‖知识梳理‖
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
　　表示关系　　
文字语言
符号语言
集合
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
间的
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B
基本关系
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
A?B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
空集
?常用结论
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集(除集合本身)，有2n－1个非空子集，有2n－2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n≥1)．
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
?常用结论
(1)A∩?＝?，A∪?＝A；
(2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?；
(3)A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(　　)
(3)若A?B，则A?B且A≠B．(　　)
(4)N
?N?Z.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、走进教材
2．(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P
B．{a}∈P
C．{a}?P
D．a?P
答案：D
3．(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
答案：64
三、易错自纠
4．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是　　(　　)
A．0?A
B．1?A
C．?A
D．3∈A
答案：D
5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2答案：{x|x≤1或x>2}
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是____________．
答案：0或1或－1
|题组突破|
1．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：选C　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
2．(2019届广东佛山模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．3
B．4
C．7
D．8
解析：选D　∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0，1，2}，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}，∴A∩B的子集个数为23＝8，故选D．
3．(2019届湖南长郡中学模拟)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则(　　)
A．M＝N
B．N?M
C．M＝?RN
D．(?RN)∩M＝?
解析：选C　∵由题意得y＝x－|x|＝∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝?RN.
4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4<0，解得－2②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不合题意；
④若1，2∈B，则12＋m＋1＝0，且22＋2m＋1＝0，无解．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)
?名师点津
1．判断两集合关系的3种常用方法
2．根据两集合的关系求参数的方法
[提醒]　题目中若有条件B?A，则应分B＝?和B≠?两种情况进行讨论．
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查考生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合的运算求参数．
●命题角度一　集合的基本运算
【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2(2)(2019年浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(?UA)∩B＝(　　)
A．{－1}
B．{0，1}
C．{－1，2，3}
D．{－1，0，1，3}
(3)(2020届石家庄调研)已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(?RB)＝(　　)
A．[2，3)
B．(2，3)
C．(3，＋∞)
D．(2，＋∞)
[解析]　(1)∵M＝{x|－4(2)∵?UA＝{－1，3}，
∴(?UA)∩B＝{－1，3}∩{－1，0，1}＝{－1}．故选A．
(3)∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴?RB＝(－3，3)．又A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，所以A∩(?RB)＝(2，3)，故选B．
[答案]　(1)C　(2)A　(3)B
?名师点津
集合基本运算的求解策略
求解思路
一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解
求解原则
一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解
求解思想
注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等
●命题角度二　利用集合的运算求参数
【例2】　(1)(2017年全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3}
B．{1，0}
C．{1，3}
D．{1，5}
(2)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0A．(0，1]
B．[1，＋∞)
C．(0，2]
D．[2，＋∞)
[解析]　(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，所以方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．
(2)A＝{x|log2x<1}＝{x|0[答案]　(1)C　(2)D
?名师点津
根据集合运算的结果确定参数的取值范围
解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．
解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn图进行求解．
|跟踪训练|
1．(2019年全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
解析：选A　因为A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{－1，0，1}，故选A．
2．(2020届陕西摸底)已知集合M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}，则M∪N＝(　　)
A．[2，3)
B．(3，5]
C．(－∞，5]
D．[2，＋∞)
解析：选D　因为M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}＝{x|2≤x≤5}，所以M∪N＝{x|x≥2}，故选D．
3．(2019届山东临沂第十九中学质量调研)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若A∪B＝A，则m＝(　　)
A．0或
B．1或
C．0或3
D．1或3
解析：选C　由A∪B＝A得，B?A，又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，故m＝3或m＝，解得m＝3，m＝0或m＝1(舍去)，故选C．
【例】　(1)(2019届北京人大附中月考)定义集合运算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1，}，B＝{－1，0}，则集合A★B的元素之和为(　　)
A．2
B．1
C．3
D．4
(2)(2019年全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
[解析]　(1)∵当时，z＝0；当或时，z＝1；当时，z＝2，
∴A★B＝{0，1，2}，∴集合A★B中所有元素之和为0＋1＋2＝3.故选C．
(2)由题意作出Venn图，得，
故该学校阅读过《西游记》的学生人数为70，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C．
[答案]　(1)C　(2)C
?名师点津
(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
(2)在解决与集合交集应用问题时，借助Venn图进行分析可帮助理解和转化．
|跟踪训练|
1．设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0解析：由已知A＝{x|0答案：{0}∪[2，＋∞)
2．50名学生报名参加A，B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数比同时报名参加两组的人数的多1人，则同时报名参加A，B两组的人数和两组都没有报名的人数分别为________、________.
解析：依题意易知，报名参加A，B两组的人数分别为30，33.如图，设报名参加A，B两项课外学科小组的学生分别组成集合A，B，A∩B的元素有x个，则由图知(30－x)＋x＋(33－x)＋＝50，可得x＝21，则x＋1＝8.
所以同时报名参加A，B两组的人数为21，两组都没有报名的人数为8.
答案：21　8
PAGE第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
　　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题或填空题，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学抽象
‖知识梳理‖
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
?常用结论
(1)真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假．
(2)“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”．
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．
?常用结论
(1)判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p(x)不成立即可．
(2)判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p(x)均不成立．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，﹁p(x0)
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，﹁p(x)
?常用结论
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)
(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．(　　)
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)
(5)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－1P26A3改编)命题“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A．?x0∈R，x＋x0≤0
B．?x0∈R，x＋x0<0
C．?x∈R，x2＋x≤0
D．?x∈R，x2＋x<0
答案：B
3．(选修2－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
三、易错自纠
4．命题“?x0≤0，x≥0”的否定是(　　)
A．?x≤0，x2<0
B．?x≤0，x2≥0
C．?x0>0，x>0
D．?x0<0，x≤0
答案：A
5．若命题“对?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________．
解析：“对?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4答案：(－4，0]
|题组突破|
1．(2019届福建质检)若命题p：?x0∈R，x>1－x，则命题p的否定为(　　)
A．?x∈R，x3<1－x2
B．?x∈R，x3≤1－x2
C．?x0∈R，x<1－x
D．?x0∈R，x≤1－x
解析：选B　该命题是特称命题，则命题的否定是“?x∈R，x3≤1－x2”，故选B．
2．(2019届西安质检)已知命题p：?x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，﹁p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B．
3．下列四个命题：
p1：对任意x∈R，都有2x>0；
p2：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0；
p3：对任意x∈R，都有sin
x<2x；
p4：存在x0∈R，使得cos
x0>x＋x0＋1.
其中的真命题是(　　)
A．p1，p2
B．p2，p3
C．p3，p4
D．p1，p4
解析：选D　由指数函数的性质可知，p1为真命题；
∵x2＋x＋1＝＋>0恒成立，∴p2为假命题；
∵sin＝1>2－，∴p3为假命题；∵当x＝－时，cos
x>cos
＝>＋＋1，∴p4为真命题．故选D．
?名师点津
全(特)称命题真假的判断方法
全称命题
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可
特称命题
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题
【例1】　(2019届山西八校联考)已知命题p：存在n0∈R，使得f(x)＝n0xeq
\a\vs4\al(n＋2n0)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q)
D．(﹁p)∧(﹁q)
[解析]　当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则﹁p是假命题；“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，﹁q是真命题．所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∧(﹁q)均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选C．
[答案]　C
?名师点津
判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤
(1)定结构：确定复合命题的构成形式．
(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性．
(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．
|跟踪训练|
已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．p∧(﹁q)
C．(﹁p)∧q
D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选C　因为01.20＝1，c＝log1.20.30，得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(﹁p)∧q为真命题，故选C．
——变式探究
【例2】　给定命题p：对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，若p∧q为真，则a的取值范围是________．
[解析]　当p为真命题时，对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0成立?a＝0或∴0≤a<4.
当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
所以当p∧q为真时，0≤a≤.
[答案]　
|变式探究|
1．若p∨q为真，问题不变．
解：由本例中知p∨q为真，分三种情况：
①p真q假；②p假q真；③p，q均为真，
即或或
∴a<4.
∴a的取值范围是(－∞，4)．
2．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，问题不变．
解：∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则有0≤a<4，且a>，
∴若p假q真，则有
∴a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
?名师点津
根据复合命题的真假求参数范围的步骤
(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；
(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；
(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．
【例】　(2019年全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：?(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9；命题q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题：①p∨q；②(﹁p)∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∧(﹁q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
[解析]　作出不等式组表示的平面区域D如图所示，由图形可知，
命题p：?(x0，y0)∈D，2x0＋y0≥9，是真命题，则﹁p是假命题；
命题q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12，是假命题，则﹁q是真命题；
所以由逻辑联结词构成的复合命题真假为：
①p∨q真；②(﹁p)∨q假；③p∧(﹁q)真；④(﹁p)∧(﹁q)假．
故①③为真命题．故选A．
[答案]　A
?名师点津
与复合命题有关的创新交汇问题的求解关键是准确判断交汇知识命题的真假．
|跟踪训练|
已知命题p：“a＝2”是“直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充要条件，命题q：“?n∈N
，f(n)∈N
且f(n)>2n”的否定是“?n0∈N
，f(n0)?N
且f(n0)≤2n0”，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q)
D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选D　由l1∥l2得，a(a－1)＝2且2(a2－1)≠－6(a－1)，解得a＝2或a＝－1，故“a＝2”是“直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行”的充分不必要条件，则p是假命题，﹁p是真命题；“?n∈N
，f(n)∈N
，且f(n)>2n”的否定是“?n0∈N
，f(n0)?N
或f(n0)≤2n0”，故q是假命题，﹁q是真命题．所以p∧q，(﹁p)∧q，p∧(﹁q)均为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为真命题，故选D．
PAGE第二节
充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．(　　)
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(5)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan
α≠1
B．若α＝，则tan
α≠1
C．若tan
α≠1，则α≠
D．若tan
α≠1，则α＝
答案：C
3．(选修2－1P8A2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为_______________________________________．
答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
三、易错自纠
4．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的____________条件．
答案：必要不充分
5．“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为____________________．
解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，结论：A，B都是锐角．
否命题是否定条件和结论，即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角
|题组突破|
1．(2019届长春质监)命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D　逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
2．(2019届广东中山一中统测)下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A　A的逆命题为“若x>|y|，则x>y”为真命题．
3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
?名师点津
四种命题的关系及真假判断
(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．
(2)命题真假的判断方法
①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明一个命题为假，只需举一反例．
②间接判断法：转化成等价命题，再判断．
【例1】　(1)(2019年浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2019年全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[解析]　(1)∵a>0，b>0，∴4≥a＋b≥2，
∴2≥，∴ab≤4，即a＋b≤4?ab≤4；
若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，但a＋b＝4＋>4，即ab≤4a＋b≤4，
∴“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．
(2)对于A，若α内有无数条直线与β平行，则α∩β或α∥β；
对于B，若α内有两条相交直线与β平行，则α∥β；
对于C，若α，β平行于同一条直线，则α∩β或α∥β；
对于D，若α，β垂直于同一平面，则α∩β或α∥β.故选B．
[答案]　(1)A　(2)B
?名师点津
充分必要条件的判断方法
利用定义判断
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么
从集合的角度判断
利用集合中包含思想判定，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围是解决充分性问题；大范围推得小范围是解决必要性问题，即可解决充分必要性的问题
利用等价转化法
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
|跟踪训练|
(2019年天津卷)设x∈R，则“0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵|x－1|<1，∴0∵0∴“0——变式探究
【例2】　(2019届济南月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围．
[解]　P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}，
要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
即{x|－2≤x≤10}＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
∴此时m不存在，即不存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件．
|变式探究|
1．本例条件若改为“x∈P是x∈S的必要条件”问题不变．
解：∵x∈P是x∈S的必要条件，
即x∈S?x∈P，∴S?P.
∴1－m>1＋m或
∴m≤3.
2．本例条件若改为“﹁P是﹁S的必要不充分条件”问题不变．
解：∵﹁P是﹁S的必要不充分条件，
∴S是P的必要不充分条件，
∴P是S的充分不必要条件．
∴P?S?
∴m≥9.
?名师点津
利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点
(1)关键点：合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．
(2)注意点：注意区间端点值的检验．
【例】　(1)(2019届合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2019年北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题，故p是q的充分条件；设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A．
(2)∵点A，B，C不共线，
∴“与的夹角为锐角”?“|＋|>||”，
且“|＋|>||”?“与的夹角为锐角”，
∴“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充要条件．故选C．
[答案]　(1)A　(2)C
?名师点津
解决与充要条件有关的应用交汇问题的关键是根据交汇知识，弄清充要关系进行判断，判断时注意方法灵活，可直接或验证判断．
|跟踪训练|
(2020届贵阳摸底)“m＝”是“直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　根据直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切知，圆心到直线的距离等于半径，则＝2，即(2m－1)2＝1＋m2，解得m＝0或m＝，所以“m＝”是“直线x－my＋4m－2＝0与圆x2＋y2＝4相切”的充分不必要条件．故选A．
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