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第一节　平面向量的概念及线性运算
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
　　平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.直观想象
‖知识梳理‖
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
?常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0?P为△ABC的重心．
3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
特别地，当A为线段BC中点时，＝＋.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(　　)
(2)＋＋＝.(　　)
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、走进教材
2．(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．所有正确命题的序号是(　　)
A．①
B．③
C．①③
D．①②
答案：A
3．(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋
等于(　　)
A．
B．2
C．3
D．4
答案：D
三、易错自纠
4．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)
A．共线
B．不共线
C．共线且同向
D．不一定共线
解析：选D　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，但m与k不共线，故A、B、C选项都不正确，故选D．
5．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A．a＝2b
B．a∥b
C．a＝－b
D．a⊥b
解析：选C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故选C．
6．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．c＝2b－a
B．c＝2a－b
C．c＝a－b
D．c＝b－a
解析：选D　依题意，得－＝2(－)，
∴＝－，即c＝b－a.
|题组突破|
1．下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b
D．若|a|＝0，则a＝0
解析：选C　对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，则a＝b不一定成立，故A不正确；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C．
2．给出下列命题：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(4)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：(1)不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.
(2)正确．若＝，则||＝||且∥.
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，
则ABDC且
与方向相同，因此＝.
(3)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．
∴a，c的长度相等且方向相同，∴a＝c.
(4)不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
答案：(2)(3)
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选D　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D．
?名师点津
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
●命题角度一　用已知向量表示未知向量
【例1】　(1)(2019届吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD中，＝3，则等于(　　)
A．－＋
B．－＋
C．－
D．－＋
(2)
如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a－b
B．a－b
C．a＋b
D．a＋b
[解析]　(1)如图，在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则＝，＝＝－，又＝3，∴＝－＝－＝，即＝－.故选D．
(2)连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
[答案]　(1)D　(2)D
●命题角度二　根据向量线性运算求参数
【例2】　如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上，且＝＋，则实数m的值为(　　)
A．1
B．
C．
D．
[解析]　由题意，得＝＋＝＋(－)＝m＋.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.由题意，得＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D．
[答案]　D
?名师点津
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
【例3】　设向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，∴，共线．又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究|
1．若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
解：＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，即ka＋b＝λa＋kλb，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．
?名师点津
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．例A，B，C三点共线?，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
|跟踪训练|
1．已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是(　　)
A．m＋n＝1
B．m＋n＝－1
C．mn＝1
D．mn＝－1
解析：选C　由A，B，D三点共线可设
＝λ(λ∈R)，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.
2．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为P是BN上一点，所以B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.
答案：
【例】　(2019届洛阳市第二次联考)在△ABC中，点D在线段BC上，且＝2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A．(0，1)
B．
C．
D．
[解析]　解法一：由题意，得＝x＋(1－x)＝x(－)＋，即－＝x(－)，∴＝x，∴＝x.∵＝2，∴＝3，则0解法二：由题意，可设＝λ，λ∈，则＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋λ＝x＋(1－x)，则x＝1－λ∈，故选C．
[答案]　C
?名师点津
与平面向量线性运算有关的范围问题：一是可利用数形分析，二是可建立目标函数转化为求值域．
|跟踪训练|
(2019届安徽、江南十校联考)已知扇形OAB的中心角为∠AOB＝90°，半径为2，C是其弧上一点，若＝λ＋μ，则λμ的最大值为________．
解析：因为∠AOB＝90°，扇形OAB的半径为2，C为其弧上一点，所以以O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则A(2，0)，B(0，2)．因为＝λ＋μ，所以＝(2λ，2μ)，且||＝2，则(2λ)2＋(2μ)2＝4，即λ2＋μ2＝1，故λμ≤＝，当且仅当λ＝μ＝时，等号成立．故λμ的最大值为.
答案：
PAGE第三节　平面向量的数量积及应用举例
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
　　平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|cos
θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
2.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直
?常用结论
两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝eq
\r(x＋y)
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
?常用结论
平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
二、走进教材
2．(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________．
答案：1
三、易错自纠
4．给出下列说法：
①向量b在向量a方向上的投影是向量；
②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；
③(a·b)c＝a(b·c)；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中正确的说法有________个．
答案：0
5．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________．
解析：由题意，得＝(2，1)，＝(5，5)．由定义知，在方向上的投影为＝＝.
答案：
6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝________．
解析：当a，b的夹角为0°时，a·b＝15；当a，b的夹角为180°时，a·b＝－15.
答案：15或－15
|题组突破|
1．(2019年全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：选C　因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．
2．(2020届陕西摸底)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则(a－b)·b＝(　　)
A．－16
B．－13
C．－12
D．－10
解析：选C　(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cos
60°－|b|2＝2×4×－42＝－12.故选C．
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
解析：解法一(几何法)：因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos
，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos
＝12.
解法二(坐标法)：如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
答案：12
?名师点津
求非零向量a，b的数量积的3种方法
直接法
若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算
几何法
根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解
坐标法
若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解
常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．
●命题角度一　平面向量的模
【例1】　(1)(2019届昆明调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　)
A．
B．2
C．
D．10
(2)(2019届长春质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．
[解析]　(1)∵a＝(－1，2)，∴2a＝(－2，4)．∵b＝(1，3)，∴2a－b＝(－3，1)，∴|2a－b|＝，故选C．
(2)由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos
＋2×1×3×cos
＋2×1×3×cos
＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
●命题角度二　平面向量的夹角
【例2】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)(2019年全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
[解析]　(1)设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a||b|cos
α＝|b|2.
又|a|＝2|b|，∴cos
α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B．
(2)由题意可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.
[答案]　(1)B　(2)
●命题角度三　平面向量的垂直
【例3】　(1)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
(2)(2020届四川五校联考)已知a＝(2，－1)，b＝(λ，1)，若a⊥b，则λ＝________．
[解析]　(1)由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C．
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即2×λ＋(－1)×1＝0，解得λ＝.
[答案]　(1)C　(2)
?名师点津
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos
θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
|跟踪训练|
1．(2019年全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A．
B．2
C．5
D．50
解析：选A　依题意得a－b＝(－1，1)，∴|a－b|＝＝，故选A．
2．(2019年北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
答案：8
3．(2019年全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________．
解析：cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
平面向量的数量积常与最值、范围问题相结合创新考点．该类题目能力要求较高，难度大，有一定的综合性．
【例】　(1)(2019届武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)
A．1＋
B．1－
C．－1
D．1
(2)如图，在平面四边形ABCD中，|＋|＝|－|，＝2，＝－2，||＝||＝2，若F为线段DE上的动点，则·的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．4
D．3
[解析]　(1)如图，作出，使得＋＝.∵⊥，∴·＝0，∴(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·.由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A．
(2)由|＋|＝|－|，得AB⊥BC．由＝2，得BC∥AD，则AD⊥AB．又＝－2，||＝||＝2，所以AB＝3，BC＝BE＝2，AD＝AE＝1.以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，C(2，0)，B(0，0)，D(1，3)，E(0，2)，所以DE所在的直线方程为y＝x＋2.设F(x，y)(0≤x≤1)，则＝(x，y)，＝(x－2，y)，所以·＝x(x－2)＋y2＝x2－2x＋(x＋2)2＝2x2＋2x＋4.因为0≤x≤1，所以当x＝0时，·取得最小值4.故选C．
[答案]　(1)A　(2)C
?名师点津
平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
|跟踪训练|
在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．由题意可设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0∴＝(a，2－a)，＝(a＋1，1－a)，
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)
＝2a2－2a＋2＝2＋.
∵0∴·∈.
答案：
PAGE第二节　平面向量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
　　平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.逻辑推理
‖知识梳理‖
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝
eq
\r(x＋y)．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．
?常用结论
1．能作为基底的两个向量必须是不共线的．
2．向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标为终点坐标减去起点坐标，故平移后向量的坐标不变．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为一组基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
答案：B
3．(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2)
B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1)
D．(2，2)或(3，1)
答案：A
三、易错自纠
4．(2019届安徽示范性高中二模)△ABC内一点O满足＋2＋3＝0，直线AO交BC于点D，则(　　)
A．2＋3＝0
B．3＋2＝0
C．－5＝0
D．5＋＝0
解析：选A　因为△ABC内一点O满足＋2＋3＝0，直线AO交BC于点D，
所以＋＋＝0.
令＝＋，则＋＝0，
所以B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，所以D，E重合．
所以＋5＝0，所以2＋3＝2－2＋3－3＝－－5＝0.故选A．
5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：∵＝－＝(－3，2)，
∴＝2＝(－6，4)．
∵＝＋＝(－2，7)，
∴＝3＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
6.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析：由题意，得＝(＋)＝＋.
因为M，O，N三点共线，
所以＋＝1.
所以m＋n＝2.
答案：2
|题组突破|
1．(2020届惠州调研)
在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)
A．＋
B．－－
C．－
D．－＋
解析：选C　解法一：因为E是DC的中点，所以＝＝.因为F是BC的中点，所以＝＝－，所以＝＋＝－，故选C．
解法二：如图，连接BD，因为E，F分别是DC，BC的中点，所以＝＝(－)＝－，故选C．
2．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于点K.若＝2，＝3，＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)
A．2
B．
C．3
D．5
解析：选D　∵＝2，＝3，＝λ，∴＝＝(＋)＝(2＋3)＝＋.∵E，F，K三点共线，∴＋＝1，∴λ＝5.故选D．
3.如图，已知在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．
解析：选B　依题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝＋＝＋＝－＋＝－＋＋＝－.∵＝m＋n，∴m＝，n＝－，∴m＋n＝－＝－.故选B．
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用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
|题组突破|
4．(2019届福建模拟)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于(　　)
A．(5，7)
B．(5，9)
C．(3，7)
D．(3，9)
解析：选D　2a＋b＝2×(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D．
5．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A　如图所示，建立平面直角坐标系xOy，
则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．
因为＝λ＋μ，
所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，
所以解得
所以λ＋μ＝2.故选A．
6．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12)
B．(23，12)
C．(7，0)
D．(－7，0)
解析：选A　由题意，得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，
所以解得所以c＝(－23，－12)．
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1．向量坐标运算的策略
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．
(3)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
2．向量问题坐标化
当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．
●命题角度一　利用两向量共线求参数
【例1】　(2018年全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
[解析]　因为2a＋b＝(4，2)，又c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
[答案]　
●命题角度二　利用两向量共线求坐标
【例2】　已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2，4)．
[答案]　(2，4)
●命题角度三　三点共线问题
【例3】　已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－
B．
C．
D．
[解析]　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以和共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
[答案]　A
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1．向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a∥b?a＝λb(b≠0)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)．
2．两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
|跟踪训练|
1．设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：选B　由向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.
2．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，
得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
平面向量基本定理及坐标运算常与最值范围创新考查，该类题型命题角度新颖，综合能力强，多为选择、填空的压轴题．
【例】　(2019届重庆一中月考)给定两个单位向量，，且·＝－，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，＝x＋y，则x－y的最小值为(　　)
A．－
B．－1
C．－2
D．0
[解析]　由单位向量，，且·＝－，得∠AOB＝.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(1，0)，B，即B.设∠AOC＝α，
则＝(cos
α，sin
α)．
因为＝x＋y，所以
所以所以x－y＝(cos
α＋sin
α)－2sin
α＝cos
α＋sin
α＝2sin.
因为0≤α≤，所以≤α＋≤，
所以sin∈，
所以x－y∈[－1，2]，
所以x－y的最小值为－1，故选B．
[答案]　B
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解决平面向量基本定理及坐标运算与最值范围的创新问题的2种方法
(1)临界分析法：即充分利用平面向量的几何定义，结合图形，临界分析，多用到共线问题．
(2)坐标法：即数形结合，建立恰当的坐标系后，寻求所求量的目标函数，转化为函数的最值问题．
|跟踪训练|
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.点C在以点O为圆心的圆弧上移动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．3
B．4
C．2
D．8
解析：选C　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos
120°，sin
120°)，即B.设∠AOC＝α，则＝(cos
α，sin
α)．∵＝x＋y＝(x，0)＋＝(cos
α，sin
α)，
∴∴
∴x＋y＝sin
α＋cos
α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°，
∴当α＝60°时，x＋y有最大值2，故选C．
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