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第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解任意角的概念.2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
　　任意角三角函数的定义及应用是2021年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为5分.
1.数学运算2.数学建模
‖知识梳理‖
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝
rad≈0.017
45
rad，1
rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin
α
x叫做α的余弦，记作cos
α
叫做α的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线
?常用结论
(1)若α∈，则tan
α>α>sin
α.
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan
α>sin
α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin
α＋cos
α>1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
二、走进教材
2．(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos
α＝－，则m的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
答案：A
3．(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为____________．
答案：{－675°，－315°}
三、易错自纠
4．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：D
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)
A．
B．
C．
D．2
解析：选C　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，∴α＝.故选C．
6．角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sin
α＋cos
α＝________．
解析：设α终边上任一点为P(－4a，3a)，
当a>0时，r＝5a，sin
α＝，cos
α＝－；
当a<0时，r＝－5a，sin
α＝－，cos
α＝.
故sin
α＋cos
α＝或－.
答案：±
|题组突破|
1．若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
解析：选C　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
∴是第一或第三象限角．故选C．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合选项知选C．
3．与－2
010°终边相同的最小正角是________．
解析：因为－2
010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2
010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2
010°终边相同，故与－2
010°终边相同的最小正角是150°.
答案：150°
?名师点津
1．判断象限角的2种方法
图象法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2.确定kα，(k∈N
)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置．
|题组突破|
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2
B．sin
2
C．
D．2sin
1
解析：选C　如图，由题意，得∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D，则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，
AO＝＝，
即r＝，
从而的长为l＝α·r＝.
5．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形圆心角的弧度数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　设扇形的半径为r，圆心角为α，根据扇形面积公式S＝lr，得6＝×6×r，
∴r＝2.
又扇形弧长公式l＝r·α，
∴α＝＝3.故选C．
6．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选C　设扇形的半径为r(r>0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得，2＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，所以l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
?名师点津
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
三角函数的定义是考查热点，常见的命题角度有：
(1)利用三角函数的定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线比较大小或解不等式．
●命题角度一　利用三角函数的定义求值
【例1】　(1)(2019届南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin
2，－2cos
2)，则sin
α等于(　　)
A．sin
2
B．－sin
2
C．cos
2
D．－cos
2
(2)(2019届许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝________．
[解析]　(1)因为r＝＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin
α＝＝－cos
2.
(2)因为α是第二象限角，
所以cos
α＝x<0，即x<0.
又cos
α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan
α＝＝－.
[答案]　(1)D　(2)－
?名师点津
定义法求三角函数值的三种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
●命题角度二　判断三角函数值的符号
【例2】　(1)sin
2·cos
3·tan
4的值(　　)
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
(2)若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　(1)因为<2<3<π<4<，
所以sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
所以sin
2·cos
3·tan
4<0，故选A．
(2)由sin
αtan
α<0，可知sin
α，tan
α异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由<0，可知cos
α，tan
α异号，
则α为第三象限角或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角.
[答案]　(1)A　(2)C
?名师点津
三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin
α，cos
α，tan
α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
●命题角度三　利用三角函数线比较大小或解不等式
【例3】　sin
1，cos
1，tan
1的大小关系是(　　)
A．sin
111
B．tan
111
C．cos
111
D．cos
111
[解析]　如图，单位圆中∠MOP＝1
rad>
rad，因为OM<111.故选D．
[答案]　D
?名师点津
利用单位圆解三角不等式(组)或比较大小的一般步骤
(1)用边界值定出角的终边位置．
(2)根据不等式(组)定出角的范围．
(3)求交集，找单位圆中公共的部分．
(4)写出角的表达式．
|跟踪训练|
1．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A．(1，)
B．(，1)
C．(，)
D．(1，1)
解析：选D　设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即
故点P的坐标为(1，1)．
2．满足cos
α≤－的角α的集合为_____________________．
解析：作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z.
答案：
【例】　如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
[解析]　因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－.
因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，
因此d＝2.
令t＝0，则d＝2＝.
当t＝时，d＝0，故选C．
[答案]　C
?名师点津
紧扣三角函数定义，利用时间t的特殊值判断结果．
|跟踪训练|
已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　　)
A．[－2，2]
B．[－，
]
C．[－1，1]
D．
解析：选C　设由x轴正方向逆时针转到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cos
α，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cos
α－sin(α＋30°)＝－sin
α＋cos
α＝sin(α＋150°)∈[－1，1]．
PAGE第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
　　y＝Asin(ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.直观想象3.数学建模4.逻辑推理
‖知识梳理‖
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
?常用结论
由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口．具体如下：
“第一点”为ωx＋φ＝0；“第二点”为ωx＋φ＝；“第三点”为ωx＋φ＝π；“第四点”为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3．三角函数图象变换的两种方法(ω>0)
?常用结论
(1)由y＝sin
ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)把y＝sin
x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)
(2)将y＝sin
2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、走进教材
2．(必修4P56T3改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π，
B．2，，
C．2，，－
D．2，4π，－
答案：C
3．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个余弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________．
答案：y＝6－cos
x
三、易错自纠
4．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，
B．2，，
C．2，，
D．2，，－
解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
5．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin
2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A　函数y＝2sin＝2sin
2x－，可由函数y＝2sin
2x的图象向右平移个单位长度得到．
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．
解析：由图可知，T＝π，则T＝.所以ω＝＝3.
答案：3
|题组突破|
1．(2019年天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)
A．－2
B．－
C．
D．2
解析：选C　由f(x)为奇函数可得，φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以f(x)＝Asin
ωx，所以g(x)＝Asin
ωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，所以g(x)＝Asin
x．又g＝Asin
＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin
2x，故f＝2sin
＝.
2．已知函数f(x)＝4cos
xsin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)∵f(x)＝4cos
xsin＋a
＝4cos
x＋a
＝sin
2x＋2cos2x＋a
＝sin
2x＋cos
2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
画图如下：
?名师点津
用“五点法”作图的注意点
(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
(2)求出周期T＝.
(3)求出振幅A.
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．
【例1】　(1)(2019届广东佛山第一中学模拟)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为(　　)
A．y＝10sin＋20，x∈[6，14]
B．y＝10sin＋20，x∈[6，14]
C．y＝10sin＋20，x∈[6，14]
D．y＝10sin＋20，x∈[6，14]
(2)(2020届大同调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为(　　)
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
[解析]　(1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，
∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.
又知T＝，ω>0，
∴ω＝＝，
∴y＝10sin＋20.
又知该函数图象经过点(6，10)，
∴10＝10sin＋20，即sin＝－1.
又∵|φ|<π，∴φ＝π.
故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]，故选A．
(2)记y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T，由题图可知＝－＝，解得T＝π，由T＝＝π，得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ)．由函数图象过点，得2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝－，故选A．
[答案]　(1)A　(2)A
?名师点津
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
|跟踪训练|
1．(2019届江西吉安五校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin
2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A　不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，又知＝π－＝，得T＝π，
又∵T＝，ω>0，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又知函数图象经过点，
sin＝－1，
∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又∵|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin，故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝sin
2x的图象，故选A．
【例2】　(2019届山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin
2x－cos
2x的图象经过怎样的平移变换得到；
(3)若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
[解]　(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又∵f＝2，∴sin＝1，
∵|φ|<，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin
2x－cos
2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin
2x－cos
2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象．
(3)当－≤x≤0时，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在x∈上有2个交点，结合图形，易知－2故m的取值范围为(－2，－]．
?名师点津
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin
x＋bcos
x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
|跟踪训练|
2.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得，f(0)＝，所以cos
φ＝.
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知，1故<πx0＋<，
由f(x0)＝，得cos＝，
所以πx0＋＝，则x0＝.
(2)由(1)得，f(x)＝cos，因为f＝cos＝cos＝－sin
πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin
πx
＝cos
πxcos－sin
πxsin－sin
πx
＝cos
πx－sin
πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
【例】　(2019年全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在上单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
[解析]　如图，根据题意知，xA≤2π[答案]　D
?名师点津
本题通过三角函数的图象性质与零点，极值点交汇考查数形结合思想及逻辑推理能力．
|跟踪训练|
(2019届长春市第二次质量监测)定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω>0)有零点，且值域M?－，＋∞，则ω的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝
sin在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－，ω≥.因为值域M?，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.故选C．
PAGE第四节　三角函数的图象与性质
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.能画出y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
　　三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性都将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.逻辑推理3.直观想象
‖知识梳理‖
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
x≠kπ＋，k∈Z﹜
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在，(k∈Z)上增；在，(k∈Z)上减
在[2kπ，2kπ＋](k∈Z)上减；在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上增
在，(k∈Z)上增
对称中心
(kπ，0)
(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
无
?常用结论
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把(ωx＋φ)看作一个整体，代入y＝sin
t的相应单调区间求解．
(3)函数y＝sin
x与y＝cos
x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos
x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
(4)对于y＝tan
x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)y＝sin
x在第一、第四象限是增函数．(　　)
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　　)
(3)正切函数y＝tan
x在定义域内是增函数．(　　)
(4)已知y＝ksin
x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
(6)若sin
x>，则x>.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×
二、走进教材
2．(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin
2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
答案：A
3．(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
答案：，k∈Z
三、易错自纠
4．已知函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是(　　)
A．
B．
C．π
D．
解析：选A　画出函数y＝sin
x的草图分析知，b－a的取值范围为.
5．函数y＝sin的单调递减区间为____________．
解析：函数y＝sin＝－sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为kπ－，kπ＋，k∈Z.
答案：，k∈Z
6．函数y＝sin的图象的对称轴为____________，对称中心为____________．
解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；
由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
故函数y＝sin的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z.
答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
|题组突破|
1．函数y＝的定义域为______________．
解析：要使函数有意义，必须使sin
x－cos
x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin
x和y＝cos
x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin
x＝cos
x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
答案：(k∈Z)
2．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
解析：当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.
答案：
3．(2019年全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos
x的最小值为________．
解析：∵f(x)＝sin－3cos
x
＝－cos
2x－3cos
x
＝－2cos2x－3cos
x＋1，
令t＝cos
x，则t∈[－1，1]，
∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.
答案：－4
4．函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域为________．
解析：设t＝sin
x－cos
x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin
xcos
x，则sin
xcos
x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
答案：
?名师点津
求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
【例1】　(1)函数f(x)＝sin
2xsin
－cos
2xcos
在上的单调递增区间为________．
(2)函数y＝|tan
x|在上的单调减区间为______________．
(3)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
[解析]　(1)(整体代入法)依题意，得f(x)＝sin
2xsin
＋cos
2xcos
＝cos.
当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数．因此函数f(x)在上的单调递增区间是.
(2)(图象法)如图，观察图象可知，y＝|tan
x|在上的单调减区间为和.
(3)解法一：由题意，可知f(x)在上单调递减，则0，得＋<ωx＋<ωπ＋，由正弦函数的单调性知函数在上单调递减，所以解得≤ω≤，所以ω∈.
解法二：由已知＝≥，所以0<ω≤2.又[答案]　(1)　(2)和　(3)
?名师点津
三角函数单调性问题的解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：选B　由kπ－<2x－所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为－，＋(k∈Z)，故选B．
2．若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析：∵f(x)＝sin
ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin
ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin
ωx是减函数．
由f(x)＝sin
ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减，知＝，∴ω＝.
答案：
——多维探究
三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．
常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的奇偶性；(3)三角函数的对称性；(4)三角函数性质的综合应用．
●命题角度一　三角函数的周期性
【例2】　在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos
x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
[解析]　①y＝cos|2x|＝cos
2x，最小正周期为π；
②由图象知，y＝|cos
x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A．
[答案]　A
●命题角度二　三角函数的奇偶性
【例3】　(2019届抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．
[解析]　∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．
[答案]　
●命题角度三　三角函数的对称性
【例4】　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
(2)(2018年江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
[解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)．
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
(2)由题意得，f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
[答案]　(1)B　(2)－
●命题角度四　三角函数性质的综合应用
【例5】　(2019年全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
[解析]　解法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当x＋sin
x＝2sin
x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确，④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C．
解法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当x＋sin
x＝2sin
x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin|x|与y＝|sin
x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C．
[答案]　C
?名师点津
三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为求解．
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．
|跟踪训练|
3．(2018年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝cos
2x＋，则f(x)的最小正周期为π.当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B．
4．(2019年全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos
2x|
B．f(x)＝|sin
2x|
C．f(x)＝cos|x|
D．f(x)＝sin|x|
解析：选A　A中，函数f(x)＝|cos
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin
2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos
x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A．
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　由题意得，3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.故选A．
【例】　(2019年全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2
B．
C．1
D．
[解析]　依题意得，函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2，故选A．
[答案]　A
?名师点津
通过极值点分析问题转化为三角函数周期可快速求解．
|跟踪训练|
(2019届武汉市高三二调)函数f(x)＝2sinωx＋(ω>0)的图象在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为(　　)
A．[2π，4π]
B．
C．
D．
解析：选C　由函数f(x)在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋∈，则≤ω<.故选C．
PAGE第二课时　简单的三角恒等变换
|题组突破|
1.·等于(　　)
A．－sin
α
B．－cos
α
C．sin
α
D．cos
α
解析：选D　原式＝
＝＝cos
α.
2．化简：＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝cos
2x.
答案：cos
2x
3．化简：(0<α<π)＝________．
解析：原式＝
＝
＝.
因为0<α<π，
所以0<<，
所以cos
>0，
所以原式＝cos
α.
答案：cos
α
?名师点津
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
●命题角度一　给角求值
【例1】　[2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]·＝________．
[解析]　原式＝·sin
80°＝·cos
10°＝2[sin
50°cos
10°＋sin
10°cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
[答案]　
●命题角度二　给值求值
【例2】　已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin
2α的值；
(2)求tan
α－的值．
[解]　(1)因为coscos
＝cossin
＝sin＝－，
所以sin＝－.
因为α∈，所以2α＋∈，
则2α＋＝π，
2α＝π，
所以sin
2α＝.
(2)因为α∈，所以2α∈.
又由(1)知，sin
2α＝，所以cos
2α＝－.
所以tan
α－＝－＝
＝＝－2×＝2.
●命题角度三　给值求角
【例3】　(2019届成都一诊)若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A．
B．
C．或
D．或
[解析]　因为α∈，所以2α∈，
又sin
2α＝，所以2α∈，α∈，
故cos
2α＝－.
又β∈，所以β－α∈，
故cos(β－α)＝－.
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos
2αcos(β－α)－sin
2αsin(β－α)
＝－×－×＝.
又α＋β∈，故α＋β＝.
[答案]　A
?名师点津
三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值．求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
|跟踪训练|
1.的值是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　原式＝
＝
＝＝.
2．(2019届南充模拟)已知α∈，β∈，且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝________．
解析：因为α∈，β∈，所以α＋β∈(0，π)．
又cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝＝，sin(α＋β)＝
＝，
则sin
β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
因为β∈，所以β＝.
答案：
【例】　已知函数f(x)＝sin
x－cos
x＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cos
α)，b＝，0<α<，且a·b＝.
(1)求f(x)在区间上的最值；
(2)求的值．
[解]　(1)f(x)＝sin
x－cos
x＋2＝2sin＋2，
∵x∈，
∴x－∈，则sin∈[0，1]，
∴f(x)的最大值是4，最小值是2.
(2)由题意及(1)知，β＝2π，
∴a·b＝2＋cos
αtan(α＋π)＝2＋sin
α＝，
∴sin
α＝，
∴＝
＝2cos
α＝2＝.
?名师点津
向量与三角函数综合问题的特点与解题思路
以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题或三角函数求值问题．有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法．
|跟踪训练|
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
解：(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x
＝cos
2xsin
2x＋cos
4x
＝(sin
4x＋cos
4x)
＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，∴sin＝1.
又α∈(0，π)，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
PAGE第三节　简单的三角恒等变换
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，能导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
　　两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算；2.逻辑推理
‖知识梳理‖
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β．
(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．
(3)tan(α＋β)＝
2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
αcos
β－cos
αsin
β＝sin(α－β)．
(2)cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝cos(α－β)．
(3)＝tan(α－β)．
3．二倍角公式
(1)sin
2α＝2sin_αcos_α．
(2)cos
2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α．
(3)tan
2α＝．
4．常用公式的变化形式
(1)asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)，
其中cos
φ＝，sin
φ＝
或asin
x＋bcos
x＝cos(x－θ)，
其中cos
θ＝，sin
θ＝．
(2)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)．
(3)＝tan.
(4)＝tan.
?常用结论
用tan
α表示sin
2α与cos
2α
sin
2α＝2sin
αcos
α＝＝；cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos
80°cos
20°－sin
80°sin
20°＝cos(80°－20°)＝cos
60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
α
tan
β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan
2α＝2tan
α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(必修4P127T2改编)若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－
B．
C．－
D．
答案：C
3．(必修4P146A4(2)改编)tan
20°＋tan
40°＋tan
20°·tan
40°＝________．
答案：
三、易错自纠
4．(2019届唐山市高三摸底考试)cos
105°－cos
15°＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D　解法一：cos
105°－cos
15°＝cos(60°＋45°)－cos(60°－45°)＝－2sin
60°sin
45°＝－2××＝－，故选D．
解法二：由题意，可知cos
105°－cos
15°＝－sin
15°－cos
15°＝－(sin
15°＋cos
15°)＝－sin(45°＋15°)＝－sin
60°＝－，故选D．
5．已知cos＝－，则sin的值为(　　)
A．
B．
C．±
D．±
解析：选C　因为cos＝cos＝，所以sin2＝＝1－＝，从而求得sin的值为±，故选C．
6．已知cos
θ＝－，<θ<3π，那么sin
＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D　∵<θ<3π，∴<<.
∴sin
＝－＝－＝－.故选D．
第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
|题组突破|
1．(2019年全国卷Ⅰ)tan
255°＝(　　)
A．－2－
B．－2＋
C．2－
D．2＋
解析：选D　由正切函数的周期性可知，tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(30°＋45°)＝＝2＋，故选D．
2．已知sin
α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－
B．
C．
D．－
解析：选A　因为sin
α＝，α∈，
所以cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan
β，所以tan
β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.故选A．
3．已知sin
α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选D　由题意得，cos
α＝－，
则sin
2α＝－，cos
2α＝2cos2α－1＝.
∴tan
2α＝－，∴tan＝＝＝－.故选D．
4．(2019届太原模拟)若cos＝－，则cos＋cos
α＝(　　)
A．－
B．±
C．－1
D．±1
解析：选C　cos＋cos
α＝cos
α＋sin
α＋cos
α＝cos＝－1，故选C．
?名师点津
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值
.
【例1】　(1)(2019届西安模拟)已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A．
B．－
C．
D．
(2)在△ABC中，若tan
Atan
B＝tan
A＋tan
B＋1，则cos
C＝________．
(3)＝________．
[解析]　(1)cos2＝
＝，
∵sin
2α＝，∴cos2＝＝.
(2)由tan
Atan
B＝tan
A＋tan
B＋1，
可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，
则C＝，cos
C＝.
(3)＝
＝＝＝.
[答案]　(1)A　(2)　(3)
?名师点津
两角和、差及倍角公式的逆用和变形的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin
αsin
β＋cos(α＋β)＝cos
αcos
β，
cos
αsin
β＋sin(α－β)＝sin
αcos
β，
tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[提醒]　tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
|跟踪训练|
1．若＝－，则cos
α＋sin
α的值为(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：选C　因为＝
＝－(sin
α＋cos
α)＝－，
所以cos
α＋sin
α＝.故选C．
2．(2018年全国卷Ⅱ)已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________．
解析：因为sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin
αcos
β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos
αsin
β＝0，②
①②两式相加，得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin
α·cos
β＋cos
αsin
β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.
答案：－
【例2】　(1)已知sin
2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－2
B．－1
C．－
D．
(2)(2019年江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．
[解析]　(1)因为sin
2α＝，2α∈，
所以cos
2α＝－，
所以tan
2α＝－，
tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
(2)解法一：＝＝－，解得tan
α＝2或tan
α＝－，当tan
α＝2时，
sin
2α＝＝＝，cos
2α＝＝＝－，此时sin
2α＋cos
2α＝，同理当tan
α＝－时，sin
2α＝－，cos
2α＝，此时sin
2α＋cos
2α＝，所以sin＝(sin
2α＋cos
2α)＝.
解法二：＝＝－，则sin
αcos＝－cos
αsin，又＝sinα＋－α＝sincos
α－cossin
α＝sinα＋cos
α，则sincos
α＝，则sin＝sin＝sincos
α＋cossin
α＝sincos
α＝×＝.
[答案]　(1)A　(2)
?名师点津
角的变换技巧
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
|跟踪训练|
3．(2019届深圳调研)若α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，则cos
β＝(　　)
A．
B．
C．或－
D．或
解析：选A　∵α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，∴sin
α＝，cos(α－β)＝，从而cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝，故选A．
4．(2020届广州四校联考)若α∈，sin＝，则cos
2α＝________．
解析：由sin＝可得sin
α－cos
α＝，故sin
α－cos
α＝，两边平方得1－2sin
αcos
α＝，所以sin
2α＝.因为α∈，所以2α∈.又sin
2α>0，所以2α∈，故cos
2α＝＝.
答案：
【例】　(2019届保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin－cos等于(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　设直角三角形中较小的直角边长为a，
则a2＋(a＋2)2＝102，
所以a＝6，所以sin
θ＝＝，cos
θ＝＝，
所以sin－cos＝cos
θ－cos
θ＋sin
θ＝cos
θ＋sin
θ＝×＋×＝.
故选A．
[答案]　A
?名师点津
利用题目中条件信息确定sin
θ，cos
θ，再利用两角和差公式求值．
|跟踪训练|
(2019届金华模拟)△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则tan
A＝________．
解析：∵＝tan?＝tan?tan＝tan
，
∴A＋＝kπ＋，k∈Z.
又∵A＋∈，
∴A＝，
∴tan
A＝1.
答案：1
PAGE第七节　正弦定理和余弦定理的应用举例
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
　　测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题．可能是2021年的考查点，题型是选择题、填空题.
1.数学建模2.数据分析3.直观想象
‖知识梳理‖
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
?常用结论
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：某一正方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A．50
m
B．50
m
C．25
m
D．
m
答案：A
3．(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在水平地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．
答案：a
三、易错自纠
4．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
答案：北偏西15°
5.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8
n
mile，则此船的航速是______n
mile/h.
解析：设航速为v
n
mile/h，由题意得，在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
【例1】　如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300
m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.
[解析]　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，PA＝ABtan
60°＝900，故PQ＝900，
∴P，Q两点间的距离为900
m.
[答案]　900
?名师点津
测量距离问题的实质和解题关键
测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．
|跟踪训练|
1.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C．测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________．取cos
48.19°＝
解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
∠ACB＝10，解得AB＝.
答案：
【例2】　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75
°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，CD＝BCtan
30°＝300×＝100(m)．
[答案]　100
?名师点津
求解高度问题的注意事项
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
|跟踪训练|
2.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)
A．5
B．15
C．5
D．15
解析：选D　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.
【例3】　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12
n
mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10
n
mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14
n
mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－2×10×12xcos
120°，解得x＝2，故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin
α＝＝.
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.
?名师点津
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
|跟踪训练|
3．(2019届惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25
m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50
m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos
θ＝________．
解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理，得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理，得＝，即DB＝100sin
15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)，又＝，即＝，得到cos
θ＝－1.
答案：－1
PAGE第六节　正弦定理和余弦定理
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
　　利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题仍将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.逻辑推理
‖知识梳理‖
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
常见变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin_B∶sin_C；(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
?常用结论
三角形中的常用结论
(1)A＋B＝π－C，＝－.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
2．三角形的面积
S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)
(3)在△ABC中，sin
A>sin
B的充分不必要条件是A>B．(　　)
(4)在△ABC中，“a2＋b2(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、走进教材
2．(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：C
3．(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos
A＝bcos
B，则这个三角形的形状为________．
答案：等腰或直角三角形
三、易错自纠
4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：选B　∵＝，
∴sin
B＝sin
A＝sin
45°＝.
又∵a即此三角形有两解．故选B．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
解析：由正弦定理，得sin
B＝＝＝，因为0°答案：75°
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2A＝sin
A，bc＝2，则△ABC的面积为________．
解析：由cos
2A＝sin
A，得1－2sin2A＝sin
A，解得sin
A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin
A＝×2×＝.
答案：
【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
A＋acos
B＝0，则B＝______．
[解析]　解法一：依题意与正弦定理得，sin
Bsin
A＋sin
Acos
B＝0，即sin
B＝－cos
B，则tan
B＝－1.又0解法二：由正弦定理得，bsin
A＝asin
B，又bsin
A＋acos
B＝0，所以asin
B＋acos
B＝0，即sin
B＝－cos
B，则tan
B＝－1.又0[答案]　
(2)(2019年全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin
B－sin
C)2＝sin2A－sin
Bsin
C．
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin
C．
[解]　①由已知得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sin
Bsin
C，
故由正弦定理得，b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得，cos
A＝＝.
因为0°②由①知，B＝120°－C，由题设及正弦定理得，sin
A＋sin(120°－C)＝2sin
C，即＋cos
C＋sin
C＝2sin
C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°故sin
C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos
60°－cos(C＋60°)sin
60°
＝.
?名师点津
正、余弦定理的应用技巧
(1)解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．
(2)解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin
A＝x.①若sin
A＝1，则∠A＝90°；②若sin
A>1，矛盾无解；③若0A<1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．
|跟踪训练|
1．(2019届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sin
C＋sin(B－A)＝2sin
2A，则A＝________．
解析：在△ABC中，由sin
C＋sin(B－A)＝2sin
2A可得，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin
2A，即sin
Acos
B＋cos
A·sin
B＋cos
Asin
B－sin
Acos
B＝4sin
Acos
A，
∴cos
Asin
B＝2sin
Acos
A，即cos
A(sin
B－2sin
A)＝0，即cos
A＝0或sin
B＝2sin
A，
①当cos
A＝0时，A＝；
②当sin
B＝2sin
A时，根据正弦定理得b＝2a，
由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos
C，结合c＝2，C＝，得a2＋b2－ab＝4，
∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，∴B＝，∴A＝.
综上可得，A＝或.
答案：或
2．(2019年北京卷)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos
B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b－c＝2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.
所以b＝7.
(2)由cos
B＝－得，sin
B＝.
由正弦定理得，sin
C＝sin
B＝.
由题意得，在△ABC中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角．
所以cos
C＝＝.
所以sin(B－C)＝sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝.
【例2】　(2019届武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos
C＝2a＋c.
(1)求B；
(2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．
[解]　(1)由正弦定理，知2sin
Bcos
C＝2sin
A＋sin
C，
由A＋B＋C＝π，得2sin
Bcos
C＝2sin(B＋C)＋sin
C＝2(sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C)＋sin
C，即2cos
Bsin
C＋sin
C＝0.
因为sin
C≠0，所以cos
B＝－.
因为0(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，
可知b2＝(a＋c)2－2ac－2accos
B，
因为b＝2，a＋c＝，
所以22＝()2－2ac－2accos
，得ac＝1.
所以S△ABC＝acsin
B＝×1×＝.
?名师点津
(1)对于面积公式S＝absin
C＝acsin
B＝bc·sin
A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
|跟踪训练|
3．(2019年全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
解析：解法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin
B＝×4×2×sin
＝6.
解法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
答案：6
4．(2019届辽宁五校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin
Acos(A＋B)，且sin2A＋sin2B－sin2C＋sin
Asin
B＝0.
(1)求证：a，b，2a成等比数列；
(2)若△ABC的面积是2，求c.
解：(1)∵A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin
Acos(A＋B)，
∴sin
B＝－2sin
Acos
C，
∴在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos
C，
∵sin2A＋sin2B－sin2C＋sin
Asin
B＝0，
∴由正弦定理可得，a2＋b2－c2＋ab＝0，
∴cos
C＝＝－.又∵0∴b＝a，则b2＝2a2＝a·2a，
∴a，b，2a成等比数列．
(2)△ABC的面积S＝absin
C＝ab＝2，则ab＝4，
由(1)知，b＝a，联立两式解得a＝2，b＝2，
∴c2＝a2＋b2－2abcos
C＝4＋8－2×2×2×＝20，
∴c＝2.
【例3】　(2019届佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin
∠CAD．
[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝(负值舍去)，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin
∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，
①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，
∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，
②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin
θ，整理得sin
θ＝2cos
θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin
θ＝，即sin
∠CAD＝.
?名师点津
平面图形中计算问题的解题关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
|跟踪训练|
5．(2019届洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.
(1)求CD；
(2)求∠ABC．
解：(1)在△BCD中，
S＝BD·BC·sin∠CBD＝，
∵BC＝2，BD＝3＋，
∴sin
∠CBD＝.
∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.
在△BCD中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos
∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3.
(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin
∠BDC＝.
∵BC∴cos
∠BDC＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝，
即＝.
①
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝
.②
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAC．
由①②得＝，解得sin
∠ABC＝.
∵∠ABC为锐角，
∴∠ABC＝45°.
【例】　(2020届陕西摸底)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(，－2sin
B)，n＝，m∥n，B为锐角．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
[解]　(1)因为m＝(，－2sin
B)，
n＝，m∥n，
所以cos
2B＋2sin
B＝0，
所以cos
2B＋sin
2B＝0，
所以2sin＝0.
又B为锐角，所以B＝.
(2)由(1)知B＝，在△ABC中，b＝2，
由正弦定理＝＝，
得a＝sin
A，c＝sin
C．
又A＋C＝π－B＝，
所以S△ABC＝acsin
B
＝×sin
A×sin×
＝
＝
＝
＝＋
＝sin＋，
当且仅当2A－＝，即A＝时，△ABC的面积有最大值，为.
?名师点津
涉及三角形中的最值、范围问题多与基本不等式求最值及三角函数的有界性交汇，求解时注意交汇知识应用的条件．
|跟踪训练|
(2020届贵阳摸底)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos
B＝acos
C＋ccos
A.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)∵2bcos
B＝acos
C＋ccos
A，∴由正弦定理得2sin
Bcos
B＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A，
∴2sin
Bcos
B＝sin(A＋C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin
B，又sin
B≠0，∴2cos
B＝1，∴cos
B＝.又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b＝2，B＝，
∴由余弦定理得4＝b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4(当且仅当a＝c＝2时“＝”成立)，
∴S△ABC＝acsin
B＝ac≤×4＝，
∴当且仅当a＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值.
PAGE第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan
x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
　　同角三角函数基本关系式的应用和诱导公式的应用仍将是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.
1.数学运算2.逻辑推理
‖知识梳理‖
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan
α＝．
2．诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
?常用结论
(1)同角三角函数的基本关系式的几种变形
①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)；
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
②sin
α＝tan
αcos
α.
(2)诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan
α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin
α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos
θ＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(必修4P21A12改编)已知tan
α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
答案：B
3．(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin
α＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
答案：A
三、易错自纠
4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin
θ＝－cos
θ，∴tan
θ＝.∵|θ|<，∴θ＝.
5．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin
αcos
α＝________.
解析：∵sin(3π－α)＝－2sin，
∴sin
α＝－2cos
α，
∴tan
α＝－2，
∴sin
αcos
α＝
＝＝
＝－.
答案：－
6．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈，则tan
θ＝________．
解析：sin
θ＋cos
θ＝，平方得2sin
θcos
θ＝－，则＝－，分子分母同时除以cos2θ，得＝－，
所以12tan2θ＋25tan
θ＋12＝0，
解得tan
θ＝－或tan
θ＝－.
因为θ∈，sin
θ＋cos
θ＝>0，故sin
θ>|cos
θ|>0，所以tan
θ＝－.
答案：－
|题组突破|
1．若cos
α＝－，则sin＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D　∵cos
α＝－，∴sin＝cos
α＝－.
2．(2019届江西上饶模拟)已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．
B．
C．－
D．－
解析：选A　由cos＝cos＝sinα－＝.
3．化简：＝________．
解析：＝＝cos
α.
答案：cos
α
4．sin
π·cos
π·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan－π－＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
?名师点津
应用诱导公式的思路与技巧
(1)使用诱导公式的一般思路
①化大角为小角．
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
②常见的互补的角：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
(3)三角函数式化简的方向
①切化弦，统一名．
②用诱导公式，统一角．
③用因式分解将式子变形，化为最简．
●命题角度一　公式的直接应用
【例1】　(1)已知cos
α＝k，k∈R，α∈，则sin
α＝(　　)
A．－
B．
C．±
D．
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
[解析]　(1)∵α∈，
∴sin
α>0.
∵cos
α＝k，
∴sin
α＝.
(2)因为sin
1°＝cos
89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝.
[答案]　(1)B　(2)
●命题角度二　sin
α，cos
α齐次式问题
【例2】　(1)已知tan(π－α)＝－，则＝________．
(2)若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为________．
[解析]　(1)由tan(π－α)＝－，得tan
α＝，
则＝
＝＝＝－.
(2)由3sin
α＋cos
α＝0?tan
α＝－，
则＝＝
＝＝.
[答案]　(1)－　(2)
●命题角度三　sin
α
±cos
α，sin
αcos
α之间的关系
【例3】　已知x∈(－π，0)，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
∴(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
由x∈(－π，0)，知sin
x<0.
又sin
x＋cos
x>0，
∴cos
x>0，∴sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
(2)＝
＝，
由(1)及题意得，原式＝＝－.
?名师点津
在高考中，常给出角α的一个三角函数值，求其他异名三角函数值，解题的关键就是灵活掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用．
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α这三个式子，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α可以实现知一求二．
(3)对于齐次式问题要把式子中的常数化为cos2α＋sin2α的形式．
|跟踪训练|
1．若sin
θcos
θ＝，则tan
θ＋的值是(　　)
A．－2
B．2
C．±2
D．
解析：选B　tan
θ＋＝＋＝＝2.故选B．
2．已知－<α<0，sin
α＋cos
α＝，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B　∵sin
α＋cos
α＝，即1＋2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝－，∴(cos
α－sin
α)2＝1＋＝.
又∵－<α<0，∴cos
α>0>sin
α，∴cos
α－sin
α＝，
∴＝＝＝.故选B．
3．(2019届郑州质检)已知cos＝2sin，则的值为________．
解析：因为cos＝2sin，所以－sin
α＝－2cos
α，则sin
α＝2cos
α，
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.
所以＝
＝＝cos2α－＝.
答案：
【例】　(2018年全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos
2α＝，则|a－b|＝(　　)
A．
B．
C．
D．1
[解析]　解法一：由正切定义tan
α＝，
则tan
α＝＝，即a＝tan
α，b＝2tan
α.
又cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得tan2α＝，∴tan
α＝±，
∴|b－a|＝|2tan
α－tan
α|＝|tan
α|＝.
解法二：由两点斜率公式，得tan
α＝＝b－a.
又cos
2α＝cos2α－sin2α＝
＝＝，解得tan2α＝，∴tan
α＝±，
∴|b－a|＝|tan
α|＝.
[答案]　B
?名师点津
同角三角函数关系式创新应用多与直线的斜率、不等式交汇应用，求解时要紧扣三角函数定义及同角三角函数关系式．
|跟踪训练|
已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝(　　)
A．
B．2
C．
D．－
解析：选C　由f′(x)＝2x2，得tan
α＝f′(1)＝2，所以＝＝.故选C．
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