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第一节　合情推理与演绎推理
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
　　以类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，属于中、高档题，分值为5分.
逻辑推理
‖知识梳理‖
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
?常用结论
归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，通过观察、试验，对有限的资料归纳整理，提出带有规律性的猜想，归纳推理得出的结论不一定正确．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(选修2－2P84A3改编)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为(　　)
A．当n≥2时，2n≥n2
B．当n≥3时，2n≥n2
C．当n≥4时，2n>n2
D．当n≥5时，2n>n2
答案：D
3．(选修2－2P84A5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N
)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b10＝1，则存在的等式为________________．
答案：b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n<19且n∈N
)
三、易错自纠
4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(2x＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(2x＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
解析：选C　因为f(x)＝sin(2x＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C．
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得，f(2n)≥.
答案：f(2n)≥
|题组突破|
1．(2019届江西宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B　从平面图形类比到空间图形，从二维类比到三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比＝＝，故选B．
2．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有____________．
解析：等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m－n)ap类比等比数列中的b，因此有b·b·b＝1.
答案：b·b·b＝1
3.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
答案：＝＝
?名师点津
类比推理的分类及处理方法
类别
解读
适合题型
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解.
已知熟悉定义类比新定义
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键.
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
|题组突破|
4．德国著名数学家高斯年少成名，被誉为“数学王子”．其年幼时，在对1＋2＋3＋…＋100的求和运算中，提出了倒序相加法，该方法的原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．若函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2
018)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　由题意知，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2
018)＝＋＋…＋＋，①
又f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2
018)＝＋＋…＋＋，②
①②两式相加整理得，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2
018)＝×＝.故选C．
5．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　观察图形可知，每个图形中每条边上有n个点，所以3条边上有3n个点，又三角形图形的3个顶点重复计数了一次，所以an＝3n－3，n>1，n∈N，则＝＝＝－，则＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.故选C．
6．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
…
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
?名师点津
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．
【例】　(2019年全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
[解析]　依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，故选A．
[答案]　A
?名师点津
求解此类题目一般利用反设推理方法，即逐个肯定或否定，结合条件进行推理判断，从而得出正确结论．
|跟踪训练|
(2019届重庆七校联考)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知，下列推测一定正确的是(　　)
A．今天是周四
B．今天是周六
C．A车周三限行
D．C车周五限行
解析：选A　在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四，故选A．
PAGE第四节　复　数
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
　　复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
?常用结论
1．(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
)．
3．z·＝|
z
|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
5．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
答案：B
3．(选修2－2P116A1改编)复数的共轭复数是(　　)
A．2－i
B．2＋i
C．3－4i
D．3＋4i
答案：C
三、易错自纠
4．设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，所以复数z＝4－2i，位于复平面的第四象限，故选D．
5．若复数z＝(其中i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B．
6．化简：＝________．
解析：＝＝＝1－i.
答案：1－i
|题组突破|
1．(2019届开封定位考试)复数z＝，则(　　)
A．z的共轭复数为1＋i
B．z的实部为1
C．|z|＝2
D．z的虚部为－1
解析：选D　因为z＝＝＝－1－i，所以复数z的实部和虚部均为－1，＝－1＋i，|z|＝，故选D．
2．(2020届四川五校联考)已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：选A　(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i，由于(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，故解得a＝－，故选A．
3．若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)的虚部为1，则|z|＝(　　)
A．1
B．2
C．
D．
解析：选C　依题意得，复数z＝＝＋i的虚部为1，所以＝1，解得a＝2，∴z＝1＋i，∴|z|＝，故选C．
4．(2020届贵阳摸底)若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：选D　z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.故选D．
?名师点津
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
|题组突破|
5．(2019年全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C　∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi；x，y∈R.∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．
6．(2019年全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C　∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，
∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．故选C．
7．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得，＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)，又＝λ＋μ，∴(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
答案：1
?名师点津
解决与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式．
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
|题组突破|
8．(2019年全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
解析：选D　由题意得，z＝＝＝1＋i，故选D．
9．(2019届合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5
B．5i
C．－－i
D．－＋i
解析：选A　＝＝5，故选A．
10．(2019届贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1－i
D．－1＋i
解析：选C　由题意得，z＝－1＝－1－i，故选C．
?名师点津
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
【例】　(1)规定＝ad－bc.若在复平面上的三个点A，B，C分别对应复数0，z，zi，其中z满足＝i，则△ABC的面积为(　　)
A．25
B．
C．5
D．
(2)已知不相等的复数z1，z2，设有下面三个命题：
p1：若z1＋z2是实数，则z1＝2；
p2：若|z1|＝|z2|，则z＝z；
p3：若z1＝2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称．
其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　(1)由题意，得z－(1＋i)(1－i)＝i，所以z＝2＋i，所以zi＝(2＋i)i＝－1＋2i，则A(0，0)，B(2，1)，C(－1，2)．
于是，|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，
则有|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2，即△ABC是等腰直角三角形．所以△ABC的面积为S＝××＝，故选D．
(2)当z1＝2，z2＝3时，z1＋z2＝5∈R，但2＝3，z1≠2，故p1错误；当z1＝1＋i，z2＝1－i时，|z1|＝，|z2|＝，|z1|＝|z2|，但z＝2i，z＝－2i，z≠z，故p2错误；设z2＝a＋bi(a∈R，b≠0)，则1＝z2＝a－bi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，－b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，－b)与点(a，b)关于实轴对称，故p3正确．故选B．
[答案]　(1)D　(2)B
?名师点津
与复数有关的交汇问题常与判断命题的真假、数学文化及向量等知识结合，求解时注意复数的概念，几何意义及运算．
|跟踪训练|
(2019届南昌市一模)欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选A　根据欧拉公式得ei＝cos
＋isin
＝＋i，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限．故选A．
PAGE第三节　算法初步
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
　　依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.
1.逻辑推理2.数学运算
‖知识梳理‖
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
名称内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程序框图
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．(　　)
(2)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．(　　)
(3)一个循环结构一定包含条件结构．(　　)
(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、走进教材
2．(必修3P25例5改编)给出如图程序框图，其功能是(　　)
A．求a－b的值
B．求b－a的值
C．求|a－b|的值
D．以上都不对
答案：C
3．(必修3P33B3改编)执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为(　　)
A．－2
B．16
C．－2或8
D．－2或16
答案：D
三、易错自纠
4．如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)
A．i<50?
B．i>50?
C．i<25?
D．i>25?
解析：选B　因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？故选B．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于(　　)
A．－3
B．－10
C．0
D．－2
解析：选A　第一次循环：k＝0＋1＝1，满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4，s＝2×1－2＝0；第三次循环：k＝2＋1＝3，满足k<4，s＝2×0－3＝－3；第四次循环：k＝3＋1＝4，不满足k<4，故输出的s＝－3.故选A．
|题组突破|
1．(2019年全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
解析：选C　执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝；
所以s＝1＋＋＋＋…＋＝2－，x＝，满足x<ε＝，输出s＝2－，故选C．
2．(2019年北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B　执行程序框图，k＝1，s＝＝2；k＝2，s＝＝2；k＝3，s＝＝2，跳出循环，输出的s＝2.故选B．
3．(2019年天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　)
A．5
B．8
C．24
D．29
解析：选B　执行程序框图，S＝1，i＝2；j＝1，S＝1＋4＝5，i＝3；S＝8，i＝4，满足i≥4，输出的S＝8.故选B．
?名师点津
解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
【例】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
(2)(2019届河北九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，4，输出的M＝，那么判断框中应填入的条件为(　　)
A．nB．n≥k?
C．nD．n≥k＋1?
[解析]　(1)A＝，k＝1，1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2，2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3，3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A．
(2)由于输入的a＝1，b＝2，k＝4，所以当n＝1时，M＝1＋＝，此时a＝2，b＝；当n＝2时，M＝2＋＝，此时a＝，b＝；当n＝3时，M＝＋＝，与输出的M值一致，故循环需终止．此时n＝4，而输入的k＝4，故结合选项知，判断框中应填入n[答案]　(1)A　(2)A
?名师点津
程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足．
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止．
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
|跟踪训练|
(2019届西安八校联考)如图给出的是计算＋＋＋…＋＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(　　)
A．i≤2
014?
B．i≤2
016?
C．i≤2
018?
D．i≤2
020?
解析：选B　依题意得，S＝0，i＝2；S＝0＋，i＝4；…；S＝0＋＋＋…＋＋，i＝2
018，输出的S＝＋＋＋…＋＋，所以题中的判断框内应填入的是“i≤2
016？”，故选B．
算法是高考热点内容之一，算法的交汇问题是高考的一大亮点．常与统计、函数、数列求和、数学文化等交汇考查．
【例】　(1)(2020届四川五校联考)《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)，问玉、石重各几何？”其意思是“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体的棱长是3寸，质量是11斤(176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(　　)
A．96，80
B．100，76
C．98，78
D．94，82
(2)(2019届黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框中应填________．
[解析]　(1)根据题意，模拟程序运行过程知，
x＝90，y＝86，s＝×90＋×86≠27；
x＝92，y＝84，s＝×92＋×84≠27；
x＝94，y＝82，s＝×94＋×82≠27；
x＝96，y＝80，s＝×96＋×80≠27；
x＝98，y＝78，s＝×98＋×78＝27.
∴输出x，y的值分别为98和78.故选C．
(2)由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框中应填“i<5？(或i≤4？)”．
[答案]　(1)C　(2)i<5？(或i≤4？)
?名师点津
解决算法交汇问题的3个关键点
(1)读懂程序框图，明确交汇知识．
(2)根据给出问题与程序框图处理问题．
(3)注意框图中结构的判断．
|跟踪训练|
(2019届河北保定模拟)如图所示的程序框图，若f(x)＝logπx，g(x)＝ln
x，输入x＝2
016，则输出的h(x)＝(　　)
A．2
016
B．2
017
C．logπ2
016
D．logπ2
017
解析：选C　运行程序，输入x＝2
016，则f(x)＝logπ2
0162
016，则f(x)>g(x)不成立，∴h(x)＝f(x)＝logπ2
016，∴输出logπ2
016.故选C．
PAGE第二节　直接证明与间接证明
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
　　直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们是2021年高考的考点，题型为选择题或填空题，分值为5～12分.
逻辑推理
‖知识梳理‖
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
特点
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件
步骤的符号表示
P0(已知)?P1?P2?P3…?Pn(结论)
B(结论)?B1?B2…?Bn?A(已知)
2.间接证明
(1)反证法的定义
一般地，由证明p?q转向证明﹁q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假定；
③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
?常用结论
1．反证法不直接证明命题“若p，则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真，肯定命题“若p，则q”为真．
2．在应用反证法证题时，一定要用“反证”进行推理，否则就不是反证法．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”．(　　)
(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)
(5)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－2P89练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　　)
A．2sin
θ
B．2cos
θ
C．sin
2θ
D．cos
2θ
答案：D
3．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．不能确定
答案：A
三、易错自纠
4．若a，b，c为实数，且aA．ac2B．a2>ab>b2
C．<
D．>
解析：选B　a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>ab.
①
又ab－b2＝b(a－b)>0，
∴ab>b2，
②
由①②得，a2>ab>b2.故选B．
5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A．
6．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
【例1】　已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋≤；
(2)＋＋≥.
[证明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
(2)∵a>0，∴3a＋1>1，
∴＋(3a＋1)≥2＝4，
∴≥3－3a，
同理得，≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得
4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
?名师点津
掌握综合法证明问题的思路
|跟踪训练|
1．已知a>b>c，求证：＋＋≥0.
证明：因为a>b>c，
所以a－b>0，b－c>0，a－c>0.
所以4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2.
所以≥，即－≥0.
所以＋＋≥0.
【例2】　已知a>0，证明：－≥a＋－2.
[证明]　要证
－≥a＋－2，
只需证
≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)>0，
所以只需证≥，
即2(2－)≥8－4，
所以只需证a＋≥2.
因为a>0，所以a＋≥2显然成立(当a＝＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立．
?名师点津
分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
|跟踪训练|
2．已知a>0，－>1，求证：>
.
证明：由已知－>1及a>0，可知0，只需证·>1，
即证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1，
这是已知条件，所以原不等式得证．
【例3】　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，
得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，
得a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0这与ab＝1矛盾．
故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
?名师点津
反证法证明问题的3步骤
1．反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)
2．推矛盾：从假出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾．
3．得结论：得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．
|跟踪训练|
3．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N
，都有(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
∴a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
即aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾，
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
●命题角度一　证明等式
【例4】　用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N
)．
[证明]　①当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，等式成立，
即＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立，
由①②可知，对所有n∈N
，原式都成立．
?名师点津
应用数学归纳法证明等式的3个注意点
(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．
(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．
●命题角度二　证明不等式
【例5】　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式·…·>均成立．
[证明]　①当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵>，∴左边>右边，∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N
)时不等式成立，
即·…·>，
则当n＝k＋1时，
·…·>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
?名师点津
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，证明n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．
●命题角度三　归纳—猜想—证明
【例6】　设f(x)＝(x>0)，数列{an}满足a1＝(a>0)，an＋1＝f(an)(n∈N
)．
(1)求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解]　(1)∵f(x)＝(x>0)，数列{an}满足a1＝(a>0)，an＋1＝f(an)(n∈N
)，
∴an＋1＝，
∴a2＝，a3＝，a4＝.
猜想an＝.
(2)证明：an＝.
①当n＝1时，由(1)可知成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝，
因此n＝k＋1时也成立．
综上可得，an＝对于n∈N
都成立．
?名师点津
利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．
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