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第一节　导数的概念及运算
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.4.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
5.了解微积分基本定理的含义.
　　导数的几何意义的应用仍是2021年高考考查的热点，多为选择题、填空题，分值为5分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝
＝
.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q
)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
?常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
5．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；
③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
?常用结论
常见被积函数的原函数
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin
xdx＝－cos
x；(4)cos
xdx＝sin
x；
(5)dx＝ln
x；(6)exdx＝ex.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
(6)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(7)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)
(8)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)
(9)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√　(8)√　(9)×
二、走进教材
2．(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)
A．－9
B．－3
C．9
D．15
答案：C
3．(选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
4．(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)
A．10t
B．5t
C．t
D．t
答案：B
5．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t
s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝__________m/s，加速度a＝________m/s2.
答案：－9.8t＋6.5　－9.8
三、易错自纠
6．下列求导运算正确的是(　　)
A．′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos
x)′＝－2sin
x
解析：选B　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln
3；(x2cos
x)′＝(x2)′cos
x＋x2(cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x．故选B．
7．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)
A．1
B．－2
C．－2或4
D．4
解析：选D　由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．故选D．
8．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________．
解析：∵y′＝，∴k＝y′＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
|题组突破|
1．已知f(x)＝x(2
017＋ln
x)，若f′(x0)＝2
018，则x0＝(　　)
A．e2
B．1
C．ln
2
D．e
解析：选B　因为f(x)＝x(2
017＋ln
x)，
所以f′(x)＝2
017＋ln
x＋1＝2
018＋ln
x.
又f′(x0)＝2
018，
所以2
018＋ln
x0＝2
018，所以x0＝1.故选B．
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，则f′(1)＝(　　)
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(1)＋，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1，故选B．
3．求y＝x2sin
x的导数．
解：y′＝(x2)′sin
x＋x2(sin
x)′
＝2xsin
x＋x2cos
x.
4．求y＝－sin
的导数．
解：∵y＝－sin
＝－sin
＝sin
x，
∴y′＝′＝(sin
x)′＝cos
x.
?名师点津
导数的计算技巧
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．
常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据切线的性质求参数或参数的取值范围．
●命题角度一　求切线方程
【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
(2)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为_________________．
[解析]　(1)依题意得，y′＝2cos
x－sin
x，k＝y′|x＝π＝2cos
π－sin
π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．
(2)由题意得，f′(x)＝3x2＋6x.当(0，0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0；当(0，0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)(x0≠0)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(3x＋6x0)·(x－x0)，因为切线过原点，所以x＋3x＝3x＋6x，所以x0＝－，此时切线方程为9x＋4y＝0.
[答案]　(1)C　(2)9x＋4y＝0或y＝0
?名师点津
与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
●命题角度二　求切点坐标
【例2】　(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
[解析]　设A(x0，ln
x0)，又y′＝，则曲线y＝ln
x在点A处的切线方程为y－ln
x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入，得－1－ln
x0＝(－e－x0)，化简得ln
x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
[答案]　(e，1)
?名师点津
求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．
●命题角度三　根据切线的性质求参数或参数的取值范围
【例3】　(1)(2019年全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2019届巴蜀中学期中测试)曲线f(x)＝ln
x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)因为y′＝aex＋ln
x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以
解得
(2)由题意，得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.
[答案]　(1)D　(2)(－∞，1]
?名师点津
一般已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan
α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的取值范围．
|跟踪训练|
1．若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B　由导数的几何意义，知k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤tan
α<0，α∈[0，π)．又－≤x≤，tan
α＝ex＋e－x－3≤＋－3<0，所以α的最小值是，故选B．
2．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：设P(x0，y0)，因为y′＝－e－x，
所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
所以x0＝－ln
2，
则y0＝eln
2＝2，所以点P的坐标为(－ln
2，2)．
答案：(－ln
2，2)
3．(2018年全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．
解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝.当x＝0时，k＝y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
答案：y＝2x
【例4】　(1)dx＋dx＝________．
(2)由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为________．
(3)一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
[解析]　(1)因为dx＝ln
x＝1－0＝1，且表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.
(2)解法一：画出草图，如图所示．
解方程组及得交点分别为B(1，1)，O(0，0)，A(3，－1)，
所以所求图形的面积
S＝dx＋(2－x)－－xdx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
解法二：如图所求阴影的面积就是△OAC的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即
S＝×2×3－(2－x－)dx
＝3－
＝3－＝.
(3)由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝
5dx＋(3x＋4)dx＝5x＋＝
10＋＝36(J)．
[答案]　(1)2π＋1　(2)　(3)36
?名师点津
利用定积分求平面图形面积的4个步骤
|跟踪训练|
4．(2019届厦门模拟)定积分|x2－2x|dx＝(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选D　|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝8.
5．(2019届衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是(　　)
A．32
B．16
C．
D．
解析：选C　由题意得，阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
6．汽车以72
km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以匀减速a＝4
m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.
解析：先求从刹车到停车所用的时间t，
当t＝0时，v0＝72
km/h＝20
m/s，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5
s，
所以汽车从刹车到停车所走过的路程为
(20－4t)dx＝(20t－2t2)＝50(m)，
即汽车从开始刹车到停止走的距离为50
m.
答案：50
【例】　(2019届河南洛阳二模)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2ln
x－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为(　　)
A．0
B．－
C．－
D．－
[解析]　设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点P(x0，y0)处的切线相同，因为f′(x)＝6x－4a，g′(x)＝，由题意得，f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，所以3x－4ax0＝2a2ln
x0－b，6x0－4a＝，解得x0＝a或x0＝－a(舍去)，即有b＝a2＋2a2ln
a．令h(t)＝t2＋2t2ln
t(t>0)，则h′(t)＝4t(1＋ln
t)，当4t(1＋ln
t)>0，即t>时，h′(t)>0，当4t(1＋ln
t)<0，即0[答案]　B
?名师点津
(1)设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0))，(x1，g(x1))，并分别求出两曲线的切线方程；
(2)建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；
(3)求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可．
|跟踪训练|
(2020届广州四校联考)已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足?x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是(　　)
A．[0，e]
B．[1，e]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，e]
解析：选B　∵[f(x)－g(x)](x－x0)>0，x∈[0，1]，∴当x∈[0，x0]时，f(x)g(x)，即f(x)的图象在其切线上方．∴f(x)非凸凹函数，满足f″(x)＝0.由题意得f′(x)＝ex－ax－2.令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x∈[0，1]，则1≤a≤e，故选B．
PAGE第五课时　利用导数解决函数的零点问题
【例1】　已知函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln
x(a∈R)．
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＝0时，设函数g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数g(x)在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．
[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ax＋1＋a－
＝－(a>0)，
①当a∈(0，1)时，>1.
由f′(x)<0，得x>或0所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，；
②当a＝1时，恒有f′(x)≤0，
所以f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
③当a∈(1，＋∞)时，<1.
由f′(x)<0，得x>1或0所以f(x)的单调递减区间为，(1，＋∞)．
综上，当a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，；
当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为，(1，＋∞)．
(2)g(x)＝x2－xln
x－k(x＋2)＋2在x∈上有两个零点，即关于x的方程k＝在x∈上有两个不相等的实数根．
令函数h(x)＝，x∈，
则h′(x)＝，
令函数p(x)＝x2＋3x－2ln
x－4，x∈，
则p′(x)＝在上恒有p′(x)≥0，
故p(x)在上单调递增．
因为p(1)＝0，
所以当x∈时，有p(x)<0，即h′(x)<0，
所以h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，有p(x)>0，即h′(x)>0，
所以h(x)单调递增．
因为h＝＋，h(1)＝1，且当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以k的取值范围为.
?名师点津
利用函数的极值(最值)判断函数零点的个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．
【例2】　已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln
x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
[解]　(1)∵F(x)＝ax2－2ln
x，其定义域为(0，＋∞)，
∴F′(x)＝2ax－＝(x>0)．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x>；
由ax2－1<0，得0故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不相等的解．
令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，
则φ(x)max＝φ()＝.
而φ(e)＝，φ()＝.
由φ(e)－φ()＝－＝＝<<0，
所以φ(e)<φ()．
所以φ(x)min＝φ(e)，
由图可知，当φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a<.
即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时，a的取值范围为.
?名师点津
对于方程解的个数(或函数的零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画草图确定其中参数的范围．
【例3】　(2019届郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln
x＋－(a∈R且a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln
x－1)ex＋x－m的零点个数．
[解]　(1)f′(x)＝(x>0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>，
由f′(x)＝<0，得0∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)当x∈时，函数g(x)＝(ln
x－1)ex＋x－m的零点个数，等价于方程(ln
x－1)ex＋x＝m的根的个数．
令h(x)＝(ln
x－1)ex＋x，
则h′(x)＝ex＋1.
由(1)知，当a＝1时，f(x)＝ln
x＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，
∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.
∴＋ln
x－1≥0在x∈上恒成立．
∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1>0，
∴h(x)＝(ln
x－1)ex＋x在x∈上单调递增，
∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝h(e)＝e.
∴当m<－2e＋或m>e时，函数g(x)没有零点；当－2e＋≤m≤e时，函数g(x)有一个零点．
?名师点津
(1)涉及函数的零点(方程的根)个数时，主要利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．
|跟踪训练|
已知函数f(x)＝xln
x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，
g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，
所以所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.
(2)由g(x)＝2exf(x)，得2xln
x＝－x2＋ax－3，即a＝x＋2ln
x＋.
令h(x)＝x＋2ln
x＋(x>0)，
所以h′(x)＝1＋－＝，
所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：
x
1
(1，e)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
单调递减
极小值
单调递增
又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2，且h(e)－h＝4－2e＋<0.
所以实数a的取值范围为4PAGE第四课时　利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题
【例1】　(2020届四川五校联考)已知函数f(x)＝aln
x＋x2－(a＋2)x.
(1)当a＝4时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当a>0时，对于任意的x∈[1，＋∞)，不等式f(x)>1－a2恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝4时，f(x)＝4ln
x＋x2－6x，∴f′(x)＝＋2x－6＝.
令f′(x)＝≥0，解得x≥2或0∴f(x)的单调递增区间为(0，1]，[2，＋∞)．
(2)令g(x)＝f(x)＋a2－1(x≥1)，则g′(x)＝f′(x)＝＋2x－(a＋2)＝(x≥1)．
①当0<<1，即0g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)．
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝a2－a－2＝(a－2)(a＋1)<0(不符合题意，舍去)；
②当＝1，即a＝2时，g′(x)＝(x－1)2≥0(当且仅当x＝1时取等号)，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝0(不符合题意，舍去)；
③当>1，即a>2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增．
∴g(x)min＝g＝aln
＋－a－1，
令h(x)＝xln＋－x－1(x>2)，
则h′(x)＝ln＋x.
当x>2时，h′(x)>0，∴h(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>h(2)＝0.
∴g(x)≥g>0恒成立，满足题意．
综上所述，实数a的取值范围为(2，＋∞)．
?名师点津
(1)利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：
①将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
②求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；
③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．
(2)不等式恒成立问题的基本类型
类型1：任意x，使得f(x)>0，只需f(x)min>0；
类型2：任意x，使得f(x)<0，只需f(x)max<0；
类型3：任意x，使得f(x)>k，只需f(x)min>k；
类型4：任意x，使得f(x)类型5：任意x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)min＝[f(x)－g(x)]min>0；
类型6：任意x，使得f(x)|跟踪训练|
1．已知函数f(x)＝ax＋xln
x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)解：(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ln
x＋1，由题意，知f′(x)≥0在[e，＋∞)上恒成立，即ln
x＋a＋1≥0在[e，＋∞)上恒成立，
即a≥－(ln
x＋1)在[e，＋∞)上恒成立，
而[－(ln
x＋1)]max＝－(ln
e＋1)＝－2，
∴a≥－2，即a的取值范围为[－2，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x＋xln
x，
∵x∈(1，＋∞)，
∴原不等式可化为k<，即k<对任意x>1恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令h(x)＝x－ln
x－2(x>1)，
则h′(x)＝1－＝>0，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∵h(3)＝1－ln
3<0，h(4)＝2－2ln
2>0，
∴存在x0∈(3，4)使h(x0)＝0，即g′(x0)＝0.
即当1当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0.
∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
由h(x0)＝x0－ln
x0－2＝0，得ln
x0＝x0－2，
g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0∈(3，4)，
∴k【例2】　已知函数f(x)＝－ax(a>0)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值；
(2)若?x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．
所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.
又f′(x)＝－a＝－＋－a，
故当＝，即x＝e2时，f′(x)max＝－a，
所以－a≤0，故a≥，
所以a的最小值为.
(2)“若?x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立”等价于当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤f′(x)max＋a，
当x∈[e，e2]时，有f′(x)max＝－a，即f′(x)max＋a＝，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤”．
①当a≥时，f(x)在[e，e2]上为减函数，
则f(x)min＝f(e2)＝－ae2≤，故a≥－.
②当0故f′(x)的值域为[f′(e)，f′(e2)]，即.
由f′(x)的单调性和值域知，存在唯一x0∈(e，e2)，
使f′(x0)＝0，且满足：
当x∈(e，x0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(x0，e2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
所以f(x)min＝f(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)．
所以a≥－>－>－＝，与0综上，实数a的取值范围为a≥－.
?名师点津
存在型不等式成立主要是转化为最值问题，如存在x1，x2∈[a，b]使f(x1)≤g(x2)成立?f(x)min≤g(x)max，转化为最值问题求解．
|跟踪训练|
2．(2019届贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln
a.
由f′(x)>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln
a)；
由f′(x)<0，得f(x)的单调递减区间为(ln
a，＋∞)．
(2)因为?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，
则ax≤，即a≤.
令h(x)＝，则问题转化为a≤h(x)max，
因为h′(x)＝，
令h′(x)＝0，则x＝.
当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.
PAGE第三课时　利用导数证明不等式
★方法一　移项作差构造法证明不等式
【例1】　(2020届贵阳摸底)已知f(x)＝ex，g(x)＝x＋1(e为自然对数的底数)．
(1)求证：f(x)≥g(x)恒成立；
(2)设m是正整数，对任意正整数n，…[解]　(1)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，
故h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0恒成立，
所以f(x)≥g(x)恒成立．
(2)由(1)可知0<1＋所以正整数m的最小值为2.
?名师点津
若证明f(x)★方法二　转化为两函数最值法证明不等式
【例2】　(2019届长沙模拟)已知函数f(x)＝ex2－xln
x．求证：当x>0时，f(x)[证明]　要证f(x)xx＋.
令h(x)＝ln
x＋(x>0)，则h′(x)＝，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)min＝h＝0，所以ln
x＋≥0.
再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，
易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－exx＋，故原不等式成立．
?名师点津
在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明．
★方法三　放缩法证明不等式
【例3】　已知函数f(x)＝ax－ln
x－1.
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；
(2)求证：＋x＋ln
x－1≥0；
(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xln
x恒成立，求k的取值范围．
[解]　(1)f(x)≥0?a≥，
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，
∴当x∈(0，1)时，g′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝1，则a≥1，
∴a的最小值为1.
(2)证明：当a＝1时，由(1)得，x≥ln
x＋1，
即t≥ln
t＋1(t>0)．
令＝t，则－x－ln
x＝ln
t，
∴≥－x－ln
x＋1，即＋x＋ln
x－1≥0.
(3)∵k(e－x＋x2)≥x－xln
x恒成立，
即k≥1－ln
x恒成立，
∴k≥.
由(2)知，＋x＋ln
x－1≥0恒成立，即1－ln
x≤＋x恒成立．
∴≤1，
∴k≥1，故k的取值范围为[1，＋∞)．
?名师点津
导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln
x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln
x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2，当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥x2＋1，当且仅当x＝0时取等号；
(5)≤ln
x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，≤ln
x≤，当且仅当x＝1时取等号．
【例4】　已知函数f(x)＝ln
x－ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.
[解]　(1)当a＝0时，f(x)＝ln
x＋x，则f(1)＝1，
所以切点为(1，1)．
又因为f′(x)＝＋1，
所以切线斜率k＝f′(1)＝2，
故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)证明：当a＝－2时，f(x)＝ln
x＋x2＋x(x>0)．
因为f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，即ln
x1＋x＋x1＋ln
x2＋x＋x2＋x1x2＝0，
所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)，
令t＝x1x2，设φ(t)＝t－ln
t(t>0)，
则φ′(t)＝1－＝，
易知φ(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1.
因为x1>0，x2>0，所以x1＋x2≥成立．
?名师点津
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
|跟踪训练|
已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x12a.
解：(1)因为f′(x)＝－＝(x>0)，
所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数无最小值．
当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝ln
a＋1.
(2)证明：若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x1x1＋＝ln
x2＋，即＝ln.
要证x1＋x2>2a，只需证(x1＋x2)·>2aln
，即证－>2ln
(由(1)得，a>0)．
设＝t(t>1)，则－>2ln
等价于t－>2ln
t.
令g(t)＝t－－2ln
t，则g′(t)＝1＋－＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，即t－>2ln
t，故x1＋x2>2a.
PAGE第二课时　导数与函数的极值、最值
——多维探究
函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．
常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围)．
●命题角度一　知图判断函数极值
【例1】　(2019届赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－22时，f′(x)>0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．
[答案]　D
●命题角度二　已知函数求极值
【例2】　(1)(2019届昆明市高三诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是(　　)
A．4e－2
B．4e2
C．e－2
D．e2
[解析]　f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－2[答案]　A
(2)(2019届兰州市高三诊断)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R.
①当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；
②求函数y＝f(x)的极值点．
[解]　①当a＝－1时，f(x)＝x3－x2＋x，
∴f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．
②∵f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)·[x－(a＋2)]，
ⅰ当a＝－1或a＝2时，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)为R上的增函数，无极值点．
ⅱ当a<－1或a>2时，a2>a＋2，
可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)．
ⅲ当－1可得当x∈(－∞，a2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)．
综上，当a＝－1或a＝2时，函数f(x)无极值点；
当a<－1或a>2时，函数f(x)的极大值点为x＝a＋2，极小值点为x＝a2；
当－1●命题角度三　已知函数极值情况求参数值(范围)
【例3】　(1)(2019届山东省、湖北省部分重点中学质检)已知函数f(x)＝xln
x－x2－x有极值，则实数m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　解法一：因为f(x)＝xln
x－x2－x，则f′(x)＝ln
x－mx.因为函数f(x)有极值，即f′(x)＝ln
x－mx有变号零点，即函数g(x)＝与函数y＝m在(0，＋∞)上的图象有交点(除去相切的情况)．因为g′(x)＝，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝＝，画出函数g(x)的大致图象，如图所示，
若g(x)＝与y＝m的图象有交点(除去相切的情况)，则m<，故选B．
解法二：当m＝0时，f(x)＝xln
x－x，f′(x)＝ln
x，当01时，f′(x)>0，故f(x)＝xln
x－x在x＝1处取得极值，符合题意，排除A、C；当m＝时，f(x)＝xln
x－x2－x，f′(x)＝ln
x－x，令g(x)＝ln
x－x，则g′(x)＝－，当00；当x>e时，g′(x)<0，故g(x)≤g(e)＝0，即f′(x)≤0，f(x)单调递减，无极值，排除D．故选B．
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝x3＋x2－.
①若函数f(x)在区间(a，a＋5)上存在极值，求实数a的取值范围；
②若函数f(x)在区间(a，a＋5)上存在最小值，求实数a的取值范围．
[解]　①∵f′(x)＝x2＋2x，x∈R，
令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝0，
∴当x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－2，0)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数．
∴x＝－2，x＝0分别为函数f(x)的极大值点与极小值点．
由题意得－2∈(a，a＋5)或0∈(a，a＋5)，
则或解得－7故实数a的取值范围为(－7，0)．
②由①得，f(x)的极小值为f(0)＝－，
令f(x)＝－，即x3＋x2＝0，解得x＝－3或x＝0.
∵函数f(x)在区间(a，a＋5)上存在最小值，
∴解得－3≤a<0，故实数a的取值范围为[－3，0)．
?名师点津
利用导数研究函数极值的一般流程
已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程．需注意的是，必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
|跟踪训练|
1．若函数f(x)＝aex－sin
x在x＝0处有极值，则a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．e
解析：选C　f′(x)＝aex－cos
x，若函数f(x)＝aex－sin
x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C．
2．已知函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
解：(1)当a＝时，f(x)＝ln
x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
ln
2－1
?
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln
2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，故函数在x＝处有极大值．
综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点；当a>0时，函数有一个极大值点x＝.
【例4】　已知函数f(x)＝－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m>0，求函数f(x)在区间[m，2m]上的最大值．
[解]　(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，由得0由得x>e，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)①当即0所以f(x)max＝f(2m)＝－1；
②当m所以f(x)max＝f(e)＝－1＝－1；
③当m≥e时，函数f(x)在区间[m，2m]上单调递减，
所以f(x)max＝f(m)＝－1.
?名师点津
求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路
(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
[提醒]　求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
|跟踪训练|
3．(2018年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin
x＋sin
2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos
x＋2cos
2x＝2cos
x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos
x－1)＝2(2cos
x－1)(cos
x＋1)．
∵cos
x＋1≥0，
∴当cos
x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos
x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos
x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin
x＋sin
2x＝2sin
x(1＋cos
x)，
∴当sin
x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
答案：－
4．已知函数f(x)＝excos
x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝excos
x－x，所以f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，所以f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，
则h′(x)＝ex(cos
x－sin
x－sin
x－cos
x)＝－2exsin
x，
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈，有h(x)所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
PAGE第二节　导数的应用
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).
　　应用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间仍为2021年高考考查的热点，题型是选择题、填空题或解答题.　　利用导数求函数的极值、最值以及求解极值和最值的综合问题仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是解答题，分值12分，或者填空题、选择题，分值为5到10分.
1.逻辑推理2.数学运算
‖知识梳理‖
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
?常用结论
(1)函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(4)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是点x0为极值点的充要条件．(　　)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
3．(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－xln
x的极值是(　　)
A．
B．
C．e
D．e2
答案：C
三、易错自纠
4．(2019届济宁模拟)函数f(x)＝x2－ln
x的最小值为(　　)
A．
B．1
C．0
D．不存在
解析：选A　由题意，得f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得01＝.故选A．
5．若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选D　依题意，得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<<1，∴k≥1，故选D．
6．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当x＝－1时有极值0，则a＋b的值为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在x＝－1处无极值，舍去，所以a＝2，b＝9，则a＋b＝11.
答案：11
第一课时　导数与函数的单调性
|题组突破|
1．已知函数f(x)＝xln
x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
解析：选D　函数f(x)＝xln
x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，
当f′(x)>0时，解得x>，即函数f(x)的单调递增区间为；
当f′(x)<0时，解得02．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．
解析：设幂函数f(x)＝xa，因为图象过点，
所以＝，解得a＝2，
所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，
则g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)，
令g′(x)<0，得－2故函数g(x)的单调递减区间为(－2，0)．
答案：(－2，0)
3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin
x＋cos
x，则f(x)的单调递增区间是______________．
解析：由题意，得f′(x)＝sin
x＋xcos
x－sin
x＝xcos
x.
由f′(x)＝xcos
x>0(x∈(－π，π))，
得－π即函数f(x)的单调递增区间是和.
答案：和
?名师点津
利用导数求函数单调区间的3种方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
【例1】　(2018年全国卷Ⅰ，节选)已知函数f(x)＝－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①当a≤2时，f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当a>2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
?名师点津
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
[提醒]　研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
|跟踪训练|
已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．
解：(分类讨论思想)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)单调递增；
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln
a.
当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增；
③若a<0
，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
●命题角度一　比较大小或解不等式
【例2】　(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)(xln
x2)>2f(x)，则(　　)
A．6f(e)>2f(e3)>3f(e2)
B．6f(e)<3f(e2)<2f(e3)
C．6f(e)>3f(e2)>2f(e3)
D．6f(e)<2f(e3)<3f(e2)
(2)(2019届山西重点中学联考)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋f(x)＝，且f(e)＝，其中e为自然对数的底数，则不等式f(x)＋e>x＋的解集是(　　)
A．(0，e)
B．
C．
D．(e，＋∞)
[解析]　(1)设F(x)＝，x>0且x≠1，因为f′(x)·(xln
x2)>2f(x)，所以F′(x)＝＝>0，所以F(x)在(0，1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F(e)(2)令g(x)＝xf(x)，则f(x)＝，∵g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝，∴f′(x)＝＝，令h(x)＝ln
x－g(x)，则h′(x)＝－g′(x)＝，当00；当x>e时，h′(x)<0，∴h(x)≤h(e)＝1－g(e)＝1－ef(e)＝0，∴f′(x)≤0.令φ(x)＝f(x)－x，则φ′(x)＝f′(x)－1≤－1<0，∴φ(x)为减函数．又不等式f(x)＋e>x＋可化为φ(x)>φ(e)，∴0[答案]　(1)B　(2)A
?名师点津
利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
●命题角度二　已知函数的单调性求参数——变式探究
【例3】　已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax2＋2x(a∈R)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解]　(1)因为h(x)＝ln
x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．
设G(x)＝－，
所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝－1，
所以G(x)min＝－1.
所以a>－1，即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，
当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，即实数a的取值范围是.
|变式探究|
1．(变问法)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：由h(x)在[1，4]上单调递增得，当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立，
所以当x∈[1，4]时，a≤－恒成立．
又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)，
所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．
2．(变问法)若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解：若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则h′(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>－有解．
又当x∈[1，4]时，＝－1，
所以a>－1，即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
3．(变条件)若函数h(x)在[1，4]上不单调，求实数a的取值范围．
解：∵h(x)在[1，4]上不单调，
∴h′(x)＝0在(1，4)上有解，
即a＝－＝－1有解．
令m(x)＝－1，x∈(1，4)，
则－1∴实数a的取值范围为.
?名师点津
利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
(1)由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式．
(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．
(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
[提醒]　f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
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