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第一节　直线与直线方程
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
　　直线方程的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
?常用结论
1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.
2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan
α的图象是不连续的．如由－≤k≤，得α∈∪.
3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
?常用结论
1．截距不是距离，它可正可负也可为零．
2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、走进教材
2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．
答案：12x－y－18＝0
3．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
三、易错自纠
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
解析：选D　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；
当y＝0时，x＝.∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
5．(2019届西安质检)直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
解析：直线l的方程可变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．
解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为x－y＋10＝，即3x－4y＋25＝0.
综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
|题组突破|
1．直线xsin
α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A．[0，π)
B．∪
C．
D．∪
解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则有tan
θ＝－sin
α，
又－sin
α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，
所以0≤θ≤或≤θ<π.
2．已知直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________________．
解析：如图，因为kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
所以直线l的斜率k∈(－∞，－
]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－
]∪[1，＋∞)
3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．
解析：由题意，得k＝＝1，解得m＝1.
答案：1
?名师点津
斜率取值范围的2种求法
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【例】　(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解]　(1)设所求直线的斜率为k，
依题意，得k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1，3)，
所以所求直线方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，
将(－5，2)代入所设方程，得＋＝1，解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k，解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
?名师点津
直线方程求法中2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
|跟踪训练|
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，∴a＝2，∴方程为3x＋y＝0；
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，解得a＝0，∴方程为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或解得a≤－1.
综上可知，a的取值范围是{a|a≤－1}．
直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
【例】　(2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2.设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B．
[答案]　B
?名师点津
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
|跟踪训练|
(2019届沈阳模拟)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
解析：∵直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，
∴＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当b＝a时等号成立．
∴直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2.
答案：3＋2
PAGE第五节　椭　圆
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单性质.
　　椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～17分.
1.直观想象2.数学运算
‖知识梳理‖
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)
离心率
e＝，且e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
?常用结论
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0.
(2)＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0.
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin
θ＝b2tan
＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
(2)直线AB的斜率kAB＝.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
二、走进教材
2．(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________．
答案：＋＝1
3．(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________．
答案：或
三、易错自纠
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，∴所求椭圆标准方程为＋＝1.
5．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21
B．21
C．－或21
D．或－21
解析：选D　当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝；
当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，
∴k的值为或－21.
6．(2019届深圳模拟)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选C　
由椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.又a2－b2＝5，所以b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C．
|题组突破|
1．设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：选C　设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，
由题意得，|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，
所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|.
故|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.
2．(2019届湖南湘潭联考)已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为椭圆C上的一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．
B．
C．4
D．
解析：选D　设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′，则F′(2，0)，F(－2，0)．
由A，得|AF′|＝.
根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝.
3．(2019年全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选B　设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.
在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1，
①
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，
即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，
②
由①②得x＝，所以2a＝4x＝2，a＝，
所以b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B．
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
解析：解法一：由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
∵⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2.
∵S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝9，
∴b＝3.
解法二：由结论S△PF1F2＝9＝b2tan
＝b2tan
＝b2，得b＝3.
答案：3
?名师点津
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
|题组突破|
5．(2020届陕西摸底)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)
A．2－
B．－
C．－1
D．－
解析：选D　设|PF1|＝|PQ|＝m(m＞0)，则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由题意知，△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(4a－2a)2＋[2a－(4a－2a)]2＝4c2，整理得4×2＝36－24，即＝＝－，故选D．
6．(2019年北京卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
解析：选B　由题意知e2＝＝，
整理得3a2＝4b2，故选B．
7．(2019年全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程＋＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，|F2M|＝4.
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x0＋4）2＋y＝64，,（x0－4）2＋y＝16，))
解得x0＝3，y0＝，即M(3，)．
答案：(3，)
?名师点津
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．
【例】　(2019届重庆市第一次调研抽测)已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，且·＝－1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，||＝||，求的值．
[解]　(1)A1，A2，B的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，(0，b)，则＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
∴·＝(－a，－b)·(a，－b)＝b2－a2＝－1，
∴c2＝1.
又e＝＝，∴a2＝4，b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知F(－1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵直线l与x轴不垂直，∴可设其方程为y＝k(x＋1)．
当k＝0时，易得|MN|＝4，|DF|＝1，∴＝4.
当k≠0时，联立得
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝|x1－x2|＝＝.
又y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，
∴MN的中点坐标为.
∴MN的垂直平分线方程为
y－＝－(k≠0)，
令y＝0得，x＋＝0，解得x＝－.
∴|DF|＝＝，∴＝4.
综上所述，＝4.
?名师点津
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线的斜率)．
[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
|跟踪训练|
(2019年江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以|F1F2|＝2，即c＝1.
又因为|DF1|＝，AF2⊥x轴，
所以|DF2|＝＝＝.
因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
因此，椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．
又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.
由得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－.
将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.
因此B.
又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.
将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.
因此E.
【例】　(1)(2019届河南名校压轴第二次考试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个顶点为M，直线l：5x－12y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)(2019届江苏盐城中学考前热身)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
[解析]　(1)(用几何法求离心率的取值范围)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，所以6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，所以a＝3.
取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于，
所以≥，解得b≥1.
所以e＝＝≤
＝.
所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A．
(2)(用直接法求离心率的取值范围)设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a.
因为＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，
所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，
所以b2－c2≤·≤b2，所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.
所以≤≤，即≤e≤.
[答案]　(1)A　(2)
?名师点津
求椭圆离心率范围的2种方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
|跟踪训练|
(2019届湖南长沙长郡中学模拟)已知椭圆x2＋＝1(0A．
B．
C．
D．
解析：选A　由题意知，F(－c，0)，A(0，b)，B(1，0)，设△FAB的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋M＝0，将F(－c，0)，A(0，b)，B(1，0)的坐标分别代入外接圆的方程可得解得故外接圆的方程为x2＋y2＋(c－1)x＋y－c＝0，即＋＝，故m＝，n＝，由题意得m＋n<0，即＋<0，即1－c＋b－<0?b－c＋<0，所以b－c<0，即b2，所以PAGE第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
　　判断直线与圆的位置关系，判断圆与圆的位置关系，求弦长是2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，可能出现解答题，分值为5～12分.
1.数学运算2.直观想象
‖知识梳理‖
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d2.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d>R＋r
d＝R＋r
R－rd＝R－r
d公切线条数
4
3
2
1
0
?常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是参数．
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、走进教材
2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案：
3．(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
答案：2
三、易错自纠
4．(2019届惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
解析：选B　由题意知，两圆的圆心距离为＝，两圆的半径之差为1，半径之和为5，又1<<5，所以两圆相交．
5．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为(　　)
A．6
B．3
C．6
D．3
解析：选A　设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB．∵圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝＝1，∴弦长|AB|＝2×＝2＝2×3＝6.故选A．
6．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．
解析：由已知条件知圆心为(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.
设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋，即25＝d2＋16，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0.
答案：x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0
|题组突破|
1．(2019届西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：选B　由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)．又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5<0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．
2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
解析：选B　由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，所以圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，半径之和为3，1<<3，故两圆相交．
?名师点津
1．判断直线与圆的位置关系的一般方法
几何法
圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小
代数法
将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系
2.圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【例1】　(2019届广东七校联考)已知点P(3，＋2)，Q(4，3)，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝9.
(1)求过点P的圆M的切线方程；
(2)求过点Q的圆M的切线方程以及切线长．
[解]　由题意知圆M的圆心为M(1，2)，半径r＝3.
(1)∵(3－1)2＋(＋2－2)2＝9，∴点P在圆M上．
又kPM＝＝，∴切线的斜率k＝－＝－.∴过点P的圆M的切线方程为y－(＋2)＝－(x－3)，即2x＋y－11－2＝0.
(2)∵(4－1)2＋(3－2)2＝9＋1＝10>9，
∴点Q在圆M外部．
①当过点Q的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝4，即x－4＝0.
又知点M(1，2)到直线x－4＝0的距离d＝4－1＝3＝r，∴直线x－4＝0符合题意．
②当过点Q的直线的斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－4)，即kx－y－4k＋3＝0，则圆心M到直线的距离d＝＝3，即|1－3k|＝3，解得k＝－，
∴切线方程为－x－y－4×＋3＝0，即4x＋3y－25＝0.
综上可知，过点Q的圆M的切线方程为x＝4或4x＋3y－25＝0.
∵|QM|＝＝，
∴过点Q的圆M的切线长为＝＝1.
?名师点津
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
[提醒]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．
|跟踪训练|
1．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解：(1)将圆C的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝2，即C(1，2)，半径为.
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx(k≠0)，
由直线与圆相切得＝，
解得k＝－2±，
所以切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由直线与圆相切得＝，解得a＝1或a＝5，所以切线方程为x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
综上，所求的切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
即2x1＋4y1－3＝0，即点P在直线l：2x＋4y－3＝0上，
所以|PM|min＝|PO|min＝＝.
【例2】　已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．
[解]　(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，
因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.
又⊙H截x轴所得线段的长为2，
所以r2＝1＋n2＝2，
所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，
所以M.
因为M，N两点均在⊙H上，
所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，
①
＋＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8.
②
若记⊙I为(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知⊙H与⊙I有公共点，
从而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋
]．
?名师点津
有关弦长问题的2种求法
几何法
直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝＋d2
代数法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝
|跟踪训练|
2．(2019届河北石家庄质检)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选B　将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，解得a＝3.
3．(2019届安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝(　　)
A．
B．2
C．2
D．4
解析：选B　解法一：由题意知圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝＝，又弦长为2，所以2＝2，所以r＝2，故选B．
解法二：联立得整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝2，解得r＝2.
【例】　(2019届河南信阳二模)若直线y＝kx＋1(k≠0)与圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，C点坐标为(3，0)，若点M(a，b)满足＋＋＝0，则a＋b等于(　　)
A．1
B．
C．
D．
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为N(0，1)，又知直线y＝kx＋1(k≠0)恒过定点(0，1)，即圆心N，所以x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.因为＋＋＝0，所以点M为△ABC的重心，所以所以a＋b＝，故选C．
[答案]　C
?名师点津
直线与圆的位置关系多与平面向量、不等式、概率等交汇应用考查，着重考查数学运算能力．
|跟踪训练|
直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|＋|≤||，则实数t的取值范围是________．
解析：将|＋|≤||＝|－|两边平方，得·≤0，所以圆心到直线的距离d＝≤×＝1，解得－≤t≤，故实数t的取值范围是[－，
]．
答案：[－，
]
PAGE第三节　圆的方程
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
　　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
　　求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题是2021年高考考查的热点，题型以选择题与填空题为主，也可能出现在解答题中，分值为5～12分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圆外；
(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)|MC|?常用结论
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、走进教材
2．(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2，3)，3
B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)，
答案：D
3．(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
三、易错自纠
4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2答案：
5．已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1，2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．
解析：将圆的方程配方得＋(y＋1)2＝，则4－3a2>0，即－，化简得a2＋a＋9>0，a∈R，故a的取值范围是.
答案：
6．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是________．
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：x2＋(y－2)2＝1
|题组突破|
1．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A．＋y2＝
B．＋y2＝
C．＋y2＝
D．＋y2＝
解析：选C　解法一(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即圆E的标准方程为＋y2＝.
解法二(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，
所以圆E的圆心坐标为.
所以圆E的半径为|EB|＝
＝，
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，
设C(a，0)，且a>0，
由圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以C(2，0)，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
3．(2019年北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．
解析：因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.因为所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
?名师点津
1．求圆的方程的两种方法
几何法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定系数法
①根据题意，选择标准方程与一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【例】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
?名师点津
求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
|跟踪训练|
从圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0
D．6x－8y－21＝0
解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D．
【例】　(2019届四川省宜宾市高三适应性考试)若动点P在直线a：x－2y－2＝0上，动点Q在直线b：x－2y－6＝0上，记线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，则x＋y的取值范围为________．
[解析]　由题意知，直线a：x－2y－2＝0与直线b：x－2y－6＝0平行．
因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，
所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上．
设该直线为l，则直线l的方程为x－2y－4＝0.
因为线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，所以点M(x0，y0)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5的内部或在圆上．
设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．
联立直线l与圆的方程，得解得A(4，0)，B(0，－2)．
因为x＋y＝|OM|2，x＋y表示的几何意义为线段AB上的点到原点的距离的平方，
所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x＋y的最小值为＝，当M与A重合时，x＋y取得最大值，且最大值为42＋02＝16，即x＋y的最大值为16，所以x＋y的取值范围是.
[答案]　
?名师点津
求解与圆有关的最值、范围问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为
|跟踪训练|
已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2，2－
B．2＋，2－
C．，4－
D．＋1，－1
解析：选B　由题意知|AB|＝＝，
lAB：2x－y＋2＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，
∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.
∴S△PAB的最大值为××＝2＋，
S△PAB的最小值为××＝2－.
PAGE第七节　抛物线
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单性质.
　　抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题，有时出现解答题，分值为5～12分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内．
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
?常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)＋＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是______________．
答案：y2＝－x或x2＝y
3．(选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．
答案：2
三、易错自纠
4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A．
B．－
C．4
D．－4
解析：选B　由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程为y＝－＝1，解得a＝－.
5．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
6．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________________________________________．
解析：由题知，直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.则抛物线方程为y2＝4x，
所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
|题组突破|
1．(2019届南昌市一模)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)
A．x＝
B．x＝－
C．y＝
D．y＝－
解析：选D　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－，故选D．
2．(2019届湖北四地七校3月联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝－8x
解析：选D　因为AB⊥x轴，且AB过焦点F，所以线段AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或p＝－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D．
3．(2019届安徽省五校二检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线C上，且|PF|＝，则p＝(　　)
A．
B．
C．
D．1
解析：选B　抛物线的准线方程为y＝－，因为P在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B．
?名师点津
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．
常见的命题角度有：(1)到焦点与定点的距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之和最小问题；(3)焦点弦中的距离之和最小问题．
●命题角度一　到焦点与定点的距离之和最小问题
【例1】　(2019届重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析]　由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A．
[答案]　A
●命题角度二　到点与准线的距离之和最小问题
【例2】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
[解析]　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝＝.
[答案]　
●命题角度三　焦点弦中的距离之和最小问题
【例3】　已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
[解析]　由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
[答案]　2
?名师点津
与抛物线有关的最值问题的2个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
|跟踪训练|
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　)
A．2－1
B．2－2
C．－1
D．－2
解析：选C　由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0，4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1，0)．由抛物线的几何性质可得点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.故选C．
2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)
A．6
B．2＋4
C．2
D．4
解析：选C　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2，0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4，0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2.
【例4】　(2019年全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)．B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，解得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入抛物线C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.
?名师点津
直线与抛物线相交问题处理规律
1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
2．对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
3．对于抛物线x2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y＝得k＝y′＝.
|跟踪训练|
3．(2020届惠州调研)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝(　　)
A．
B．
C．
D．1
解析：选A　解法一：因为抛物线C：y＝2x2，所以F0，，抛物线C的准线方程为y＝－.如图，过点M作抛物线准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2＝，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝，故选A．
解法二：因为抛物线y＝2x2，所以F.设N(x0，0)，则由2＝得M，代入抛物线方程，得＝2，解得x＝，则|FN|＝＝
＝，故选A．
4．(2019届武汉市武昌区高三调考)过抛物线E：x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，抛物线在M，N两点处的切线交于点P.
(1)证明：点P落在抛物线E的准线上；
(2)设＝2，求△PMN的面积．
解：(1)证明：抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程x2＝4y中，整理得x2－4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
对y＝x2求导，得y′＝x，
所以直线PM的方程为y－y1＝x1(x－x1)，
①
直线PN的方程为y－y2＝x2(x－x2)．
②
联立方程①②，消去x，得y＝－1.
所以点P落在抛物线E的准线上．
(2)因为＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)，且＝2，所以又由(1)知，x1·x2＝－4，解得x＝8，x＝2.
不妨取M(2，2)，N，则由①②得P.
易得|MN|＝，点P到直线MN的距离d＝，
所以△PMN的面积S＝××＝.
【例】　(2019届郑州市第一次质量预测)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　)
A．
B．1
C．
D．2
[解析]　如图，过A，B两点分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P.设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，在△ABF中，由余弦定理得，|AB|2＝a2＋b2－2abcos
60°＝a2＋b2－ab，即|AB|2＝(a＋b)2－3ab.因为ab≤，所以|AB|2＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3＝，即|AB|≥，所以≥＝1，故选B．
[答案]　B
?名师点津
抛物线常与平面向量、三角、不等式、导数的几何意义等知识交汇应用，求解时注意利用条件，结合图形分析转化．
|跟踪训练|
抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两动点，若|AB|＝(x1＋x2＋2)，则∠AFB的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　因为|AB|＝(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.
在△AFB中，由余弦定理得
cos∠AFB＝
＝
＝－1＝－1.
又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2?|AF|·|BF|≤|AB|2，所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB的最大值为.故选A．
PAGE第六节　双曲线
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.了解双曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.
　　双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
(1)在平面内．
(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数．
(3)非零常数小于|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
?常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
5．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴顶点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、走进教材
2．(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案：x2－y2＝8
3．(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
答案：6
三、易错自纠
4．双曲线－＝1(0A．6
B．12
C．36
D．2
解析：选B　由题意得c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，∴双曲线的焦距为12.
5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2
B．2
C．
D．1
解析：选A　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点为(±4，0)，故焦点到渐近线的距离d＝2.
6．(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1，解得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
|题组突破|
1．(2019届唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．1
B．
C．2
D．
解析：选A　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2，所以△F1PF2的面积S＝mn＝1，故选A．
2．(2020届合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
解析：选D　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1；当焦点在y轴上时，＝，所以b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.综上所述，该双曲线的方程为－＝1或－＝1，故选D．
3．(2020届陕西摸底)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为(　　)
A．13
B．12
C．11
D．10
解析：选C　由题意得双曲线的实半轴长a＝2，虚半轴长b＝.根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4①，|BF2|－|BF1|＝2a＝4　②，①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋8.又|AB|min＝＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为11，故选C．
?名师点津
1．双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
2．求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
●命题角度一　已知离心率求渐近线方程
【例1】　(2018年全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
[解析]　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率＝＝，
∴a2＋b2＝3a2.∴
b＝a(a>0，b>0)．
∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A．
[答案]　A
●命题角度二　已知渐近线求离心率
【例2】　(1)(2019年浙江卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A．
B．1
C．
D．2
(2)(2019年全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2sin
40°
B．2cos
40°
C．
D．
[解析]　(1)因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C．
(2)依题意知，－＝tan
130°＝tan(130°－180°)＝－tan
50°，两边平方得＝tan250°＝e2－1，即e2＝1＋tan250°＝，又e>1，∴e＝，故选D．
[答案]　(1)C　(2)D
●命题角度三　由离心率或渐近线求双曲线方程
【例3】　(2019届重庆市第一次调研抽测)已知抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，且该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，则该双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1
B．x2－＝1
C．－＝1
D．－＝1
[解析]　由题意知，抛物线y2＝－4x的准线l：x＝，因为抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1的一个焦点F，所以F(，0)，所以a2＋b2＝5.因为该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，所以－2＝－，所以b＝2a，所以a＝1，b＝2，所以该双曲线的方程为x2－＝1，故选B．
[答案]　B
?名师点津
解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
【例4】　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±2x
D．y＝±4x
[解析]　由题意得，渐近线方程为y＝±x，设垂直于直线l的渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率k1＝－，则直线l的方程为y＝－，整理可得，ax＋by－a2＝0，焦点(c，0)到直线l的距离d＝＝，则|MN|＝2＝2＝c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，即(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0.又双曲线的离心率e>1，所以e＝2.又a2＋b2＝c2，e＝，所以b＝a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B．
[答案]　B
?名师点津
直线与双曲线位置关系的判断方法
直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
|跟踪训练|
过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线l，交双曲线于A，B两点．若|AB|＝4，则这样的直线有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
解析：选B　当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，弦长|AB|的最小值为实轴长2a＝2；当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，弦长|AB|的最小值为通径长＝4.根据双曲线的对称性可知，若|AB|＝4，则当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，这样的直线有2条；当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，这样的直线有1条．综上，若|AB|＝4，则这样的直线有且仅有3条．
【例】　(2020届成都摸底)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A．
B．(，)
C．∪(，＋∞)
D．(1，)∪(，＋∞)
[解析]　由双曲线定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a.又|MF2|＋|MN|＞4b恒成立，所以|MF1|＋|MN|＋2a＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＞4b－2a恒成立．
(|MF1|＋|MN|)min＞4b－2a.由平面几何知识，得当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值，所以＞4b－2a，即3·－8·＋4＞0，解得0＜＜或＞2.又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)，故选C．
[答案]　C
?名师点津
求解双曲线离心率的取值范围
(1)几何法：借助平面几何图形中的不等关系(线段长度、角度、斜率等)，如焦半径|PF1|∈[c－a，＋∞)或|PF1|∈[a＋c，＋∞)、三角形中两边之和大于第三边、渐近线等．
(2)不等式法：借助题目中给出的不等信息．
(3)代数法：借助函数的值域求解范围．
|跟踪训练|
(2019届长春市第二次质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(1，2]
D．
解析：选B　由|PF1|＝4|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝≥c－a，故c≤＋a＝，则e＝≤.又因为双曲线的离心率e>1，所以1PAGE第二课时　最值、范围、证明问题
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
掌握最值、范围、证明问题.
　　最值、范围、证明问题一直是命题热点，主要在解答题中考查，最值、范围问题也常在选择题、填空题中考查，分数均为12分.
1.逻辑推理2.数学运算
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题．
对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用．
【例1】　(2020届成都摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(4，0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值．
[解]　(1)由椭圆的定义，可知2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4，解得a＝2.
又b2＝a2－()2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意，设直线l的方程为x＝my＋4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1)．
由消去x可得，(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.
∵Δ＝16(m2－12)＞0，∴m2＞12.
且y1＋y2＝，y1y2＝.
∵kP′Q＝＝，
∴直线P′Q的方程为y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，可得x＝＋my1＋4.
∴x＝＋4＝＋4＝＋4＝1，
∴D(1，0)．
∴S△DPQ＝|S△BDQ－S△BDP|＝|BD||y1－y2|＝＝.
令t＝，t∈(0，＋∞)，
则S△DPQ＝＝≤，当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立，∴△DPQ面积的最大值为.
?名师点津
最值问题的3个求解方法
(1)建立函数模型
利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型
利用基本不等式求最值．
(3)数形结合
利用相切、相交的几何性质求最值．
|跟踪训练|
1．已知椭圆E：＋x2＝1(a>1)的离心率为，若圆A：x2＋(y－a)2＝r2(r>0)与椭圆E相交于B，C两点．
(1)求·的最小值；
(2)若F1，F2分别是椭圆E的上、下焦点，经过点F1的直线l与椭圆E交于M，N两点，求当△OF2N与△OF2M(O为坐标原点)的面积之和取得最大值时，直线l的方程．
解：(1)因为e＝＝＝，所以a＝2，
所以椭圆E的方程为＋x2＝1，
所以圆心A的坐标为(0，2)．
设B(x0，y0)，由对称性得C(－x0，y0)，且eq
\f(y,4)＋x＝1，
所以·＝(x0，y0－2)·(－x0，y0－2)
＝(y0－2)2－x＝(y0－2)2－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)))＝y－4y0＋3
＝－.
由题意得－2所以当y0＝时，·取得最小值，最小值为－.
(2)由题意知F1(0，)，F2(0，－)，直线l的斜率一定存在．
设l：y＝kx＋，
联立方程，得化简可得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0，
Δ＝(2k)2＋4(4＋k2)＝16k2＋16>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以△OF2N与△OF2M的面积之和
S＝×|x1－x2|＝×
＝×＝×
＝2×.
令t＝1＋k2，则t≥1，
所以S＝2×＝2×＝2×≤1，当且仅当t＝3，即k＝±时等号成立，
所以当k＝±时，△OF2N与△OF2M的面积之和取得最大值，此时直线l的方程为
x－y＋＝0或
x＋y－＝0.
圆锥曲线中常见范围问题
(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．
(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为因变量，另一个元作为自变量求解．
【例2】　(2019届郑州市第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2的周长为4＋2，且面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，求|OP|的取值范围．
[解]　(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋2，可得2(a＋c)＝4＋2，∴a＋c＝2＋，　①
当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝，　②
由①②及a2＝c2＋b2，得a＝2，b＝1，c＝，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，
∵k1k2＝－，∴k1＝±，不妨取k1＝，则直线OA的方程为y＝x，
不妨取点A，则B，P(，0)，
∴|OP|＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)>0，　③
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵k1k2＝－，∴4y1y2＋x1x2＝0，
∴4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－＋4m2＝0，
化简得2m2＝1＋4k2(满足③式)，∴m2≥.
设P(x0，y0)，则x0＝＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∴|OP|2＝x＋y＝＋＝2－∈，
∴|OP|∈.
综上，|OP|的取值范围为.
?名师点津
求参数范围的4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形法方程：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
|跟踪训练|
2．(2019届石家庄市一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0，2)到焦点F的距离|PF|＝2x0.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P引圆M：(x－3)2＋y2＝r2(0解：(1)由抛物线定义，得|PF|＝x0＋，由题意得，
解得
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由题意知，过点P引圆(x－3)2＋y2＝r2(0\f(|2k1＋2|,\r(k＋1))＝r，整理得，(r2－4)k－8k1＋r2－4＝0.
设切线PB的方程为y＝k2(x－1)＋2，同理可得(r2－4)·k－8k2＋r2－4＝0.
所以k1，k2是方程(r2－4)k2－8k＋r2－4＝0的两根，则k1＋k2＝，k1k2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，k1y2－4y－4k1＋8＝0，由根与系数的关系知，2y1＝，所以y1＝＝－2＝4k2－2，同理可得y2＝4k1－2.
t＝＝eq
\f(y＋y,8)＝＝2(k＋k)－2(k1＋k2)＋1＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3，
设λ＝k1＋k2，则λ＝∈[－4，－2)，
所以t＝2λ2－2λ－3，其图象的对称轴为λ＝>－2，
所以9故t的取值范围为(9，37]．
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
【例3】　(2019届陕西省高三二检)已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线AP与椭圆C在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆C上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：易知直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，则点D的坐标为(2，4k)，记线段BD的中点为E，则E的坐标为(2，2k)．
由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
设点P的坐标为(x0，y0)，则－2x0＝，
∴x0＝，y0＝k(x0＋2)＝.
由(1)知点F的坐标为(1，0)，
当k＝±时，点P的坐标为，直线PF⊥x轴，点D的坐标为(2，±2)，
此时以BD为直径的圆(x－2)2＋(y?1)2＝1与直线PF相切．
当k≠±时，直线PF的斜率kPF＝＝，
∴直线PF的方程为y＝(x－1)，
点E到直线PF的距离
d＝＝＝2|k|.
又|BD|＝4|k|，∴d＝|BD|，
∴以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上，当点P在椭圆C上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
?名师点津
圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
|跟踪训练|
3．(2020届合肥调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
解：(1)由椭圆的离心率为得，＝，　①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2，　②
∵a2＝b2＋c2，　③
联立①②③，解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
∵A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝得x1＝，代入直线PA1的方程得y1＝，即M.
同理可得N.
∵Q(1，0)，∴＝，＝，，
由·＝·知，M，Q，N三点共线.
第三课时　定点、定值、探索性问题
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
掌握定点、定值、探索性问题.
　　主要为解答题，考查定点、定值、探索性问题.
1.逻辑推理2.数学运算
定点问题常见的题型
1．证明直线过定点问题．
2．探究直线或圆过定点问题，求定点坐标．
【例1】　(2019年北京卷)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l恒过定点．
[解]　(1)由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2，
解得t＝0，所以直线l恒过定点(0，0)．
?名师点津
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
|跟踪训练|
1．(2019届昆明市教学质量检测)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则c＝，设椭圆的另一个焦点为F2，则F2(，0)，由椭圆的定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝＋＝4，所以a＝2，则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由已知得D(0，1)，由得(1＋4k2)·x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝，
由AD⊥BD得，·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－.
①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．
②当m＝－时，显然有Δ>0，直线l经过定点.
定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值．解这类问题的关键就是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【例2】　(2019届昆明调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设＝＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．
[解]　(1)由题意知2c＝4，即c＝2，
则椭圆C的方程为＋＝1.
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，所以直线AB的斜率kAB＝，
由＋＝，得D(x1＋x2，y1＋y2)，
所以直线OD的斜率kOD＝，
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)＋y＝1，,\f(x,5)＋y＝1，))得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，即·＝－，
所以kAB·kOD＝－.
故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.
?名师点津
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
—
　↓
—
　↓
—
|跟踪训练|
2．(2019届沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
解：(1)当点P位于短轴的顶点时，△PF1F2的面积最大，即×2c×b＝，
则有解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝m，
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝＝，
联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ＝64k2n2－4(4n2－12)(4k2＋3)>0得4k2－n2＋3>0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)·x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得＝12＋.
因为d＝为常数，则m＝0，d＝＝，
此时＝12满足Δ>0；
当MN⊥x轴时，由m＝0得kO
M＝±1，
联立消去y，得x2＝，
点O到直线MN的距离d＝|x|＝也成立．
综上可知，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.
圆锥曲线中的存在性问题
(1)存在性问题的解题步骤：①先假设存在，引入参数，根据题目条件列出关于参数的方程(组)或不等式(组)；②解此方程(组)或不等式(组)，若有解，则存在，若无解，则不存在．
(2)解决存在性问题要注意解题的规范性，一般先写出结论，后给出证明(理由)．
【例3】　(2020届湖北部分重点中学联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x＋y－2＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由椭圆的离心率e＝，得＝＝，则b＝c.
∴上顶点为(0，b)，右焦点为(b，0)，
∴以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为＋＝＝，圆心为，半径为b，
由题意知＝b，即|b－2|＝b，解得b＝1，∴c＝1，a＝，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)不存在．理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，M(x1，y1),
N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，所以y1＋y2＝，Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，故y0＝＝，－3＜t＜3.
由＝，得＝(x4－x2，y4－y2)，所以y1－＝y4－y2，即y4＝y1＋y2－＝t－，
（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，又D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝.）
又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故不存在斜率为2的直线满足条件．
?名师点津
存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
|跟踪训练|
3．(2019届昆明市高三质检)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，∠EAB＝90°.
(1)求p的值；
(2)已知点P的纵坐标为－1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为－1，试问直线QR是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．
解：(1)连接AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF|＝|EF|＝|AE|＝4，即△AEF是边长为4的正三角形，所以∠FAE＝60°，设准线l与x轴交于点D，在Rt△ADF中，∠FAD＝30°，所以p＝|DF|＝|AF|＝×4＝2.
(2)直线QR经过一定点．理由：由题意知直线QR的斜率不为0，设直线QR的方程为x＝my＋t，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)．
由得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.
又点P，Q在抛物线C上，所以kPQ＝＝eq
\f(yP－y1,\f(y,4)－\f(y,4))＝＝，同理可得kPR＝.
因为kPQ＋kPR＝－1，
所以＋＝＝＝－1，则t＝3m－.
由
解得m∈∪∪(1，＋∞)，
所以直线QR的方程为x＝m(y＋3)－，则直线QR过定点.
PAGE第九节　直线与圆锥曲线的综合问题
第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.2.理解数形结合的思想.3.了解圆锥曲线的简单应用.
　　主要通过直线与圆锥曲线的位置关系考查弦长、中点弦等问题，各种题型都有，难度中等偏上.
数学运算
‖知识梳理‖
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
?常用结论
1．直线与椭圆有且只有一个交点?直线与椭圆相切．
2．直线与双曲线有且只有一个交点?直线与渐近线平行或直线与双曲线相切(注意消元后二次项系数不为0)．
3．直线与抛物线有且只有一个交点?直线平行于抛物线的对称轴(或重合)或直线与抛物线相切．
2．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝
_·
＝
·|y1－y2|
＝
_·．
?常用结论
1．过焦点且垂直于椭圆、双曲线的对称轴的弦长即为通径长|AB|＝.
2．过抛物线焦点的弦长问题注意定义的应用．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　)
(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、走进教材
2．(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：C
3．(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________．
答案：16
三、易错自纠
4．(2019届湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心
D．相交且经过圆心
解析：选B　设圆心为M，过点A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，∴|AB|＝|BB1|＋|AA1|，即|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
5．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1
B．2
C．1或2
D．0
解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)
A．
B．
C．5
D．
解析：选D　过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.由题意得p＝2，x1＋x2＝，∴|AB|＝2＋＝.故选D．
|题组突破|
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离大于半径，
∴>2，
∴0∴0<＋<＋＝<1，
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B．
2．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)
A．k>－
B．k<
C．k>或k<－
D．－解析：选D　由双曲线渐近线的几何意义知－3．(2019届河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
解析：选A　因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故选A．
?名师点津
直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点
(1)判定方法
①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
(2)关注点
①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应讨论二次项系数是否为零的情况．
②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
【例1】　(2019届黄山一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P是椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值是4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，·＝0，且||＋||＝，求此时直线AC的方程．
[解]　(1)由题意知，当点P是椭圆上(或下)顶点时，△PF1F2的面积取得最大值．此时，S△PF1F2＝·2c·b＝4，又e＝＝，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2，故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，由·＝0得AC⊥BD．
①当直线AC与BD中有一条直线的斜率不存在时，||＋||＝14，不合题意．
②当直线AC的斜率存在且为k(k不为0)时，
其方程为y＝k(x＋2)．
由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以||＝＝.
直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理可得||＝.
由||＋||＝＝，
解得k2＝1，则k＝±1.
故所求直线AC的方程为y＝±(x＋2)．
?名师点津
弦长问题的求解方法有：(1)求出两交点坐标，用两点间距离公式求解；(2)用弦长公式：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)求解，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
|跟踪训练|
1．(2019届皖北名校2月联考)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，故选B．
2．(2017年全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16
B．14
C．12
D．10
解析：选A　由抛物线的方程可知焦点F的坐标为(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，过点F的直线l1的方程为x＝my＋1(m≠0)，由得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝＝4，所以|AB|＝|y1－y2|＝4(1＋m2)；同理可得，|DE|＝4，因此|AB|＋|DE|＝4(1＋m2)＋4≥16，当且仅当m＝±1时，等号成立．所以|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A．
3．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：易知抛物线y＝x2的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝x＋1.由消去x，得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，利用抛物线定义可知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝.
答案：
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．常见的命题角度有：(1)由中点弦确定直线方程；(2)由中点弦确定曲线方程；(3)由中点弦解决对称问题．
●命题角度一　由中点弦确定直线方程
【例2】　已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．
[解析]　设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，,\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，))两式相减并化简得＝－.又由题意知x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
[答案]　x＋2y－8＝0
●命题角度二　由中点弦确定曲线方程
【例3】　过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．
[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y＝，则y′＝，所以切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－eq
\f(x,2p).又点M(2，－2p)位于直线MA上，
于是有－2p＝×2－eq
\f(x,2p)，即x－4x1－4p2＝0；
同理有x－4x2－4p2＝0，
因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，
则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6得，
y1＋y2＝12，即eq
\f(x＋x,2p)＝＝12，
即＝12，解得p＝1或p＝2.
故抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.
[答案]　x2＝2y或x2＝4y
●命题角度三　由中点弦解决对称问题
【例4】　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　)
A．
B．
C．2
D．3
[解析]　由双曲线的定义知2a＝4，解得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)．不妨设x1\f(2x＋2x,2)＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以＝－＋m，解得m＝，故选A．
[答案]　A
?名师点津
处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法
即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
|跟踪训练|
4．(2019届福建福州9月质检)抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)
A．y＝2x2
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．y2＝－2x
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2px1，,y＝2px2，))两式相减可得2p＝×(y1＋y2)．因为P(1，1)为弦AB的中点，所以y1＋y2＝2.由x－y＝0得直线AB的斜率kAB＝1，所以2p＝·(y1＋y2)＝kAB×2＝2，所以p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，故选B．
5．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选D　∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，
由消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1，故选D．
PAGE第二节　两直线的位置关系
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
　　确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是2021年高考考查的热点，往往和圆锥曲线综合起来，题型多是解答题，分值为5～14分.
数学运算
‖知识梳理‖
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
?常用结论
两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝_．
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
?常用结论
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
4．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
5．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
6．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
7．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
8．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、走进教材
2．(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A．
B．
C．7
D．
答案：D
3．(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．
答案：1
三、易错自纠
4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．
B．
C．8
D．2
解析：选D　∵＝≠，∴m＝8，∴直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，∴两平行线之间的距离d＝＝2.
5．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　)
A．－7或－1
B．－7
C．7或1
D．－1
解析：选B　由题意可得a≠－5，
所以＝≠，解得a＝－7(a＝－1舍去)．
6．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得，＝1，
∴|a＋1|＝.∵a>0，∴a＝－1.
答案：－1
|题组突破|
1．直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，则a＝(　　)
A．2
B．2或－2
C．－2
D．－
解析：选B　由直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，可得＝≠，解得a＝±2，故选B．
2．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．2或
B．或－1
C．
D．－1
解析：选B　∵直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，
l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，
∴2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝或a＝－1.故选B．
3．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A.P，Q分别为l1，l2上任意一点，点M为线段PQ的中点．若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A　根据题意画出图形如图所示．
在△PQA中，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，
∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.故选A．
?名师点津
解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”
|题组突破|
4．(2019届厦门模拟)“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离d＝＝3，解得c＝5或c＝－25，故“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B．
5．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)
A．
B．1
C．2
D．3
解析：选B　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又d＝＝1，故|PM|的最小值为1.故选B．
6．(2019届绵阳诊断)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行．
由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.故选C．
?名师点津
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
(2)两动点距离问题，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点所在直线的平行问题，从而计算简便．
●命题角度一　点关于点的对称
【例1】　过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
[解析]　设直线l1与直线l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上．
所以由P(0，1)，A(4，0)得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
[答案]　x＋4y－4＝0
?名师点津
点关于点对称的求解方法
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
●命题角度二　点关于线的对称问题
【例2】　(2019届湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2，4)
B．(－2，－4)
C．(2，4)
D．(2，－4)
[解析]　设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得∴A′(4，－2)在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2，4)．
[答案]　C
?名师点津
点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
●命题角度三　线关于点或线的对称问题
【例3】　与直线2x＋y－4＝0关于直线x－y＋1＝0对称的直线的方程为________．
[解析]　设P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)是P关于直线x－y＋1＝0的对称点，则Q在直线2x＋y－4＝0上，由轴对称图形的性质有
解得
将(y－1，x＋1)代入2x0＋y0－4＝0中，得x＋2y－5＝0.
[答案]　x＋2y－5＝0
?名师点津
1．线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程．
2．线关于点对称的实质
“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．
|跟踪训练|
1．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0
D．x＋y－1＝0
解析：选A　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A．
2．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.
3．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为__________________．
解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得即M′(1，0)．
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
【例】　(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
[解析]　解法一：设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
解法二：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.
[答案]　4
?名师点津
求曲线上一点到直线的距离的最小值时，一般方法是设出曲线上点的坐标，利用点到直线的距离公式建立目标函数，再由基本不等式或导数求解最值，也可平移直线，使平移后的直线与曲线相切，此时切点到原直线的距离最短．
|跟踪训练|
在[1，5]内随机取一个实数a，则直线ax－y＋1＝0与直线ax－y＋3＝0之间的距离小于或等于1的概率为________．
解析：因为直线ax－y＋1＝0与直线ax－y＋3＝0之间的距离为，所以令≤1，得a≤－或a≥，又a∈[1，5]，所以≤a≤5，所以所求的概率为.
答案：
PAGE第八节　曲线与方程
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
　　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
　　主要考查轨迹方程的求法，多在解答题中考查.
1.数学建模2.数学运算
‖知识梳理‖
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．
‖基础自测‖
一、疑误辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、走进教材
2．(选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
答案：C
3．(选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________．
答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
三、易错自纠
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：选D　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D．
5．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是________．
解析：∵a＋≥2
＝6(a>0)，当且仅当a＝3时，取等号，
∴当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
P点的轨迹为线段F1F2；
当a≠3，a>0时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆．
答案：椭圆或线段F1F2
|题组突破|
1．已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
2．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为____________．
解析：因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
答案：x2＋3y2＝4(x≠±1)
3．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________．
解析：设A(x，y)，由题意可知，D.
∵|CD|＝3，∴＋＝9，
即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三点不共线，
∴点A不能落在x轴上，即y≠0，
∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
?名师点津
利用直接法求轨迹方程的方法及注意点
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
【例1】　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
[解]　由已知得，圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
|变式探究|
1．将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________．
解析：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2)．
答案：y＝0(x<－2)
2．把本例中圆M的方程换为(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为(x－3)2＋y2＝1，则圆心P的轨迹方程为________．
解析：由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x>1)．
答案：x2－＝1(x>1)
3．在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________．
解析：由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
?名师点津
定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
【例2】　(2019届安阳调研)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1[解]　设点M的坐标为(x，y)，由椭圆C2：＋y2＝1，
知A1(－3，0)，A2(3，0)，
设点A的坐标为(x0，y0)，由两曲线的对称性，
得B(x0，－y0)，
则直线AA1的方程为y＝(x＋3)，
①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．
②
由①②相乘得y2＝eq
\f(－y,x－9)(x2－9)．
③
又点A(x0，y0)在椭圆C2上，
故y＝1－eq
\f(x,9).④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
?名师点津
代入法求轨迹方程的4步骤
【例】　如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
[解析]　母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，如图所示，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选C．
[答案]　C
?名师点津
轨迹方程求法常与立体几何、正、余弦定理、新定义问题等交汇考查，求解时注意轨迹问题的完备性、纯粹性．
|跟踪训练|
若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5
B．x2＋y2＝9
C．＋＝1
D．x2＝16y
解析：选B　∵M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，
∴M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，把x2＝16y代入－＝1，可得y－＝1，
即y2－9y＋9＝0，Δ＝92－4×9＝45>0，故x2＝16y与M的轨迹有交点，满足题意．
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