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干货丨方程组应用的七大常考题型
一、实际问题与二元一次方程组的思路
1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①
方程两边表示的是同类量；②
同类量的单位要统一；③
方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
答：写出答案。
3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、典型题型分析
类型1　和差倍分问题
知识梳理：和差问题是已知两个量的和或这两个量的差，以及这两个量之间的倍数关系，求这两个量各是多少.
例1：被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342
km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36
km.求隧道累计长度与桥梁累计长度．
分析：设隧道累计长度为x
km，桥梁累计长度为y
km.由“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342
km”可以得到第一个等量关系式x+y=342,再由“隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36
km”可以得到第二个等量关系2x=y+36.
解：设隧道累计长度为x
km，桥梁累计长度为y
km.根据题意，得
解得
答：隧道累计长度为126
km，桥梁累计长度为216
km.
针对训练
1.学校的篮球比排球的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2，求两种球各有多少个．若设篮球有x个，排球有y个，根据题意列方程组为(D)
A.
B.
C.
D.
类型2　配套问题
例2：现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。问分别用多少张铁皮做盒身和盒底可以正好配套.
【详解】解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底
依题意，得
解得
答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底．
针对训练
2.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1
000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
解：设安排生产A部件和B部件的工人分别为x人，y人．根据题意，得
解得
答：安排生产A部件和B部件的工人分别为6人，10人．
类型3　销售问题
例3
(2019·河池)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1
800元，该店的商品按原价的几折销售？
解：(1)设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据题意，得
解得
答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个．
(2)设该店的商品按原价的m折销售，根据题意，得
(100×16＋100×4)×＝1
800，解得m＝9.
答：该店的商品按原价的9折销售．
针对训练
3.(2019·淄博)“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2
060万元，总利润为1
020万元(利润＝售价－成本)．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A
B
成本(单位：万元/件)
2
4
售价(单位：万元/件)
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件，由题意，得
解得
答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
类型4　行程问题
例4
甲乙两人相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经过2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时追及乙，那么在乙出发后经过4小时两人相遇，求甲乙两人的速度分别是多少？
【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，
依题意，得
解得
答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3千米/时．
针对训练
4.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60
m，下坡路每分钟走80
m，上坡路每分钟走40
m，则他从家里到学校需10
min，从学校到家里需15
min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
解：设从小华家到学校的平路有x
m，下坡路有y
m．根据题意，得
解得
答：小华家到学校的平路和下坡路各为300
m，400
m.
类型5　几何图形问题
例5
如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，求矩形的长和宽.
【详解】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意，得
解得
答：小长方形地砖的长为45厘米，宽为15厘米．
针对训练5.某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多4
cm，求这种药品包装盒的体积．
解：设这种药品包装盒的宽为x
cm，高为y
cm，则长为(x＋4)cm.根据题意，得
解得
则x＋4＝9.
∴9×5×3＝135(cm3)．
答：这种药品包装盒的体积为135
cm3.
类型6
数字问题
知识梳理：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a.
例6
有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.
思路点拨：本题中的等量关系：①个位上的数字-十位上的数字=5；②原数+新数=143.
【详解】解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得
解得
则这个两位数为49．
针对训练
6.一个两位数，个位数字和十位数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是多少？
解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y．
由题意，得
解得?
∴10y+x=53，
故答案为：53．
类型7
方案问题?
知识梳理：在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。要点诠释：方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
例7
已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
思路点拨:（1）本小问两个等量关系均可利用货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和，每种车型所运货物的吨数等于该种车的数量乘以每辆车装满货物时可运输的货物吨数，列出方程即可。
（2）根据货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和列出方程，求解即可。
（3）总费用等于A型车的总费用加上B型车的总费用，比较三种方案的费用得出最省钱的租车方案。
【详解】解：（1）设A型车1辆运x吨，B型车1辆运y吨.
由题意，得
解得
所以1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨．
故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．
（2）由题意和（1）得：3a+4b=31，
a=．
∵a、b均为正整数，
∴a=9，b=1；a=5，b=4；a=1，b=7．
共有三种租车方案：
①租A型车9辆，B型车1辆，
②租A型车5辆，B型车4辆，
③租A型车1辆，B型车7辆．
（3）方案①的租金为：9×100+1×120=1020（元），
方案②的租金为：5×100+4×120=980（元），
方案③的租金为：1×100+7×120=940（元），
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为方案③，租车费用为940元．
针对训练
7.为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540
m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金(单位：
元(/台·时))
挖掘土石方量
(单位：m3/(台·时))
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
解：(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．依题意，得
解得
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台．
(2)设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机．依题意，得
60m＋80n＝540，
∴m＝9－n.
∵m，n为非负整数，
∴m＝5，n＝3或m＝1，n＝6.
当m＝5，n＝3时，100×5＋120×3＝860(元)＞850元，超出限额；
当m＝1，n＝6时，100×1＋120×6＝820(元)，符合要求．
答：有一种租车方案，即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机．

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