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2.1一次方程（组）及其应用
一、方程及一元一次方程的相关概念
1、方程：含有
的等式叫做方程．
2、方程的解：使方程左右两边的值
的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的
．
3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
4、一元一次方程：只含有
未知数、未知数的最高次数为1，并且两边都为整式的方程，叫做一元一次方程，
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
二、等式的性质
性质1：等式两边
（或
）同一个数(或式子)，结果仍
.
若a=b，那么a±c=b±c（在解方程中对应移项）
性质2：等式两边乘同一个数，或
同一个不为0的数，结果仍相等.
若a=b，那么有a·c=b·c（在解方程中对应去分母）或a÷c=b÷c
（c≠0）（在解方程中对应系数化为1）
三、解一元一次方程的一般步骤
1、去分母；
2、
；
3、移项；
4、
；
5、系数化为1．
四、二元一次方程（组）相关概念
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.一般形式是
ax+by=c(a≠0,b≠0).
2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解.
3、二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
6、三元一次方程:含有
个未知数，并且含有未知数的项的次数都是
的
方程.
4、三元一次方程组：方程组中有
个未知数，含有未知数的项的次数都是
，并且一共
个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
5、方程组的解：一般地，方程组中所有方程的
解叫做这个方程组的解.
五、二元一次方程组的解法
1、消元思想：将未知数的个数由多化
，逐一解决的想法，叫做消元思想.
2、代入法：将一个未知数用含有另一个未知数的
表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3、加减法：当两个方程中同一未知数的系数相等或
时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
六、三元一次方程组的解法
三元一次方程组（消元）→二元一次方程组（消元）→一元一次方程
七、一次方程组与实际问题
1、
题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、
未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出
的关系
4、
出方程组；
5、
方程组；
6、
并写出答语．
八、常见类型及关系式
①购买、分配问题：总数量=各分量之和、总金额=各分量金额之和
②销售利润问题：售价=标价×折扣；销售金额=售价×销量；利润=售价-进价
③工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
④行程问题：路程=速度×时间
命题点一、一次方程（组）的解法
1、（2020贵州铜仁）方程2x+10=0的解是　　．
2、（2020北京）方程组的解为
.
命题点二、根据实际求参数的值
3、（2020广东）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
命题点三、一次方程（组）的实际应用
4、（2020青海）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
5、（2020甘肃天威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元
6、（2020四川成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五直金八两.牛羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为
.
7、（2020海南）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
基础巩固
1、（2020浙江丽水）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　
A．
B．
C．
D．
2、（2020湖南益阳）同时满足二元一次方程x﹣y＝9和4x+3y＝1的x，y的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020黑龙江绥化）“十?一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（　　）
A．
B．
C．
D．
4、（2020湖北天门）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
5、（2020江苏南京）已知、满足方程组，则的值为　　．
6、（2020江苏无锡）国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　
　尺．
7、（2020广东广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
能力提升
8、把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（
）
A.
B.
C.
D.
9、（2020湖北随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
10、（2020浙江绍兴）有两种消费券：券，满60元减20元，券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　　元．
11、（2020江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.
12、（2020宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
13、（2020重庆A卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　
　．
创新思维
14、（2020湖北恩施）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（
）．
A.
B.
1
C.
0
D.
2
15、（2020浙江绍兴）若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可以是　　（写出一个即可）．
16、（2020江苏扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　
　，x+y＝　
　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x
y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3
5＝15，4
7＝28，那么1
1＝　
　．
知识回顾
真题在线
分层精练
22.1一次方程（组）及其应用
一、方程及一元一次方程的相关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程．
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根．
3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
4、一元一次方程：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1，并且两边都为整式的方程，叫做一元一次方程，
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
二、等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
若a=b，那么a±c=b±c（在解方程中对应移项）
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
若a=b，那么有a·c=b·c（在解方程中对应去分母）或a÷c=b÷c
（c≠0）（在解方程中对应系数化为1）
三、解一元一次方程的一般步骤
1、去分母；
2、去括号；
3、移项；
4、合并同类项；
5、系数化为1．
四、二元一次方程（组）相关概念
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.一般形式是
ax+by=c(a≠0,b≠0).
2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解.
3、二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
6、三元一次方程:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
4、三元一次方程组：方程组中有
三
个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
5、方程组的解：一般地，方程组中所有方程的公共解叫做这个方程组的解.
五、二元一次方程组的解法
1、消元思想：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
2、代入法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3、加减法：当两个方程中同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
六、三元一次方程组的解法
三元一次方程组（消元）→二元一次方程组（消元）→一元一次方程
七、一次方程组与实际问题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出方程组；
5、解方程组；
6、检验并写出答语．
八、常见类型及关系式
①购买、分配问题：总数量=各分量之和、总金额=各分量金额之和
②销售利润问题：售价=标价×折扣；销售金额=售价×销量；利润=售价-进价
③工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
④行程问题：路程=速度×时间
命题点一、一次方程（组）的解法
1、（2020贵州铜仁）方程2x+10=0的解是　　．
解：方程，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
2、（2020北京）方程组的解为
.
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法或加减消元法易得
命题点二、根据实际求参数的值
3、（2020广东）已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：
由题意得，解得
由，解得
（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得x2﹣4x+12=0
（x-）2=0
x1=x2=
∴该三角形的形状是等腰三角形
∵（2）2=24，（）2=12
∴（2）2=（）2+（）2
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
【解析】理解方程组同解的概念，一元二次方程的解法、三角形形状的判断
【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理
命题点三、一次方程（组）的实际应用
4、（2020青海）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）．
故选：B．
5、（2020甘肃天威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元
【答案】200
【解析】
【分析】
设原价为x元，根据八折优惠，现价为160元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原价．
【详解】解：设原价为x元.
根据题意，得0.8x=160.
解得x=200.
∴原价为200元.
故答案为：200.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
6、（2020四川成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五直金八两.牛羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两.每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为
.
【解析】依题意可得
7、（2020海南）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，
依题意，得：，
解得：．
答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．
基础巩固
1、（2020浙江丽水）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　
A．
B．
C．
D．
解：设“□”内数字为，根据题意可得：
．
故选：．
2、（2020湖南益阳）同时满足二元一次方程x﹣y＝9和4x+3y＝1的x，y的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由题意得：，
由①得，x＝9+y③，
把③代入②得，4（9+y）+3y＝1，
解得，y＝﹣5，代入③得，x＝9﹣5＝4，
∴方程组的解为，
故选：A．
3、（2020黑龙江绥化）“十?一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“准备了49座和37座两种客车共10辆，且466人刚好坐满”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：A．
4、（2020湖北天门）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
【答案】9
【解析】
【分析】
设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】解：设该对胜x场
由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
5、（2020江苏南京）已知、满足方程组，则的值为　　．
解：，
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
则，
故答案为1．
6、（2020江苏无锡）国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　
　尺．
【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有
，
解得．
故井深是8尺．
故答案为：8．
7、（2020广东广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【解析】
【分析】
（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）依题意得：（万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：
解得：
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
能力提升
8、把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
9、（2020湖北随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m．
【详解】设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示：
由已知得：x+7+2=15，故x=6；
因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；
又因2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
10、（2020浙江绍兴）有两种消费券：券，满60元减20元，券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　　元．
解：设所购商品的标价是元，则
①所购商品的标价小于90元，
，
解得；
②所购商品的标价大于90元，
，
解得．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为：100或85．
11、（2020江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.
【解析】（1）设笔芯元/支，笔记本元/本，依题意可得解得
答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.
（2）方法一：合买笔芯，合算.
∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元
∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯
∴共可节约：0.5×10=5元.
∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，
∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.
方法二：合买笔芯，单算.
∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.
∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3
∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.
12、（2020宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，
依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为383．
答：A种防疫物品最多购买383件．
13、（2020重庆A卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　
　．
解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，
由题意可得：，
解得：，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，
故答案为：1：8．
创新思维
14、（2020湖北恩施）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（
）．
A.
B.
1
C.
0
D.
2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
15、（2020浙江绍兴）若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可以是　　（写出一个即可）．
解：关于，的二元一次方程组的解为，
而，
多项式可以是答案不唯一，如．
故答案为：答案不唯一，如．
16、（2020江苏扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　
　，x+y＝　
　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x
y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3
5＝15，4
7＝28，那么1
1＝　
　．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用（①+②）可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1
1的值．
解：（1）．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1
1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
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