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2.2分式方程及其应用
一、分式方程的概念
1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
注意：在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.
3、判断增根的方法：
（1）这个数是解化成的整式方程的根；
（2）使最简公分母为零．
注意：这两个条件缺一不可.
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想是转化思想，即将“分式方程”转化为“整式方程”.
2、分式方程的一般解法：
（1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程：按解整式方程的步骤求出未知数的值;
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
3、换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式（如方程中多次出现相同的式子，两式呈倒数形式等等），一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.
三、分式方程应用题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出分式方程；
5、解分式方程；
6、检验并写出答语．
命题点一、解分式方程
1、（2020海南）分式方程＝1的解是（　　）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝5
D．x＝2
2、(2020山东潍坊)若关于x的分式方程+1有增根，则m＝　
　．
3、（2020四川眉山）关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是　
　．
命题点二、分式方程及其应用
4、（2020黑龙江绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程　
．
基础巩固
1、（2020黑龙江哈尔滨）方程的解为　　
A．
B．
C．
D．
2、（2020四川成都）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
3、（2020湖北十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（
）
A.
B.
C
D.
4、（2020四川内江）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
5、（2020湖北襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
6、（2020湖南岳阳）为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
7、（2020辽宁沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
能力提升
8、（2020江苏扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
9、（2020江苏连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
10、（2020山东泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
创新思维
11、(2020山东枣庄)对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1?3＝．则方程x?（﹣2）＝﹣1的解是（　　）
A．x＝4
B．x＝5
C．x＝6
D．x＝7
12、（2020浙江杭州）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
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22.2分式方程及其应用
一、分式方程的概念
1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
注意：在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.
3、判断增根的方法：
（1）这个数是解化成的整式方程的根；
（2）使最简公分母为零．
注意：这两个条件缺一不可.
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想是转化思想，即将“分式方程”转化为“整式方程”.
2、分式方程的一般解法：
（1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程：按解整式方程的步骤求出未知数的值;
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
3、换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式（如方程中多次出现相同的式子，两式呈倒数形式等等），一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.
三、分式方程应用题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出分式方程；
5、解分式方程；
6、检验并写出答语．
命题点一、解分式方程
1、（2020海南）分式方程＝1的解是（　　）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝5
D．x＝2
解：去分母，得
x﹣2＝3，
移项合并同类项，得
x＝5．
检验：把x＝5代入x﹣2≠0，
所以原分式方程的解为：x＝5．
故选：C．
2、(2020山东潍坊)若关于x的分式方程+1有增根，则m＝　
　．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，
∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，
解得：m＝3；
故答案为：3．
3、（2020四川眉山）关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是　
　．
解：方程+2＝两边同乘（x﹣2），得
1+2（x﹣2）＝k﹣1，
解得，x＝，
∵≠2，
∴k≠2，
由题意得，＞0，
解得，k＞﹣2，
∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．
故答案为：k＞﹣2且k≠2．
命题点二、分式方程及其应用
4、（2020黑龙江绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程　﹣＝2　．
【分析】设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用2天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，
依题意，得：﹣＝2．
故答案为：﹣＝2．
基础巩固
1、（2020黑龙江哈尔滨）方程的解为　　
A．
B．
C．
D．
解：方程的两边同乘得：
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故选：．
2、（2020四川成都）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】将代入分式方程，得得，故选A
3、（2020湖北十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（
）
A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．
【详解】由题知：
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
4、（2020四川内江）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
【答案】40
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1，
∵分式方程的解为非负数，
∴且≠1.
∴a5且a≠3.
解不等式①，得.
解不等式②，得y∵关于y的不等式组的解集为，
∴a>0.
∴0又a为整数，则a的值为1，2，4，5.
符合条件的所有整数a的积为.
故答案为：40.
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．
5、（2020湖北襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x＝8．
答：现在每天用水量是8吨．
6、（2020湖南岳阳）为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
【答案】A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．
【解析】
【分析】
设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可．
【详解】设A型号机器人每小时搬运原料，则B型号机器人每小时搬运原料
由题意得：
解得
经检验，是所列分式方程的解
则
答：A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的是，求出分式方程的解后，一定要进行检验．
7、（2020辽宁沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【分析】求的是工效，工作总量是3000m，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间﹣实际用时＝2，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，
则﹣＝2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米
能力提升
8、（2020江苏扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【分析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入（1+50%）x，，中即可得出结论．
解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，
依题意，得：﹣＝40，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝60，＝80，＝120．
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．
9、（2020江苏连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资
【解析】
【分析】
（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;
（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得
，解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
10、（2020山东泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒
【解析】
【分析】
（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；
（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．
【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验：是原方程的根．
∴（元）．
∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．
（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒．
打折前A种茶叶的利润为．
B种茶叶的利润为．
打折后A种茶叶的利润为．
B种茶叶的利润为0．
由题意得：．
解方程，得：．
∴（盒）．
∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．
创新思维
11、(2020山东枣庄)对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1?3＝．则方程x?（﹣2）＝﹣1的解是（　　）
A．x＝4
B．x＝5
C．x＝6
D．x＝7
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣（x﹣4），
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
12、（2020浙江杭州）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
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