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2.3一元二次方程及其应用
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有
未知数（一元），并且未知数的最高次数是
（二次）的
方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：
___________（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是
方程；
(2)必须只含有
个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是
.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的
就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
.
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：降次——转化思想，即把一元二次方程转化为
来求解.
1、
法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
2、
法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程无实根．
3、公式法：利用
公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法.
它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x=___________
（b2-4ac≥0）
4、_________法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法.
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：_________
1、Δ＞0?方程有_________的实数根；
2、Δ＝0?方程有________的实数根；
3、Δ＜0?方程________实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
_______，_______
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
几种常见变形：
①
②
③
④
⑤
五、一元二次方程的实际应用
1、______题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、_______未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出______的关系
4、_____出一元二次方程；
5、_____方程；
6、_____并写出_____语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝______-成本；
②利润率＝
×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
3、握手、单循环比赛、互赠礼物的问题
①单循环、握手的总次数为
②互赠礼物的总份数为n(n-1)
命题点一、一元二次方程根的判别式及其应用
1、(2020上海)用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　
2、（2020山东聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝
B．(x－)2＝
C．(x－)2＝
D．(x－)2＝
3、（2020安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
4、（2020辽宁丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是　
　．
5、（2020北京）已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是
.
6、（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
7、（2020黑龙江大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为　
　．
命题点二、一元二次方程根与系数的关系
8、（2020甘肃金昌）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2
B．﹣1
C．2
D．0
9、（2020贵州铜仁）已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　
A．7
B．7或6
C．6或
D．6
10、（2020四川眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为　
　．
11、（2020青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程　
　．
12、（2020湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
命题点三、一元二次方程的实际应用
13、（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
14、（2020内蒙古通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　
　个人．
基础巩固
1、（2020内蒙古通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0
B．k＜1
C．k≤1且k≠0
D．k≤1
2、（2020山东滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
3、（2020四川凉山）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0
B．x＝2
C．x＝0或x＝2
D．x＝0或x＝﹣2
4、（2020湖北武汉）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是　
　．
5、（2020江苏泰州）方程的两根为、，则的值为　　．
6、已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
7、（2020江西）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为
．
8、（2020上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　．
9、（2020辽宁抚顺）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________.
10、（2020四川宜宾）一元二次方程的两根为，则_______
11、（2020湖南邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
12、（2020上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
13、先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
能力提升
14、（2020江苏南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
15、（2020湖北天门）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A.
B.
C.
或1
D.
或4
16、（2020湖北随州）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
17、（2020湖北荆州）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
18、（2020四川甘孜）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是　
　．
19、（2020四川雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　
　．
20、（2020四川南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
21、（2020湖北宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
创新思维
22、（2020?荆州）定义新运算“a
b”：对于任意实数a，b，都有a
b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4
3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
23、（2020?荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：
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22.3一元二次方程及其应用
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是整式方程；
(2)必须只含有1个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是2.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：降次——转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
2、配方法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程无实根．
3、公式法：利用求根公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法.
它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x=
（b2-4ac≥0）
4、因式分解法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法.
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：
1、Δ＞0?方程有两个不相等的实数根；
2、Δ＝0?方程有两个相等的实数根；
3、Δ＜0?方程没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
，
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
几种常见变形：
①
②
③
④
⑤
五、一元二次方程的实际应用
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出一元二次方程；
5、解方程；
6、检验并写出答语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝售价-成本；
②利润率＝
×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
3、握手、单循环比赛、互赠礼物的问题
①单循环、握手的总次数为
②互赠礼物的总份数为n(n-1)
命题点一、一元二次方程根的判别式及其应用
1、(2020上海)用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　
A．
B．
C．
D．
解：把代入原方程得：，转化为整式方程为．
故选：．
2、（2020山东聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝
B．(x－)2＝
C．(x－)2＝
D．(x－)2＝
{答案}A
{解析}由2x2－3x－1＝0，得2x2－3x＝1，∴x2－x＝，x2－x＋()2＝＋()2，∴(x－)2＝．本题中“x”即完全平方式“a2－2ab＋b2”中的“2ab”，确定b值是完成配方的关键．
3、（2020安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x
B．x2+1＝0
C．x2﹣2x＝3
D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
4、（2020辽宁丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是　
　．
解答】解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m≥﹣且m≠﹣1．
故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．
5、（2020北京）已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是
.
【答案】1
【分析】考察一元二次方程根的判别式定理，△＝0方程有两个相等的实数根，
可计算出k＝1。
6、（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
7、（2020黑龙江大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为　
　．
解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴△＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
则有32﹣6﹣a＜0，
∴a＞3，故④正确，
故答案为①③④．
命题点二、一元二次方程根与系数的关系
8、（2020甘肃金昌）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2
B．﹣1
C．2
D．0
【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故选：B．
9、（2020贵州铜仁）已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于　　
A．7
B．7或6
C．6或
D．6
解：当或时，即，
方程为，
解得：，
当时，即△，
解得：，
综上所述，的值等于6或7，
故选：．
10、（2020四川眉山）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为　
　．
解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，
所以+＝＝＝．
故答案为．
11、（2020青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程　
　．
【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+4＝﹣b，然后求出b、c即可．
解：根据题意得2×3＝c，
1+4＝﹣b，
解得b＝﹣5，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣5x+6＝0．
故答案为x2﹣5x+6＝0．
12、（2020湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
命题点三、一元二次方程的实际应用
13、（2020河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
14、（2020内蒙古通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　
　个人．
【分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即
原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
（1+x）2＝169
1+x＝±13
x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
基础巩固
1、（2020内蒙古通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0
B．k＜1
C．k≤1且k≠0
D．k≤1
【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；
k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，
解得k≤1，
故选：D．
2、（2020山东滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
3、（2020四川凉山）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0
B．x＝2
C．x＝0或x＝2
D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4、（2020湖北武汉）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是　
　．
解：原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．
∵该方程有实数根，
∴△＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，
解得：n≥0．
故答案为：n≥0．
5、（2020江苏泰州）方程的两根为、，则的值为　　．
解：方程的两根为、，
．
故答案为：．
6、已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为:
-．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
7、（2020江西）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为
．
【解析】设一元二次方程的两根为，并设，根据，可得，∴另外一根为-2，故答案为-2
8、（2020上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　．
解：依题意，
方程有两个相等的实数根，
△，解得，
故答案为：4．
9、（2020辽宁抚顺）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________.
10、（2020四川宜宾）一元二次方程的两根为，则_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数关系表示出和即可；
【详解】∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
11、（2020湖南邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
【答案】x(x+12)=864
【解析】
【分析】
本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．
12、（2020上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
解：（1）（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．
13、先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
【答案】a2+2a+1；16
【解析】
【分析】
首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
【详解】解：
=a2+2a+1
∵a是关于x的方程的根，
∴a2-2a-3=0，
∴a=3或a=-1，
∵a2+a≠0，
∴a≠-1，
∴a=3，
∴原式=9+6+1=16.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键．
能力提升
14、（2020江苏南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
解：关于的方程为常数），
，
△，
方程有两个不相等的实数根，
两个的积为，
一个正根，一个负根，
故选：．
15、（2020湖北天门）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A.
B.
C.
或1
D.
或4
【答案】A
【解析】
【分析】
通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
16、（2020湖北随州）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得，代入即可得出答案．
【详解】∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
17、（2020湖北荆州）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【详解】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
18、（2020四川甘孜）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是　
　．
解：x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
若x＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；
当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，
故答案为：17．
19、（2020四川雅安）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　
　．
解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，
（z﹣6）（z+1）＝0，
解得z1＝6，z2＝﹣1，
∵x2+y2不小于0，
∴x2+y2＝6，
故答案为6．
20、（2020四川南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝．
又∵k≤﹣1，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．
21、（2020湖北宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【答案】（1）见解析；（2）55:72
【解析】
【分析】
(1)根据题意任意写出问题解答即可.
(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入A，B的收益中计算即可.
【详解】解（1）问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积比
解答：
问题2：A公司营销区域面积比B公司营销区域的面积多多少？
解答：
问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比
解答：
（2）方法一：
方法二：
方法三：
解得，（舍去）
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为
【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.
创新思维
22、（2020?荆州）定义新运算“a
b”：对于任意实数a，b，都有a
b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4
3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【解答】解：∵x
k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
23、（2020?荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
当t＝﹣5时，=-5，此方程无解；
当t＝1时，=1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1-；
经检验，原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣1-．
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