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2.4一次不等式（组）及其应用
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤
”“≥”表示
关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的
，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的
，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有
未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个
的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的
，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都
（或
）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
若a>b,则a_____>b______应用于解不等式：_____，合并同类项
不等式的基本性质2：
不等式的两边都______（或______）同一个正数，不等号的方向不变.
若a>b,c>0,则ac>bc或应用于解不等式：___________
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号的方向改变.
若a>b,c<0,则a____口诀：加减不变向、乘除负变正不变
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）________；（3）移项；（4）________；（5）系数化为1．
注意：①求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
②解集在数轴上表示：
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的______，再确定解集的______.
解集在数轴上表示：
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、_____：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、_____：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作____：根据所得结果作出回答.
注意：“至少≥”、“最多（≤）”“不少于（≥）”“不超过（≤）”
命题点一、一元一次不等式的解法及解集
1、（2020浙江杭州）若，则(
)
A.
B.
C.
D.
2、（2020湖南株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）
A．﹣3
B．﹣
C．
D．2
3、（2020吉林）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
命题点二、一元一次不等式组的解法及解集
类型一、解不等式组
4、（2020湖南益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5、（2020河南）已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　
　．
7、（2020湖北黄冈）解不等式，并在数轴上表示其解集．
8、（2020江苏扬州-）解不等式组并写出它的最大负整数解．
命题点三、含参不等式（组）的解
9、（2020甘肃天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4
B．﹣7≤a≤﹣4
C．﹣7≤a＜﹣4
D．﹣7＜a≤﹣4
10、（2020山东省德州）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2
B．a＜﹣2
C．a＞2
D．a≤2
11、（2020山东滨州）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为　
　．
【命题点四、一元一次不等式（组）的实际应用
12、（2020黑龙江哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
13、（2020山东济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
基础巩固
1、（2020贵州毕节）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1
B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1
D．ma＞mb
2、（2020四川宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（
）
A.
2种
B.
3种
C.
4种
D.
5种
3、（2020青海）不等式组的整数解为　
　．
4、（2020广西北海）如图，在数轴上表示的x的取值范围是　
　．
5、（2020贵州毕节）不等式x﹣3＜6﹣2x的解集是　
　．
6、（2020甘肃金昌）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
7、（2020湖南娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶．
求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？
（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
8、（2020湖北宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达，由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用小时到达，求的取值范围．
9、（2020湖南湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
10、今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
能力提升
11、（2020重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．7
B．﹣14
C．28
D．﹣56
12、（2020云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（　　）
A．﹣61或﹣58
B．﹣61或﹣59
C．﹣60或﹣59
D．﹣61或﹣60或﹣59
13、(2020山东潍坊)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．0≤a≤2
B．0≤a＜2
C．0＜a≤2
D．0＜a＜2
14、（2020湖北荆州）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A.
正数
B.
负数
C.
零
D.
无法确定
创新思维
15、（2020江苏淮安）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是
（填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
16、（2020宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为
　．
17、（2020宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
…
脚长（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表2：
序号n
1
2
3
4
5
6
…
鞋号an
22
23
24
25
26
27
…
脚长bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
脚长[bn]
160
165
170
175
180
185
…
定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式；
（2）用含an的代数式表示[bn]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有an的式子表示出来，代入[bn]＝5n+155化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入[bn]＝5n+155求解即可；
（3）首先计算[bn]＝270，再代入[bn]＝5an+50求出an的值即可．
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22.4一次不等式（组）及其应用
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤
”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
若a>b,则a±c>b±c应用于解不等式：移项，合并同类项
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
若a>b,c>0,则ac>bc或应用于解不等式：去分母、系数化为1
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
若a>b,c<0,则ac口诀：加减不变向、乘除负变正不变
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．
注意：①求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
②解集在数轴上表示：
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分.
解集在数轴上表示：
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、列：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作答：根据所得结果作出回答.
注意：“至少≥”、“最多（≤）”“不少于（≥）”“不超过（≤）”
命题点一、一元一次不等式的解法及解集
1、（2020浙江杭州）若，则
A.
B.
C.
D.
【解析】解：A、，，，但是，不符合题意；
B、，，，但是，不符合题意；
C、，，，，符合题意；
D、，，，但是，不符合题意．
故选：C．
举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c．
2、（2020湖南株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）
A．﹣3
B．﹣
C．
D．2
解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得，
因为只有﹣3＜，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：A．
3、（2020吉林）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：x≥3﹣2，
x≥1，
故选：D．
命题点二、一元一次不等式组的解法及解集
类型一、解不等式组
4、（2020湖南益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：解不等式x+2≥0，得：x≥﹣2，
又x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：A．
5、（2020河南）已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　
　．
【分析】根据关于x的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出x的取值范围即可．
解：∵b＜0＜a，
∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，
故答案为：x＞a．
6、（2020北京）解不等式组：
【答案】－1＜x＜3
【分析】本题考查不等式方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1。注意不等式性质三：不等式两端同乘或同除一个负数，需改变不等号方向。不等式组问题最好将不等式结果表示在数轴上，找到重叠的部分即为所求的答案。
7、（2020湖北黄冈）解不等式，并在数轴上表示其解集．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】
先去分母、移项、合并同类项解不等式，得出解集后在数轴上表示即可．
【详解】解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，．
∴原不等式的解集为：．
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式是解题的关键．
8、（2020江苏扬州-）解不等式组并写出它的最大负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．
解：解不等式x+5≤0，得x≤﹣5，
解不等式≥2x+1，得：x≤﹣3，
则不等式组的解集为x≤﹣5，
所以不等式组的最大负整数解为﹣5．
命题点三、含参不等式（组）的解
9、（2020甘肃天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4
B．﹣7≤a≤﹣4
C．﹣7≤a＜﹣4
D．﹣7＜a≤﹣4
【分析】先解不等式得出x≤，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2≤＜3，解之可得答案．
解：∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x≤，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤＜3，
解得：﹣7＜a≤﹣4，
故选：D．
10、（2020山东省德州）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2
B．a＜﹣2
C．a＞2
D．a≤2
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x≤2可得关于a的不等式，解之可得．
解：解不等式组，
由①可得：x＜2，
由②可得：x＜a，
因为关于x的不等式组的解集是x＜2，
所以，a≥2，
故选：A．
11、（2020山东滨州）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为　
　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，
解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥2，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
命题点四、一元一次不等式（组）的实际应用
12、（2020黑龙江哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
解：（1）设每个大地球仪元，每个小地球仪元，根据题意可得：
，
解得：，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为台，则每个小地球仪为台，根据题意可得：
，
解得：，
答：最多可以购买5个大地球仪．
13、（2020山东济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
基础巩固
1、（2020贵州毕节）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1
B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1
D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即a＜b，不等式a＜b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＜b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：D．
2、（2020四川宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（
）
A.
2种
B.
3种
C.
4种
D.
5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买A
型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
【详解】解：设购买A
型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得：，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键．
3、（2020青海）不等式组的整数解为　
　．
，
解①得：x≥2，
解②得：x＜3，
∴整数解为：2．
4、（2020广西北海）如图，在数轴上表示的x的取值范围是　
　．
【分析】根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得．
解：在数轴上表示的x的取值范围是x＜1，
故答案为：x＜1
5、（2020贵州毕节）不等式x﹣3＜6﹣2x的解集是　
　．
移项得：x+2x＜6+3，
合并得：3x＜9，
解得：x＜3．
故答案为：x＜3．
6、（2020甘肃金昌）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
7、（2020湖南娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶．
求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？
（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
【答案】（1）该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶；（2）最多能买洗手液25瓶．
【解析】
【分析】
（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为瓶，根据题意得到一元一次方程，故可求解；
（2）设最多能购买洗手液a瓶，根据题意得到不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为瓶
依题意得：
解得
答：该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶．
（2）设最多能购买洗手液a瓶
解得
答：最多能买洗手液25瓶．
【点睛】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列式求解．
8、（2020湖北宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达，由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用小时到达，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平均速度可以算出总路程，往返路程不变，再根据时间=路程÷速度的等量关系列出不等式，即可作答．
【详解】解：
（千米）
（小时）
（小时）
∴t的取值范围
【点睛】本题主要考查了不等式的实际应用，根据时间=路程÷速度的公式列出不等式，其中明确往返路程不变是解题的关键．
9、（2020湖南湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585元；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590元；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595元；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
10、今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【答案】（1）A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．
【详解】解：（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得.
解得m5.4
又m为整数，∴m最小取6
∴至少还需联系6辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
能力提升
11、（2020重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．7
B．﹣14
C．28
D．﹣56
【解答】解：不等式组整理得：，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，即3y﹣2＝a，
解得：y＝，
由y为正整数解，得到a＝1，4，7
1×4×7＝28，
故选：C．
12、（2020云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（　　）
A．﹣61或﹣58
B．﹣61或﹣59
C．﹣60或﹣59
D．﹣61或﹣60或﹣59
解：解不等式组，得
＜x≤25，
∵不等式组有且只有45个整数解，
∴﹣20≤＜﹣19，
解得﹣61≤a＜﹣58，
因为关于y的方程+＝1的解为：
y＝﹣a﹣61，y≤0，
∴﹣a﹣61≤0，
解得a≥﹣61，
∵y+1≠0，∴y≠﹣1，
∴a≠﹣60
则a的值为：﹣61或﹣59．
故选：B．
13、(2020山东潍坊)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．0≤a≤2
B．0≤a＜2
C．0＜a≤2
D．0＜a＜2
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
解：解不等式3x﹣5≥1得：x≥2，
解不等式2x﹣a＜8得：x＜，
∴不等式组的解集为：2≤x＜，
∵不等式组有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴4＜≤5，
解得：0＜a≤2，
故选：C．
14、（2020湖北荆州）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A.
正数
B.
负数
C.
零
D.
无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
创新思维
15、（2020江苏淮安）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是
（填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．
【解析】
【分析】
（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
（2）根据不等式的性质即可得．
【详解】（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
16、（2020宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为　6　．
【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），
依题意，得：，
∵a，b均为整数
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案为：6．
17、（2020宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
…
脚长（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表2：
序号n
1
2
3
4
5
6
…
鞋号an
22
23
24
25
26
27
…
脚长bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
脚长[bn]
160
165
170
175
180
185
…
定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通过观察表2，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式；
（2）用含an的代数式表示[bn]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有an的式子表示出来，代入[bn]＝5n+155化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入[bn]＝5n+155求解即可；
（3）首先计算[bn]＝270，再代入[bn]＝5an+50求出an的值即可．
解：（1）an＝21+n；
[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；
（2）由an＝21+n与[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，
把an＝42代入an＝21+n得n＝21，
所以[b21]＝5×42+50＝260，
则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；
（3）根据[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，
∵270﹣2≤271≤270+2，
∴[bn]＝270，
将[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．
故应购买44号的鞋．
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