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数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。
——恩格斯
7.4 排队问题
车站
医院
超市
生产线
银行
问题1 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每2 min服务一位顾客。已知当窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口开始工作1 min后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每5 min都有一位“新顾客”到达。
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
到达时间/min
0
0
0
0
0
0
1
…
服务开始时间/min
0
2
4
…
服务结束时间/min
2
4
6
…
6
11
16
21
26
6
8
10
12
14
16
18
21
26
8
10
12
14
16
18
20
23
28
（1）设e1,e2,…,e6表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，c1,c2,…,cn表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整（这里假设e1,e2,…,e6的到达时间为0）。
（2）下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间，试将表格补充完整。
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
等待时间 /min
0
2
4
6
8
8
5
…
等待时间 = 服务开始时间—到达时间
10
11
2
0
0
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
到达时间/min
0
0
0
0
0
0
1
6
11
16
21
26
…
服务开始时间/min
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
21
26
…
服务结束时间/min
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
23
28
…
（3）根据上述两个表格，能否知道“新顾客”中，哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的？求出他的到达时间。
解：c5是第一位到达服务机构而不需要排队的，他到达的时间是第21min.
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
等待时间/min
0
2
4
6
8
10
11
8
5
2
0
0
…
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c6
…
到达时间/min
0
0
0
0
0
0
1
6
11
16
26
…
服务开始时间/min
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
21
26
…
服务结束时间/min
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
23
28
…
c5
21
（4）在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间?
解：已经服务了10位顾客，为这些顾客服务共花费了20min。
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c6
…
到达时间/min
0
0
0
0
0
0
1
6
11
16

26
…
服务开始时间/min
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
26
…
服务结束时间/min
2
4
6
8
10
12
14
16
18

28
…
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c6
…
等待时间/min
0
2
4
6
8
10
11
8
5
2

0
…
c5
21
21
23
c5
0
20
（5）平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是多少？
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
等待
时间/min
…
解：（0+2+4+6+8+10+11+8+5+2）÷10 = 5.6（min)
0
0
0
2
4
6
8
10
11
8
5
2
顾客
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
…
到达时间/min
0
0
0
0
0
0
1
6
11
16
21
26
…
服务开始时间/min
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
21
26
…
服务结束时间/min
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
23
28
…
问题2 在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待（其他条件不变），且当“新顾客”cn离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，问：
（2）用关于n的代数式表示cn+1到达时间。
（3）根据（1）和（2）得到的代数式以及它们的数量关系，求n+1的值。
解：该窗口已经服务了（10+n）位顾客。为这些顾客服务共花费了2（10+n）min，即（20+2n）min。
解：第cn+1顾客到达的时间是（1+5n）min。
解：因为在cn+1到达之前，该窗口为顾客服务花费的时间小于等于cn+1到达时间，根据此数量关系，得 20+2n≤1+5n,
（1）用关于n的代数式表示，在第一位不需要排队的“新顾客”cn+1到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间?
在cn+1到来之前，该窗口为顾客服务所花费的时间小于等于cn+1的到达时间。
解这个不等式，得 n≥6 ，因为n为正整数，n取7。则n+1=8
合作实践作业：
问题3 分组合作，选择超市或银行，运用上学期所学习的统计知识，通过观察,收集该处排队的相关数据，作出合理假设，分析后给予合理化建议；并写出有关实践过程和结果的报告。
生活离不开数学 , 数学离不开生活。数学知识源于生活而最终服务于生活。

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