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1070610011988800专题二十三 导数证明 解不等式 优化问题
一 与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
（2019·天津高考真题（理））已知false，设函数false若关于false的不等式false在false上恒成立，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】∵false，即false，
（1）当false时，false，
当false时，false，
故当false时，false在false上恒成立；
若false在false上恒成立，即false在false上恒成立，
令false，则false，
当false函数单增，当false函数单减，
故false，所以false.当false时，false在false上恒成立；
综上可知，false的取值范围是false，
（2016·全国高考真题（文））已知函数false.
（I）当false时，求曲线false在false处的切线方程；
（Ⅱ）若当false时，false，求false的取值范围.
【解析】（I）false的定义域为false.当false时，
false，false
曲线false在false处的切线方程为false
（II）当false时，false等价于false
设false，则false，
（i）当false，false时，false，
故false在false上单调递增，因此false；
（ii）当false时，令false得
false.由false和false得false，
故当false时，false，false在false单调递减，因此false.
综上，false的取值范围是false
【小结】
1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
：
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数false恒成立(false即可)或false恒成立（false即可）；② 数形结合(false 图象在false 上方即可)；③ 讨论最值false或false恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
二 利用导数证明、解不等式问题
（2019·山东高考模拟（文））已知函数false，则使不等式false成立的false的最小整数为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【解析】根据题意，函数false，其导数false，
false时，false可以看成是1为首项，false为公比的等比数列，
则有falsefalse，函数false在false上为增函数，
又由false，
false，
则函数false在false上存在唯一的零点，设其零点为false，
false，
又由false，则false，故不等式false成立的false的最小整数为0；故选：D．
（2018·全国高考真题（理））已知函数false．
（1）若false，证明：当false时，false；
（2）若false在只有一个零点，求false的值.
【解析】（1）当false时，false等价于false．
设函数false，则false．
当false时，false，所以false在false单调递减．
而false，故当false时，false，即false．
（2）设函数false．false在false只有一个零点当且仅当false在false只有一个零点．
（i）当false时，false，false没有零点；
（ii）当false时，false．
当false时，false；当false时，false．
所以false在false单调递减，在false单调递增．
故false是false在false的最小值．
①若false，即false，false在false没有零点；
②若false，即false，false在false只有一个零点；
③若false，即false，由于false，所以false在false有一个零点，
由（1）知，当false时，false，所以false．
故false在false有一个零点，因此false在false有两个零点．
综上，false在false只有一个零点时，false．
【小结】
1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.
2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
3.不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错
．
三 用导数研究生活中的优化问题
（2019·安徽高二月考（文））中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔false（单位：分钟）满足false，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔false相关：当false时高铁为满载状态，载客量为false人；当false时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与false成正比，且发车时间间隔为false分钟时的载客量为false人.记发车间隔为false分钟时，高铁载客量为false.
false求false的表达式；
false若该线路发车时间间隔为false分钟时的净收益false（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益false最大？
【解析】（1）当false时，不妨设false，因为false，所以解得false.
因此false.
（2）①当false时，false
因此false，false.
因为falsefalse，当false时，false，false单增；
当false时，false，false单减.所以false.
②当false时，false
因此false，false.
因为falsefalse，此时false单减.所以false，
综上，发车时间间隔为false分钟时，false最大.
（2019·江苏高考模拟）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形false组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点false），为了固定该设备，计划除从隧道最高点false处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自false两点分别使用钢管支撑.已知道路宽false，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为false.
（1）①设false，将false表示为关于false的函数；
②设false，将false表示为关于false的函数；
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？
【解析】（1）延长false交false于点false，则false，且false为false的中点，
所以false，由对称性可知，false.
①若false，则false，false，
在false中，false，所以false，
②若false，则false，
在false中，false，false，
所以false，
所以false.
（2）选取②中的函数关系式，false，
记false，
则由false及false可得，false，
当false时false，此时false单调递减，当false时false，此时false单调递增，
所以当false时，false取得最小值，
从而钢管总长度为false取得最小值，即所用的钢管材料最省.
【小结】
利用导数解决生活中的优化问题的步骤
第一步:分析实际问题中各量之间的关系，构建数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)
第二步:求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0
第三步:比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值
第四步:回归实际问题，给出优化问题的答案
1．（2019浙江）已知false，函数false．若函数false恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，
false，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．
2.（2020·全国高三其他（文））若不等式false恒成立，则正数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】不等式可化为false，所以有false，
令false，则原不等式化为false，又false在false成立，
所以函数false在false上单调递增，所以false，所以false，
令false，有false，
令false，得false，false，得false，
所以函数false的增区间为false，减区间为false，false，故有false．故选：A．
3.（2019·河南高三期中（理））对于函数false，若存在区间false，当false时的值域为false，则称false为false倍值函数.若false是false倍值函数，则实数false范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】false在定义域false内单调递增，false，
即false，即false是方程false的两个不同根，∴false，
设false，
∴false时，false；false时，false，∴false是false的极小值点，
false的极小值为：false，
又false趋向0时，false趋向false；false趋向false时，false趋向false，
false时，false和false的图象有两个交点，方程false有两个解，
∴实数false的取值范围是false．故选：B．
4.（2020·赤峰二中高三三模（理））已知false是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有false(e是自然对数的底数)，f(0)=3，若方程f(x)=m恰有三个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】因为false，所以false，
令false，所以false，
所以false，false，
又f(0)=3，解得false，
所以false，所以false，
当false时，false或false，当false时，false，
所以false在false和false上递增，在false上递减，
所以false的极大值是false，极小值是false，
因为方程f(x)=m恰有三个实数根，如图所示：
所以false，故选：D
5.（2020·山东奎文 潍坊中学高二月考）要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为false，其底面两邻边之比为false，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.
【解析】设底面的长为false，则由条件可得宽为false，高为false
所以表面积false
因为false，false，false
所以false在false上单调递减，false上单调递增
所以当false时false取得最小值，即此时长为false，宽为false，高为false

6．（2020·河南高三其他（理））函数false，若false，则false在false的最小值为_______；当false时，false恒成立，则a的取值范围是_____.
【解析】当false时，∵false，∴false.
当false时，false恒成立，∴false在false上单调递增.∴false在false上最小值为false.
又false时，false恒成立，令 false,false,
所以false在false 递增，false 所以false
∴falsefalse恒成立
∴false.
7.（2019·江苏高三期中）已知函数false，若函数false恰有一个零点，则实数false的取值范围是________．
【解析】f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
f'（x）＞0?x＞1或x＜-1；f'（x）＜0?-1＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，
∴false，
函数f（x）恰有一个零点，可得false>0或false<0，解得c＜-2或cfalse．
8.（2019·广东高二期末（理））要设计一个容积为false的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径false_______时，造价最低．
【解析】设圆柱的高为false，圆柱底面单位面积造价为false，总造价为false，
因为储油罐容积为false，所以false，整理得：false，
所以falsefalse，令false，则false，
当false得：false，当false得false，
所以当false时，false取最大值，即false取得最大值.
9．（2018·全国高考真题（文））（2018年新课标I卷文）已知函数false．
（1）设false是false的极值点．求false，并求false的单调区间；
（2）证明：当false时，false．
【解析】（1）f（x）的定义域为false，f ′（x）=aex–false．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=false．从而f（x）=false，f ′（x）=false．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥false时，f（x）≥false．
设g（x）=false，则false
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当false时，false．
10.（2016·全国高考真题（文））已知函数false.
（Ⅰ）讨论false的单调性；
（Ⅱ）若false有两个零点，求false的取值范围.
【解析】（Ⅰ）false
（Ⅰ）设false，则当false时，false；当false时，false.
所以f（x）在false单调递减，在false单调递增.
（Ⅱ）设false，由false得x=1或x=ln（-2a）.
①若false，则false，所以false在false单调递增.
②若false，则ln（-2a）＜1,故当false时，false；
当false时，false，所以false在false单调递增，在false单调递减.
③若false，则false，故当false时，false，当false时，false，所以false在false单调递增，在false单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设false，则由（Ⅰ）知，false在false单调递减，在false单调递增.
又false，取b满足b＜0且false，
则false，所以false有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则false，所以false只有一个零点.
（iii）设a＜0，若false，则由（Ⅰ）知，false在false单调递增.
又当false时，false＜0，故false不存在两个零点；若false，则由（Ⅰ）知，false在false单调递减，在false单调递增.又当false时false＜0，故false不存在两个零点.
综上，a的取值范围为false.
11.（2019·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知函数false，false，false.
（1）求函数false的单调区间；
（2）若false恒成立，求false的取值范围.
【解析】
（1）false，
由false，得false的单调增区间为false，false；
由false，得false的单调减区间为false.
（2）令false，则false恒成立，
falsefalse，
∵false，∴false.
令false，则false在false上单调递增，且false，
∴当false时，false，false，false单调递减；
当false时，false，false，false单调递增；
∴false，
∴false.
12．（2020·湖南开福 长沙一中高三月考（理））设函数，.
（1）若，讨论的零点个数；
（2）证明：.
【解析】（1）由题意，函数，则，
①当，则函数，此时有唯一的零点；
②当，令，可得，
-
+
所以，最多两个零点，
当时，可得且，所以，
所以，故时，，所以在有一个零点；
当时，，所以在有一个零点.
综上可知，当时，有唯一零点；当时，有两个零点.
（2）令，
则，
令，可得在是增函数，
且（，所以在有唯一零点，且，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
故，且，
所以，∴，所以成立.
13.（2019·黑龙江大庆实验中学高三期中（文））已知函数false,false.false.
（1）求函数false的极值点；
（2）若false恒成立,求false的取值范围.
【解析】 (1)false的定义域为false,false,
当false 时,false,所以false在false上单调递增,无极值点,
当false时,解false,得false,解false得false,
所以false在false上单调递增,在false上单调递减,
所以函数false有极大值点false,无极小值点.
(2)由条件可得false恒成立,
则当false时,false恒成立,
令false,则false,
令false,
则当false时,false,所以false在false上为增函数.
又false,所以在false上,false；在false上,false.
所以false在false上为减函数；在false上为增函数.
所以false,所以false.,故k的取值范围是false.
14.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））已知函数false
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）false
（ⅰ）false时，当false时，false；当false时，false，
所以f(x)在false单调递减，在false单调递增；
（ⅱ）false时
若false，则false，所以f(x)在false单调递增；
若false，则false，故当false时，false， false，false；所以f(x)在false单调递增，在false单调递减；
若false，则false，故当false，false， false，false；所以f(x)在false单调递增，在false单调递减；
综上：false时，f(x)在false单调递减，在false单调递增；
false时，f(x)在false单调递增；
false时，f(x)在false单调递增，在false单调递减；
false时，f(x)在false单调递增，在false单调递减；
（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在false单调递减，在false单调递增，
又false，false，取b满足false，且false，
则false，所以f(x)有两个零点
（ⅱ）当a=0,则false，所以f(x)只有一个零点
（ⅲ）当a<0,若false,则由（1）知，f(x)在false单调递增．又当false时，false，故f(x)不存在两个零点
false，则由（1）知，f(x)在false单调递减，在false单调递增，又当false，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点
综上，a的取值范围为false.
15.（2019·湖北高三月考（理））已知false．
（1）若false在false上恒成立，求实数false的取值范围；
（2）证明：当false时，false．
【解析】（1）法一：由题意false，false
① 若false，即false时，false，则false在false单调递增，
则false，则false在false单调递增，故false，满足题意；
② 若false，即false时，存在false，使得false，且当false时，false，则false在false上递减，则false，则false在false递减，此时false，舍去；
③ 若false，即false时，false，则false在false上单调递减，则false，则false在false单调递减， false，舍去；故false．
法二：由题知false，且false，false，false
要使得false在false上恒成立，则必须满足false，即false，false．
① 若false时，false，则false在false单调递增，则false，
则false在false单调递增，故false，满足题意；
② 若false时，存在false时，false，则false在false上单调递减，则false，则false在false单调递减，此时false，舍去；故false．
（2）证明：由（1）知，当false时，false．取false，则false
由（1）false，则false，故false，
要证false，只需证false．
令false，则false，false，
当false时，false，则false在false上单调递增，有false，
故false在false单调递增，故false，故false，即有false，
16.（2019·广东高三期中（理））设false．
（1）求证：当false时，false恒成立；
（2）讨论关于x的false方程根的个数．
【解析】（1）由题意得：false的定义域为false
false
当false时，false且不恒等于false false在false上单调递增
false，false当false时，false恒成立
（2）化简方程得：false，即false
令false，false
则方程根的个数等价于false与false图象交点个数
false
当false时，false，则false在false上单调递增
当false时，false，则false在false上单调递减
false；false时，false；false时，false
又false，false与false在同一坐标系内的大致图像如图所示：
由图象可知：当false时，即false时，方程无实根；当false时，即false时，方程有一个实根；当false时，即false时，方程有两个不等实根

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