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初三下册教材-秋暑复习用
目录
\l
_Toc19250_WPSOffice_Level1
第一讲
一元二次方程解法（一）
7
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_Toc25464_WPSOffice_Level1
第二讲
一元二次方程解法（二）
23
\l
_Toc32474_WPSOffice_Level1
第三讲
一元二次方程实际应用
42
\l
_Toc24726_WPSOffice_Level1
第四讲
二次函数定义及y=ax2图像性质
54
\l
_Toc14684_WPSOffice_Level1
第五讲
y=a（x-h）2+k与
y=ax2+bx+c图像性质
65
\l
_Toc20813_WPSOffice_Level1
第六讲
二次函数定义综合应用
77
\l
_Toc3612_WPSOffice_Level1
第七讲
阶段性复习
86
\l
_Toc17597_WPSOffice_Level1
第八讲
旋转
107
\l
_Toc1352_WPSOffice_Level1
第九讲
圆的定义及性质
117
\l
_Toc27030_WPSOffice_Level1
第十讲
点、线、圆的位置关系与正多边形
128
\l
_Toc15430_WPSOffice_Level1
第十一讲
弧长和扇形面积
144
\l
_Toc28682_WPSOffice_Level1
第十二讲
圆的章节复习
154
\l
_Toc11963_WPSOffice_Level1
第十三讲
概率初步
169
\l
_Toc292_WPSOffice_Level1
第十四讲
反比例函数
183
\l
_Toc366_WPSOffice_Level1
第十五讲
总复习（一）
200
\l
_Toc13308_WPSOffice_Level1
第十六讲
总复习（二）
223
第一讲
一元二次方程解法（一）
【知识梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
要点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　
平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　
　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　
　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　
　若，则方程无实数根．
　　　
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　
.
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
知识点三、一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
知识点四、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、关于一元二次方程的判定
例1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
　　(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；
　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
【答案与解析】
(1)经整理，得它的一般形式
　　　　　
(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，
　　　　　
其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：
　　　　　
对任何实数a，它都是一个一元二次方程．
　　　　(2)经整理，得它的一般形式
　　　　　
(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，
　　　　　
其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，
　　　　　
当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．
【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行
研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．
　　例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．
类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
例2.
已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．
【答案与解析】
将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，
　　　　由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件
　　　　m2-8≠0，即
m≠±．
　　　　可知它的各项系数分别是
　　　　a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．
　　　　参数m的取值范围是不等于±的一切实数．
【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．
举一反三：
【高清ID号：388447
关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解—练习1(3)】
【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a
.
【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.
类型三、一元二次方程的解（根）
例3.
若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N
B．M=N
C．M＜N
D．不确定
【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
【答案】B；
【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
【变式】（1）x=1是的根，则a=
.
（2）已知关于x的一元二次方程
有一个根是0，求m的值.
【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.
（2）由题意得
类型四、用直接开平方法解一元二次方程
例4.解方程(x-3)2=49．
【答案与解析】
把x-3看作一个整体，直接开平方，得
　　
　　x-3=7或x-3=-7．
　　　　
由x-3=7，得
x=10．
　　　　
由x-3=-7，得
x=-4．
　　　　
所以原方程的根为x=10或x=-4．
【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方
程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．
举一反三：
【变式】解方程：
(1)
（2014秋?宝安区期末）（3x+2）2=4（x﹣1）2；
(2)
（2014?锡山区期中）
（x-2）2=25.
【答案】解：(1)
3x+2=±2（x﹣1），
∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2，
类型五、用配方法解一元二次方程
例5.
用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．
【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【答案与解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，
系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，
移项得：x2﹣6x=1，
配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，
开方得：x﹣3=±，
则x1=3+，x2=3﹣．
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
举一反三：
【变式】
用配方法解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
.
（2）
①当时，此方程有实数解，
；
②当时，此方程无实数解.
类型六、配方法在代数中的应用
例6.
用配方法证明的值小于0．
【思路点拨】
本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．
【答案与解析】
．
∵
，∴
，
即．故的值恒小于0．
【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．
举一反三：
【变式】试用配方法证明：代数式的值不小于．
【答案】
．
∵
，∴
．
即代数式的值不小于．
例7.
若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是　　．
【答案】；
【解析】解：x2+2bx+4
=x2+2bx+b2﹣b2+4
=（x+b）2﹣b2+4；
∴m=﹣b，k=﹣b2+4，
则k﹣m=﹣（b﹣）2+．
∵﹣（b﹣）2≤0，
∴当b=时，k﹣m的最大值是．
故答案为：．
【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．
举一反三：
【变式】（1）的最小值是
；（2）的最大值是
.
【答案】（1）；
所以的最小值是
（2）
所以的最大值是9.
例9.
分解因式：．
【答案与解析】
．
【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．
∴x1=﹣4；x2=0．
　
　
(2)
(x-2)=±5
　　
　　　∴x-2=5或x-2=-5
　　
　　　∴x1=7,x2=-3.
【课堂检测】
一、选择题
1.
（2015?泰安模拟）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）．
A．0
B．1
C．2
D．
3
2．若是一元二次方程，则不等式的解集应是(
).
A．
B．a＜-2
C．a＞-2
D．a＞-2且a≠0
3．（2016?重庆校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（　　）
A．9
B．3
C．0
D．﹣3
4．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是(
)．
A．ab
B．
C．a+b
D．a-b
5．若，则的值为（
）．
A．1
B．-5
C．1或-5
D．0
6．对于形如的方程，它的解的正确表达式是（
）.
A．用直接开平方法解得
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、填空题
7．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是
.
8．（2014秋?东胜区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于
.
9．已知x＝1是一元二次方程的一个根，则的值为________．
10．(1)当k________时，关于x的方程是一元二次方程；
(2)当k________时，上述方程是一元一次方程．
11．已知a是方程的根，则的值为
．
12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为
．
三、解答题
13.
（2016?乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
14．用直接开平方法解下列方程．
(1)(2014·沧浪区校级期中)（x+1）2=4；
(2)
(2015·岳池县模拟)(2x-3)2=x2．
15．已知△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝6，为实数，且，．
(1)求x的值；
(2)若△ABC的周长为10，求△ABC的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0，
解得x=﹣1，
当x=﹣1时，a=2，故选C．
2．【答案】D；
【解析】解不等式得a＞-2，又由于a为一元二次方程的二次项系数，所以a≠0．即a＞-2且a≠0．
3.【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，
∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6=0，
化简，得
2a﹣b+3=0，
∴2a﹣b=﹣3，
∴6a﹣3b=﹣9，
∴6a﹣3b+6=﹣9+6=﹣3，
故答案为：D．
4.
【答案】D；
【解析】由方程根的定义知，把代入方程得，即，而，
∴
.
5．【答案】B；
【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由，得，
由分式有意义，可得≠3，所以．当时，，故选B．
6．【答案】C；
【解析】因为当n是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n是非负数时，
直接开平方得，解得，故选C．
二、填空题
7．【答案】p=-3,q=2；
【解析】∵
x＝2是方程x2+px+q＝0的根，
∴
22+2p+q＝0，即2p+q＝-4
①
同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1
②
联立①，②得
解之得：
8．【答案】m=-2；
【解析】由题意得：m2﹣4=0，解得：m=±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2
9．【答案】1；
【解析】将x＝1代入方程得m+n＝-1，两边平方得m2+2mn+n2＝1.
10．【答案】(1)≠±1
；
(2)＝-1.
【解析】(1)k2-1≠0，∴
k≠±1．
(2)由k2-1＝0，且k-1≠0，可得k＝-1．
11．【答案】20；
【解析】由题意可知，从而得，．
于是
．
12.【答案】2011.
【解析】因为是方程的根，所以，所以，，
所以．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，
解得．
14.【答案与解析】
解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x1=1,x2=-3．
(2)
两边直接开平方得，得2x-3=±x，∴x1=3,x2=1．
15.【答案与解析】
解：（1）代入中得，
∵
，，
∴
，．
（2）由（1）知，
∴
，．
【巩固练习】
一、选择题
1.
（2016?新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（　　）
A．（x﹣3）2=14
B．（x﹣3）2=4
C．（x+3）2=14
D．（x+3）2=4
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（
）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．（2015?河北模拟）把一元二次方程x2﹣6x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（　　）
A．8
B．6
C．3
D．2
4．不论x、y为何实数，代数式的值
(
)
A．总小于2
B．总不小于7
C．为任何实数
D．不能为负数
5．已知，则的值等于（
）
A.4
B.-2
C.4或-2
D.-4或2
6．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式　
　
　
的关系是(　　)
A.△=M
　　　B.
△＞M
　　　C.
△＜M
　　　D.
大小关系不能确定
二、填空题
7．（1）x2-x+
=（
）2；
（2）x2+px+
=（
）2.
8．（2015?忻州校级模拟）把代数式x2﹣4x﹣5化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，
则4m+k=　　．
9．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
10．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为____
___，所以方程的根为_________．
11．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是___
________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.
12．已知.则的值为
.
三、解答题
13.
用配方法解方程.
（1）（2016?安徽）解方程：x2﹣2x=4．
（2）（2015?大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
14．分解因式．
15．（2015春?龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A．
【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．
2．【答案】C；
【解析】选项C：配方后应为．
3．【答案】D；
【解析】
x2﹣6x=﹣4，∴
x2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x﹣3）2=5，∴
n=﹣3，m=5，
∴
m+n=5﹣3=2．故选D．
4．【答案】D；
【解析】．
5．【答案】A；
【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A.
6．【答案】A
.
【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2=
b2-4ac=△.故选A.
二、填空题
7．【答案】（1）；；
（2）；.
【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
8．【答案】﹣1；
【解析】x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣4﹣5
=（x﹣2）2﹣9，
∴
m=2，k=﹣9，
∴
4m+k=4×2﹣9=﹣1．
故答案为﹣1．
9．【答案】4；
【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,
所以
解得或
所以.
10．【答案】（x-1）2=5；
．
【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.
11．【答案】；2或6.
【解析】3x2-2x-3=0化成；
即，a=2或6.
12.【答案】5；
【解析】原式
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
（2015?大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
（2）解：移项得x2﹣6x=4，
配方得x2﹣6x+9=4+9，
即（x﹣3）2=13，
开方得x﹣3=±，
∴x1=3+，x2=3﹣．
14.
【答案与解析】
．
15.
【答案与解析】
解：x2+4x+4y2﹣4y+1
=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4
=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
【知识框架图】
第二讲
一元二次方程解法（二）
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　　　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　
①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　
②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　
①把一元二次方程化为一般形式；
　　　
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　
③求出的值；
　　　
④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　
　若，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
②
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③
当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
要点三、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.
2.
一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则
≥0.
要点四、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0，
Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
例1．解关于x的方程．
【答案与解析】
(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．
∵
m≠0，解得x＝1．
(2)当m+n≠0时，
∵
，，，
∴
，
∴
，
∴
，．
【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．
举一反三：
【变式】解关于的方程；
【答案】原方程可化为
∵
∴
∴
∴
例2．
用公式法解下列方程：
(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；
【答案与解析】
方程整理为，
∴
，∴
a＝1，b＝-2，c＝-13，
∴
，
∴
，
∴
，．
【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.
【变式】用公式法解下列方程：
【答案】∵
∴
∴
∴
类型二、因式分解法解一元二次方程
例3．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7
B．10
C．11
D．10或11
【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【答案】D
【解析】
解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系．
举一反三：
【变式】解方程（2015·茂名校级一模）
（1）x2-2x-3=0；
（2）（x-1）2+2x(x-1)=0．
【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0，x+1=0
∴x1=3,x2=-1.
（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0
∴x-1=0，3x-1=0
∴x1=1,x2=.
例4．如果，请你求出的值．
【答案与解析】
设，∴
z(z-2)＝3．
整理得：，∴
(z-3)(z+1)＝0．
∴
z1＝3，z2＝-1．
∵
，∴
z＝-1(不合题意，舍去)
∴
z＝3．
即的值为3．
【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．
易错提示:忽视，而得或．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
例5已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【思路点拨】
（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【答案与解析】
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．
举一反三：
【变式】（2015?张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）
A.
1
B.
0,1
C.
1,2
D.
1,2,3
【答案】A.
提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤，且k≠0.
则k的非负整数值为1．
例6.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________
【答案】且m≠1
【解析】因为方程有实数根，所以，解得，
同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，
∴
m的取值范围是且m≠1．
【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．
举一反三：
【变式】已知：关于x的方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【答案】.
类型四、一元二次方程的根与系数的关系的应用
例7
关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1?x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【答案与解析】
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1?x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1?x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
【变式】不解方程，求方程的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1）；
（2）3．
例8
求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数．
【答案与解析】
设方程的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系，
得，．
设所求方程为，它的两根为y1、y2，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
从而，
．
故所求作的方程为，即．
【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“和积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．
【课堂练习】
一、选择题
1.
（2016?天津）方程x2+x﹣12=0的两个根为（　　）
A．x1=﹣2，x2=6
B．x1=﹣6，x2=2
C．x1=﹣3，x2=4
D．x1=﹣4，x2=3
2．整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4＝0的根是(
)．
A．x1＝-1，x2＝-4
B．x1＝-1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4
D．x1＝1，x2＝-4
3．如果x2+x-1＝0，那么代数式的值为(
)
A．6
B．8
C．-6
D．-8
4．若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于(
)
A．1
B．2
C．1或2
D．0
5．若代数式的值为零，则x的取值是(
)．
A．x＝2或x＝1
B．x＝2且x＝1
C．x＝2
D．x＝-1
6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是(
)．
A．12
B．9
C．13
D．12或9
二、填空题
7．已知实数x满足4x2-4x+1＝0，则代数式的值为________．
8．已知y＝x2+x-6，当x＝________时，y的值是24．
9．若方程可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m＝________，n＝________．
10．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
(1)则3※5的值为
；
(2)则x※x+2※x-2※4＝0中x的值为
；
(3)若无论x是什么数，总有a※x＝x，则a的值为
．
11．（2014秋?王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0
①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　　法达到　　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0的解为
．
12．（2016?柘城县校级一模）三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是　
　．
三、解答题
13.
用公式法解下列方程：
（2）
．
14．(2015春·北京校级期中)用适当方法解下列方程：
（1）（2x-3）2=25
(2)x2-4x+2=0
(3)x2-5x-6=0
15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?
①方程x2+2x+1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
②方程x2-3x-1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
③方程3x2+4x-7＝0的根为x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，且b2-4ac≥0)的两根为x1＝________，
x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
(3)利用上面的结论解决下面的问题：
设x1、x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：
①；
②．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
【解析】x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．故选D．
2．【答案】B；
【解析】∵
，∴
的根是，．
3．【答案】C．
【解析】∵
，∴
．
∴
．
4.【答案】B；
【解析】由常数项为0可得m2-3m+2＝0，∴
(m-1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0，
∴
m＝1或m＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴
m≠1，即m＝2．
5．【答案】C；
【解析】且，∴
．
6．【答案】A
；
【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．
二、填空题
7．【答案】2；
【解析】用因式分解法解方程得原方程有两个等根，即，
所以．
8．【答案】5或-6；
【解析】此题把的值代入得到关于的一元二次方程，解之即可．
如：根据题意，得，整理得，解得，．
9．【答案】
1
；
-12
；
【解析】，∴
m＝1，n＝-12．
10．【答案】(1)60；(2)
，；(3)
．
【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；
(2)∵
※+2※※4＝，∴
，；
(3)∵
※，，
∴
只有，等式才能对任何值都成立．
∴
．
11．【答案】(1)
换元；
降次；
(2)
x1=﹣3，x2=2．
【解析】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
12.【答案】24或8．
【解析】解：∵x2﹣16x+60=0，
∴（x﹣6）（x﹣10）=0，
解得：x1=6，x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD是高，
∴BD=4，AD==2，
∴S△ABC=BC?AD=×8×2=8；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
S△ABC=BC?AC=×8×6=24．
∴该三角形的面积是：24或8．
故答案为：24或8．
　
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵
∴
∴
∴
（2），
即，
令A＝ab，B＝，C＝ab．
∵
∴
，
∴
，
，
∴
，．
14.【答案与解析】
解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，
∴2x-3=
5或2x-3=-5
∴x1=
4，x2=
-1
（2）∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b2-4ac=16-8=8.
∴
∴
（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0
∴
x-6=
0或
x+1=0
∴x1=
6，x2=
-1.
15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
①
-1
；
-1
；
-2
；
1.
②
；
；
3
；-1.
③
；
1
；
；
.
(2)
；
；
；.
(3)，．
①．
②．
【课后练习】
一、选择题
1.
关于x的方程无实数根，则m的取值范围为(
)．
A．m≠0
B．m＞1
C．m＜1且m≠0
D．m＞-1
2．（2015?烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（
）.
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
3．若、是一元二次方程的两根，则的值为（
）．
A．-1
B．0
C．1
D．2
4．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（
）．
A．2010
B．2011
C．2012
D．2013
5．若ab≠1，且有，及，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，
如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为(
)
A.200(1+x)2=1000
　　　　
　
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
　　　　
　D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
二、填空题
7．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
8．关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是__
___．
9．（2015?曲靖）一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，
则c=　　．（只需填一个）．
10．在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是
.
11．（2016?南京）设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=　
　，m=　
　．
12．已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，则代数式的值为
.
三、解答题
13.
已知关于x的方程的两根的平方和等于，求m的值．
14．（2016?南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
15．（2015?峨眉山市一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】当m＝0时，原方程的解是；当m≠0时，由题意知△＝22-4·m×1＜0，所以m＞1．
2．【答案】B
；
【解析】∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选B．
3．【答案】C
；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而．
4.【答案】C；
【解析】依题意有，，∴．
5．【答案】A
；
【解析】因为及，
于是有及，
又因为，所以，故a和可看成方程的两根，
再运用根与系数的关系得，即．
6．【答案】D；
【解析】一月份的营业额为200万元；二月份的营业额为200（1+x）万元；
三月份的营业额为200（1+x）2万元；一季度的总营业额共1000万元，
所以200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，故选D.
二、填空题
7．【答案】1；
【解析】由题意知△＝，所以，因此m的最大整数值是1．
8．【答案】；
【解析】因为关于x的一元二次方程无实数根，
所以，解得．
9．【答案】4；
【解析】∵一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得c＜，
∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c是整数，
∴c=4．
故答案为：4．
10．【答案】；
【解析】因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，
∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，
∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.
11【答案】4；3．
【解析】∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，
∴m=3．
12.【答案】0.
【解析】先根据根与系数的关系求得a值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.
因第二个方程一定有实根，由△≥0得，因为k为正整数，
当时，分母为0，故舍去，所以k=1,
当k=1时.
.
三、解答题
13.
【答案与解析】
解：设方程的两根为x1、x2，则由根与系数关系，
得，．
由题意，得
，
即，
∴
，
整理，得．解得，．
当m＝3时，△＝；
当m＝-11时，△＝，方程无实数根．
∴
m＝-11不合题意，应舍去．
∴
m的值为3．
14.
【答案与解析】
解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
15.
【答案与解析】
解：（1）方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，
根据题意得△=4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x1+x2=2（k﹣1），x1?x2=k2，
∵|x1+x2|=x1x2﹣1，
∴|2（k﹣1）|=k2﹣1，
∵k≤，
∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，
整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1（舍去），
∴k=﹣3．
第三讲
一元二次方程实际应用
【知识梳理】
重点：列方程解决实际应用类问题如增长率问题、利润问题、面积问题、几何问题、循环问题、传播问题．
难点：掌握一元二次方程实际问题解题技巧
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
“审、设、列、解、答”．
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；
(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
数与数字问题
两位数=(十位数字)×10＋个位数字
三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字
握手问题
比赛、赠送卡片问题，找到题目的关键点，贺卡要互送，自己不可能与自己握手；
面积问题
设未知数；（2）根据面积公式列方程；
工程问题
工程量=工作效率x工作时间
销售利润问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
【典例剖析】
考点一
传播、增长率问题
例1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
例2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
变式训练1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
变式训练2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
变式训练3.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？
考点二销售问题
例3.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
例4.某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8
000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?
变式训练4.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1
600元，每件应降价多少元？
变式训练5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
考点三面积问题
例5.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
变式训练6.一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？
变式训练7.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?
考点四数字问题
例6.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为　　　　　　．
变式训练8.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为　　　　　　．
考点五行程问题
例7.A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
变式训练9.甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．
变式训练10.甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.
【课堂检测】
1．用一块长方形的铁片，在它的四个角上各自剪去一个边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536cm3，求这块铁片的长和宽．
2．小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利率又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率．
3．植树造林是造福子孙后代的善义之举，某中学师生从2005年到2008年四年内共植树1999棵，已知该校2005年植树344棵，2006年植树500棵，如果2006年到2008年的植树棵数的年增长率相同，那么该校2008年植树多少棵？
4．A、B两地相距56千米，甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地出发相向而行，甲车速度为每小时36千米，乙车在遇到甲车后又开30分钟才到达A地，求两车从出发到相遇所用的时间．
5．一个容器装满40升纯酒精，第一次倒出若干升后，用水注满，第二次倒出第一次倒出量的一半的液体，已知两次共倒出纯酒精25升，问第一次倒出纯酒精多少升？
6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
7．某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？
8．一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
9．已知一元二次方程的两根满足，且a,b,c分别是∠A,
∠B,
∠C的对边，若a=c，求∠B的度数。
【巩固练习】
1．甲、乙两船同时从A处出航，甲船以30千米/小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距100千米？
2．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数。
3．张华将1000元人民币按一年期定期存入银行，到期后自动转存，两年后，本金和税后利息共获得1036.324元，问这种存款的年利率是多少？
4．新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？
5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
6.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
7.如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?
8.如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙(无限长),另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.求鸡场的长与宽各为多少米?
【知识框架图】
第四讲
二次函数定义及y=ax2图像性质
【知识导入】
思考1：
下列问题：并指出所列3式有什么共同点？[]
（1）正方体的表面积y与棱长x的关系应怎样表示？是函数关系吗？
（2）n个球队参加比赛，每队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间的关系应怎样表示？是函数关系吗？
（3）某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？是函数关系吗？
总结：一般的，形如
（a
、b、c
是常数，
）的函数，叫做二次函数。其中____是自变量，a是
，b是
，c
是
。[]
【典例剖析】
考点一
二次函数定义
例1.
1.下列函数中，哪些是二次函数____________________
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）
（2）
（3）
变式训练1.
1.已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S()关于x的函数关系式是__________.[]
2.已知是二次函数，则n的值为？[]
3.若y=(2-m)是二次函数,则m等于多少？
考点二
函数图像
1、在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数
和图象
x
…
-3
-2
-1
0
1
2[来源:学
科
网]
3
…
…
[]
…
…
…
2、观察二次函数（或）的图象
总计：
(1)图象都是一条曲线，叫做____________________，因此二次函数的图象叫
二次函数的图象叫
（2）这条抛物线关于
对称，
就是抛物线的对称轴。
（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的
.注意：顶点不都是与y轴的交点.
（4）时，抛物线的开口向
，顶点是抛物线上的最___
点，图象在x轴的
方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向
，顶点是抛物线上的最
点图象在x轴的
方(除顶点外)
抛物线
顶点坐标
对称轴
位
置
开口方向
3、与和在同一平面直角坐标系中画出、和、的图象
总结：观察以上图象归纳二次函数的性质：
（1）当a>0时，抛物线的开口向____，对称轴是______，顶点是_______，顶点是抛物线的最___点，a越大，抛物线的开口越____.x<0时，y随x的增大而______；x>0时，y随x的增大而______.
（2）当a<0时，抛物线的开口向____，对称轴是______，顶点是_______，顶点是抛物线的最___点，a越小，抛物线的开口越____.x<0时，y随x的增大而______；x>0时，y随x的增大而______.
即：越大，抛物线的开口越_______
例2.在同一直角坐标系中，画出函数的图象．
变式训练2.
1.的图象的开口向_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最___点.
解：上；x=0；（0,0）；低
2.当x<－1时．函数值y随自变量x的增大而________.
解：减小
3.抛物线的开口最大的是_________最小的是________
(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）；（4）
思考3：在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象列表：
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
[]
[]
[]
[]
总结：
观察图象填空：的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；与的图象开口方向
、对称轴
，但顶点坐标
，函数的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数的图象的顶点坐标是
，的图象的顶点坐标是
.
3可以发现：
抛物线向__________________得到抛物线；抛物线向__________________得到抛物线；
思考4：在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象
列表：
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
2、观察图象，结合自主学习可以得到：
(a≠0)
的图象可以看成________的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当______时向上平移；当____时,向下平移).
上__下___
例3.
1、函数的图象的开口向
，对称轴为
，顶点坐标是
；当x=_____时，y有最____值是_____.
最小值是2
2、函数的图象的开口向
，对称轴为
，顶点坐标是
；当x=_____时，y有最____值是_____.
变式训练3.
1.将抛物线向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是
．
2.是由________的图象沿________平移______个单位得到的；y有最_____值是_______，当x>0时，y随
x的增大而_______,当x<0时，y随
x的增大而_______.
【课堂检测】
1、抛物线的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,
所以函数有最________值是_____.
2、如果函数是二次函数,则k的值是______.
3、若函数是二次函数,则_______；若是一次函数，则=
.
4、抛物线的图像经过点(4,-5),则=_________.
5、已知二次函数的图象过原点，则a的值为　　　
.
6、把抛物线向上平移5个单位后,得到的抛物线解析式为_______.
解：
7、将抛物线向下平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
解：（0，-3）
8、抛物线是将抛物线向_____平移______个单位得到的.
解：下；3
9、抛物线的开口方向是_____，对称轴是_____.
解：下；x=0
10、已知二次函数，当x＝_________时，函数达到最小值。
11、抛物线与轴的交点坐标是_________,与轴的交点坐标是_________.
12、在同一坐标系中，二次函数，，的开口由大到小的顺序是______.
13、二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开口与抛物线相同，这个函数解析式为________.
14、写出符合下列条件的抛物线的函数关系式:
(1)通过点(-3,2);
(2)与的开口大小相同,方向相反;
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.
15．下列二次函数的开口方向向上的是（
）
A．
B．
C．
D．
解：C
16．若二次函数的开口方向向下，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解：因为3m-6<0，所以m<2
17.若二次函数与二次函数图象的形状完全相同，则与的关系为（
）
A．=
B．=
C．=
D．无法判断
18.将二次函数的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
解：B
19.若二次函数由二次函数平移得到的，则的值为（
）
A．1
B．
C．1
或
D．0或
解：m2-6=-5，所以m=1或m=-1
20.二次函数图象的顶点坐标为（
）
A．（0，3）
B．（0，）
C．（，3）
D．（，）
解：B
21.将二次函数图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为（
）
A．（0，）
B．（0，4）
C．（5，）
D．（，）
解：A
22.将二次函数图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
解：C
23.
已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
24.若为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
25.已知函数与的图象大致如图，若，则自变量的取值范围是（
）．
A.－＜＜2
B．＞2或＜－
C．－2＜＜
D．
＜－2或＞
第五讲
y=a（x-h）2+k与
y=ax2+bx+c图像性质
【知识导入】
思考1：在同一直角坐标系中画出函数，，的图象
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
[]
[]
[]
观察图象填空：
的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；函数的图象的顶点坐标是_______，开口向___，对称轴是_______,
函数的图象的顶点坐标是
_____
，开口向___，对称轴___________；
函数的图象的顶点坐标是
,开口向___，对称轴是___________.
总结：抛物线向__________________得到抛物线；
抛物线向__________________得到抛物线；
可以得到：
(a≠0)
的图象可以看成________的图象沿x轴整体平移|h|个单位得到的.(当______时向右平移；当____时,向左平移).
考点一
y=a（x-h）2图像及性质
例1.填写下表
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=2(x+3)2
y
=
-3(x-1)2
y
=
-4(x-3)2[]
变式训练1.将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．
B．
C．
D．
思考2：
在同一直角坐标系中，画出函数，，
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
[来源:Z
xx
k.Com]
填空：抛物线的开口向_____；顶点坐标_______；对称轴是______.
总结：
只要把抛物线先向
平移
个单位，再向
平移
个单位，就可得到函数的图象.即可以得到：
的图象可以看成________的图象向____(
或向
)平移；再向_____（或向
）平移得到的.
考点二
y=a（x-h）2图像及性质
例2.
1、抛物线的顶点坐标是（
）[]
A．（1，3）
B．（1，3）
C．（1，3）
D．（1，3）
2、二次函数的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得函数表达式为（
）
A．
B．
C.
D．
变式训练2.
1、的对称轴是直线（
）
A．
B．
C.
D．
2、二次函数的最小值是（
）
A．2
B．1
C．－3
D．
思考3：二次函数的图象和性质：
（1）配成类型；[]
[]
（2）如何平移得到的图象？
的顶点是_____________；对称轴是_____________.
（4）画的图象可以利用图象的对称性列表：
…
[]
…
…
[]
…
(5)由图象可以看出：在对称轴的左侧，即x________时，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，即x________时，y随x的增大而________.
二次函数通过配方化为的形式为：
考点三
y=ax2+bx+c图像性质
例3.
（1）抛物线的顶点坐标是（
）
A．（2，0）
B．（2，-2）
C．（2，-8）
D．（-2，-8）
（2）化y=为a的形式是______________________，图象的开口向_______，顶点是_____________，对称轴是____________.
变式训练3.
（1)如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（
）
A．0
B．6
C．3
D．9
（2）二次函数的图象如图所示，下列说法中不正确的是（
）
A．
B．
C.
D．
3.二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C.
D．
4.已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是
．
考点四
函数解析式
待定系数法求二次函数的解析式的思路
第一步：设_______________________________
第二步：代________________________________
第三步：解三元一次方程组得_________________
第四步：代_________________________________
例4.已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)求它的关系式．
变式训练4.
（1）函数图象经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）求二次函数的解析式
已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
（3）抛物线与轴交与点（1,0）、（-3,0），与y轴交于（0，-3），求这个抛物线的解析式[]
（4）已知一条抛物线的开口大小与相同但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则求这个抛物线的解析式[来
考点五
二次函数与一元二次方程
思考：
1.已知二次函数的值为-3，求自变量x的值[]
反过来：解方程就可以看作已知二次函数的值为_______，求自变量x的值
2、画出函数的图象
列表：
x
…
…
y=x2-2x-3
…
…
3、抛物线与x轴有________个公共点，它们的横坐标是_______,_______.
当x取公共点的横坐标时，函数值是______.由此得出方程____________的根是________.
4、反过来：一元二次方程有______根，可以确定二次函数
的图象与x轴有_______个公共点.
总结：
从二次函数的图象可得到如下结论：
（1）如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是,那么当时，函数值是________，因此是方程________________的一个根.
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：_______公共点，_______公共点，___________公共点.对应一元二次方程_____________________的根的三种情况:___________________________________________________________________即
①当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1与
x2；
即：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（
x1，0），B（x2,0）
②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；
③当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
例5.
已知函数
⑴写出函数图象的顶点坐标、图象与坐标轴的交点坐标，以及图象与y轴交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象；（二次函数五点法的画法）
(2)自变量x在什么范围内时，
y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值
（3）利用函数图象求方程的根
变式训练5.
1、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、方程的根是
；则函数的图象与x轴的交点有
___________个，其坐标是
3、不画图象，说出函数y=-x2+x+6的图象与x轴的交点坐标
【课堂检测】
1．下列函数中，不是二次函数的是(　　)
A．y＝1－x2
B．y＝2(x－1)2＋4
C.
y=(x－1)(x＋4)
D．y＝(x－2)2－x2
解：D
2．把二次函数y＝－x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式(　　)
A．y＝－(x－2)2＋2
B．y＝(x－2)2＋4
C．y＝－(x＋2)2＋4
D．y＝2＋3
解：C
3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(　　)
A．与x轴有两个交点　
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0,3)
D．顶点坐标是(1，－2)
解：D
4．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图22?1，则m的值是(　　)
A．－8
B．8
C．±8
D．6
图22?1
图22?2
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图22?2，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(　　)
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(　　)
A．y＝3(x－2)2－1
B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x＋2)2－1
D．y＝3(x＋2)2＋1
解：D
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22?3，下列结论正确的是(　　)
A．a<0
B．b2－4ac<0
C．当－10
D．－＝1
图22?3
图22?4
解：D
8．如图22?4，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∠OBC＝45°，则下列各式成立的是(　　)
A．b－c－1＝0
B．b＋c－1＝0
C．b－c＋1＝0
D．b＋c＋1＝0
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧．以上正确的说法的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(　　)
A
B
C
D
解：C
11．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
12．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
解：b/2a=1，b=4
13．抛物线y＝－2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是____________．
14．如图22?5，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，则二次函数的图象的顶点坐标是________．
图22?5
15．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图22?6，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第___________象限．
图22?6
17．求经过A(1,4)，B(－2,1)两点，对称轴为x＝－1的抛物线的解析式．
18．已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
20．如图，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5,4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
22．已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)．
(1)确定此抛物线的解析式；
(2)当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
第六讲
二次函数定义综合应用
【知识梳理】
1.理论应用
（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）
2、实际应用
（求最值、最大利润、最大面积等）
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
【典例剖析】
例1.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积(㎡)与路宽(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？
变式训练1.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积(㎡)与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？
例2.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么
销售量可以表示为____________________；
销售额可以表示为____________________；
所获利润可以表示为__________________；
当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。
变式训练2.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
（1）问题中有哪些变量？其中自变量是_______,因变量是___________.
（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.
（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.
（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
例3.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
变式训练3.如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
变式训练4.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为
。（精确到0.1米）
例4.一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。
变式训练5.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每
天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；
若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐
的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．
(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出)
①求y与x的函数关系式；
②若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低
于多少元？
③该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的
售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
例5.心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
例题6.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设
AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ=
S△ABC
变式练习6.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。
【知识框架图】
第七讲
阶段性复习
【课堂检测】
1．下列函数中，不是二次函数的是(　CD　)
A．y＝1－x2
B．y＝2(x－1)2＋4
C.(x－1)(x＋4)
D．y＝(x－2)2－x2
2．把二次函数y＝－x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式(　　)
A．y＝－(x－2)2＋2
B．y＝(x－2)2＋4
C．y＝－(x＋2)2＋4
D．y＝2＋3
3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(　　)
A．与x轴有两个交点
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0,3)
D．顶点坐标是(1，－2)
4．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图22?1，则m的值是(　　)
A．－8
B．8
C．±8
D．6
图22?1图22?2
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图22?2，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(　　)
A．有最小值－5、最大值0
B．有最小值－3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(　C　)
A．y＝3(x－2)2－1
B．y＝3(x－2)2＋1
C．y＝3(x＋2)2－1
D．y＝3(x＋2)2＋1
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22?3，下列结论正确的是(　　)
A．a<0
B．b2－4ac<0
C．当－10
D．－＝1
图22?3图22?4
8．如图22?4，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∠OBC＝45°，则下列各式成立的是(　　)
A．b－c－1＝0
B．b＋c－1＝0
C．b－c＋1＝0
D．b＋c＋1＝0
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧．以上正确的说法的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(　　)
A
BC
D
11．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝_-5(m=3舍去)_____.
12．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
13．抛物线y＝－2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是____________．
14．如图22?5，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，则二次函数的图象的顶点坐标是________．
图22?5图22?6
15．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图22?6，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第_____四______象限．
解：c>0，对称轴-b/2a=b>0
16．如图22?7，在正方形ABCD中，E为BC边上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是__________．
17．求经过A(1,4)，B(－2,1)两点，对称轴为x＝－1的抛物线的解析式．
18．已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
19．用12米长的木料，做成如图22?8的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？
20．如图22?9，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5,4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
图22?9
21．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图22?10，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
22．已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)．
(1)确定此抛物线的解析式；
(2)当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过140
km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速/km·h－1
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象；
(2)观察图象．估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5
m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
25．已知，如图22?11抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
阶段性复习题
（100分，45分钟）
一、选择题（每题3分，共21分）
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（
）
A.ax2+bx+c=0
B.=2
C.x2+2x=y2－1
D.3(x+1)2=2(x+1)
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为0，则下列结论正确的是（
）
A.a=0
B.b=0
C.c=0
D.c≠0
3.一元二次方程x2－2x－1=0的根的情况为（
）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.方程x2+6x=5的左边配成完全平方式后所得方程为（
）
A.(x+3)2=14
B.(x－3)2=14
C.(x+6)2=12
D.以上答案都不对
5.已知x=2是关于x的方程x2－2a=0的一个根，则2a－1的值是（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
6.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3亿元，预计2014年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（
）
A．3（1+x)2=5
B．3x2=5
C.
3(1+x％)2=5
D.
3(1+x)
+3(1+x)2=5
7.使代数式x2－6x－3的值最小的x的取值是（
）
A.0
B.－3
C.3
D.－9
二、填空题（每题3分，共18分）
8.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为________．
9.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是____________.
10.已知α、β是一元二次方程x2－4x－3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）=________．
11.在一幅长50
cm，宽30
cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要使整个挂图的面积是1
800
cm2,设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程为________________.
图1
12．已知x是一元二次方程x2+3x－1=0的实数根，那么代数式的值为________．
13.三角形的每条边的长都是方程x2－6x+8=0的根，则三角形的周长是_______________.
三、解答题（14、19题每题12分，15题8分，16题9分，其余每题10分，共61分）
14.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2－3x+1=0;②(x－1)2=3；③x2－3x=0;④x2－2x=4．
15.已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程=3的解相同.
（1）求k的值；
（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个解.
16.关于x的一元二次方程x2－3x－k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
17.〈绍兴〉某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5
000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5
000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
18.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每千克售价（元）
38
37
36
35
...
20
每天销售量（千克）
50
52
54
56
...
86
设当单价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克.
（1）根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x的函数解析式；
（2）如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元/千克？（利润=销售总金额－成本）
19.如图2，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16
cm，AD=6
cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2
cm/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33
cm2？
图2
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10
cm？
参考答案及点拨
一、1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
二、8.1
9.a＜1且a≠0
10.－6
11.x2+40x－75=0
12.
13.6或10或12
三、14.
解：①x1,2=；②x1,2=1±；③x1=0，x2=3；④x1,2=1±.
点拨:①可选择公式法,②选择直接开平方法,③选择因式分解法,④选择配方法;任选一题即可.
15.
解：（1）k=－1.
(2)方程的另一个解为x=－1.
16.
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴(－3)2－4(－k)＞0．即4k>－9，解得，k>－．
（2）若k是负整数，则k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2－3x+1=0．解得x1=，x2=．
点拨:(2)题答案不唯一.
17.
解：（1）∵30
000÷5
000＝6,∴能租出24间.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则
(30－)×（10＋x）－(30－)×1－×0.5＝275，
整理得2
x
2－11x＋5＝0，∴
x＝5或x＝0.5，∴
每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
18.
解：在直角坐标系中描点、连线略.易知y与x满足一次函数关系.（1）设y与x之间的函数解析式是y=kx+b（k≠0）．
根据题意，得20k+b=86,
35k+b=56.解得k=－2,b=126.
所以，所求的函数解析式是y=－2x+126．
（2）设这一天的销售价为x元／千克．
根据题意，得(x－20)(－2x+126)=780．整理后，得x2－83x+1
650=0．
解得x1=3

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