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第二章
方程与不等式
第5节
分式方程
■考点1
分式方程的概念、解法?
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为零．
3．增根：使分式方程分母为零的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：
（1）增根使分母为零；
（2）增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
5．用换元法解分式方程的一般步骤：
（1）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
（2）解方程，求出辅助未知数的值；
（3）把辅助未知数代入原设中，求出原未知数的值；
（4）检验作答.
■考点2
列分式方程解应用题?
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答．
但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否符合实际意义．
■考点1：分式方程的解法?
◇典例：关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（　　）
A．a=1
B．a=2
C．a=4
D．a=10
【考点】分式方程的解
【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．
解：把x=4代入方程，得
+=0，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0
◆变式训练
1．分式方程的解是（　　）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
【考点】解分式方程
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
2．若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2
B．4
C．8
D．4或8
【考点】分式方程的增根
【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，﹣a=﹣4，
解得，a=4，
当x=2时，6﹣a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
■考点2：分式方程应用?
◇典例：新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式方程的应用
【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：=，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
◆变式训练
1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣=30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
【考点】分式方程的应用
【分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程，然后解分式方程即可．
解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得，
解得x=2400，
经检验x=2400是原方程的解，
当x=2400时，1.5x=3600
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
1．分式的值是（　　　）
A．不能为
B．不能为0
C．不能为1
D．不能为2
【答案】C
【解析】让分式的值分别等于-1、0、1、2，构建分式方程，找出无解的方程即可.
解：A．若，去分母得：，解得：
经检验是分式方程的解，不符合题意；
B.
若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，不符合题意；
C.
若，去分母得：，此方程无解，分式不能为1，符合题意；
D.
若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，不符合题意。
故选：C.
2．分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程然，然后进行求解检验.
解：去分母，方程两边同时乘以，
得：，
，
，
检验：时，，
∴原方程的解是
故选A.
3．方程的解为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2x＋2＝3x?3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故选：B．
4．解分式方程时，去分母后得到的方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先找公分母2（x-1），利用等式的性质，方程两边都乘以2（x-1）后，由于有括号只去括号其它不变，对照选取即可．
解：，
方程两边都乘以2（x-1）得，2x+2(2x-1)=x-1，
去括号得2x+4x-2=x-1．
故选择：C．
5．如果关于的分式方程无解，那么的值为（
）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】先解方程，去分母，移项合并得x=-2-m，利用分式方程无解得出x=2，构造m的方程，求之即可．
解：解关于的分式方程，
去分母得m+2x=x-2，
移项得x=-2-m，
分式方程无解，
x=2，
即-2-m=2，
m=-4，
故选择：B．
6．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（
）
A．①③
B．①②
C．②④
D．③④
【答案】A
【解析】根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式x﹣2，结果不变；
②根据去括号法则；
③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3﹣x，结果不变；
④根据合并同类项法则．
根据等式基本性质的是①③．
故选A．
7．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数改良后种植的亩数亩，根据等量关系列出方程即可．
解：设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，
根据题意列方程为：．
故选．
8．国庆节前夕，某国旗厂需要赶制360面国旗，为了缩短工期，实际加工速度是原计划加工速度的倍，结果提前2小时完成了任务，设工人们原计划每小时加工面国旗，依据题意可得（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设工人们原计划每小时加工面国旗，依题意可列出分式方程，故可求解．
解：设工人们原计划每小时加工面国旗，依题意可得
故选A．
9．某工程队承接了0米的修路任务，在修好米后，引进了新设备，工作效率是原来的倍，一共用天完成了任务．设引进新设备后平均每天修路米，则的值为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】C
【解析】根据题意列出关于x的方程，解方程可得x的值．
解：设引进新设备后平均每天修路
x
米，则由题意可得：
，解之得：x=175，
经检验，x=175是原方程的解且符合题意，
故选C．
10．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，那么汽车原来的平均速度为（
）
A．70
B．65
C．75
D．80
【答案】A
【解析】设汽车原来的平均速度为x，则提速后为（1+50%）x，根据“行驶时间缩短了2h”列出方程解答即可．
解：设汽车原来的平均速度为x，则提速后为（1+50%）x，
根据题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：A．
11．若代数式的值是1，则__________．
【答案】2
【解析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则．
故答案为：2．
12．方程的解为_____．
【答案】x＝6
【解析】先去分母，方程两边都乘以，再移项合并同类项即可求解，最后验根．
解：去分母得：2x﹣6＝x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故答案为：x＝6
13．若关于的方程有增根，则____．
【答案】6或0
【解析】根据分母等于0求出x的值，然后把原方程去分母后把求得的x的值代入计算即可．
解：由题意得
x2-9=0，
解得
x=±3，
，
去分母得
m-(x+3)=0，
当x=3时，
m-(3+3)=0，
∴m=6；
当x=-3时，
m-(-3+3)=0，
∴m=0；
∴m=6或0时，分式方程有增根．
故答案为：6或0．
14．若关于x的分式方程无解，则m＝_____．
【答案】6，10
【解析】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=，再按此进行计算．
解：∵关于x的分式方程无解，
∴x=，
原方程去分母得：m（x+1）-5=（2x+1）（m-3）
解得：x=，m=6时，方程无解．
或是方程无解，此时m=10．
故答案为6，10．
15．红海滩特产超市四月份至五月份期间销售某种礼盒，四月份用350元购进了这种盒，五月份每盒进价下降了11元，用240元购进了与四月份相同数量的礼盒，这种礼盒四月份的进价是____元．
【答案】35
【解析】设四月份这种礼盒的进价为x元/盒，则五月份年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒，根据四月份年花350元与五月份年花240元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
解：设四月份这种礼盒的进价为x元/盒，则五月份年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒，
根据题意得：，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
∴四月份这种礼盒的进价是35元/盒．
故填：35．
16．2020年3月，某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和KN95型防护口罩共10000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知KN95型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为x元，则可列方程_____．
【答案】．
【解析】直接根据题意分别表示出采购的医用防护口罩和KN95型防护口罩的数量＝100000，进而得出等式．
解：设医用防护口罩单价为x元，则可列方程：
＝10000．
故答案为：．
17．解分式方程：+=1．
【答案】x=
【解析】方程两边同乘以(x?1)(x?2)，将分式方程转化为整式方程，解方程，最后验根即可求解．
解：方程两边同乘以(x?1)(x?2)，
得(x+1)(x?2)
+
(x?1)=(x?1)(x?2)，
即?3=?3x+2，
解得x=，
检验：当x=时，(x?1)(x?2)
=
(?1)(
?2)
=
?≠0，
故原方程的解为x=．
18．解分式方程：
【答案】无解
【解析】通过去分母、去括号、移项与合并同类项、系数化为1等步骤求解，再检验即可得出答案．
解：方程两边同时乘以（x2﹣9）得：
4（x+3）﹣（x+9）＝x﹣3
4x+12﹣x﹣9﹣x＝﹣3
2x＝﹣6
x＝﹣3
检验：当x＝﹣3时，x2﹣9＝（﹣3）2﹣9＝9﹣9＝0
∴原分式方程无解．
19．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中的值：．
【答案】
【解析】根据题意列出分式方程，解方程即可；
解：
由，
可得，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解．
20．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品
【解析】
解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
根据题意得，，
解得x=40．
经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．
1.5x=1.5×40=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．
设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．
1．（2020·阿坝自治州中考）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：3?（x?1）＝0，
去括号得：3?x＋1＝0，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解．
故选：D．
2．（2020·成都中考）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】将代入原方程，即可求出值．
解：将代入方程中，得
解得：
．
故选：B．
3．（2020·齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10
B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6
D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【解析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
解：去分母得，
解得，
由方程的解为正数，得到，且，，
则m的范围为且，
故选：D．
4．（2020·牡丹江中考）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A．3
B．5
C．3或5
D．3或4
【答案】D
【解析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
5．（2020·荆门中考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
【答案】A
【解析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
解：关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
6．（2020·遂宁中考）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2
B．m＝1
C．m＝3
D．m＝﹣3
【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
7．（2020·呼伦贝尔中考）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
解：设甲每天做x个零件，根据题意得：
，
故选：A．
8．（2020·朝阳中考）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，
故选：B．
9．（2020·湖北中考）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．
解：由题知：
故选：A．
10．（2020·昆明中考）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
【答案】C
【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，
根据题意得：，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
11．（2020·绵阳中考）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（　　）
A．1.2小时
B．1.6小时
C．1.8小时
D．2小时
【答案】C
【解析】设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
解：设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，
根据题意得：，
解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，
x2＝9不合题意，舍去，
故答案为：C．
12．（2020·河池中考）方程＝的解是x＝_____．
【答案】-3
【解析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．
解：方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2020·济南中考）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
【答案】7
【解析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．
解：根据题意得：，
去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，
解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．
故答案为：7．
14．（2020·呼和浩特中考）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】
x=-4
【解析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
解：∵，
∴分式与的最简公分母是，
方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，变形得：，
解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，
∴x=2是增根，
∴方程的解为：x=-4．
15．（2020·潍坊中考）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】．
【解析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，解得：，
故答案为：．
16．（2020·绥化中考）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
【答案】
【解析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.
故答案是：.
17．（2020·嘉兴中考）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
【答案】
【解析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
解：根据题意得，，
故答案为：
18．（2020·大庆中考）解方程：
【答案】3
【解析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
解：，
去分母得：，
解得：．
检验：把代入中，得，
∴是分式方程的根．
19．（2020·郴州中考）解方程：
【答案】x=3．
【解析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
解：
去分母得，
解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，
所以，原方程的根为：x=3．
20．（2020·长春中考）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【答案】2万斤
【解析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤
依题意得
解得：
经检验是原方程的根，且符合题意．
答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
21．（2020·云南中考）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【解析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，
则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
9(共63张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
梳
理
考
点
突
破
夯
实
基
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考
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方程与不等式
第5节
分式方程
■考点1
分式方程的概念、解法?
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有__________的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于__________的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__________．
3．增根：使分式方程__________的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：
（1）增根使分母为零；
（2）增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
（1）去分母，把分式方程转化为__________方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
5．用换元法解分式方程的一般步骤：
（1）设__________，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
（2）解方程，求出辅助未知数的值；
（3）把__________代入原设中，求出原未知数的值；
（4）检验作答.
■考点2
列分式方程解应用题?
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、__________、作答．
但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是__________；二是检验所求的解是否__________．
■考点1：分式方程的解法?
◇典例：关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（　　）
A．a=1
B．a=2
C．a=4
D．a=10
◆变式训练
1．分式方程的解是（　　）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
2．若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2
B．4
C．8
D．4或8
■考点2：分式方程应用?
◇典例：新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练
1．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
1．分式的值是（　　　）
A．不能为
B．不能为0
C．不能为1
D．不能为2
2．分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
3．方程的解为(　　)
A．
B．
C．
D．
4．解分式方程时，去分母后得到的方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如果关于的分式方程无解，那么的值为（
）
A．4
B．
C．2
D．
6．如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（
）
A．①③
B．①②
C．②④
D．③④
7．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为　　
A．
B．
C．
D．
8．国庆节前夕，某国旗厂需要赶制360面国旗，为了缩短工期，实际加工速度是原计划加工速度的倍，结果提前2小时完成了任务，设工人们原计划每小时加工面国旗，依据题意可得（
）．
A．
B．
C．
D．
9．某工程队承接了0米的修路任务，在修好米后，引进了新设备，工作效率是原来的倍，一共用天完成了任务．设引进新设备后平均每天修路米，则的值为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
10．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，那么汽车原来的平均速度为（
）
A．70
B．65
C．75
D．80
11．若代数式的值是1，则__________．
12．方程的解为_____．
13．若关于的方程有增根，则____．
14．若关于x的分式方程无解，则m＝_____．
15．红海滩特产超市四月份至五月份期间销售某种礼盒，四月份用350元购进了这种盒，五月份每盒进价下降了11元，用240元购进了与四月份相同数量的礼盒，这种礼盒四月份的进价是____元．
16．2020年3月，某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用30600元为公司员工采购了医用防护口罩和KN95型防护口罩共10000个，其中购买医用防护口罩花费14400元，已知KN95型防护口罩单价是医用防护口罩单价的4.5倍，设医用防护口罩单价为x元，则可列方程_____．
17．解分式方程：+=1．
18．解分式方程：
19．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中的值：．
20．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
1．（2020·阿坝自治州中考）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·成都中考）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2020·齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10
B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6
D．m＞﹣10且m≠﹣6
4．（2020·牡丹江中考）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A．3
B．5
C．3或5
D．3或4
5．（2020·荆门中考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
6．（2020·遂宁中考）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2
B．m＝1
C．m＝3
D．m＝﹣3
7．（2020·呼伦贝尔中考）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·朝阳中考）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湖北中考）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·昆明中考）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
11．（2020·绵阳中考）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（　　）
A．1.2小时
B．1.6小时
C．1.8小时
D．2小时
12．（2020·河池中考）方程＝的解是x＝_____．
13．（2020·济南中考）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
14．（2020·呼和浩特中考）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
15．（2020·潍坊中考）若关于x的分式方程有增根，则_________．
16．（2020·绥化中考）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
17．（2020·嘉兴中考）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
18．（2020·大庆中考）解方程：
19．（2020·郴州中考）解方程：
20．（2020·长春中考）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
21．（2020·云南中考）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
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