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第二章
方程与不等式
第4节
一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找等量关系；
（3）设未知数；
（4）列方程；
（5）解方程；
（6）检验；
（7）写出答案．
■考点1
增长率问题?
增长后的量=增长前的量×（1+增长率）
一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
■考点2
销售问题?
销售利润＝销售价－进价
销售利润率=利润总额÷营业收入×100%
销售毛利率=（营业收入－营业成本）÷营业收入×100%
利润总额=营业收入－营业成本－费用
■考点3
几何问题?
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4
求互相联系的两数?
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5
赛制循环问题?
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1）÷2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1）
■考点6
利率问题?
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7
传染问题?
公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题?
◇典例：某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
◆变式训练
1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2=1000+440
B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000
D．1000（1+2x）=1000+440
2．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
■考点2：销售问题?
◇典例：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
◆变式训练
1．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价－进价）
■考点3：几何问题?
◇典例：王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000
B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000
D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
◆变式训练
1．一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
■考点4：求互相联系的两数?
◇典例：如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和．
◆变式训练
1．积是63的两个连续奇数是____________．
2．一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
■考点5：赛制循环问题?
◇典例：某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36场，则选手有________名
◆变式训练
1．参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是_______．
■考点6：利率问题?
◇典例：小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为________
◆变式训练
1．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（
）
A．10%
B．11%
C．12%
D．13%
■考点7.传染问题?
◇典例：有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为________．
◆变式训练
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
1．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝210
B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210
D．x（x﹣1）＝210
3．某校九年级学生在七年级时就参加课改试验，重视能力培养，在七年级时就有48人次在县级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到九年级结束共有183人次在县级以上得奖，设这两年中得奖人次的平均年增长率为x，可列方程为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（
）
A．
B．
C．
D．
5．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（
）支队伍参加了比赛．
A．7
B．6
C．12
D．14
6．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2
B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2
D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
7．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（
）
A．或
B．
C．
D．
8．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：________________．
9．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2﹣b，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为_____．
10．某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的81%，则每次降价的百分率为__________．
11．杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》)直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．解答这个问题可知长为____步．
12．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价_____元．
13．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
14．如图，是一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，设垂直于墙的边长为则可列方程为______．
15．如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
16．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量（千克）
…
32
28
…
售价（元/千克）
…
24
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
17．2019年“十一”黄金周期间，某旅游小镇接待游客达18.3万人次．该小镇美食无数，一家特色小面店希望在今年长假期间获得较好的收益．经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗小面卖25元，平均每天能够销售300碗，若降价销售，每降低1元，则平均每天能够多销售30碗．另外，为了维护城市形象，规定每碗小面的售价不得超过20元，则当每碗小面的售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
18．如图，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，？
（2）经过几秒后，的面积等于？
1．（2020·广西中考）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110
B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110
D．x（x﹣1）＝110
2．（2020·衡阳中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·遵义中考）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
4．（2020·衢州中考）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
5．（2020·河南中考）国家统计局统计数据
显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为(
)
A．
B．
C．
D．
6．（2020·鄂州中考）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·河池中考）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．（2020·通辽中考）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
9．（2020·邵阳中考）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
10．（2020·济南中考）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
11．（2020·大连中考）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____________．
12．（2020·山西中考）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．
13．（2020·西藏中考）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
14．（2020·上海中考）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
15．（2020·重庆中考）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
16．（2020·湘西中考）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
17．（2020·滨州中考）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
13(共82张PPT)
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方程与不等式
第4节
一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找等量关系；
（3）设未知数；
（4）列方程；
（5）解方程；
（6）检验；
（7）写出答案．
■考点1
增长率问题?
增长后的量=增长前的量×（1+增长率）
一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
■考点2
销售问题?
销售利润＝销售价－进价
销售利润率=利润总额÷营业收入×100%
销售毛利率=（营业收入－营业成本）÷营业收入×100%
利润总额=营业收入－营业成本－费用
■考点3
几何问题?
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4
求互相联系的两数?
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5
赛制循环问题?
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1）÷2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1）
■考点6
利率问题?
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7
传染问题?
公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题?
◇典例：某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2019年蔬菜产量为80吨，则2020年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2021年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，
即：
80（1+x）2=100，
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
◆变式训练
1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2=1000+440
B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000
D．1000（1+2x）=1000+440
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
1000（1+x）2=1000+440，
故选A．
2．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
■考点2：销售问题?
◇典例：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【考点】一元二次方程的应用．
【解析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，
整理，得：x2﹣920x+211600=0，
解得：x1=x2=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
◆变式训练
1．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价－进价）
【解析】（1）根据分段函数可以表示出当0解：（1）由题意，得
当0当5∴y＝
（2）当0当5解得x1＝－25（舍去），x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
■考点3：几何问题?
◇典例：王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000
B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000
D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【解析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
◆变式训练
1．一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【解析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=180，
解得x1=10（舍去），x2=18，
28﹣x=28﹣18=10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=200，
即x2﹣28x+200=0，
则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
■考点4：求互相联系的两数?
◇典例：如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和．
【解析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
◆变式训练
1．积是63的两个连续奇数是____________．
【解析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是63列出方程求解即可．
解：设较小的奇数为2n-1，则依题意得
（2n-1）（2n+1）=63，
4n2-1=63，
n=4或n=-4，
当n=4时
奇数为7，9．
当n=-4时，奇数为-9、-7
故答案为：7、9或-9、-7．
2．一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【解析】设该三位数的百位数字是x，则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则
100x+10（x+3）+（2x+3）=5（2x+3）2+12，
整理，得
5x2-13x+6=0，
所以，（x-2）（5x-3）=0．
所以x-2=0或5x-3=0，
解得，x=2，则x+3=5，2x+3=7，
则该三位数是257．
?答：这个数是257．
■考点5：赛制循环问题?
◇典例：某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36场，则选手有________名
【解析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可．
解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，由题意，得
=36，
解得：x1=-8（舍去），x2=9，
∴x=9．
故答案为：9．
◆变式训练
1．参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是_______．
【解析】握手要做到不重不漏，可类比线段上放点数有多少线段来做．人数类似线段上的点数，握手次数类似线段的总条数．因此可列出方程．
解：设到会的人数是n．
=91
n=14或n=-13（舍去）
故答案为14．
■考点6：利率问题?
◇典例：小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为________
【解析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出．
解：假设这种债券的年利率为x，列方程得：
5000+2×5000x=5400，
解得：x=4%．
故填：4%．
◆变式训练
1．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（
）
A．10%
B．11%
C．12%
D．13%
【解析】本题考查的是方程思想，将所求的未知数设为x，将其代入题给的条件中，列出式子后便可求得x．
解：第一年的利润是500x万元，则第二年的投入资金为（500+500x）万元，第二年的利润率为x+8%，利润为112万元，
所以可得方程：（500+500x）（x+8%）=112，
解方程可得x=12%
故选C．
■考点7.传染问题?
◇典例：有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为________．
【解析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程求解．
解：设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡．
依题意得1+x+x（1+x）=100，
∴x2+2x-99=0，
∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡．
故答案为：9．
◆变式训练
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【解析】根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
解：设每轮感染中平均1台电脑会感染台电脑．
根据题意可列：，
解得：，（舍去）．
∴3轮感染后，被感染得电脑为：．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
1．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利即可得出方程．
解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：．
2．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝210
B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210
D．x（x﹣1）＝210
【答案】B
【解析】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x?1)本；
则总共送出的图书为x(x?1)；
又知实际互赠了210本图书，
则x(x?1)=210.
故选：B.
3．某校九年级学生在七年级时就参加课改试验，重视能力培养，在七年级时就有48人次在县级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到九年级结束共有183人次在县级以上得奖，设这两年中得奖人次的平均年增长率为x，可列方程为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】用含x的代数式分别表示出八年级和九年级的得奖人次，进一步即得答案．
解：设这两年中得奖人次的平均年增长率为x，根据题意可列方程为：．
故选：D．
4．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：依题意，得，
化简，得，
解得．
当时，，不符合题意，舍去．
故纸盒的高为，
故选：C．
5．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（
）支队伍参加了比赛．
A．7
B．6
C．12
D．14
【答案】A
【解析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．
解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝21，
解得x＝7或x＝﹣6（舍去）．
故应邀请7支队伍参加比赛．
故选：A．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2
B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2
D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
【答案】B
【解析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，对角线长为x尺，根据勾股定理可得的方程．
解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
7．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（
）
A．或
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题已知了
、
的速度，设秒后，的面积等于，根据路程
=速度时间，可用时间
表示出
和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
解：设秒后，的面积等于，
依题意得：，
∴，
∴，，
当时，，即不合题意，舍去．
所以10秒后，的面积等于．
故选B．
8．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：________________．
【答案】
【解析】设这个小组的同学共有人，则每人送张贺卡，根据送出贺卡的总数小组人数每人送出贺卡数，即可列出关于的一元二次方程，据此求解即可．
解：设这个小组的同学共有人，则每人送张贺卡，
根据题意得：．
故答案为：．
9．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2﹣b，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为_____．
【答案】x1＝1，x2＝﹣5．
【解析】先阅读题目，根据新运算得出（x+2）2﹣9＝0，移项后开方，即可求出方程的解．
解：（x+2）※9＝0，
（x+2）2﹣9＝0，
（x+2）2＝9，
x+2＝±3，
x1＝1，x2＝﹣5，
故答案为x1＝1，x2＝﹣5．
10．某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的81%，则每次降价的百分率为__________．
【答案】
【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：（1-x%）2=0.81，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%
11．杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述．下面是杨辉在1275年提出的一个问题(选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》)直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．解答这个问题可知长为____步．
【答案】36
【解析】可设矩形田地的宽为步，则长为步，根据面积为，即可得到方程求解即可．
解：设矩形田地的宽为步，则长为步，根据题意得，
，
∴，（不合题意舍去）
∴
答：矩形的长为步．
故答案是：
12．某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价_____元．
【答案】4
【解析】设每件服装应降价x元，根据每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2400列方程求出x的值即可得答案.
解：设每件服装应降价x元，根据题意得：（44﹣x）（40+5x）＝2400，
解得：x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
故答案为：4
13．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
【答案】4或8
【解析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12?x)×x，即x(12?x)，当x(12?x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．
解：设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45?，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD?AA′=12?x，
∵两个三角形重叠部分的面积为32，
∴x(12?x)=32，
整理得,x?12x+32=0，
解得x=4,x=8，
即移动的距离AA′等4或8.
14．如图，是一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，设垂直于墙的边长为则可列方程为______．
【答案】
【解析】由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长，根据题意可得方程x（30-4x）=60，进而得到答案．
解：设与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC=MN=PQ=x米，
∴AB=30-AD-MN-PQ-BC=30-4x（米），
根据题意得：x（30-4x）=60，
故答案为：．
15．如图是宽为20m，长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2，问：道路宽为多少米？
【答案】1米
【解析】设道路宽为x米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论．
解：设道路宽为x米，依题意得：
解得（不合题意，舍去）
答：道路宽为1米．
16．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量（千克）
…
32
28
…
售价（元/千克）
…
24
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【答案】（1）33千克；（2）每千克25元
【解析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之并根据问题的实际意义作出取舍，即可得出答案．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（26，28）、（24，32）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x+80．
当x＝23.5时，y＝-2x+80＝33．
答：当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：（x-20）（-2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25．
∵20≤x≤32，
∴x＝25．
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为每千克25元．
17．2019年“十一”黄金周期间，某旅游小镇接待游客达18.3万人次．该小镇美食无数，一家特色小面店希望在今年长假期间获得较好的收益．经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗小面卖25元，平均每天能够销售300碗，若降价销售，每降低1元，则平均每天能够多销售30碗．另外，为了维护城市形象，规定每碗小面的售价不得超过20元，则当每碗小面的售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
【答案】20元
【解析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（x-6）[300+30（25-x）]=6300，
解得x1=20，x2=21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴x=20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
18．如图，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，？
（2）经过几秒后，的面积等于？
【答案】（1）经过秒后，；（2）经过3秒或5秒后，的面积等于．
【解析】（1）设经过秒后，，则，，据此列出方程求解即可．
（2）设经过秒后，的面积等于，则，，利用三角形的面积公式结合的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
解：（1）设经过秒后，，则，
依题意，得，化简，得，
解得．
答：经过秒后，．
（2）设经过秒后，的面积等于，则，
依题意，得，
化简，得，
解得．
答：经过3秒或5秒后，的面积等于．
1．（2020·广西中考）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110
B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110
D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【解析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
2．（2020·衡阳中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
3．（2020·遵义中考）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【解析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
4．（2020·衢州中考）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
【答案】B
【解析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
5．（2020·河南中考）国家统计局统计数据
显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
6．（2020·鄂州中考）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为40%．
故选：C．
7．（2020·河池中考）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
8．（2020·通辽中考）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【答案】12
【解析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
9．（2020·邵阳中考）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．
【答案】x(x+12)=864
【解析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
解：因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
10．（2020·济南中考）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
【答案】1
【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
解：设道路的宽为x
m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
11．（2020·大连中考）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____________．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【解析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
12．（2020·山西中考）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．
【答案】
【解析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
解：设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得:
(10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
13．（2020·西藏中考）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【答案】30m，20m
【解析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
14．（2020·上海中考）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【解析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
15．（2020·重庆中考）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：．
令a%=m，则方程化为：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
16．（2020·湘西中考）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝?2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
17．（2020·滨州中考）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【解析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
15

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