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分
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·
一
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复
习
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件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
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方程与不等式
第2节
一次方程组
■考点1
二元一次方程(组)的相关概念?
1．二元一次方程：含有__________未知数，并且未知数的项的次数都是__________，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的__________二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有__________个解．
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解．
■考点2二元一次方程(组)的解法?
解二元一次方程组的基本思想是__________，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__________消元法和__________消元法．
■考点3
二元一次方程组的应用?
一般步骤
（1）__________；
（2）__________；
（3）找出能够包含未知数的__________；
（4）__________出方程(组)；
（5）求出方程(组)的__________；
（6）__________并作答．
■考点4
解简单的三元一次方程组?
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念?
◇典例：若二元一次方程组的解为，则a﹣b=________．
◆变式训练
1．已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
■考点2：二元一次方程(组)的解法?
◇典例
若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　
　．
◆变式训练
1．若二元一次方程的解为x=a，y=b，则a+b之值为（　　）
A．
B．
C．7
D．13
2．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。
■考点3：二元一次方程组的应用?
◇典例：某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
◆变式训练
1．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
2．小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为______
■考点4：解简单的三元一次方程组?
◇典例：已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=________，y=________，z=________．
◆变式训练
1．已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则=________
1．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）
A．m=1，n=﹣1
B．m=﹣1，n=1
C．
D．
2．二元一次方程组的解是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．若，则x，y的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）
A．19
B．18
C．16
D．15
5．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）
A．
B．
C．
D．=
6．某企业决定投资不超过20万元建造A．B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（　　）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
7．方程组的解是　
　．
8．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=　
　．
9．若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　
．
10．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________．
11．《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为　
　．
12．解方程组：
13．某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
14．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
1．（2020·天津中考）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·嘉兴中考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣②
B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+②
D．①﹣②×3
3．（2020·益阳中考）同时满足二元一次方程和的，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·牡丹江中考）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（
）
A．3
B．3，－3
C．
D．，－
5．（2020·恩施中考）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．（2020·襄阳中考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·绥化中考）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（
???）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·绍兴中考）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
9．（2020·鹤岗中考）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
10．（2020·黑龙江中考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
11．（2020·永州中考）方程组的解是_________．
12．（2020·南京中考）已知x、y满足方程组，则的值为__________．
13．（2020·朝阳中考）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
14．（2020·天水中考）已知，，则的值为_________．
15．（2020·青海中考）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程______________．
16．（2020·日照中考）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x辆车，有y人，则可列方程组为__________________．
17．（2020·成都中考）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________________．
18．（2020·衡阳中考）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．
19．（2020·重庆中考）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
20．（2020·淄博中考）解方程组：
21．（2020·海南中考）某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
22．（2020·黄冈中考）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
23．（2020·通辽中考）某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求型服装的单价；
（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
24．（2020·黄石中考）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
2第二章
方程与不等式
第2节
一次方程组
■考点1
二元一次方程(组)的相关概念?
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
■考点2二元一次方程(组)的解法?
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
■考点3
二元一次方程组的应用?
一般步骤
（1）审题；
（2）设元；
（3）找出能够包含未知数的等量关系；
（4）列出方程(组)；
（5）求出方程(组)的解；
（6）检验并作答．
■考点4
解简单的三元一次方程组?
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念?
◇典例：若二元一次方程组的解为，则a﹣b=________．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
◆变式训练
1．已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
【考点】一元一次方程的定义，二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值，当未知数x的系数为零时，原方程是一个一元一次方程．
解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1是二元一次方程，∴|k|﹣1=1，k﹣2≠0．
解得：k=﹣2．
∵当k﹣2=0时，原方程是一元一次方程，
∴k=2．
故答案为：-2,2．
■考点2：二元一次方程(组)的解法?
◇典例
若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　　．
【考点】解二元一次方程组
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．
解：由题意知，
①+②，得：4a﹣4b=8，
则a﹣b=2，
∴b﹣a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
◆变式训练
1．若二元一次方程的解为x=a，y=b，则a+b之值为（　　）
A．
B．
C．7
D．13
【分析】将其中一个方程两边乘以一个数，使其与另一方程中x的系数互为相反数，再将两方程相加，消去一个未知数，达到降元的目的，求出另一个未知数，再用代入法求另一个未知数．
解：
①×2﹣②得，7x=7，
x=1，代入①中得，2+y=14，
解得y=12，
则a+b=1+12=13，
故选D．
2．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”。
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。
【考点】解二元一次方程组
【分析】（1）解法一运用的是加减消元法，要注意用①-②，即用方程①左边和右边的式子分别减去方程②左边和右边的式子；
（2）解法二运用整体代入的方法达到消元的目的
解：（1）解法一中的计算有误（标记略）
（2）由①-②，得-3x=3，解得x=-1，
把x=-1代入①，得-1-3y=5，解得y=-2，
所以原方程组的解是
■考点3：二元一次方程组的应用?
◇典例：某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．
解：设安排女生x人，安排男生y人，
依题意得：4x+5y=56，
则x=．
当y=4时，x=9．
当y=8时，x=4．
即安排女生9人，安排男生4人；
安排女生4人，安排男生8人．
共有2种方案．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的应用．注意：根据未知数的实际意义求其整数解．
◆变式训练
1．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则，
解得：，
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
2．小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为______
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】可设小强同学生日的月数为x，日数为y，根据等量关系：①强同学生日的月数减去日数为2，②月数的两倍和日数相加为31，列出方程组求解即可．
解：设小强同学生日的月数为x，日数为y，依题意有
，
解得，
11+9=20．
答：小强同学生日的月数和日数的和为20．
故答案为：20．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
■考点4：解简单的三元一次方程组?
◇典例：已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=________，y=________，z=________．
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，
∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0，
即
把②③代入①得：6z-2z=4，
解得：z=1，
∴x=3z=3，y=2z=2，
故答案为：3，2，1．
◆变式训练
1．已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则=________
【考点】解三元一次方程组．
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
解：由题意得：
①×2-②得y=11z，
代入①得x=-19z，
原式=
故本题答案为：
1．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（　　）
A．m=1，n=﹣1
B．m=﹣1，n=1
C．
D．
【考点】二元一次方程的定义
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
解：∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，∴，解得：，
故选A
2．二元一次方程组的解是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
①+②得：2x=0，
解得：x=0，
把x=0代入①得：y=2，
则方程组的解为，
故选：B．
3．若，则x，y的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
解：∵，
∴
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选：D．
4．小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）
A．19
B．18
C．16
D．15
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，根据前两束气球的价格，即可得出关于x、y的方程组，用前两束气球的价格相加除以2，即可求出第三束气球的价格．
解：设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，
根据题意得：，
方程（①+②）÷2，得：2x+2y=18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（　　）
A．
B．
C．
D．=
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
解：设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
6．某企业决定投资不超过20万元建造A．B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（　　）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案．
解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：
6x+7y≤20，
当x=1，y=2符合题意；
当x=2，y=1符合题意；
当x=3，y=0符合题意；
故建造方案有3种．
故选：B．
7．方程组的解是　
　．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法求解可得．
解：，
②﹣①，得：3y=3，
解得：y=1，
将y=1代入①，得：x﹣1=2，
解得：x=3，
所以方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．
8．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=　
　．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；
解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴，解得，
∴a+b=5，
故答案为5．
【点评】本题考查二元方程组，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．
9．若关于x、y的二元一次方程组，的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　
．
【考点】二元一次方程组的求解　
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组，的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．
解：方法一：
∵关于x、y的二元一次方程组，的解是，
∴将解代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组可整理为：
解得：
方法二：
关于x、y的二元一次方程组，的解是，
由关于a、b的二元一次方程组可知
解得：
故答案为：
【点评】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
10．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________．
【考点】定义运算，二元一次方程组的解法
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
解：由题意可知：，
解得：．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是熟练应用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，属于基础题。
11．《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为　
　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
12．解方程组：
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
②﹣①得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
13．某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
14．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40+100×120﹣80×0．8×40﹣100×0．75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
1．（2020·天津中考）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用加减消元法解出的值即可．
解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
2．（2020·嘉兴中考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣②
B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+②
D．①﹣②×3
【答案】D
【解析】根据各选项分别计算，即可解答．
解：方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
3．（2020·益阳中考）同时满足二元一次方程和的，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】联立和解二元一次方程组即可．
解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
4．（2020·牡丹江中考）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（
）
A．3
B．3，－3
C．
D．，－
【答案】C
【解析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
5．（2020·恩施中考）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
解：∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
6．（2020·襄阳中考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故选：C．
7．（2020·绥化中考）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（
???）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.
解：设49座客车x
辆，37座客车y
辆，
根据题意得
：
故选：A．
8．（2020·绍兴中考）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
【答案】B
【解析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得：
．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
9．（2020·鹤岗中考）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【答案】B
【解析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
解：设购买了种奖品个，种奖品个，
根据题意得：，
化简整理得：，得，
∵，为非负整数，
∴，，，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；
方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.
故选：B.
10．（2020·黑龙江中考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】D
【解析】设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
解：设购买、、三种奖品分别为个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得均为正整数．
①当z=1时，
∴，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故选：D
11．（2020·永州中考）方程组的解是_________．
【答案】
【解析】直接利用加减消元法求解．
解：
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为．
故答案为：．
12．（2020·南京中考）已知x、y满足方程组，则的值为__________．
【答案】1
【解析】先解方程组求解，从而可得答案．
解：
①得：
③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
13．（2020·朝阳中考）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【答案】5
【解析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
14．（2020·天水中考）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【解析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
15．（2020·青海中考）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________．
【答案】
【解析】根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案．
解：将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小明看错了一次项，
∴c的值为6，
将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小刚看错了常数项，
∴b=-5，
∴一元二次方程为，
故答案为：．
16．（2020·日照中考）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x辆车，有y人，则可列方程组为_____．
【答案】
【解析】根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．
解：由题意，可列方程组为：，
故答案为：．
17．（2020·成都中考）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
【答案】
【解析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系
“①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．
解：设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，
．
故答案为：．
18．（2020·衡阳中考）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．
【答案】23
【解析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
解：设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组
．
解得，
所以，男生有29人，女生有23人，
故答案为：23．
19．（2020·重庆中考）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
【答案】1230．
【解析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．由题意得，
即，
其整数解为（其中n为整数），
又∵a，b，c均是正整数，易得n=1.
所以.
∴150a+60b+40c=150×5+60×4+40×6=1230．
故答案为：1230．
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可．
20．（2020·淄博中考）解方程组：
【答案】
解：，
①+②，得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，
所以原方程组的解为．
利用加减消元法解答即可．
21．（2020·海南中考）某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
【答案】4天；2天
【解析】设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，根据“前后共用天完成，总共加工22吨”
这两个关键信息建立方程组即可求解．
解：解:设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，
则
解得
经检验，符合题意．
答:改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天．
22．（2020·黄冈中考）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【答案】每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元
【解析】根据题意列出二元一次方程组解出即可．
解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组：
解得：
答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元．
23．（2020·通辽中考）某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求型服装的单价；
（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
【答案】（1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000
【解析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，
根据题意，得m≥2（60-m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．
24．（2020·黄石中考）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)
每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2)
三种购买方法,
买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
解：(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买养b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法,
买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
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