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第二章
方程与不等式
第3节
一元二次方程
■考点1一元二次方程的概念、解法?
1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
（1）解一元二次方程的基本思想是降次．
（2）主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或b＝0．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝的形式，再利用直接开平方法求解。
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝．
■考点2一元二次方程的根的判别式?
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
■考点3一元二次方程的根与系数的关系?
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法?
◇典例：已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　
　．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
◆变式训练
1．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为　　　　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．
解：2x﹣4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
2．由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+　
　）（x+　
　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），
故答案为：2，4；
（2）∵x2﹣3x﹣4=0，
x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1=0，
∴（x﹣4）（x+1）=0，
则x+1=0或x﹣4=0，
解得：x=﹣1或x=4．
■考点2：一元二次方程的根的判别式?
◇典例：已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b=﹣3
B．b=﹣2
C．b=﹣1
D．b=2
【分析】根据判别式的意义，当b=﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
解：△=b2﹣4，当b=﹣1时，△＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例．
故选C．
◆变式训练
1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0
B．x2+x+2=0
C．x2﹣1=0
D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
2．已知一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=　
　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：∵方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4k=9﹣4k=0，
解得：k=．
故答案为：．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系?
◇典例：已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则______.
【分析】根据方程的根的概念，可以把m，n看作是方程x2-6x-4=0的两个根，再根据根与系数的关系可以得到的值．
解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=-．m+n=-2
∴===-
◆变式训练
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1?x2=﹣3，此题得解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1?x2=﹣3．
故选D．
2．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．21·世纪
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解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
1．一元二次方程的一次项系数是（
）
A．-4
B．-3
C．2
D．3
【答案】D
【解析】根据ax2＋bx＋c＝0中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项解答即可．
解：一元二次方程的一次项系数是3
故选：D．
2．若方程是关于x的一元二次方程，则
A．
B．
C．m=–2
D．m=2
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义可得：=2且m+2≠0，解得m=2．故选D．
3．一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【答案】B
【解析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，求出△的符号，由此即可得出方程解的情况．
解：∵在方程x2-4x+5=0中，△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
故选：B．
4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用根的判别式分别对各选项求解验证即可．
解：A：?△>0，，故A错误；
B：?△>0，，故B错误；
C：△>0，，故C正确；
D：，，故D错误；
故选：C．
5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．
解：
关于的一元二次方程有两个实数根，，
故选B．
6．用配方法解方程时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.
解：
故选A.
7．若是方程的一个根，设则与的大小关系正确的为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】B
【解析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=-c，作差法比较可得．
解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=-c，
则N-M=（ax0+1）2-（1-ac）
=a2x02+2ax0+1-1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=-ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
8．如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】解方程求出△AEF的面积，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：，
（x＋2）（x?1）＝0，
解得x1＝?2（舍去），x2＝1．
则△AEF的面积为1．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴△AFE∽△CFB．
∵点E为AD边中点，
∴AE＝AD＝BC，则．
∴，即．
解得S△FBC＝4．
故选：A．
9．如果3xm－2=4是关于x的一元一次方程，则m=__________．
【答案】3
【解析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
解：根据题意得：m-2=1，
解得：m=3．
故答案是：3．
10．若代数式x2+5x+6与﹣x+1的值相等，则x的值为_________．
【答案】﹣1或﹣5
【解析】根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：据题意得，
x2+5x+6＝﹣x+1
x2+5x+6﹣(﹣x+1)＝0
x2+5x+6+x﹣1＝0
x2+6x+5＝0
(x+5)(x+1)＝0
x1＝﹣1，x2＝﹣5
故答案为：﹣1或﹣5．
11．将方程化为的形式是______．
【答案】
【解析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
12．若关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是_____．
【答案】≠1
【解析】先把原方程化简，然后根据一元二次方程的概念进行求解即可．
解：由可得：，根据一元二次方程的定义可得：
，解得；
故答案为．
13．已知是方程的根，则代数式的值是_______．
【答案】
【解析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m﹣1＝0，进而可得m2＝2m+1，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，
∴＝
故答案为：．
14．关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
【答案】
【解析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.
解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得.
故答案为：.
15．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为____．
【答案】1．
【解析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．
解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣(m2﹣m﹣1)，
∴m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有两个实数根，
∴△=(﹣2m)2﹣4(m2﹣m﹣1)=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1，
∴m=1．
故答案为：1．
16．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．
【答案】
【解析】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，先根据运动路程和速度求出的取值范围，再分、和三种情况，然后分别在中，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．
解：设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为秒，
因此，分以下三种情况：
（1）当点Q到达点C之前，即时，则厘米，厘米，
厘米，
厘米，
则在中，，即，
整理得：，
解得或（不符题设，舍去）；
（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即时，则厘米，
由得：，
整理得：，
解得或（均不符题设，舍去）；
（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即时，
则厘米，不符题意；
综上，经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
故答案为：．
17．用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
【答案】（1），；（2），；（3）.
【解析】（1）采用配方法将方程转化为，然后利用直接开平方法计算即可；
（2）直接利用公式法，求解即可；
（3）采用因式分解法转化为求解即可.
解：（1）
故方程的解为，；
（2）5x2+2x﹣1=0
故方程的解为，；
（3）
解得，
故方程的解为.
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
【答案】（1）．（2）2．
【解析】（1）根据根的判别式△=0列出关于n的方程，通过解方程即可求得n的值；
（2）设方程的另一个实数为x2，再根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.
解：（1）∵原方程有两个相等实数根，
∴．
即．
∴．
（2）∵原方程有一个实数根为0，设方程的另一个实数为x2，
∴0+
x2=2．
∴x2=2，即另一个根为2．
19．已知关于的方程．
（1）若方程只有一个实数根，求的值，并求此时方程的根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）k=-2，x=；（2）k=2，x1=x2=，或k=，x1=x2=
【解析】（1）由提提要得到2+k=0，求出k的值，代入方程求解即可；
（2）根据题意列得2+k0，即k-2，，求出k的值代入方程计算即可求出方程的解．
解：（1）∵方程只有一个实数根，
∴2+k=0，
解得k=-2，
∴原方程为：-12x-7=0，
解得x=；
（2）由题意得2+k0，即k-2，，
∴，
解得k=2或k=，
当k=2时，方程为，解得x1=x2=，
当k=时，方程为，解得x1=x2=．
20．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）0或-2；（2）存在，m的值为-1．
【解析】（1）先根据?=(2m-1)2-4m2≥0求出m的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．
解：（1）由题意得?=(2m-1)2-4m2≥0，
解得m≤．
把x＝1代入方程得1+2m﹣1+m2＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
∵α、β是方程的两个实数根，
∴α+β＝﹣(2m﹣1)，αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴(α+β)2﹣3αβ＝6，
即(2m﹣1)2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
1．（2020·凉山彝中考）一元二次方程的根是（
）
A．
B．
C．，
D．，
【答案】C
【解析】利用因式分解法解方程即可得解．
解：
∴，．
故选：C
2．（2020·营口中考）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【解析】利用因式分解法解方程．
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
3．（2020·沈阳中考）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
解：∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
4．（2020·新疆中考）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（??
）
A．
B．x2+2x+4=0
C．x2-x+2=0
D．x2-2x=0
【答案】D
【解析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
解：A.此方程判别式
，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式
方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式
，方程没有实数根，不符合题意;
D
.此方程判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为：
D.
5．（2020·鹤岗中考）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（
）
A．0
B．1
C．?3
D．?1
【答案】B
【解析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
解：根据题意得，
解得；
故选：B．
6．（2020·邵阳中考）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
7．（2020·上海中考）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0
B．y2+2y+1=0
C．y2+y+2=0
D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【解析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
故选：A．
8．（2020·铜仁中考）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
【答案】B
【解析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
解：当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
9．（2020·荆州中考）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）
是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【答案】B
【解析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
10．（2020·呼和浩特中考）关于二次函数，下列说法错误的是（
）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【解析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
11．（2020·本溪中考）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
解：∵，，，
由题意知，，
解得：，
故答案为：．
12．（2020·鞍山中考）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．
【答案】
【解析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2-4ac=0，求出k的值即可．
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=32-4×1×k=0，
∴9-4k=0，
∴k=，
故答案为：．
13．（2020·咸宁中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________．
【答案】n≥0
【解析】根据平方的非负性可得结果．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
而，
∴n≥0，
故答案为：n≥0．
14．（2020·眉山中考）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
解：由方程可知
，
．
故答案为：
15．（2020·荆门中考）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【解析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
解：解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
16．（2020·黔南·中考）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．
【答案】0
【解析】求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
解：，
解得：，
即，
则，
故答案为：0．
17．（2020·大庆中考）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【解析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
18．（2020·齐齐哈尔中考）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】利用因式分解的方法解出方程即可.
解：利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
19．（2020·甘肃兰州中考）解方程：．
【答案】，.
【解析】先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
解：a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x==，
，.
20．（2020·湖北中考）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
21．（2020·随州中考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
解：（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
22．（2020·孝感中考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）0，-2
【解析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.
解：(1)证明：∵，
∵无论为何实数，，
∴，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得，．
23(共68张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
梳
理
考
点
突
破
夯
实
基
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考
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演
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方程与不等式
第3节
一元二次方程
■考点1一元二次方程的概念、解法?
1．一元二次方程的概念：只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__________其中__________叫做二次项，__________叫做一次项，__________叫做常数项；__________叫做二次项的系数，__________叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
（1）解一元二次方程的基本思想是__________．
（2）主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝的形式，再利用直接开平方法求解。
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__________．
■考点2一元二次方程的根的判别式?
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝__________.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
■考点3一元二次方程的根与系数的关系?
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■考点1：一元二次方程的概念、解法?
◇典例：已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　
　．
◆变式训练
1．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为　　　　．
2．由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+　
　）（x+　
　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
■考点2：一元二次方程的根的判别式?
◇典例：已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b=﹣3
B．b=﹣2
C．b=﹣1
D．b=2
◆变式训练
1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0
B．x2+x+2=0
C．x2﹣1=0
D．x2﹣2x﹣1=0
2．已知一元二次方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=　
　．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系?
◇典例：已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则______.
◆变式训练
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣3
2．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
1．一元二次方程的一次项系数是（
）
A．-4
B．-3
C．2
D．3
2．若方程是关于x的一元二次方程，则
A．
B．
C．m=–2
D．m=2
3．一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
6．用配方法解方程时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若是方程的一个根，设则与的大小关系正确的为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
8．如图，平行四边形中，点为边中点，连接、交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
9．如果3xm－2=4是关于x的一元一次方程，则m=__________．
10．若代数式x2+5x+6与﹣x+1的值相等，则x的值为_________．
11．将方程化为的形式是______．
12．若关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是_____．
13．已知是方程的根，则代数式的值是_______．
14．关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________
15．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为____．
16．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．
17．用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
18．已知关于x的一元二次方程．
（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
19．已知关于的方程．
（1）若方程只有一个实数根，求的值，并求此时方程的根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根．
20．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
1．（2020·凉山彝中考）一元二次方程的根是（
）
A．
B．
C．，
D．，
2．（2020·营口中考）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
3．（2020·沈阳中考）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．（2020·新疆中考）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（??
）
A．
B．x2+2x+4=0
C．x2-x+2=0
D．x2-2x=0
5．（2020·鹤岗中考）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（
）
A．0
B．1
C．?3
D．?1
6．（2020·邵阳中考）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
7．（2020·上海中考）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0
B．y2+2y+1=0
C．y2+y+2=0
D．y2+y﹣2=0
8．（2020·铜仁中考）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
9．（2020·荆州中考）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）
是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
10．（2020·呼和浩特中考）关于二次函数，下列说法错误的是（
）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
11．（2020·本溪中考）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．
12．（2020·鞍山中考）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．
13．（2020·咸宁中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________．
14．（2020·眉山中考）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
15．（2020·荆门中考）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
16．（2020·黔南·中考）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．
17．（2020·大庆中考）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
18．（2020·齐齐哈尔中考）解方程：x2﹣5x+6＝0
19．（2020·甘肃兰州中考）解方程：．
20．（2020·湖北中考）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
21．（2020·随州中考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
22．（2020·孝感中考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
9

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