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3.2一次函数及其应用
一、一次函数的定义
1、一次函数：形如_________（、为常数，）的函数，我们称是的一次函数。
2、正比例函数：形如________（）的函数，我们称是的正比例函数，此时也可说与成正比例，正比例函数是__________，但一次函数并不一定是_________
二、一次函数的图象与性质
1、一次函数的图象是一条______，与轴的交点为_______，与轴的交点为
2、正比例函数的图象也是一条________，它过点，_______
名称
函数解析式
系数符号
图象
所在象限
性质
正比例函数
()
k>0
图象经过_____象限
值随的增大而_______
k<0
图象经过______象限
值随的增大而________
一次函数
k>0
b>0
图象经过_______象限
值随的增大而________
b<0
图象经过________象限
k>0
b>0
图象经过________象限
值随的增大而_________
b<0
图象经过________象限
三、一次函数的平移
1、一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向______平移，b<0时。向______平移）
即：两直线平行k的值_______；
2、图象上下平移与k无关，与b有关，图象向上移动b的值增加，图象向下移动b的值减小
3、图象的左右平移与k，b无关，与自变量x有关系，向左移动增加，向右移动减小(简记为：左加右减、上加下减)
四、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式
1．解关于x的方程kx+b=0，
从数量上看：已知函数y=kx+b的函数值y为0，求相应的________的值．
从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴的交点的______；
求两直线的交点坐标方法是：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的_______就是交点的________。
即方程组的解?一次函数与图像的交点坐标为（m,n）
3、解关于x的不等式kx+b>mx+n
当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的______方．
或当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的_____方．
命题点一、一次函数的图像和性质
1、（2020安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（2，3）
D．（3，4）
2、（2020四川凉山）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣
B．m＜3
C．﹣＜m＜3
D．﹣＜m≤3
3、（2020四川乐山）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020四川成都）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________．
命题点二、一次函数解析式的确定
5、（2020贵州黔东南）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　
　．
6、（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx＋b的
命题点三、一次函数的实际应用
7、（2020四川绵阳）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是　
　万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
8、（2020四川绵阳）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
9、（2020贵州铜仁）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
基础过关
1、（2020湖北天门）对于一次函数，下列说法不正确的是（
）
A
图象经过点
B.
图象与x轴交于点
C.
图象不经过第四象限
D.
当时，
2、（2020浙江嘉兴）一次函数y=2x﹣1的图象大致是(　　)
A.
B.
C.
D.
3、（2020湖南邵阳）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2020北京）有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（
）
A.正比例函数关系
B.一次函数关系
C.二次函数关系
D.反比例函数关系
5、（2020安徽）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A.
B.
C.
D.
6、（2020山东济宁）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P
,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（
）
A.
x=20
B.
x=5
C.
x=25
D.
x=15
7、（2020广东广州）一次函数的图象过点，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
8、（2020贵州黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
9、（2020山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
10、第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生
绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
11、（2020浙江金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温.
（2）求T关于h的函数表达式.
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度.
12、（2020北京）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
13、（2020江苏南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
14、（2020山东东营）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表:
型号价格(元/只)
项目
甲
乙
成本
售价
若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润.
15、（2020浙江宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
能力提升
16、（2020陕西）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
17、（2020江苏南京）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是　________　．
18、（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
19、（2020江苏淮安）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为
千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
创新思维
20、（2020陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
21、（2020浙江衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
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23.2一次函数及其应用
一、一次函数的定义
1、一次函数：形如（、为常数，）的函数，我们称是的一次函数。
2、正比例函数：形如（）的函数，我们称是的正比例函数，此时也可说与成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数
二、一次函数的图象与性质
1、一次函数的图象是一条直线，与轴的交点为，与轴的交点为
2、正比例函数的图象也是一条直线，它过点，
名称
函数解析式
系数符号
图象
所在象限
性质
正比例函数
()
k>0
图象经过一、三象限
值随的增大而增大
k<0
图象经过二、四象限
值随的增大而减小
一次函数
k>0
b>0
图象经过一、二、三象限
值随的增大而增大
b<0
图象经过一、三、四象限
k>0
b>0
图象经过一、二、四象限
值随的增大而减小
b<0
图象经过二、三、四象限
三、一次函数的平移
1、一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时。向下平移）
即：两直线平行k的值相等；
2、图象上下平移与k无关，与b有关，图象向上移动b的值增加，图象向下移动b的值减小
3、图象的左右平移与k，b无关，与自变量x有关系，向左移动增加，向右移动减小(简记为：左加右减、上加下减)
四、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式
1．解关于x的方程kx+b=0，
从数量上看：已知函数y=kx+b的函数值y为0，求相应的自变量x的值．
从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴的交点的坐标；
求两直线的交点坐标方法是：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。
即方程组的解?一次函数与图像的交点坐标为（m,n）
3、解关于x的不等式kx+b>mx+n
当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．
或当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．
命题点一、一次函数的图像和性质
1、（2020安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝3，
解得：k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，
解得：k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，
解得：k＝0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，
解得：k＝＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
2、（2020四川凉山）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣
B．m＜3
C．﹣＜m＜3
D．﹣＜m≤3
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
解：根据题意得，
解得﹣＜m≤3．
故选：D．
3、（2020四川乐山）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键．
4、（2020四川成都）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：因为一次函数的值随值的增大而增大，
所以2m-1＞0．
解得.
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降.
命题点二、一次函数解析式的确定
5、（2020贵州黔东南）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　
　．
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
6、（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围.
【答案】
（1）y＝x＋1
（2）m≥2
【分析】本题考察的是一次函数，第一问是求解析式，考察的是一次函数的K值，由平移可知，k＝1。第二问考察的是函数比较大小，依据题意画出图像，已知x的范围，图像在上的函数值较大。
命题点三、一次函数的实际应用
7、（2020四川绵阳）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是　
　万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
解：设甲种火龙果种植x亩，乙钟火龙果种植（100﹣x）亩，此项目获得利润w，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知：，
解得：50≤x≤60，
此项目获得利润w＝1.1x+1.4（100﹣x）＝140﹣0.3x，
当x＝50时，
w的最大值为140﹣15＝125万元．
8、（2020四川绵阳）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
解：（1）甲书店：y＝0.8x，
乙书店：y＝．
（2）令0.8x＝0.6x+40，
解得：x＝200，
当x＜200时，选择甲书店更省钱，
当x＝200，甲乙书店所需费用相同，
当x＞200，选择乙书店更省钱．
9、（2020贵州铜仁）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每一个篮球的进价是元，则每一个排球的进价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
（2）设文体商店计划购进篮球个，总利润元，则
，
依题意有，
解得且为整数，
为整数，
随的增大而增大，
时，最大，这时，
（个．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
基础过关
1、（2020湖北天门）对于一次函数，下列说法不正确的是（
）
A
图象经过点
B.
图象与x轴交于点
C.
图象不经过第四象限
D.
当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】A.图象经过点，正确；
B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误；
D.当时，y＞4，故错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
2、（2020浙江嘉兴）一次函数y=2x﹣1的图象大致是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．
【详解】由题意知，k=2＞0，b=﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b图象所过象限与k，b的关系，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
3、（2020湖南邵阳）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】解：把点代入得
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致．
故选：D
【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
4、（2020北京）有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（
）
A.正比例函数关系
B.一次函数关系
C.二次函数关系
D.反比例函数关系
【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0，故选B
5、（2020安徽）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
6、（2020山东济宁）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P
,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（
）
A.
x=20
B.
x=5
C.
x=25
D.
x=15
【答案】A
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
7、（2020广东广州）一次函数的图象过点，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象分析增减性即可．
【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小．
故选B．
8、（2020贵州黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
【答案】y＝－2x
【解析】
【分析】
首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
9、（2020山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）由解得，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S△PAB＝＝＝3；
（3）如图所示：
自变量x的取值范围是x＜2．
10、第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生
绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【分析】（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解答即可；
（2）设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为（1300﹣378）元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．
解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据题意，得：
6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，
解得x＝19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得：
6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，
整理，得：x＝，
因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，
∴x＝20，21．
当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；
当a＝21时，a＝4×21﹣78＝6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
11、（2020浙江金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温.
（2）求T关于h的函数表达式.
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度.
（1）解：由题意得
高度增加2百米，则温度降低2×0.6＝1.2（℃）.
∴13.2－1.2＝12
∴高度为5百米时的气温大约是12℃.
（2）解：设T=kh+b(k≠0)，
当h＝3时，T＝13.2，
13.2=－0.6
3+b，
解得
b=15.
∴T＝－0.6h＋15
（3）解：当T＝6时，6＝－0.6h＋15，
解得h＝15.
∴该山峰的高度大约为15百米.
【考点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，可得高度增加2百米，则温度降低2×0.6＝1.2（℃），从而可得高度为5百米时的气温大约是13.2－1.2＝12℃；
（2）直接利用待定系数法求一次函数解析式T＝－0.6h＋15；
（3）利用（2）直接求出当T＝6时，h的值即可.
12、（2020北京）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【解析】（1）∵一次函数由平移得到，∴
将点（1,2）代入可得，∴一次函数的解析式为.
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点（1,2），∴当时.都大于
.又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为
13、（2020江苏南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
14、（2020山东东营）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表:
型号价格(元/只)
项目
甲
乙
成本
售价
若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润.
解:设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，
根据题意得:
解得:
则
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；
设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，
根据题意得:
解得:.
设所获利润为万元，
则
由于，所以随的增大而增大，
即当时，最大，
此时.
从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元.
15、（2020浙江宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；
（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．
解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）当y＝200﹣80＝120时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
能力提升
16、（2020陕西）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】根据方程或方程组得到A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
17、（2020江苏南京）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是　________　．
解：在一次函数中，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：，
将点代入得，，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
故答案为．
18、（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【答案】
(1).
(2).
(3).
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
19、（2020江苏淮安）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为
千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【答案】（1）80；（2）；（3）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为，
则：，解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为：（小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
创新思维
20、（2020陕西）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
则：20＝15k，
解得k＝，
∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
则：，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
21、（2020浙江衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h）．
（2）①280÷20＝14h，
∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60＝0.6（h），23﹣0.6＝22.4，
∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝﹣40，
∴s＝20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为s＝50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40＝50t﹣700，
解得t＝22，
∵22﹣14＝8（h），
∴货轮出发后8小时追上游轮．
②相遇之前相距12km时，20t﹣4﹣（50t﹣700）＝12，解得t＝21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）＝12，解得t＝22.4，
∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．
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