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3.3反比例函数
一、反比例函数的定义：
形如y＝_____（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1.
自变量x的取值范围是_____的一切实数，函数的取值范围也是一切____实数．
2.
反比例函数的解析式还可以写成xy=____，_____的形式；
3.图像的特征，无限接近x轴，但不与坐标轴相交
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是_______，它的两个分支与两轴_____交点.
它的图象既是______图形（有______条对称轴：直线y=x和
y=-x）又是______图形（对称中心是：______）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第_____、第_______象限，在每个象限内y随x的增大而______；
2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第_____、第________象限，在每个象限内y随x的增大而_______.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的_______。
命题点一、反比例函数的图像和性质
1、（2020湖南衡阳）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
2、（2020河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y3＞y1
C．y1＞y3＞y2
D．y3＞y2＞y1
命题点二、反比例函数与一次函数综合
3、（2020贵州毕节）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的两个交点分别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝　
　．
4、（2020甘肃天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
命题点三、反比例函数的实际应用
（2020湖北宜昌）已知电压电流、电阻三者之间的关系式为:(或者)，实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，
图象不可能是（
）A
A．
B．
C．
D．
6、（2020云南昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
命题点四、反比例函数与几何图形综合
7、（2020福建）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是　
　．（写出所有正确结论的序号）
8、（2020安徽）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　
　．
9、（2020四川眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
10、（2020四川宜宾）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点P．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
基础过关
1、（2020浙江金华）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数
的图象上，则下列判断正确的是（
）
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.
c＜b＜a
2、（2020青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020宁夏）如图，函数y＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1
B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
D．﹣2＜x＜0或x＞1
4、（2020贵州黔东南州）如图，点A是反比例函数y═（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
5、（2020湖南怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（
）
A．x＜1
B．x＞3
C．0＜x＜1
D．1＜x＜3
6、（2020贵州铜仁）已知点在反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是
．
7、（2020山东滨州）若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为
　．
8、（2020北京）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为
.
9、（2020陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　
　．
10、（2020四川达州）如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
11、（2020贵州贵阳）如图，点A是反比例函数y＝图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为　
　．
12、（2020江苏淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
13、（2020贵州贵阳）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
14、（2020山东菏泽）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
15、（2020浙江嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
16、（2020山东济宁）在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________，
x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
能力提升
17、(2020湖北武汉)若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．﹣1＜a＜1
C．a＞1
D．a＜﹣1或a＞1
18、（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）
A．
B．8
C．10
D．
19、（2020山东威海）如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）
A．S1：S2＝2：3
B．S1：S2＝1：1
C．S1：S2＝4：3
D．S1：S2＝5：3
20、（2020四川成都）在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
21、（2020四川成都）平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
创新思维
22、（2020江苏扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
23、（2020浙江宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　
　，的值为　
　．
23、（2020江苏南京）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　　．
根据函数的图象，得不等式②的解集　　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．
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23.3反比例函数
一、反比例函数的定义：
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
注意：1.
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2.
反比例函数的解析式还可以写成xy=k，的形式；
3.图像的特征，无限接近x轴，但不与坐标轴相交
二、反比例函数的图象：
反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支与两轴没有交点.
它的图象既是轴对称图形（有两条对称轴：直线y=x和
y=-x）又是中心对称图形（对称中心是：原点）.
三、反比例函数的性质：
1、当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
2.当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大.
四、反比例函数的比例系数k的的几何意义：
｜k｜等于反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
命题点一、反比例函数的图像和性质
1、（2020湖南衡阳）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），
∴1＝，
解得，k＝2，故选项A正确；
∵k＝2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；
故选：C．
2、（2020河南）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y3＞y1
C．y1＞y3＞y2
D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
命题点二、反比例函数与一次函数综合
3、（2020贵州毕节）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象的两个交点分别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝　
　．
解：把A（﹣1，﹣4）代入反比例函数y＝（k≠0）的关系式得，k＝﹣1×（﹣4）＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当x＝2时，y＝m＝＝2，
∴B（2，2），
把A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入一次函数y＝ax+b得，
，
∴a+2b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
4、（2020甘肃天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n＞的解集；
（3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，
a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有，
解得，，
∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，
∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），
即点P的坐标为（0，）．
命题点三、反比例函数的实际应用
5、（2020湖北宜昌）已知电压电流、电阻三者之间的关系式为:(或者)，实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（
）A
A．
B．
C．
D．
6、（2020云南昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则，解得，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝55时，y＝＜1，
故一班学生能安全进入教室．
命题点四、反比例函数与几何图形综合
7、（2020福建）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是　
　．（写出所有正确结论的序号）
解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为①④，
8、（2020安徽）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　2　．
【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝OA?OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k，
则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
9、（2020四川眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，
则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8．
（3）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝﹣，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．
10、（2020四川宜宾）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点P．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点B(-1，-3)代入，可得反比例函数解析式，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据关系式可求解；
【详解】解：（1）将点B(-1，-3)代入，
解得
所以反比例函数的表达式为；
将点A(-3，n)代入有，n=-1
将A，B代入得
解得
所以一次函数表达式为；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，
答：四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键．
基础过关
1、（2020浙江金华）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数
的图象上，则下列判断正确的是（
）
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.
c＜b＜a
解：∵?函数??的图象位于一，三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵-2＜0＜2＜3，
∴
(2，b)，(3，c)
位于第一象限，b＞c＞0，
(－2，a)
位于第三象限，∴a＜0，
∴a＜c＜b.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可.
2、（2020青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
解：∵ab＜0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y＝图象在第二、四象限，故B选项正确；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y＝图象在第一、三象限，无选项符合．
故选：B．
3、（2020宁夏）如图，函数y＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1
B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
4、（2020贵州黔东南州）如图，点A是反比例函数y═（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
解：如图，连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
5、（2020湖南怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）
A．x＜1
B．x＞3
C．0＜x＜1
D．1＜x＜3
【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．
解：由图象可得，
当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，
故选：D．
6、（2020贵州铜仁）已知点在反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　　．
解：反比例函数的图象上一点的坐标为，
，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
7、（2020山东滨州）若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为　y＝　．
【分析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式y＝，即可求解．
解：当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，
故该点的坐标为（1，2），
将（1，2）代入反比例函数表达式y＝并解得：k＝2，
故答案为：y＝．
8、（2020北京）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为
.
【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴
9、（2020陕西）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　
　．
【分析】根据已知条件得到点A（﹣2，1）在第三象限，求得点C（﹣6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，
∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），
∴3×2＝﹣6m，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10、（2020四川达州）如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
【答案】9
【解析】
【分析】
设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A（4,3），B（2,6）；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，
∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC=
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
11、（2020贵州贵阳）如图，点A是反比例函数y＝图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为　
　．
【分析】根据反比例函数y＝的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形OQMP的面积．
解：∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，
∴AB×AC＝|k|＝3，
则四边形OBAC的面积为：3．
故答案为：3．
12、（2020江苏淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
13、（2020贵州贵阳）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），将（2，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，即可求解．
解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），
将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y＝①；
（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：，
故交点坐标为（﹣2，﹣3）或（3，2）；
（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，
故可以取k＝﹣2（答案不唯一），
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．
14、（2020山东菏泽）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
15、（2020浙江嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，
∴函数表达式为()；
（2）∵k＝6＞0，
∴在第一象限，y随x的增大而减小，
∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
16、（2020山东济宁）在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________，
x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
能力提升
17、(2020湖北武汉)若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．﹣1＜a＜1
C．a＞1
D．a＜﹣1或a＞1
解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
18、（2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）
A．
B．8
C．10
D．
【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴，
∴＝，
∴BF＝，
∴B（4，），
∴k＝，
故选：D．
19、（2020山东威海）如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）
A．S1：S2＝2：3
B．S1：S2＝1：1
C．S1：S2＝4：3
D．S1：S2＝5：3
【分析】过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（﹣2，﹣2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK﹣S△PON﹣S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
【解答】解：点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．
∴m×1＝﹣2n＝4，
∴m＝4，n＝﹣2，
∵P（4，1），Q（﹣2，﹣2），
∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，
∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK﹣S△PON﹣S梯形ONKQ＝﹣﹣（1+3）×2＝3，
∴S1：S2＝4：3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
20、（2020四川成都）在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；
（2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可.
【详解】（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)，
∴，
解得：，
∴原反比例函数解析式为：；
（2）①当直线的时，函数图像如图所示，
此时，不符合题意，舍去；
②当直线的时，函数图像如图所示，
设OC的长度为m，OB的长度为n，
∵的面积为的面积的2倍
∴，
∴，
∴OC的长为2，
∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0，?2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
综上所述，直线解析式为：或.
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
21、（2020四川成都）平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】
首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【详解】∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，
∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，
∴，
∵AC⊥BD，
∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，
解得：，
∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
解得：或2，
∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，
故答案为：(，)或(，).
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
创新思维
22、（2020江苏扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数y＝（a、b为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＜0，可知a＜0；图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，则b＜0；
解：由图象可知，当x＞0时，y＜0，
∴a＜0；
∵图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，
∴b＜0；
故选：D．
23、（2020浙江宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　
　，的值为　
　．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴a﹣b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴＝，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，
∴＝＝，
∴＝﹣．
故答案为24，﹣．
23、（2020江苏南京）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　　．
根据函数的图象，得不等式②的解集　　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．
解：解不等式①，得　　．
根据函数的图象，得不等式②的解集　　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．
解：（1）反比例函数的图象经过点，
；
（2）解不等式组
解：解不等式①，得．
根据函数的图象，得不等式②的解集．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为，
故答案为：，，．
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