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3.5二次函数的实际应用
函数的实际应用解题的基本方法：
①利润最值问题：在每每问题当中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为件，然后根据二次函数的性质求最值。
②几何图形问题：此类问题一般是根据几何图形的性质找自变量与该图形周长或面积之间的关系，利用自变量表示出其他的边长，从而确定二次函数的表达式，再根据题意和二次函数的性质即可解题。
③抛物线型问题：如求过网、扣球或篮球能否成功的问题，就是将对应点的横坐标代入抛物线的表达式，即可得到该点的纵坐标，即该点抛物线的高度，然后根据题意比较即可。
解题的步骤及关键点：
①分析问题：明确题中的常量与变量以及它们之间的关系，确定自变量与因变量，②建立模型，根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系，
③求函数解析式：变量之间的数量关系的表示，
④解决问题：熟练运用顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围。
命题点一、实际问题构造“抛物线”模型
1、（2020浙江嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
命题点二、销售利润问题
2、（2020贵州黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
3、（2020山东滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
基础过关
1、（2020山西）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2020湖北襄阳）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是_______秒．
3、（2020湖北天门）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
4、（2019四川广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　　米．
5、（2020江苏连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
6、（2020江苏南京）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为　　．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
7、（2020四川甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
8、（2020山东潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
9、（2020山东青岛）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
能力提升
10、（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米
B．5米
C．2米
D．7米
11、（2020湖北黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
创新思维
12、（2020湖南长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(
)
A.
3.50分钟
B.
4.05分钟
C.
3.75分钟
D.
4.25分钟
13、（2020湖南长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
①（
）
②（
）
③（
）
（2）若点与点关于x“H函数”
的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值域或取值范围；
（3）若关于x的“H函数”
（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
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23.5二次函数的实际应用
函数的实际应用解题的基本方法：
①利润最值问题：在每每问题当中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为件，然后根据二次函数的性质求最值。
②几何图形问题：此类问题一般是根据几何图形的性质找自变量与该图形周长或面积之间的关系，利用自变量表示出其他的边长，从而确定二次函数的表达式，再根据题意和二次函数的性质即可解题。
③抛物线型问题：如求过网、扣球或篮球能否成功的问题，就是将对应点的横坐标代入抛物线的表达式，即可得到该点的纵坐标，即该点抛物线的高度，然后根据题意比较即可。
解题的步骤及关键点：
①分析问题：明确题中的常量与变量以及它们之间的关系，确定自变量与因变量，②建立模型，根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系，
③求函数解析式：变量之间的数量关系的表示，
④解决问题：熟练运用顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围。
命题点一、实际问题构造“抛物线”模型
1、（2020浙江嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
【答案】（1）y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32；（2）①1m；②能，
【解析】
【分析】
（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；
②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NEH，得出，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．
【详解】解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，
化简得（x﹣0.4）2＝0.36，
解得x1＝﹣02（舍去），x2＝1，
∴OD＝1m．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．
由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．
当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．
当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，
东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，
设MD＝h1，NF＝h2，
当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，
∴MD∥NF，PN∥EG，
∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，
∴△MPN∽△NEH，
∴，
∵PN＝0.5，HE＝2.5，
∴NH＝5MP．
（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，
MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，
NH＝2.2﹣1.3＝0.9．
∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，
整理得（t﹣0.5）2＝0.16，
解得（舍去），，
当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，
∴．
（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，
NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，
∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），
整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，
解得，（舍去），，
当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，
∴．
（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及能将实际问题转化为二次函数问题求解．
命题点二、销售利润问题
2、（2020贵州黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一次方程组，求解即可．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可．
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
3、（2020山东滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
基础过关
1、（2020山西）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
2、（2020湖北襄阳）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是_______秒．
【答案】1.25
【解析】
【分析】
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.
3、（2020湖北天门）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
【答案】70
【解析】
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
【详解】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
4、（2019四川广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　　米．
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
5、（2020江苏连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
6、（2020江苏南京）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为　　．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：（1），，
当时，，，
小丽出发时，小明离地的距离为，
故答案为：250；
（2）设小丽出发第时，两人相距，则
，
当时，取得最小值，此时，
答：小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．
7、（2020四川甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
解：（1）由题意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
8、（2020山东潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
9、（2020山东青岛）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元
【解析】
【分析】
（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；
（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N（1，）
∴MN=m，
∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
能力提升
10、（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米
B．5米
C．2米
D．7米
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+，
∴a＝﹣，
∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣x2+，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，﹣），
∴﹣＝m（x﹣b）2，
∴x1＝+b，x2＝﹣+b，
∴MN＝4，
∴|+b﹣（﹣+b）|＝4
∴m＝﹣，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y＝﹣，
∴﹣＝﹣（x﹣b）2，
∴x1＝+b，x2＝﹣+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），
故选：B．
11、（2020湖北黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
创新思维
12、（2020湖南长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(
)
A.
3.50分钟
B.
4.05分钟
C.
3.75分钟
D.
4.25分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣02．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案
13、（2020湖南长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
①（
）
②（
）
③（
）
（2）若点与点关于x“H函数”
的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值域或取值范围；
（3）若关于x的“H函数”
（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．
【解析】
【分析】
（1）根据“H函数”的定义即可判断；
（2）先根据题意可求出m,n的取值，代入得到a,b,c的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；
（3）设“H点”为（p,q）和（-p,-q）,代入得到ap2+3c=0,2bp=q，得到a,c异号，再根据a+b+c=0，代入求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），t=，利用根与系数的关系得到=，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）①是
“H函数”②是
“H函数”③不是
“H函数”；
故答案为：√；√；×；
（2）∵A,B是“H点”
∴A,B关于原点对称，
∴m=4,n=1
∴A(1,4），B（-1，-4）
代入
得
解得
又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴-＞2
∴-＞2
∴-1＜a＜0
∵a+c=0
∴0＜c＜0，
综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；
（3）∵是“H函数”
∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,
代入得
解得ap2+3c=0,2bp=q
∵p2＞0
∴a,c异号，
∴ac＜0
∵a+b+c=0
∴b=-a-c，
∵
∴
∴
∴c2＜4a2
∴＜4
∴-2＜＜2
∴-2＜＜0
设t=，则-2＜t＜0
设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0）
∴x1,
x2是方程=0的两根
∴
=
=
=
=2
=
又∵-2＜t＜0
∴2＜＜2．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的性质及根与系数的关系．
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